108 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《流體力學》

本題主要考察對環流量（Circulation）概念的理解，以及 Kelvin Circulation Theorem 的應用。

核心觀念：
環流量（Circulation）定義為速度向量場沿著一封閉曲線的線積分，$\Gamma = \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}$。它代表了封閉曲線內流體的總體旋轉趨勢。Kelvin Circulation Theorem 描述了在無黏性、無外力作用下，環流量隨時間的變化率。

解題步驟：

1. 環流量的變化率方程式：
   在斜壓流體中，環流量 $\Gamma$ 隨時間的變化率可以由以下關係式給出（此為一般形式，需進一步推導或引用）：
   $\frac{d\Gamma}{dt} = \oint_C \frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot d\mathbf{l} + \oint_C \mathbf{v} \cdot \frac{d(d\mathbf{l})}{dt}$
   考慮一個固定在空間中的封閉曲線 $C$。如果我們考慮的是跟隨流體質點移動的曲線（Lagrangian 描述），則 $\frac{d\mathbf{l}}{dt} = \mathbf{v}$，這會產生額外的體積項。然而，題目提到「若在固定點觀察」，這暗示我們關注的是沿著固定空間曲線的積分，而不是跟隨流體質點的曲線。

   更直接地，我們從渦度（vorticity）的演化方程來考慮環流量的變化。渦度 $\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$。環流量與渦度的關係為 $\Gamma = \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}$，根據 Stokes' Theorem，$\Gamma = \int_S (\nabla \times \mathbf{v}) \cdot d\mathbf{A} = \int_S \boldsymbol{\omega} \cdot d\mathbf{A}$，其中 $S$ 是由曲線 $C$ 所圍成的任意曲面。

   渦度演化方程（考慮斜壓性、黏性、外力）的一般形式為：
   $\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = (\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla)\mathbf{v} - \boldsymbol{\omega}(\nabla \cdot \mathbf{v}) + (\nabla \times (\mathbf{F}_{ext}/\rho)) + \nabla(1/\rho) \times \nabla p + \nu \nabla^2 \boldsymbol{\omega}$
   其中：

   • $\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}$ 是物質導數，表示渦度隨流體質點的變化。
   • $(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla)\mathbf{v}$ 是渦度的伸展（stretching）。
   • $-\boldsymbol{\omega}(\nabla \cdot \mathbf{v})$ 是由於體積壓縮或膨脹導致的渦度變化。
   • $\nabla \times (\mathbf{F}_{ext}/\rho)$ 是外力（如重力）引起的渦度變化。
   • $\nabla(1/\rho) \times \nabla p$ 是由於斜壓性（density gradient 垂直於 pressure gradient）引起的渦度產生。
   • $\nu \nabla^2 \boldsymbol{\omega}$ 是黏性擴散（viscous diffusion）。

   若我們考慮的是固定空間曲線 $C$ 的環流量變化，則其變化率與通過該曲線的渦通量（flux of vorticity）的變化率有關。
   $\frac{d\Gamma}{dt} = \frac{d}{dt} \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}$
   如果我們將曲線 $C$ 視為一個跟隨流體移動的微小區域的邊界，那麼環流量的變化率 $\frac{d\Gamma}{dt}$ 可以寫成：
   $\frac{d\Gamma}{dt} = \int_S \left( \frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t} + \nabla \cdot (\boldsymbol{\omega} \mathbf{v}) \right) \cdot d\mathbf{A}$
   使用連續性方程 $\nabla \cdot \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt}$，以及 $\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t} + \nabla \cdot (\boldsymbol{\omega} \mathbf{v}) = \frac{D\boldsymbol{\omega}}{Dt} - \boldsymbol{\omega}(\nabla \cdot \mathbf{v})$，我們得到
   $\frac{d\Gamma}{dt} = \int_S \frac{D\boldsymbol{\omega}}{Dt} \cdot d\mathbf{A} - \int_S \boldsymbol{\omega} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d\mathbf{A}$
   其中 $\frac{D\boldsymbol{\omega}}{Dt}$ 是渦度的物質導數。

