112 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班一般生《流體力學》

核心觀念

本題考察氣溫場中的兩種變化：

• 定點觀測的時間變化：氣象報告指出各地氣溫每小時下降 $2^\circ\mathrm{C}$。
• 隨流體或觀測者移動所感受到的變化：車上溫度計記錄氣溫每小時上升 $5^\circ\mathrm{C}$。

溫度的全導數為

$$\frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{V}\cdot\nabla T$$

其中：

• $\dfrac{dT}{dt}$：隨車移動所測得的氣溫變化率；
• $\dfrac{\partial T}{\partial t}$：固定地點的氣溫變化率；
• $\mathbf{V}\cdot\nabla T$：因空間位置改變所造成的氣溫變化率。

---

解題方法

令 $y$ 軸正方向指向北方，則車速為

$$V_y=100\ \mathrm{km/hr}$$

車上溫度計顯示氣溫每小時上升 $5^\circ\mathrm{C}$，因此

$$\frac{dT}{dt}=5^\circ\mathrm{C/hr}$$

氣象報告指出固定地點的氣溫每小時下降 $2^\circ\mathrm{C}$，所以

$$\frac{\partial T}{\partial t} = -2^\circ\mathrm{C/hr}$$

由於車輛只沿南北方向移動，

$$\frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + V_y\frac{\partial T}{\partial y}$$

代入數值：

本題考驗對流體流動性質（恆穩性、維度、可壓縮性）的判斷，以及計算質點的總加速度。

首先，我們分析流場的性質：

1. 恆穩性 (Steady Flow):
   一個流動是恆穩的，若其速度場不隨時間變化，即 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0}$。
   給定的速度場為 $\vec{v} = u\hat{i} + v\hat{j}$，其中
   $u(x, y, t) = x^2y^2 + \frac{x}{t} - 2xy - 1$
   $v(x, y, t) = x^2y - \frac{y}{t}$
   我們需要計算 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial t}$。
   $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (x^2y^2 + \frac{x}{t} - 2xy - 1) = x \cdot (-\frac{1}{t^2}) = -\frac{x}{t^2}$
   $\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (x^2y - \frac{y}{t}) = y \cdot (-\frac{1}{t^2}) = -\frac{y}{t^2}$
   由於 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial t}$ 普遍不為零（除非 $x=0$ 或 $y=0$ 或 $t \to \infty$），速度場隨時間變化。
   因此，這個流動不是恆穩的 (unsteady)。

2. 維度 (Dimensionality):
   流動的維度由速度場中獨立的空間變數決定。
   速度場 $\vec{v} = u\hat{i} + v\hat{j}$，其中 $u$ 和 $v$ 僅是 $x$ 和 $y$ 的函數（以及時間 $t$）。
   流場的描述只需要 $x$ 和 $y$ 兩個空間座標。
   儘管題目中提到了 $z$ 坐標，但速度向量 $\vec{v}$ 的分量 $u$ 和 $v$ 並不依賴於 $z$。
   通常，如果速度向量的分量不依賴於某個空間變數，則該維度上的速度分量為零。在這個題目中，速度向量 $\vec{v}$ 只有 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 分量，沒有 $\hat{k}$ 分量。這意味著 $w=0$。
   如果 $w=0$ 且 $u, v$ 不依賴於 $z$，那麼這是一個二維流動。
   題目沒有給出 $w$ 的定義，但給定的 $\vec{v}$ 只有 $x,y$ 分量。如果我們嚴格按照給定的 $\vec{v}$，它是一個在 $xy$ 平面上的速度場。
   因此，這是二維流動。

3. 可壓縮性 (Compressibility):
   一個流動是不可壓縮的，若其質量守恆方程（連續性方程）滿足 $\nabla \cdot \vec{v} = 0$。
   對於三維流動，連續性方程為 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$。
   在這個問題中，我們已經確定是二維流動，且 $w=0$（因為速度向量只包含 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 分量）。所以連續性方程簡化為 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$。
   我們計算 $u$ 和 $v$ 對 $x$ 和 $y$ 的偏導數：
   $u = x^2y^2 + \frac{x}{t} - 2xy - 1$
   $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2y^2 + \frac{x}{t} - 2xy - 1) = 2xy^2 + \frac{1}{t} - 2y$
   $v = x^2y - \frac{y}{t}$
   $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2y - \frac{y}{t}) = x^2 - \frac{1}{t}$
   計算散度：
   $\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = (2xy^2 + \frac{1}{t} - 2y) + (x^2 - \frac{1}{t}) = 2xy^2 - 2y + x^2$
   由於 $\nabla \cdot \vec{v} = 2xy^2 - 2y + x^2$ 普遍不為零（除非在特定點），所以這個流動是可壓縮流。

