113 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《流體力學》

核心觀念

本題核心是三個概念：

1. 渦度是速度場的旋度，用來描述流體微團的局部旋轉。
2. 環流量是沿封閉曲線對速度作線積分，用來描述流體沿曲線的整體旋轉程度。
3. 由 Stokes Theorem 可將環流量與曲面上的渦度通量連結，再由運動方程式判斷環流量如何隨時間變化。

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(1) 渦度與環流量的數學表示式及物理意義

渦度 Vorticity

渦度定義為速度場的旋度：

$$\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v}$$

若以三維直角座標表示：

$$\boldsymbol{\omega} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\ u & v & w \end{vmatrix}$$

其中 $\mathbf{v}=(u,v,w)$。

在二維流動中，若速度為 $\mathbf{v}=(u,v,0)$，則渦度只有 $z$ 方向分量：

$$\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$$

物理上，渦度代表流體微小流體微團的局部旋轉程度。對無窮小流體微團而言，其角速度與渦度的關係為：

$$\boldsymbol{\Omega}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}$$

因此，渦度為零表示該處沒有剛體式的局部旋轉，但不代表速度必定為零。

環流量 Circulation

沿封閉曲線 $\mathcal{C}$ 的環流量定義為：

$$\Gamma=\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}$$

其中 $d\mathbf{l}$ 為沿曲線切線方向的微小線元素。

物理上，$\Gamma$ 表示流體速度沿封閉路徑切向分量的累積效果：

• $\Gamma>0$：沿選定正方向具有正向旋轉傾向。
• $\Gamma<0$：旋轉方向與選定正方向相反。
• $\Gamma=0$：整條封閉路徑的切向速度貢獻相互抵消。

環流量是對一有限封閉區域的整體描述；渦度則是某一點附近的局部描述。

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(2) 渦度與環流量的關係

Stokes Theorem

設封閉曲線 $\mathcal{C}$ 是曲面 $S$ 的邊界，且曲線方向與曲面法向量 $\mathbf{n}$ 遵守右手定則，則 Stokes Theorem 給出：

$$\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l} = \iint_S(\nabla\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{n}\,dS$$

代入渦度定義 $\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v}$，得到：

$$\boxed{ \Gamma=\iint_S\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{n}\,dS }$$

也就是說，環流量等於穿過該曲面的渦度通量。

若為二維流動，且曲面位於 $x$-$y$ 平面，則：

$$\Gamma=\iint_A\omega_z\,dA$$

物理意義

環流量不是單獨由曲線邊界上的速度決定的另一種神秘量，而是邊界所包圍區域內所有渦度的總和。換言之：

• 渦度描述局部旋轉強度。
• 環流量描述封閉區域內旋轉效應的總累積。

限制條件

使用 Stokes Theorem 必須滿足下列條件：

1. $\mathcal{C}$ 必須是封閉、分段光滑的曲線。
2. 曲面 $S$ 必須具有明確且連續的法向量方向。
3. 速度場 $\mathbf{v}$ 在曲面附近必須足夠光滑，使 $\nabla\times\mathbf{v}$ 存在且可積分。
4. 曲線方向與曲面法向量必須遵守右手定則。
5. 若流場含有點渦、線渦、激波或其他奇異點，不能直接將渦度當作普通連續函數處理，必須以廣義函數或排除奇異點後重新分析。

在正常光滑流場中，只要兩個曲面具有相同邊界，所得到的渦度通量相同；若曲面中穿過奇異渦線，則必須特別處理。

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(3) 由運動方程式導出環流量變化方程式

解題方法

採用「物質曲線」$\mathcal{C}(t)$，也就是曲線上的每一個流體質點都隨流體運動。先對環流量微分，再使用流體質點的加速度與運動方程式連結。

環流量為：

$$\Gamma(t)=\oint_{\mathcal{C}(t)}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}$$

對隨流體移動的封閉曲線微分，可得：

$$\frac{d\Gamma}{dt} = \oint_{\mathcal{C}(t)} \frac{D\mathbf{v}}{Dt}\cdot d\mathbf{l}$$