   在無黏性 ($\nu=0$)、無外力 ($\mathbf{F}_{ext}=0$) 的情況下，渦度演化方程簡化為：

本題考察對質量守恆方程（連續性方程）的理解，特別是物質導數（material derivative）與局部變化率及對流項的關係。

核心觀念：
質量守恆是流體力學中最基本的定律之一。它表明在一個封閉系統中，質量既不會被創造也不會被毀滅。在流體力學中，這通常用連續性方程（Continuity Equation）來表達。

解題步驟：

1. 質量守恆方程 (Continuity Equation)：
   給定的第一個方程式是質量守恆的微分形式：
   $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$
   這個方程式表達了在一個給定的體積內，密度的局部變化率 ($\frac{\partial \rho}{\partial t}$) 和通過該體積邊界的質量淨通量 ($\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})$) 之間必須相互抵消，以確保總質量不變。

   • $\frac{\partial \rho}{\partial t}$：局部密度變化率 (Local Rate of Change of Density)
     這一項表示在一個固定的空間點上，流體密度隨時間的變化率。如果一個點的密度在增加，表示有更多的質量流入該點；如果密度在減少，表示有質量從該點流出。

     • 物理意義：描述了隨時間推移，空間中某一點的流體密度如何改變。

   • $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})$：質量淨通量 (Net Mass Flux)
     這是質量通量密度向量 $\mathbf{q} = \rho \mathbf{v}$ 的散度。它描述了單位體積內，質量從該點向外淨流出的速率。

     • $\rho \mathbf{v}$ 是質量通量向量，表示單位時間單位面積通過的質量（通量）。
     • $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})$ 的正值表示從該點向外淨流出質量；負值表示淨流入。
     • 物理意義：描述了質量在空間中的對流（transport）情況。

   質量守恆的意義：
   方程式 $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$ 表明，在任何給定的體積內，如果單位時間內有質量淨流入（即 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) < 0$），那麼該體積內的平均密度必須隨時間增加（即 $\frac{\partial \rho}{\partial t} > 0$）；反之，如果質量淨流出（$\nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) > 0$），則平均密度必須隨時間減少（$\frac{\partial \rho}{\partial t} < 0$）。這正是質量守恆定律的體現。

2. 物質導數 (Material Derivative)：
   給定的第二個方程式是物質導數的定義：
   $\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \rho$
   物質導數，也稱為總導數（total derivative）或實體導數（substantial derivative），描述了跟隨流體質點運動的觀察者所測量到的物理量隨時間的變化率。

   • $\frac{d\rho}{dt}$：物質密度變化率 (Material Rate of Change of Density)
     這一項表示一個特定的流體質點（或一團流體）的密度隨時間的變化率。這個變化率包含了該質點由於局部環境變化而引起的密度改變，以及由於質點自身移動到密度不同的區域而引起的密度改變。

     • 物理意義：描述了流體中的一個特定「標記」或「團塊」的密度如何隨時間演變。

   • $\frac{\partial \rho}{\partial t}$：局部密度變化率 (Local Rate of Change of Density)
     如前所述，這是固定在空間某一點上的密度隨時間的變化率。

   • $\mathbf{v} \cdot \nabla \rho$：對流密度變化率 (Convective Rate of Change of Density)
     這一項描述了由於流體質點運動而引起的密度變化。它表示流體速度 $\mathbf{v}$ 與密度梯度 $\nabla \rho$ 的點積。

     • 如果流體質點從密度較高的區域移動到密度較低的區域 ($\mathbf{v}$ 和 $\nabla \rho$ 方向相反)，則 $\mathbf{v} \cdot \nabla \rho < 0$，這會導致該質點的密度下降。
     • 如果流體質點從密度較低的區域移動到密度較高的區域 ($\mathbf{v}$ 和 $\nabla \rho$ 方向相同)，則 $\mathbf{v} \cdot \nabla \rho > 0$，這會導致該質點的密度上升。
     • 物理意義：描述了由於流體運動（對流）導致的密度變化。