4. 計算全加速度 (Total Acceleration):
   質點的總加速度（或稱實質加速度）由下式給出：
   $\vec{a} = \frac{D\vec{v}}{Dt} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$
   其中 $(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$ 是對流加速度 (convective acceleration)。
   對於二維流動，其分量形式為：
   $a_x = \frac{Du}{Dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}$
   $a_y = \frac{Dv}{Dt} = \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}$

   我們已經計算了：
   $\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{x}{t^2}$
   $\frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{y}{t^2}$
   $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^2 + \frac{1}{t} - 2y$
   $\frac{\partial v}{\partial y} = x^2 - \frac{1}{t}$

   我們還需要計算 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$：
   $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2y^2 + \frac{x}{t} - 2xy - 1) = 2x^2y - 2x$
   $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2y - \frac{y}{t}) = 2xy$

   題目要求在 $(x,y)=(4,-2)$ 計算全加速度。但是，時間 $t$ 並未給定。
   這裡有一個問題：題目沒有給定時間 $t$ 的值。
   假設題目有遺漏，或者我們需要將結果表示為 $t$ 的函數。
   或者，有時候題目會假設 $t=1$ 作為一個標準時間。
   讓我們假設 $t$ 是一個給定的值，我們將結果表達為 $t$ 的函數。
   如果 $t$ 沒有給定，我們必須假設它是一個變數。

   在 $(x,y)=(4,-2)$ 處，我們有：
   $u = (4)^2(-2)^2 + \frac{4}{t} - 2(4)(-2) - 1 = 16 \cdot 4 + \frac{4}{t} + 16 - 1 = 64 + \frac{4}{t} + 15 = 79 + \frac{4}{t}$
   $v = (4)^2(-2) - \frac{-2}{t} = 16 \cdot (-2) + \frac{2}{t} = -32 + \frac{2}{t}$

   偏導數在 $(x,y)=(4,-2)$ 的值：
   $\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{4}{t^2}$

本題考驗對質量守恆方程（連續性方程）不同形式的理解及其各項的物理意義。

這三個方程式都是質量守恆在不同框架下的表達。

第一個方程式：
$\frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V_{CV}} \rho \, dV + \iint_{CS} \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS = 0$
這是質量守恆方程的積分形式 (Integral Form)，適用於一個控制體積 (Control Volume, CV)。

• $\iiint_{V_{CV}} \rho \, dV$：這是控制體積 $V_{CV}$ 內總質量。
• $\frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V_{CV}} \rho \, dV$：這是控制體積內總質量的時間變化率。物理意義是：控制體積內累積的質量隨時間的變化。如果此項為零，則表示控制體積內的總質量不變。
• $\iint_{CS} \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS$：這是通過控制體積表面 (Control Surface, CS) 的淨質量流率（淨質量通量）。
  • $\rho \vec{v}$ 是質量的流動通量（單位面積單位時間的質量流率）。
  • $\vec{n}$ 是控制體積外法向量。
  • $\rho \vec{v} \cdot \vec{n}$ 是通過表面元 $dS$ 的質量流率，正值表示質量流出控制體積，負值表示質量流入。
  • $\iint_{CS} \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS$ 是所有表面元上質量流率的總和，即通過控制體積表面的淨質量流出率。
• $= 0$：表示總質量守恆。沒有質量的產生或湮滅。

物理意義： 控制體積內總質量的時間變化率，等於通過控制體積表面的淨質量流入率（因為方程右邊是 0，所以淨流出率為負值，即淨流入率為正值）。換句話說，進入控制體積的質量減去離開控制體積的質量，等於控制體積內總質量的增加量。

第二個方程式：
$\frac{d\rho}{dt} = -\rho \nabla \cdot \vec{v}$
這是質量守恆方程的微分形式 (Differential Form)，通常是針對一個流體質點 (fluid particle) 或在歐拉視角 (Eulerian perspective) 下推導出來的。
這個形式假設了流場是連續且可微的。