其中物質導數為：

$$\frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$$

因此：

$$\boxed{ \frac{d\Gamma}{dt} = \oint_{\mathcal{C}(t)} \left[ \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} \right]\cdot d\mathbf{l} }$$

對無黏性流體，包含體力 $\mathbf{b}$ 的運動方程式為：

$$\frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\nabla p+\mathbf{b}$$

代入上式：

$$\frac{d\Gamma}{dt} = \oint_{\mathcal{C}(t)} \left( -\frac{1}{\rho}\nabla p+\mathbf{b} \right)\cdot d\mathbf{l}$$

移項後得到：

$$\boxed{ \frac{d\Gamma}{dt} + \oint_{\mathcal{C}(t)} \frac{1}{\rho}\nabla p\cdot d\mathbf{l} = \oint_{\mathcal{C}(t)} \mathbf{b}\cdot d\mathbf{l} }$$

等價地寫成：

$$\boxed{ \frac{d\Gamma}{dt} = \oint_{\mathcal{C}(t)} \left( -\frac{1}{\rho}\nabla p+\mathbf{b} \right)\cdot d\mathbf{l} }$$

題目所列的形式為：

$$\frac{d\Gamma}{dt} = \oint_{\mathcal{C}} \left( \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} + \frac{1}{\rho}\nabla p \right)\cdot d\mathbf{l}$$

由運動方程式可知，括號內正是體力 $\mathbf{b}$ 的環流，因此其正確物理解讀為：

核心觀念

本題考查二維流場中的速度位勢 $\phi$ 與流函數 $\psi$，以及無旋流、無輻散流的數學條件。

在直角座標中，速度為

$$\vec{v}=u\vec{i}+v\vec{j}$$

速度位勢定義為

$$\vec{v}=\nabla\phi$$

流函數則定義為

$$\vec{v}=\vec{k}\times\nabla\psi$$

其中 $\vec{k}$ 為垂直於二維流場平面的單位向量。

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（1）速度位勢與流函數的關係

1. 速度位勢與無旋流

直角座標下，

$$\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\vec{j}$$

因此

$$u=\frac{\partial\phi}{\partial x}, \qquad v=\frac{\partial\phi}{\partial y}$$

由於速度是梯度場，其旋度為

$$\nabla\times\vec{v} = \nabla\times\nabla\phi = \vec{0}$$

所以速度位勢存在的流場必為無旋流。

在單連通流域中，無旋流也可定義速度位勢；若流域不是單連通，則需額外考慮環流條件。因此「位勢流」與「無旋流」在一般考題中常視為相對應，但嚴格而言，位勢函數的全球存在性還需要流域拓撲條件。

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2. 流函數與無輻散流

由

$$\vec{v} = \vec{k}\times\nabla\psi$$

且

$$\nabla\psi = \frac{\partial\psi}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial\psi}{\partial y}\vec{j}$$

可得

$$\vec{v} = \vec{k}\times \left( \frac{\partial\psi}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial\psi}{\partial y}\vec{j} \right)$$

利用

$$\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}, \qquad \vec{k}\times\vec{j}=-\vec{i}$$

得到

$$\vec{v} = -\frac{\partial\psi}{\partial y}\vec{i} + \frac{\partial\psi}{\partial x}\vec{j}$$

因此

$$u=-\frac{\partial\psi}{\partial y}, \qquad v=\frac{\partial\psi}{\partial x}$$

其散度為

$$\nabla\cdot\vec{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}$$

代入速度分量：

$$\nabla\cdot\vec{v} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial\psi}{\partial y} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial\psi}{\partial x} \right) =0$$

所以由流函數表示的流場必為無輻散流。

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3. 極座標中的速度位勢關係

極座標的梯度為

$$\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial r}\vec{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta$$

因此

$$V_r=\frac{\partial\phi}{\partial r}, \qquad V_\theta= \frac{1}{r} \frac{\partial\phi}{\partial\theta}$$

這兩式正確。

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4. 極座標中的流函數關係

極座標下，

$$\nabla\psi = \frac{\partial\psi}{\partial r}\vec{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial\psi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta$$