本題考察二維極座標下的流場分析，包括流函數、速度位的計算，以及渦度、環流量的概念及其相互關係，並應用 Stokes' Theorem。

核心觀念：

• 二維極座標下的速度分量與流函數、速度位的關係。
• 渦度（vorticity）的定義與計算。
• 環流量（circulation）的定義與計算。
• Stokes' Theorem：$\oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} = \int_S (\nabla \times \mathbf{v}) \cdot d\mathbf{A}$。

解題步驟：

(1) 流函數與速度位的計算與分佈

• 速度分量：
  題目給定的速度分量是切線速度 $V_\theta$。在二維極座標 $(r, \theta)$ 下，速度向量 $\mathbf{v} = v_r \hat{\mathbf{r}} + v_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}$。
  根據題目，我們有 $v_r = 0$。
  $v_\theta = \begin{cases} \frac{R_0 v_0}{r}, & r \le R_0 \\ \frac{R_0 v_0}{r}, & r \ge R_0 \end{cases}$
  注意：題目給的表達式在 $r \le R_0$ 和 $r \ge R_0$ 都是 $\frac{R_0 v_0}{r}$。這意味著速度分量 $v_\theta$ 在整個空間中都遵循這個形式。這實際上描述了一個自由渦旋（free vortex）的速度場，其中 $v_0$ 是 $r=R_0$ 時的切向速度。
  所以，
  $v_r = 0$
  $v_\theta = \frac{R_0 v_0}{r}$

• 流函數 (Stream Function)：
  對於二維流場，流函數 $\psi(r, \theta)$ 定義如下：
  $v_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}$
  $v_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$
  由於 $v_r = 0$，我們有 $\frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = 0$，這意味著 $\psi$ 不依賴於 $\theta$，即 $\psi = \psi(r)$。
  接著，利用 $v_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$：
  $\frac{R_0 v_0}{r} = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$
  對上式積分以求解 $\psi(r)$：
  $\psi(r) = -\int \frac{R_0 v_0}{r} dr = -R_0 v_0 \ln(r) + C$
  其中 $C$ 是積分常數。我們可以令 $C=0$（通常我們關心流函數的相對值）。
  $\psi(r) = -R_0 v_0 \ln(r)$

  • 流函數分佈：
    流函數 $\psi(r) = -R_0 v_0 \ln(r)$。
    • 當 $r \to 0$ 時，$\ln(r) \to -\infty$，所以 $\psi(r) \to +\infty$。
    • 當 $r \to \infty$ 時，$\ln(r) \to +\infty$，所以 $\psi(r) \to -\infty$。
    • 流函數的值隨 $r$ 的增大而減小。
    • 流線是 $\psi$ 值恆定的曲線。由於 $\psi$ 只依賴於 $r$，這意味著流線是圓形。
    • 由於 $v_\theta$ 是正值（假設 $v_0 > 0$），流體是順時針旋轉的。流函數的定義 $v_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$ 意味著，如果 $\psi$ 隨 $r$ 增大而減小，則 $v_\theta$ 為正。這與順時針旋轉一致。

• 速度位 (Velocity Potential)：
  速度位 $\phi(r, \theta)$ 存在於無旋流場中。對於無旋流場，$\nabla \times \mathbf{v} = \mathbf{0}$，即渦度為零。
  速度位定義為 $\mathbf{v} = \nabla \phi$。
  在極座標下：
  $v_r = \frac{\partial \phi}{\partial r}$
  $v_\theta = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}$
  我們有 $v_r = 0$，所以 $\frac{\partial \phi}{\partial r} = 0$。這意味著 $\phi$ 不依賴於 $r$，即 $\phi = \phi(\theta)$。
  接著，利用 $v_\theta = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}$：
  $\frac{R_0 v_0}{r} = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}$
  $\frac{\partial \phi}{\partial \theta} = R_0 v_0$
  積分以求解 $\phi(\theta)$：
  $\phi(\theta) = \int R_0 v_0 d\theta = R_0 v_0 \theta + D$
  其中 $D$ 是積分常數。通常令 $D=0$。
  $\phi(\theta) = R_0 v_0 \theta$
  但是，我們需要檢查這個流場是否是無旋流場。
  在極座標下，二維渦度的計算是：
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} - \frac{\partial v_r}{\partial r}$
  我們有 $v_r = 0$，$v_\theta = \frac{R_0 v_0}{r}$。
  $\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\frac{R_0 v_0}{r}\right) = 0$
  $\frac{\partial v_r}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} (0) = 0$
  所以，
  $\omega_z = \frac{1}{r} (0) - 0 = 0$
  此流場確實是無旋流場！因此速度位存在。