• $\frac{d\rho}{dt}$：這是流體質點的密度隨時間的實質變化率 (material derivative)。物理意義是：一個特定的流體質點，隨著它在空間中移動，其自身的密度如何隨時間改變。
• $-\rho \nabla \cdot \vec{v}$：這是密度變化率的來源項。
  • $\rho$：流體密度。
  • $\nabla \cdot \vec{v}$：速度場的散度 (divergence)。
    • 若 $\nabla \cdot \vec{v} > 0$，表示流體在該點有擴張的趨勢（體積增加）。
    • 若 $\nabla \cdot \vec{v} < 0$，表示流體在該點有壓縮的趨勢（體積減小）。
    • 若 $\nabla \cdot \vec{v} = 0$，表示流體在該點體積不變，即不可壓縮流。
  • $-\rho \nabla \cdot \vec{v}$：這個項的物理意義是，由於流體體積的膨脹或收縮，導致單位體積內的質量如何變化。如果流體膨脹 ($\nabla \cdot \vec{v} > 0$)，則在該點的密度會降低（因為相同質量的體積變大了），所以 $-\rho \nabla \cdot \vec{v}$ 是負的。如果流體壓縮 ($\nabla \cdot \vec{v} < 0$)，則密度會升高，所以 $-\rho \nabla \cdot \vec{v}$ 是正的。

物理意義： 任何一個流體質點的密度隨時間的變化率，等於該質點體積變化所引起的密度變化率。對於不可壓縮流 ($\nabla \cdot \vec{v} = 0$)，則 $\frac{d\rho}{dt} = 0$，表示質點的密度不變。

第三個方程式：
$\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \rho$

核心觀念

本題結合以下流體力學概念：

1. 環流量定義
   $\Gamma=\oint_C\vec v\cdot d\vec l$

2. 正壓與斜壓流體的區別。

3. Kelvin 環流定理及斜壓項。

4. Stokes' Theorem：

$$\oint_C\vec v\cdot d\vec l =\iint_S(\nabla\times\vec v)\cdot d\vec A$$

其中渦度定義為
$\vec\omega=\nabla\times\vec v.$

本題非選擇題，無選項分析。

---

(a) 正壓流體與環流方程式

正壓流體的定義

若流體的壓力只由密度決定，即
$p=p(\rho),$

則稱為正壓流體（barotropic fluid）。此時壓力面與密度面重合，因此
$\nabla p\parallel\nabla\rho.$

正壓流體的典型例子包括：

• 密度為常數的不可壓縮流體；
• 具有固定狀態方程的均勻熱力學流體。

壓力項的化簡

由於 $\rho$ 是 $p$ 的函數，

$$\frac{dp}{\rho}$$

可寫成某一個純量函數的全微分。定義
$\Pi(p)=\int^p\frac{dp'}{\rho(p')},$

則
$d\Pi=\frac{dp}{\rho}.$

因此沿著封閉曲線 $C$ 積分時，

$$\oint_C\frac{dp}{\rho} =\oint_Cd\Pi=0.$$

若重力為保守力，例如均勻重力場
$\vec g=-\nabla\Phi_g,$

則
$\oint_C\vec g\cdot d\vec l=0.$

代回題目給定的方程式，可得

$$\boxed{ \frac{d\Gamma}{dt} = \iint_S\frac{\partial\vec\omega}{\partial t}\cdot d\vec A }$$

題目原式將面積向量寫成 $d\vec A$；嚴格而言，面積積分中的向量內積應寫成

$$\iint_S\frac{\partial\vec\omega}{\partial t}\cdot d\vec A.$$

物理意義

在正壓流體中，壓力梯度不會單獨造成封閉流體迴路的環流改變，因為壓力功在一個封閉路徑上的總和為零。保守重力也不會造成環流改變。

因此，環流量的變化只與控制面上渦度通量的時間變化有關。若同時滿足：

• 流體為正壓流體；
• 重力為保守力；
• 沒有黏性摩擦或其他非保守力；
• 控制曲線依照適當的流體運動定義，

則可得到 Kelvin 環流守恆的結果：
$\frac{d\Gamma}{dt}=0.$

也就是說，若初始環流為零，之後仍維持零環流。

---

(b) 斜壓流體與環流改變機制

斜壓流體的定義

若壓力不是密度的單值函數，即
$p\neq p(\rho),$

則稱為斜壓流體（baroclinic fluid）。

其特徵是壓力梯度與密度梯度不平行：
$\nabla p\times\nabla\rho\neq\vec 0.$

在斜壓流體中，等壓面與等密度面不重合。

壓力項不再為零

利用 Stokes' Theorem，

$$\oint_C\frac{dp}{\rho} = \iint_S \nabla\times\left(\frac{\nabla p}{\rho}\right) \cdot d\vec A.$$