由

$$\vec{v}=\vec{k}\times\nabla\psi$$

且

$$\vec{k}\times\vec{e}_r=\vec{e}_\theta, \qquad \vec{k}\times\vec{e}_\theta=-\vec{e}_r$$

可得

$$\vec{v} = -\frac{1}{r} \frac{\partial\psi}{\partial\theta}\vec{e}_r + \frac{\partial\psi}{\partial r}\vec{e}_\theta$$

這取決於流函數的正負號慣例。

本題所指定的關係為

$$V_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}, \qquad V_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r}$$

這相當於採用

$$\vec{v}=-\vec{k}\times\nabla\psi$$

的符號慣例。只要整套公式前後一致，物理意義不受影響。依照題目給定慣例，應使用

$$V_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}, \qquad V_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r}$$

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（2）證明無旋又無輻散流場滿足拉普拉斯方程

1. 速度位勢滿足 $\nabla^2\phi=0$

速度位勢定義為

$$\vec{v}=\nabla\phi$$

無輻散條件為

$$\nabla\cdot\vec{v}=0$$

代入 $\vec{v}=\nabla\phi$：

$$\nabla\cdot(\nabla\phi)=0$$

因此

$$\nabla^2\phi=0$$

在直角座標中即為

$$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} =0$$

在極座標中則為

$$\nabla^2\phi = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r\frac{\partial\phi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2\phi}{\partial\theta^2} =0$$

所以速度位勢是調和函數。

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2. 流函數滿足 $\nabla^2\psi=0$

直角座標中，依照題目採用的流函數慣例，

$$u=-\frac{\partial\psi}{\partial y}, \qquad v=\frac{\partial\psi}{\partial x}$$

二維流場的旋度為

$$\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$$

代入得

$$\omega_z = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial\psi}{\partial x} \right) - \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{\partial\psi}{\partial y} \right)$$

因此

核心觀念

本題考查二維極座標中的流函數 $\psi$ 與速度位 $\phi$ 定義。

在極座標 $(r,\theta)$ 中，若採用題目所給答案對應的符號慣例：

• 流函數：

$$V_r=-\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta},\qquad V_\theta=\frac{\partial\psi}{\partial r}$$

• 速度位：

$$V_r=-\frac{\partial\phi}{\partial r},\qquad V_\theta=-\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}$$

自由渦旋的速度場為

$V_r=0,\qquad V_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r},\qquad \Gamma=\text{const}$

其中 $r>0$，因為 $r=0$ 為自由渦旋的奇異點。

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一、流函數 $\psi$ 的推導

由流函數定義，

$V_r=-\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}$

代入 $V_r=0$：

$-\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=0$

因此

$\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=0$

表示 $\psi$ 與 $\theta$ 無關，只是 $r$ 的函數：

$\psi=\psi(r)$

再利用另一個速度分量關係：

$V_\theta=\frac{\partial\psi}{\partial r}$

代入自由渦旋速度：

$$\frac{\partial\psi}{\partial r} =\frac{\Gamma}{2\pi r}$$

對 $r$ 積分：

$\psi=\int \frac{\Gamma}{2\pi r}\,dr$

因為 $\Gamma$ 為常數，所以

$\psi=\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r+C$

流函數可任意加上一個常數，不影響速度場，通常令 $C=0$，得到

$\boxed{\psi=\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r}$

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二、速度位 $\phi$ 的推導

由速度位定義，

$V_r=-\frac{\partial\phi}{\partial r}$

代入 $V_r=0$：

$-\frac{\partial\phi}{\partial r}=0$

因此

$\frac{\partial\phi}{\partial r}=0$

表示 $\phi$ 與 $r$ 無關，只是 $\theta$ 的函數：

$\phi=\phi(\theta)$

再利用極座標中的切向速度關係：

$V_\theta=-\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}$

代入 $V_\theta=\dfrac{\Gamma}{2\pi r}$：

$$\frac{\Gamma}{2\pi r} =-\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}$$