  • 速度位分佈：
    速度位 $\phi(\theta) = R_0 v_0 \theta$。

    • 速度位隨角度 $\theta$ 線性增加。
    • 由於速度位存在，此流場是勢流（potential flow）。

  • 繪圖：

    • 流函數 $\psi(r) = -R_0 v_0 \ln(r)$： 繪製 $\psi$ 隨 $r$ 的曲線。這是一條單調遞減的曲線，在 $r=0$ 處趨於無窮大，在 $r \to \infty$ 時趨於無窮小。流線是同心圓。
    • 速度位 $\phi(\theta) = R_0 v_0 \theta$： 繪製 $\phi$ 隨 $\theta$ 的曲線。這是一條斜率為 $R_0 v_0$ 的直線，在 $\theta=0$ 時為 0，隨 $\theta$ 增加而增加。流線是同心圓。

(2) 渦度與環流量，並討論關係

• 渦度 (Vorticity)：
  我們已經計算過渦度。對於二維極座標下的渦度（垂直於 $r-\theta$ 平面的分量 $\omega_z$）：
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} - \frac{\partial v_r}{\partial r}$
  由於 $v_r = 0$ 且 $v_\theta = \frac{R_0 v_0}{r}$，其中 $v_\theta$ 不依賴於 $\theta$。
  $\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0$
  $\frac{\partial v_r}{\partial r} = 0$
  所以，
  $\omega_z = 0$
  此流場是無旋流場，在任何地方的渦度都為零。

• 環流量 (Circulation)：
  環流量定義為速度向量沿著一個閉合曲線 $C$ 的線積分：$\Gamma = \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}$。

核心觀念

本題考查以特徵尺度進行無因次化，並辨識各物理作用力相對於慣性力的大小。所用特徵量為：

• 長度尺度：$L$
• 速度尺度：$U$
• 時間尺度：$L/U$
• 壓力尺度：$P$
• 重力加速度尺度：$g_0$，通常取 $g_0=|\mathbf g|$

無因次化後，各項前的係數分別代表壓力力、重力與黏滯力相對於慣性力的比例。

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解題方法與變數定義

令星號表示無因次變數：

$$\mathbf x=L\mathbf x^*,\qquad t=\frac{L}{U}t^*,\qquad \mathbf u=U\mathbf u^*,\qquad p=Pp^*,\qquad \mathbf g=g_0\mathbf g^*.$$

由於

$$\nabla=\frac{1}{L}\nabla^*,$$

且

$$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{U}{L}\frac{\partial}{\partial t^*},$$

各項的尺度如下。

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各項尺度

非定常項：

$$\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} = \frac{\partial(U\mathbf u^*)}{\partial[(L/U)t^*]} = \frac{U^2}{L} \frac{\partial\mathbf u^*}{\partial t^*}.$$

對流加速度項：

$$(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u = (U\mathbf u^*)\cdot \left(\frac{1}{L}\nabla^*\right) (U\mathbf u^*) = \frac{U^2}{L} (\mathbf u^*\cdot\nabla^*)\mathbf u^*.$$

壓力梯度項：

$$-\frac{1}{\rho}\nabla p = -\frac{1}{\rho} \left(\frac{1}{L}\nabla^*\right)(Pp^*) = -\frac{P}{\rho L}\nabla^*p^*.$$

重力項：

$$\mathbf g=g_0\mathbf g^*.$$

黏滯項：

$$\nu\nabla^2\mathbf u = \nu \left(\frac{1}{L^2}\nabla^{*2}\right) (U\mathbf u^*) = \frac{\nu U}{L^2} \nabla^{*2}\mathbf u^*.$$