因為

$$\nabla\times\nabla p=0,$$

所以

$$\nabla\times\left(\frac{\nabla p}{\rho}\right) = \nabla\left(\frac{1}{\rho}\right)\times\nabla p.$$

又因為

$$\nabla\left(\frac{1}{\rho}\right) =-\frac{\nabla\rho}{\rho^2},$$

因此

$$\nabla\times\left(\frac{\nabla p}{\rho}\right) = \frac{\nabla p\times\nabla\rho}{\rho^2}.$$

故

$$\boxed{ \oint_C\frac{dp}{\rho} = \iint_S \frac{\nabla p\times\nabla\rho}{\rho^2} \cdot d\vec A }$$

其正負方向取決於曲線方向與面積向量方向；物理重點是該項在斜壓流體中一般不為零。

固定點觀察時，環流改變的條件

依照題目給定方程式，

$$\frac{d\Gamma}{dt} = \iint_S\frac{\partial\vec\omega}{\partial t}\cdot d\vec A + \oint_C\frac{dp}{\rho} + \oint_C\vec g\cdot d\vec l.$$

因此，固定位置的環流量會因以下機制改變：

1. 斜壓效應

若
$\nabla p\times\nabla\rho\neq\vec 0,$

則

$$\oint_C\frac{dp}{\rho}\neq0.$$

這代表壓力梯度與密度梯度不平行，會產生斜壓渦度，進而改變環流量。這是斜壓流體最重要的環流生成機制。

2. 渦度隨時間改變

若控制面內的渦度分布隨時間改變，

$$\frac{\partial\vec\omega}{\partial t}\neq0,$$

則

$$\iint_S\frac{\partial\vec\omega}{\partial t}\cdot d\vec A$$

會使環流量改變。

這可能由下列物理過程造成：

• 非均勻加熱；
• 流體密度重新分布；
• 剪切流發展；
• 邊界層形成；
• 渦旋生成與增強；
• 黏性擴散造成渦度重新分布。

3. 非保守體力

若體力不是保守力，則

$$\oint_C\vec g\cdot d\vec l\neq0.$$

在一般重力場中，$\vec g$ 通常可視為保守力，因此此項為零。但若存在電磁力、外加旋轉力、非均勻外力等非保守作用，便能直接改變環流。

4. 黏性與邊界作用

題目公式未明列黏性項，但真實流體的黏性會透過速度梯度與邊界摩擦改變渦度，特別是在固體邊界附近。海洋、陸地表面與大氣邊界層中的摩擦，均可能造成環流衰減或重新分配。

---

(c) 利用環流方程式說明海陸風

海陸風的根本原因是陸地與海洋受熱、冷卻速率不同。

白天：海風

白天太陽加熱時，陸地的比熱較小，升溫速度比海洋快。陸地上方空氣受熱膨脹並上升，使近地面陸地上方形成相對低壓；海面上方空氣較冷、較重，近地面形成相對高壓。

因此近地面產生由海向陸的壓力梯度力，形成海風：

$$\text{海洋}\longrightarrow\text{陸地}.$$

本題考驗對層流 (Laminar Flow)、紊流 (Turbulent Flow) 和動力相似性 (Dynamical Similarity) 等基本概念的理解。

(a) Laminar Flow 及 Turbulent Flow 的定義：

• Laminar Flow (層流):
  層流是一種流動狀態，其中流體質點沿著平滑、連續的軌跡（稱為流線）運動，並且相鄰的流體層之間只有分子擴散引起的動量和能量傳遞。在層流中，流體質點的運動是高度有序的，沒有顯著的隨機攪動或渦旋結構。流體的宏觀運動可以被視為是許多平行流體層的滑動。層流通常發生在低流速、高黏度或小尺度通道中。