兩邊乘以 $r$：

此題要求計算二維點源 (source) 流場的速度位與流函數，並繪製其圖形。點源流是不可壓縮、無旋、無黏性流體在二維平面上的基本流型之一。

核心觀念：

• 二維點源 (2D Source): 代表從一個點向外輻射的流體，其流量（或稱為強度）為 $Q$。
• 速度位 (Velocity Potential, $\phi$)： 在無旋流中，$\vec{v} = \nabla \phi$。
• 流函數 (Stream Function, $\psi$)： 在二維無輻散流中，速度分量由流函數的偏導表示。
• 極座標下的定義：
  • 速度位：$V_r = \frac{\partial \phi}{\partial r}$, $V_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}$
  • 流函數：$V_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}$, $V_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$

詳解：

已知二維點源的速度分量在極座標 $(r, \theta)$ 下為：
$V_{\theta} = 0$
$V_{r} = \frac{Q}{2\pi r}$
其中 $Q$ 是點源的強度（流量），且 $Q > 0$。這個速度場代表流體從原點徑向向外輻射。

1. 求速度位 $\phi$ 的分佈：
我們使用速度位的定義：
$V_r = \frac{\partial \phi}{\partial r}$
$V_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}$

• 利用 $V_r$ 計算 $\phi$：
  將 $V_r = \frac{Q}{2\pi r}$ 代入定義式：
  $\frac{Q}{2\pi r} = \frac{\partial \phi}{\partial r}$
  對 $r$ 積分，以求得 $\phi$：
  $\phi(r, \theta) = \int \frac{Q}{2\pi r} dr = \frac{Q}{2\pi} \int \frac{1}{r} dr$
  $\phi(r, \theta) = \frac{Q}{2\pi} \ln r + C_1$
  其中 $C_1$ 是積分常數。

• 利用 $V_\theta$ 驗證：
  將 $V_\theta = 0$ 代入定義式：
  $0 = \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}$
  這意味著 $\frac{\partial \phi}{\partial \theta} = 0$。這與我們從 $V_r$ 計算得到的 $\phi(r, \theta) = \frac{Q}{2\pi} \ln r + C_1$ (其中 $\phi$ 不依賴於 $\theta$) 是相符的。
  我們可以將積分常數 $C_1$ 設為 0，因為速度位只決定於其梯度。
  所以，速度位為：
  $\phi(r) = \frac{Q}{2\pi} \ln r$

2. 求流函數 $\psi$ 的分佈：
我們使用流函數的定義：
$V_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}$
$V_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$

• 利用 $V_\theta$ 計算 $\psi$：
  將 $V_\theta = 0$ 代入定義式：
  $0 = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$
  這意味著 $\frac{\partial \psi}{\partial r} = 0$。因此，流函數 $\psi$ 不依賴於 $r$。
  $\psi(r, \theta) = f(\theta)$
  其中 $f(\theta)$ 是 $\theta$ 的某個函數。

• 利用 $V_r$ 計算 $\psi$：
  將 $V_r = \frac{Q}{2\pi r}$ 代入定義式：

此題主要考察 Navier-Stokes 方程式的張量表示、平行流的推導與應用，以及 Couette 流的推導。

核心觀念：

• Navier-Stokes 方程式： 描述不可壓縮、牛頓黏性流體動量的守恆定律。
• 指標符號 (Index Notation): 使用愛因斯坦求和約定來簡化向量和張量方程式的書寫。
• 平行流 (Parallel Flow): 速度向量的某個分量只依賴於一個空間座標，且速度向量的方向與該座標軸平行。
• Couette 流 (Couette Flow): 兩個平行平板間的剪切流，其中一個平板移動，另一個平板靜止，且可能存在壓力梯度。

詳解：

Navier-Stokes 方程式為：
$\frac{d\vec{u}}{dt} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \vec{g} + \nu \nabla^2 \vec{u}$
其中 $\vec{u}$ 是速度向量，$\rho$ 是密度， $p$ 是壓力，$\vec{g}$ 是重力加速度，$\nu$ 是運動黏滯係數。
$\frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}$ 是物質導數。
$\nabla^2 \vec{u}$ 是速度向量的拉普拉斯算子。

