113 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《普通物理學》

核心觀念

自行車沿斜坡方向受到三個主要力：

1. 重力沿斜坡方向的分力：$mg\sin\theta$
2. 正向力：$N=mg\cos\theta$
3. 摩擦力：$f=\mu N=\mu mg\cos\theta$

其中重力分力與摩擦力皆阻礙上坡運動。若以恆定速度上坡，沿斜坡方向合力為零，因此推進力必須平衡兩者。

已知：

$$m=80\ \text{kg},\quad \theta=10^\circ,\quad L=200\ \text{m},\quad \mu=0.05$$ $$g=9.8\ \text{m/s}^2,\quad \sin10^\circ=0.174$$

並取：

$$\cos10^\circ\approx 0.985$$

解題方法

（1）重力分力

重力大小為：

$$mg=80\times 9.8=784\ \text{N}$$

沿斜坡向下的重力分力為：

$$F_g=mg\sin\theta$$

代入數值：

$$F_g=80\times 9.8\times 0.174$$ $$\boxed{F_g\approx 136.4\ \text{N}}$$

方向為沿斜坡向下。

（2）摩擦力

斜坡沒有垂直方向的加速度，因此正向力為：

$$N=mg\cos\theta$$ $$N=80\times 9.8\times 0.985\approx 772.2\ \text{N}$$

摩擦力大小為：

$$f=\mu N$$ $$f=0.05\times 772.2$$ $$\boxed{f\approx 38.6\ \text{N}}$$

摩擦力方向與騎車者的上坡運動方向相反，即沿斜坡向下。

（3）恆定速度上坡所需的推進力

恆定速度表示加速度為零，因此沿斜坡方向合力為零。

設推進力為 $F$，則：

$$F-F_g-f=0$$

因此：

$$F=F_g+f$$ $$F=136.4+38.6$$ $$\boxed{F\approx 175.0\ \text{N}}$$

推進力方向沿斜坡向上。

（4）以 $250\ \text{W}$ 恆定功率完成斜坡所需時間

總功包括克服重力所做的功與克服摩擦力所做的功。

斜坡高度為：

本題主要考驗轉動定律，包括轉動慣量、角速度、角加速度、轉動動能以及線性和角量之間的轉換。

核心觀念：

1. 均勻圓盤的轉動慣量公式。
2. 線速度與角速度的關係。
3. 轉動動能的計算。
4. 線加速度與角加速度的關係。
5. 勻加速直線運動與勻角加速度轉動的對應關係。

解題過程：

已知條件：
輪胎直徑 $D = 60 \text{ cm} = 0.60 \text{ m}$
輪胎半徑 $R = D/2 = 0.30 \text{ m}$
輪胎質量 $m = 15 \text{ kg}$
輪胎視為均勻圓盤。
初始速度 $v_0 = 0 \text{ m/s}$ (從靜止開始)
最終線速度 $v_f = 60 \text{ km/h}$
加速時間 $\Delta t = 10 \text{ s}$

首先，將最終線速度轉換為 m/s：
$v_f = 60 \frac{\text{km}}{\text{h}} \times \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = \frac{60000}{3600} \text{ m/s} = \frac{600}{36} \text{ m/s} = \frac{100}{6} \text{ m/s} = \frac{50}{3} \text{ m/s} \approx 16.67 \text{ m/s}$

(1) 輪胎的轉動慣量。
均勻圓盤的轉動慣量公式為 $I = \frac{1}{2}mR^2$。

計算 $I$：
$I = \frac{1}{2} \times (15 \text{ kg}) \times (0.30 \text{ m})^2$
$I = \frac{1}{2} \times 15 \times 0.09 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$
$I = 7.5 \times 0.09 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$
$I = 0.675 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$

【答案】輪胎的轉動慣量為 $0.675 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$。

(2) 輪胎最終的角速度。
線速度 $v$ 與角速度 $\omega$ 的關係為 $v = R\omega$。
因此，最終角速度 $\omega_f = v_f / R$。

計算 $\omega_f$：
$\omega_f = \frac{50/3 \text{ m/s}}{0.30 \text{ m}}$
$\omega_f = \frac{50}{3 \times 0.30} \text{ rad/s}$
$\omega_f = \frac{50}{0.90} \text{ rad/s}$
$\omega_f = \frac{500}{9} \text{ rad/s} \approx 55.56 \text{ rad/s}$