• Turbulent Flow (紊流):
  紊流是一種高度無序、隨機且攪動的流動狀態。在紊流中，流體質點的運動軌跡是雜亂無章的，並且存在著明顯的渦旋結構和隨機的脈動。動量和能量的傳遞主要通過對流（由於流體質點的混合）來實現，其效率遠高於分子擴散。紊流通常發生在高流速、低黏度或大尺度流動中。紊流具有自發產生和維持渦旋結構的特性。

(b) 以 Reynolds Number 區分 Laminar Flow 及 Turbulent Flow：

Reynolds Number (雷諾數, Re):
雷諾數是一個無因次參數，用來描述流體慣性力與黏性力之比。它對於判斷流動是層流還是紊流至關重要。
$Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu}$
其中：

• $\rho$ 是流體密度 (kg/m³)。
• $v$ 是特徵流速 (m/s)。
• $L$ 是特徵長度 (m)，例如管道直徑、物體尺寸等。
• $\mu$ 是流體動力黏度 (Pa·s 或 kg/(m·s))。
• $\nu = \mu/\rho$ 是流體運動黏度 (m²/s)。

區分標準 (典型的例子，可能因具體幾何形狀和邊界條件而略有差異)：

• 層流 (Laminar Flow):

  • 對於圓管內流動，當 $Re < 2300$ 時，流動通常是層流。
  • 對於平板邊界層流動，通常在 $Re \le 5 \times 10^5$ 時為層流。

• 過渡流 (Transitional Flow):

  • 對於圓管內流動，當 $2300 < Re < 4000$ 時，流動處於層流向紊流過渡的階段，可能表現出層流和紊流的混合特徵，且不穩定。

• 紊流 (Turbulent Flow):

  • 對於圓管內流動，當 $Re > 4000$ 時，流動通常是紊流。
  • 對於平板邊界層流動，通常在 $Re > 5 \times 10^5$ 時為紊流。

總結： 雷諾數越高，慣性力相對於黏性力的作用越強，流動越容易變得不穩定和紊亂，傾向於發展成紊流。反之，雷諾數越低，黏性力越能抑制流體的隨機運動，流動傾向於保持層流狀態。

(c) 兩個流體系統具有動力相似性 (Dynamical Similarity) 的條件：

動力相似性是指兩個不同的流體系統（例如，一個實驗室模型和一個實際的工程設備，或兩個不同條件下的真實流動）在流動行為上具有相似性，使得可以通過對一個系統（模型）的觀測來預測另一個系統（原型）的行為。

要使兩個流體系統具有動力相似性，必須滿足以下兩個條件：

1. 幾何相似性 (Geometric Similarity):
   兩個系統的幾何形狀必須相似。這意味著所有線性的尺寸比例都必須相同。對於模型和原型，它們的邊界形狀必須相似，並且所有相關的長度尺度（如特徵長度 $L$）的比值必須恆定。

本題要求證明速度差的表達式，並解釋速度對空間偏導數的數學和物理意義。

首先，我們需要理解題目給出的表達式。
題目說 $d\vec{v}$ 是「$(X_0, Y_0)$ 至 $(X_0 + \delta X, Y_0 + \delta Y)$ 之位置向量」。這句話有點混淆。
通常，我們指的是從點 $P_1 = (X_0, Y_0)$ 到點 $P_2 = (X_0 + \delta X, Y_0 + \delta Y)$ 的位移向量，記為 $d\vec{r}$ 或 $\Delta\vec{r}$。
$d\vec{r} = (X_0 + \delta X - X_0)\hat{i} + (Y_0 + \delta Y - Y_0)\hat{j} = \delta X \hat{i} + \delta Y \hat{j}$
題目給出的表達式是：
$d\vec{v} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial x} dX + \frac{\partial \vec{v}}{\partial y} dY$
這裡的 $dX$ 和 $dY$ 應該是指位移的分量，即 $dX = \delta X$ 和 $dY = \delta Y$。
所以，題目實際上是想表達：
$\Delta\vec{v} = \vec{v}(X_0+\delta X, Y_0+\delta Y) - \vec{v}(X_0, Y_0)$
並且證明這個速度差 $\Delta\vec{v}$ 可以表示為：
$\Delta\vec{v} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}(X_0, Y_0) \delta X + \frac{\partial \vec{v}}{\partial y}(X_0, Y_0) \delta Y$
這裡的 $d\vec{v}$ 應該是 $\Delta\vec{v}$，而 $dX$ 應為 $\delta X$，$dY$ 應為 $\delta Y$。
我們將使用 $\Delta\vec{v}$ 來表示速度差，$\delta X$ 和 $\delta Y$ 來表示位移。