(1) 利用指標符號改寫此方程式

我們將使用愛因斯坦求和約定，即重複出現的指標表示求和。

• 速度向量 $\vec{u}$ 的分量為 $u_i$。
• 時間導數：$\frac{\partial u_i}{\partial t}$。
• 對流項 $(\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}$：
  $\vec{u} \cdot \nabla = u_j \frac{\partial}{\partial x_j}$ (求和 $j=1, 2, 3$)。
  $(\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}$ 的第 $i$ 個分量是 $(u_j \frac{\partial}{\partial x_j}) u_i = u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$。
• 壓力梯度項 $-\frac{1}{\rho}\nabla p$：
  $-\frac{1}{\rho}\nabla p$ 的第 $i$ 個分量是 $-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}$。
• 重力項 $\vec{g}$：
  $\vec{g}$ 的第 $i$ 個分量是 $g_i$。
• 黏性項 $\nu \nabla^2 \vec{u}$：
  $\nabla^2$ 是拉普拉斯算子，$\nabla^2 \vec{u} = \nabla \cdot (\nabla \vec{u})$。
  $\nabla \vec{u}$ 的分量是 $\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$。
  $\nabla^2 \vec{u}$ 的第 $i$ 個分量是 $\frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_j}$。
  所以，$\nu \nabla^2 \vec{u}$ 的第 $i$ 個分量是 $\nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_j}$。

將這些分量組合起來，Navier-Stokes 方程式的第 $i$ 個分量為：
$\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + g_i + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_j}$
這就是用指標符號表示的 Navier-Stokes 方程式。

(2) 平行流 (Parallel Flow) 的定義、運動方程式推導與可解性證明

• 定義： 平行流是指速度向量 $\vec{u}$ 的方向僅沿著某一個空間座標軸，並且速度的大小只依賴於其他一個或兩個空間座標。最常見的平行流是一維平行流，即速度向量 $\vec{u}$ 只沿著一個方向，且其大小只依賴於垂直於該方向的座標。
  例如，若速度 $\vec{u} = u(y)\hat{i}$，則流場是沿 $x$ 方向的平行流，其速度只隨 $y$ 變化。

• 以只有 $u$ 分量且只依賴於 $y$ 的平行流為例：
  假設速度場為 $\vec{u} = (u(y), 0, 0)$。
  這表示流動只沿 $x$ 方向，且速度大小 $u$ 只依賴於 $y$ 座標。

  我們需要將此速度場代入 Navier-Stokes 方程式的三個分量式。
  假設重力 $\vec{g}$：為了簡化，我們考慮 $\vec{g} = (0, 0, -g)$，即重力沿 $z$ 軸負方向。
  假設流場是穩態的 ($\frac{\partial}{\partial t} = 0$)。

  a) $x$ 分量:
  $\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + g_x + \nu (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2})$
  代入 $\vec{u} = (u(y), 0, 0)$，穩態，$\vec{g}=(0,0,-g)$：
  $0 + u(y) \cdot 0 + 0 \cdot \frac{du}{dy} + 0 \cdot 0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + 0 + \nu (0 + \frac{d^2 u}{dy^2} + 0)$
  $0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu \frac{d^2 u}{dy^2}$
  $\frac{\partial p}{\partial x} = \rho \nu \frac{d^2 u}{dy^2}$
  這表明 $x$ 方向的速度變化與壓力梯度有關。

  b) $y$ 分量:
  $\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + g_y + \nu (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2})$
  代入 $v=0, w=0, g_y=0$：
  $0 + u(y) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + 0 + \nu (0 + 0 + 0)$
  $0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$
  $\frac{\partial p}{\partial y} = 0$
  這表明壓力不隨 $y$ 方向變化。

  c) $z$ 分量:
  $\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + g_z + \nu (\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2})$
  代入 $w=0, g_z=-g$：
  $0 + u(y) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} - g + \nu (0 + 0 + 0)$
  $0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} - g$
  $\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g$
  這表明壓力隨 $z$ 方向的變化如同靜止流體一樣，由重力決定。