原方程式中慣性項的特徵尺度為 $U^2/L$，因此全式除以 $U^2/L$。

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無因次 Navier–Stokes 方程式

得到

$$\frac{\partial\mathbf u^*}{\partial t^*} + (\mathbf u^*\cdot\nabla^*)\mathbf u^* = -\frac{P}{\rho U^2}\nabla^*p^* + \frac{g_0L}{U^2}\mathbf g^* + \frac{\nu}{UL}\nabla^{*2}\mathbf u^*.$$

定義

$$Eu=\frac{P}{\rho U^2},$$ $$Fr=\frac{U}{\sqrt{g_0L}},$$ $$Re=\frac{UL}{\nu},$$

則無因次方程式可寫成

本題要求解釋五個流體力學中的基本名詞。

核心觀念：
這些名詞涵蓋了流體力學中的基本概念，包括系統與控制體描述、流場特性、流體性質等。

解釋：

(1) Reynolds Transport Theorem (雷諾傳輸定理)

• 定義： 雷諾傳輸定理是連接物質描述（Lagrangian description，跟隨流體質點）和空間描述（Eulerian description，固定觀察點）的關鍵工具。它提供了一個系統（任意形狀的物質團塊）的某個性質（如質量、動量、能量）的變化率，與通過一個固定控制體（control volume）的該性質的淨通量（net flux）和控制體內該性質的變化率之間的關係。
• 物理意義： 該定理表明，一個跟隨流體質點移動的物質系統的某個總量（例如總質量、總動量）的變化率，等於該總量在一個固定空間區域（控制體）內隨時間的變化率，加上該總量通過控制體邊界的淨流出率。
• 數學形式： 對於一個性質 $B$，其在物質系統中的總量為 $\int_{system} b dm$，其中 $b$ 是單位質量所含的性質 $B$。雷諾傳輸定理的數學形式為：
  $\frac{DB_{system}}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} b \rho dV + \int_{CS} b \rho (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) dA$
  其中：
  • $\frac{DB_{system}}{Dt}$ 是系統中性質 $B$ 的總量隨時間的變化率。
  • $CV$ 是控制體（Control Volume）。
  • $CS$ 是控制體表面（Control Surface）。
  • $b$ 是單位質量的性質 $B$。
  • $\rho$ 是密度。
  • $dV$ 是體積微元。
  • $dA$ 是面積微元。
  • $\mathbf{v}$ 是流體速度。
  • $\mathbf{n}$ 是控制體表面的外法向量。
  • $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}$ 是速度的法向分量，表示流體流出控制體的速率。

(2) Stream Function (流函數)

• 定義： 流函數 $\psi$ 是二維流場的一個標量函數，它描述了流場的等值線（流線）的相對位置。它只適用於二維流場，或者三維流場中流體沿特定方向（如 $z$ 方向）無速度分量的特殊情況。
• 物理意義： 在二維極座標 $(r, \theta)$ 下，流函數 $\psi$ 的偏導數與速度分量 $v_r$ 和 $v_\theta$ 的關係是：$v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}$ 和 $v_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$。在直角座標 $(x, y)$ 下，關係是：$v_x = \frac{\partial \psi}{\partial y}$ 和 $v_y = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$。
  流函數的等值線 ($\psi = constant$) 就是流線。流函數的相對值可以用來計算通過兩條流線之間的質量流量。兩條流線之間的質量流量等於它們流函數值之差。
  流函數的引入可以自動滿足連續性方程（質量守恆），因為對於任意二維流場，定義 $\psi$ 使得 $v_x = \frac{\partial \psi}{\partial y}$ 和 $v_y = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$，則 $\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial y \partial x} = 0$，這就是不可壓縮流體的連續性方程。

(3) Reynolds Number (雷諾數)

• 定義： 雷諾數 ($Re$) 是一個無因次參數，用於描述流體流動時慣性力與黏性力之間的相對重要性。
• 物理意義：
  • $Re = \frac{\text{慣性力}}{\text{黏性力}}$