本題考查聲波的性質，包括波長、聲速、振幅與粒子速度的關係，以及溫度對聲速的影響。

核心觀念：

1. 聲速、頻率與波長的關係。
2. 聲波的粒子速度與振幅的關係。
3. 聲速與溫度的關係。

解題過程：

已知條件：
頻率 $f = 440 \text{ Hz}$
溫度 $T_0 = 0^\circ\text{C}$ 時聲速 $v_0 = 331.4 \text{ m/s}$
標準狀況溫度 $T_{std} = 20^\circ\text{C}$
標準狀況空氣密度 $\rho_{std} = 1.204 \text{ kg/m}^3$
振動幅度 $A = 0.5 \text{ mm} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ m}$
距離 $r = 1 \text{ m}$
目標溫度 $T_1 = 30^\circ\text{C}$

(1) 此聲波的波長。
聲波的波長 $\lambda$ 與聲速 $v$ 和頻率 $f$ 的關係是 $v = f\lambda$。
題目中提到了「標準狀況」的溫度是 20℃，但給定的聲速是 0℃ 的。我們應該使用與頻率 440 Hz 相對應的聲速。通常，題目會給出當前環境下的聲速，這裡我們需要判斷是用 0℃ 的聲速還是 20℃ 的聲速。
由於題目給了 0℃ 時的聲速，且沒有給出 20℃ 時的聲速，我們暫時假設 440 Hz 的聲波是在 0℃ 環境下產生的，或者我們需要先計算 20℃ 的聲速。

聲速與溫度的關係近似為 $v \approx v_0 (1 + \frac{T}{273.15})$，其中 T 是攝氏溫度。
如果我們假設 440 Hz 的頻率是在 20℃ 的標準狀況下產生的，那麼我們需要計算 20℃ 的聲速。
$v_{20^\circ\text{C}} \approx 331.4 \text{ m/s} \times (1 + \frac{20}{273.15})$
$v_{20^\circ\text{C}} \approx 331.4 \times (1 + 0.0732)$
$v_{20^\circ\text{C}} \approx 331.4 \times 1.0732 \approx 355.6 \text{ m/s}$

如果我們假設 440 Hz 的頻率是在 0℃ 環境下產生的，則聲速為 $v_0 = 331.4 \text{ m/s}$。
由於題目沒有明確指出 440 Hz 是在哪個溫度下的頻率，但給了 0℃ 的聲速，通常會假設是使用這個聲速。我們採用 0℃ 的聲速來計算波長。

計算 $\lambda$：
$\lambda = v_0 / f$
$\lambda = 331.4 \text{ m/s} / 440 \text{ Hz}$
$\lambda \approx 0.753 \text{ m}$

【答案】此聲波的波長約為 0.753 米。

(2) 若音叉的振動幅度是 0.5 mm,計算音波在離音叉 1 米處的最大速度。
聲波是介質質點的振動。對於一個簡諧運動的質點，其位置 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$，速度 $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$。
質點的最大速度 $v_{max} = A\omega$。
其中 $A$ 是振幅，$\omega = 2\pi f$ 是角頻率。
我們使用 0℃ 的聲速來計算聲波的頻率，但頻率是由音叉決定的，與聲速無關。所以 $f=440 \text{ Hz}$。
角頻率 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 440 \text{ Hz} = 880\pi \text{ rad/s}$。
振幅 $A = 0.5 \text{ mm} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ m}$。

計算最大粒子速度 $v_{max}$：
$v_{max} = A\omega = (0.5 \times 10^{-3} \text{ m}) \times (880\pi \text{ rad/s})$
$v_{max} = 0.44\pi \text{ m/s}$
$v_{max} \approx 0.44 \times 3.14159 \text{ m/s}$
$v_{max} \approx 1.382 \text{ m/s}$

核心觀念

本題考查：

1. 萬有引力造成的表面重力
   $g_{\rm grav}=\frac{GM}{R^2}$
2. 地球自轉造成的離心加速度
   $a_{\rm c}=\omega^2R$
3. 人的「重量」是支持力所反映的有效重力：
   • 赤道：自轉離心效應最大，需扣除離心加速度。
   • 北極：位於自轉軸上，離心加速度為零。
4. 質量與重量的關係：
   $W=mg_{\rm eff}$

題目未明確給出地球自轉週期，採用地球一天 $T=24\ \text{h}=86400\ \text{s}$，因此

$$\omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{86400} \approx 7.272\times10^{-5}\ \text{rad/s}$$

---

解題方法

將赤道半徑與極半徑換算為公尺：

$$R_{\rm e}=6378.1\ \text{km}=6.3781\times10^6\ \text{m}$$ $$R_{\rm p}=6356.8\ \text{km}=6.3568\times10^6\ \text{m}$$

地球質量與萬有引力常數的乘積為

$$GM=(6.674\times10^{-11})(5.972\times10^{24}) \approx 3.9857\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$$