證明：
假設速度場 $\vec{v}(x, y)$ 是光滑且可微的。
我們考慮速度在點 $(X_0, Y_0)$ 和點 $(X_0 + \delta X, Y_0 + \delta Y)$ 之間的變化。
根據泰勒展開 (Taylor Expansion) 到一階近似，對於一個向量函數 $\vec{v}(x,y)$，其在點 $(X_0, Y_0)$ 附近的值可以表示為：
$\vec{v}(X_0+\delta X, Y_0+\delta Y) \approx \vec{v}(X_0, Y_0) + \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}(X_0, Y_0) \delta X + \frac{\partial \vec{v}}{\partial y}(X_0, Y_0) \delta Y$
因此，速度差 $\Delta\vec{v} = \vec{v}(X_0+\delta X, Y_0+\delta Y) - \vec{v}(X_0, Y_0)$ 為：
$\Delta\vec{v} \approx \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}(X_0, Y_0) \delta X + \frac{\partial \vec{v}}{\partial y}(X_0, Y_0) \delta Y$
如果我們忽略高階項，這個近似就是一個精確的表達式，特別是在 $\delta X$ 和 $\delta Y$ 非常小時。
在數學上，這個表達式是從多元函數的微分定義推導出來的。對於一個向量函數 $\vec{v}(x,y)$，其全微分 $d\vec{v}$ 可以寫成：
$d\vec{v} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial x} dx + \frac{\partial \vec{v}}{\partial y} dy$
在這裡，$dx$ 和 $dy$ 是自變數的微分，而 $d\vec{v}$ 是函數的微分。
在我們的問題中，我們考慮的是離散的位移 $\delta X$ 和 $\delta Y$，以及由此產生的速度差 $\Delta\vec{v}$。當 $\delta X$ 和 $\delta Y$ 足夠小時，這個表達式是準確的。

數學上 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial y}$ 的意義：
$\vec{v}(x, y) = u(x, y)\hat{i} + v(x, y)\hat{j}$ 是一個二維向量場。

• $\frac{\partial \vec{v}}{\partial x}$ 是速度向量場 $\vec{v}$ 對於空間變數 $x$ 的偏導數。
  $\frac{\partial \vec{v}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (u\hat{i} + v\hat{j}) = \frac{\partial u}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial v}{\partial x}\hat{j}$
  這是一個向量。在數學上，它代表了當 $x$ 方向發生單位變化時，速度向量 $\vec{v}$ 的變化率。它描述了速度場在 $x$ 方向上的「梯度」。
• $\frac{\partial \vec{v}}{\partial y}$ 是速度向量場 $\vec{v}$ 對於空間變數 $y$ 的偏導數。
  $\frac{\partial \vec{v}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (u\hat{i} + v\hat{j}) = \frac{\partial u}{\partial y}\hat{i} + \frac{\partial v}{\partial y}\hat{j}$
  這也是一個向量。它代表了當 $y$ 方向發生單位變化時，速度向量 $\vec{v}$ 的變化率。它描述了速度場在 $y$ 方向上的「梯度」。

這兩個向量 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial y}$ 可以組成一個矩陣，稱為 Jacobian 矩陣（對於二維向量場）：
$J = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}$
然而，題目給出的表達式是 $d\vec{v} = (\frac{\partial \vec{v}}{\partial x}) \delta X + (\frac{\partial \vec{v}}{\partial y}) \delta Y$。這表明 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial y}$ 是作為向量本身在起作用，而不是作為矩陣的行或列。
這個形式是正確的，它描述了速度向量的變化如何由空間的微小變化引起。

物理上 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial y}$ 的意義：
在流體力學中，這些偏導數描述了速度場的空間變化特性，與流體的變形和旋轉有關。
考慮一個小的流體導數，其初始位置為 $(x, y)$。經過微小時間 $\Delta t$ 後，它的位置變為 $(x + u\Delta t, y + v\Delta t)$。
現在考慮兩個相鄰的流體質點，它們之間的初始相對位置向量是 $\delta\vec{r} = \delta x \hat{i} + \delta y \hat{j}$。
經過時間 $\Delta t$，這兩個質點的速度分別為 $\vec{v}(x, y)$ 和 $\vec{v}(x+\delta x, y+\delta y)$。
它們的速度差 $\Delta\vec{v}$ 可以用泰勒展開表示：
$\Delta\vec{v} \approx \frac{\partial \vec{v}}{\partial x} \delta x + \frac{\partial \vec{v}}{\partial y} \delta y$
這正是題目要求證的表達式。