此題是一個應用題，要求利用流體力學的觀念解釋台灣在 2024 年 1 月下旬的極低溫和高山降雪現象。這需要結合大氣流體力學、熱力學和氣象學的知識。

核心觀念：

• 大氣環流 (Atmospheric Circulation): 全球尺度的大氣運動，包括極地渦旋、西風帶、副熱帶高壓帶等。
• 冷空氣團 (Cold Air Mass): 從高緯度地區（如西伯利亞）發展而來的低溫、乾燥或低濕的空氣。
• 寒流/冷氣團南下 (Cold Air Outbreak): 當極地渦旋不穩定或高空槽線東移時，強冷的空氣團會向低緯度地區輸送。
• 輻射冷卻 (Radiational Cooling): 夜間或晴朗無雲的天氣下，地面向外輻射熱量導致溫度下降。
• 地形效應 (Topographic Effects): 山脈對空氣流動和降水過程的影響。
• 水汽凝結與降雪 (Condensation and Snowfall): 空氣冷卻至露點溫度以下，水汽凝結成雲，進一步冷卻至冰點以下則可能形成雪。
• 大氣穩定度 (Atmospheric Stability): 影響垂直運動的強度，進而影響雲的發展和降水形式。
• 潛熱釋放 (Latent Heat Release): 水汽凝結成液態水或結冰時釋放的熱量，會影響空氣的溫度。

詳解：

在 2024 年 1 月 22 日至 25 日之間，台灣經歷了極低溫和高山降雪。這通常是由於強烈的寒潮或極地冷空氣南下所引起。我們可以從以下幾個方面利用流體力學的觀念來解釋：

1. 台灣極低溫的原因：

• 極地渦旋與冷空氣南下 (Polar Vortex and Cold Air Outbreak):

  • 在高緯度地區，極地渦旋是繞著極點旋轉的強烈低壓系統，它將極地的寒冷空氣封閉在高緯度地區。
  • 當極地渦旋的結構變得不穩定，或者受到烏拉爾山脈、落基山脈等地形的擾動時，其邊界會發生波動（如同流體中的渦旋不穩定）。這種波動會導致強烈的寒冷空氣團（例如來自西伯利亞的冷空氣）被推向中緯度地區，甚至到達低緯度地區。
  • 這種冷空氣的輸送是通過大尺度的 大氣環流 來實現的。高空中的噴射氣流 (jet stream) 的波動（如烏拉爾山脊或槽線的加強）會引導這些冷空氣南下。從流體力學的角度來看，這涉及到大氣中不同溫度、密度空氣團的相互作用和運動。

• 冷平流 (Cold Advection):

  • 當寒冷的空氣團大規模地從高緯度移動到低緯度地區時，我們稱之為冷平流。這意味著水平方向的溫度輸送。
  • 從流體力學的角度，這是一個 物質傳輸 (material transport) 的過程。冷空氣團具有較低的溫度和較高的密度（在相同壓力下），它會像一股「流體」一樣，擠壓、取代原來的暖空氣。

• 輻射冷卻的加劇：

  • 當寒冷、乾燥的空氣團抵達台灣時，通常伴隨著晴朗的天氣（因為冷空氣團本身多為高壓系統）。
  • 在晴朗無雲的夜晚，地面會強烈地向外輻射熱量，這個過程稱為 輻射冷卻。
  • 如果地面溫度已經很低，並且有冷空氣補充，輻射冷卻會進一步加劇地表和近地面空氣的降溫。這類似於一個表面（地面）與周圍流體（大氣）之間的熱交換過程，且由於流體溫度低，熱量更容易從地面流失。

• 地形效應（盆地效應）：

  • 台灣島的地形（中央山脈）會影響冷空氣的擴散。
  • 當冷空氣越過中央山脈時，會在迎風坡堆積，而在背風坡形成「焚風」現象（但在此情況下，更可能是冷空氣在山脈阻擋下，在平原或盆地（如台北盆地）內堆積，形成 冷空氣滯留）。