---

（1）人在赤道上的重量

赤道處的萬有引力加速度

$$g_{\rm grav,e} =\frac{GM}{R_{\rm e}^2}$$

代入數值：

$$g_{\rm grav,e} = \frac{3.9857\times10^{14}} {(6.3781\times10^6)^2} \approx 9.798\ \text{m/s}^2$$

赤道處的離心加速度

$$a_{\rm c,e}=\omega^2R_{\rm e}$$

核心觀念

本題考查軸向拉伸下的應力、應變與楊氏係數：

• 應力：
  $\sigma=\frac{F}{A}$
• 應變：
  $\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}$
• 楊氏係數：
  $Y=\frac{\sigma}{\varepsilon}$

因此伸長量為：

$\Delta L=\varepsilon L=\frac{\sigma}{Y}L$

懸掛重物後，橡膠帶承受的拉力為重物重力：

$F=mg$

取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$。

---

解題方法與計算

已知：

$L=10\ \text{cm}=0.10\ \text{m}$

$A=1\ \text{cm}^2=1.0\times10^{-4}\ \text{m}^2$

$m=500\ \text{g}=0.500\ \text{kg}$

$Y=5\ \text{MPa}=5.0\times10^6\ \text{Pa}$

重物造成的拉力為：

$F=mg=(0.500)(9.8)=4.9\ \text{N}$

（1）橡膠帶的應力

$$\sigma=\frac{F}{A} =\frac{4.9}{1.0\times10^{-4}} =4.9\times10^4\ \text{Pa}$$

因此：

$\boxed{\sigma=4.9\times10^4\ \text{Pa}=0.049\ \text{MPa}}$

---

（2）橡膠帶的應變

由楊氏係數定義：

$Y=\frac{\sigma}{\varepsilon}$

所以：

$$\varepsilon=\frac{\sigma}{Y} =\frac{4.9\times10^4}{5.0\times10^6} =9.8\times10^{-3}$$

應變沒有單位，因此：

$\boxed{\varepsilon=9.8\times10^{-3}=0.0098}$

也可表示為：

$\boxed{\varepsilon=0.98\%}$

---

（3）橡膠帶的伸長量

由應變定義：

$\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}$

因此：

$$\Delta L=\varepsilon L =(9.8\times10^{-3})(0.10) =9.8\times10^{-4}\ \text{m}$$

換算為毫米：

本題考查弦線上駐波的性質，包括波速、基本頻率（第一諧波）以及頻率與張力的關係。

核心觀念：

1. 弦線上波速的計算公式。
2. 固定端駐波的諧波頻率公式。
3. 基本頻率（第一諧波）的定義。
4. 張力對波速和頻率的影響。

解題過程：

已知條件：
弦長 $L = 65 \text{ cm} = 0.65 \text{ m}$
張力 $T = 150 \text{ N}$
弦質量 $m = 3.25 \text{ g} = 3.25 \times 10^{-3} \text{ kg}$

(1) 該吉他弦的波速。
弦線上波速 $v$ 的公式為 $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$，其中 $T$ 是張力，$\mu$ 是弦的線密度（單位長度的質量）。
首先計算線密度 $\mu$：
$\mu = m / L$
$\mu = (3.25 \times 10^{-3} \text{ kg}) / (0.65 \text{ m})$
$\mu = 0.005 \text{ kg/m}$

計算波速 $v$：
$v = \sqrt{\frac{150 \text{ N}}{0.005 \text{ kg/m}}}$
$v = \sqrt{30000 \text{ m}^2/\text{s}^2}$
$v = \sqrt{3 \times 10^4} \text{ m/s}$
$v = 100\sqrt{3} \text{ m/s} \approx 173.2 \text{ m/s}$

【答案】該吉他弦的波速約為 173.2 m/s。

(2) 假設這根弦振動產生的基本頻率(第一諧波),計算這個頻率。
對於固定在兩端的弦，其諧波頻率 $f_n$ 由公式 $f_n = n \frac{v}{2L}$ 給出，其中 $n$ 是諧波的級數（$n=1, 2, 3, \dots$）。
基本頻率，也稱為第一諧波，對應於 $n=1$。
$f_1 = 1 \times \frac{v}{2L}$

計算基本頻率 $f_1$：
$f_1 = \frac{173.2 \text{ m/s}}{2 \times 0.65 \text{ m}}$

本題考查熱學中的熱量傳遞與功的概念，主要涉及比熱容、質量、溫度變化與熱量之間的關係，以及功率與時間的關係。

核心觀念：

1. 熱量計算公式 $Q = mc\Delta T$。
2. 功率的定義 $P = \Delta E / \Delta t$。
3. 質量、體積與密度的關係。

解題過程：

已知條件：
水的初始溫度 $T_i = 25^\circ\text{C}$
水的最終溫度 $T_f = 4^\circ\text{C}$
水的容量 $V = 2 \text{ L}$
水的密度 $\rho = 1 \text{ kg/L}$
水的比熱容 $c = 4.18 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K} = 4.18 \times 10^3 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$
冰箱冷卻功率 $P = 100 \text{ W} = 100 \text{ J/s}$