物理意義：

• $\frac{\partial \vec{v}}{\partial x}$：描述了速度場在 $x$ 方向上的變化率。

  • $\frac{\partial u}{\partial x}$：描述了流體在 $x$ 方向上的伸展或壓縮率（體積變化的比例）。
  • $\frac{\partial v}{\partial x}$：描述了速度向量的 $y$ 分量隨 $x$ 的變化率。這個項與剪切變形有關。

• $\frac{\partial \vec{v}}{\partial y}$：描述了速度場在 $y$ 方向上的變化率。

  • $\frac{\partial u}{\partial y}$：描述了速度向量的 $x$ 分量隨 $y$ 的變化率。這個項也與剪切變形有關。
  • $\frac{\partial v}{\partial y}$：描述了流體在 $y$ 方向上的伸展或壓縮率。

這兩個向量 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial y}$ 共同決定了流體微元在空間中的變形。

本題考驗對極座標下自由渦旋的流函數、速度勢函數、渦度及環流量的計算。

1. 自由渦旋 (Free Vortex) 的速度場：
題目給定自由渦旋的速度分量為：
徑向速度 $v_r = 0$
環向速度 $v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi r}$
其中 $r$ 是徑向距離，$\theta$ 是角向，$\Gamma$ 是常數（稱為渦旋強度）。

2. 流函數 (Stream Function, $\psi$) 的計算：
在極座標 $(r, \theta)$ 下，流函數與速度分量的關係為：
$v_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}$
$v_{\theta} = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$
我們已知 $v_r = 0$ 和 $v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi r}$。

從 $v_r = 0$：
$\frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = 0 \implies \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = 0$
這意味著 $\psi$ 是 $r$ 的函數，即 $\psi = \psi(r)$。

從 $v_{\theta} = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$：
$\frac{\Gamma}{2\pi r} = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$
對上式兩邊關於 $r$ 積分，以求解 $\psi(r)$：
$\psi(r) = -\int \frac{\Gamma}{2\pi r} dr = -\frac{\Gamma}{2\pi} \ln(r) + C_1$
其中 $C_1$ 是積分常數。通常，流函數可以任意加上一個常數，我們可以令 $C_1 = 0$。
所以，自由渦旋的流函數為：
$\psi(r) = -\frac{\Gamma}{2\pi} \ln(r)$

3. 速度勢函數 (Velocity Potential, $\phi$) 的計算：
速度勢函數 $\phi$ 存在於無旋流 (irrotational flow) 中，即 $\nabla \times \vec{v} = \vec{0}$。
首先，我們需要檢查自由渦旋是否為無旋流。
在極座標下，渦度向量 $\vec{\omega}$ 的 $z$ 分量（垂直於 $r\theta$ 平面）為：
$\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r v_{\theta}) - \frac{1}{r} \frac{\partial v_r}{\partial \theta}$
代入 $v_r = 0$ 和 $v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi r}$：
$\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r \cdot \frac{\Gamma}{2\pi r}) - \frac{1}{r} \frac{\partial (0)}{\partial \theta}$
$\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(\frac{\Gamma}{2\pi}) - 0$
由於 $\Gamma$ 是常數，$\frac{\partial}{\partial r}(\frac{\Gamma}{2\pi}) = 0$。
$\omega_z = 0$
因此，自由渦旋是無旋流（除了原點 $r=0$ 處，那裡速度是奇異的）。
對於無旋流，速度勢函數 $\phi$ 存在，且滿足：
$v_r = \frac{\partial \phi}{\partial r}$
$v_{\theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}$
我們已知 $v_r = 0$ 和 $v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi r}$。

從 $v_r = 0$：
$\frac{\partial \phi}{\partial r} = 0$
這意味著 $\phi$ 是 $\theta$ 的函數，即 $\phi = \phi(\theta)$。

從 $v_{\theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}$：
$\frac{\Gamma}{2\pi r} = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}$
$\frac{\partial \phi}{\partial \theta} = \frac{\Gamma}{2\pi}$
對上式兩邊關於 $\theta$ 積分，以求解 $\phi(\theta)$：