(1) 水冷卻到冰箱溫度所需消耗的熱量。
首先，計算水的質量 $m$。
$m = \rho \times V$
$m = (1 \text{ kg/L}) \times (2 \text{ L}) = 2 \text{ kg}$

溫度變化 $\Delta T = T_f - T_i = 4^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} = -21^\circ\text{C}$。
需要消耗的熱量 $Q$ 是指從水中移除的熱量，因此 $Q$ 的值是正的。
$Q = mc|\Delta T|$ (我們計算的是熱量的「量」，所以取絕對值)
$\Delta T$ 在開爾文和攝氏度上的變化量是相同的。

本題考查法拉第電磁感應定律，計算由磁場變化產生的感應電動勢。

核心觀念：

1. 法拉第電磁感應定律：感應電動勢等於磁通量對時間的變化率的負值。
2. 磁通量 (Magnetic Flux) 的定義：$\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$。對於均勻磁場垂直穿過平面線圈，$\Phi_B = BA$。
3. 線圈匝數對感應電動勢的影響。

解題過程：

已知條件：
線圈長度 $l = 30 \text{ cm} = 0.30 \text{ m}$
線圈寬度 $w = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m}$
線圈匝數 $N = 50$
初始磁場強度 $B_i = 0 \text{ T}$
最終磁場強度 $B_f = 0.5 \text{ T}$
磁場變化時間 $\Delta t = 2 \text{ s}$
磁場方向垂直於線圈平面。

首先，計算線圈的面積 $A$：
$A = l \times w = (0.30 \text{ m}) \times (0.20 \text{ m}) = 0.060 \text{ m}^2$

磁通量 $\Phi_B$ 的定義是 $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A}$。由於磁場是均勻且垂直於線圈平面，所以磁通量為 $\Phi_B = BA$。
線圈總的磁通量為 $N$ 匝的總磁通量，即 $\Phi_{total} = N \times BA = NBA$。

本題考查流體力學中的白努利定律 (Bernoulli's Principle)，描述理想流體在穩定流動時，壓力、速度與高度之間的關係。

核心觀念：

1. 白努利定律：對於理想流體，沿著同一條流線，壓力、動能密度和位能密度的總和是恆定的。
   數學表達式為：$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$。
2. 理想流體的條件：不可壓縮、無黏性（無摩擦）。
3. 題目假設忽略重力和摩擦力，這意味著流體的高度 $h$ 在整個流動過程中是恆定的。

解題過程：

已知條件：
初始速度 $v_1 = 10 \text{ m/s}$
初始壓力 $P_1 = 1 \text{ atm} = 101325 \text{ Pa}$
最終速度 $v_2 = 15 \text{ m/s}$
要求計算最終壓力 $P_2$。
水的密度 $\rho$ (需要查找或假設，通常取 $1000 \text{ kg/m}^3$ for water)。
忽略重力，表示 $h$ 恆定，所以 $\rho gh$ 項在白努利方程中可以視為常數，或者直接消去。

應用白努利定律，由於 $h$ 恆定，且忽略重力，方程簡化為：
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}$

因此，在兩個不同的點（或時刻），壓力與速度的關係為：
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

我們需要水的密度 $\rho$。水的密度約為 $1000 \text{ kg/m}^3$。

本題考查光的干涉現象，特別是雙縫干涉的條紋位置計算。

核心觀念：

1. 雙縫干涉的亮紋（建設性干涉）條件：光程差等於波長的整數倍。
2. 雙縫干涉條紋位置的近似公式。

解題過程：

已知條件：
光波長 $\lambda = 650 \text{ nm} = 650 \times 10^{-9} \text{ m}$
雙縫間距 $d = 0.5 \text{ mm} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ m}$
縫與屏幕的距離 $L = 2 \text{ m}$
要求計算第一個亮條紋（$m=1$）與中央亮條紋（$m=0$）之間的距離 $y_1$。

對於雙縫干涉，亮條紋（建設性干涉）出現的條件是光程差 $\Delta r = m\lambda$，其中 $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ 是級數。
在屏幕上的位置 $y$ 與光程差的關係（當 $L \gg d$ 時，可以使用近似公式）：
$y_m = \frac{m\lambda L}{d}$

其中：
$m$ 是級數 (0 代表中央亮紋, 1 代表第一亮紋, 依此類推)
$\lambda$ 是光的波長
$L$ 是縫到屏幕的距離
$d$ 是雙縫間距