112 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班在職生《普通物理學》

此題考查聲波的傳播速度與頻率、波長之間的關係。

聲波的傳播速度 $v$、頻率 $f$ 和波長 $\lambda$ 之間存在著基本的物理關係：
$v = f \lambda$

題目中給定的資訊如下：
頻率 $f = 6.0 \text{ MHz} = 6.0 \times 10^6 \text{ Hz}$
波長 $\lambda = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}$

此題考查一維直線運動中，已知初速度、加速度與末速度，求取時間的問題，屬於等加速度運動的範疇。

我們可以使用等加速度運動的運動學公式來求解。
已知：
初速度 $v_0 = 50 \text{ m/s}$
加速度 $a = -2 \text{ m/s}^2$
末速度 $v = 0 \text{ m/s}$ (車輛完全靜止)

此題考查簡諧運動 (Simple Harmonic Motion, SHM) 的物理量，特別是求取其最大加速度。

物體的位置函數為 $x(t) = 3\cos(5t - \frac{\pi}{6})$。
這是一個標準的簡諧運動位置方程式形式 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$，其中：
振幅 $A = 3 \text{ m}$
角頻率 $\omega = 5 \text{ rad/s}$
相位常數 $\phi = -\frac{\pi}{6}$

要找到加速度，我們需要對位置函數進行兩次微分。
首先，求速度 $v(t)$：
$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( 3\cos(5t - \frac{\pi}{6}) \right)$
$v(t) = 3 \cdot (-\sin(5t - \frac{\pi}{6})) \cdot 5$
$v(t) = -15\sin(5t - \frac{\pi}{6}) \text{ m/s}$

接著，求加速度 $a(t)$：
$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( -15\sin(5t - \frac{\pi}{6}) \right)$
$a(t) = -15 \cdot (\cos(5t - \frac{\pi}{6})) \cdot 5$

此題考查牛頓第二運動定律，特別是力、質量與加速度之間的關係，以及變力下的動量變化。

根據牛頓第二運動定律，物體所受的淨外力等於其動量對時間的變化率：
$F_{net} = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt}$
如果質量 $m$ 是恆定的，則 $F_{net} = m \frac{dv}{dt} = ma$。

此題考查斜向拋射和垂直上拋運動的能量守恆或運動學分析，重點在於利用最大高度來推斷初速度，並應用於另一種拋射情況。

情況一：砲台與水平夾角 $45^\circ$ 發射。
設初速度為 $v_0$。
在斜向拋射運動中，初速度在垂直方向的分量為 $v_{0y} = v_0 \sin\theta$。
最大高度 $H$ 的公式為：
$H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g}$
題目已知最大高度 $H = 100 \text{ m}$，發射角度 $\theta = 45^\circ$。
$100 \text{ m} = \frac{(v_0 \sin 45^\circ)^2}{2g}$
$100 = \frac{(v_0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})^2}{2g}$

核心觀念

本題考查多普勒效應。聲源與觀察者相對於空氣運動時，觀察到的頻率會改變。

警車在後方以較快速度追趕歹徒：

• 聲源：警車，速度 $136\ \text{km/h}$
• 觀察者：歹徒，速度 $100\ \text{km/h}$
• 警笛原頻率：$f_s=100\ \text{Hz}$

假設聲速為 $v=340\ \text{m/s}$，且兩車同向行駛、警笛聲向前傳播。

解題方法

先將車速換算成公尺每秒：

$$v_s=\frac{136}{3.6}=37.78\ \text{m/s}$$ $$v_o=\frac{100}{3.6}=27.78\ \text{m/s}$$

警車發出的連續波，其波長不是 $\frac{v}{f_s}$，因為聲源本身正在向前移動。警車在一個週期 $T=\frac{1}{f_s}$ 內向前移動 $v_sT$，因此前方波長為

$$\lambda=(v-v_s)T =\frac{v-v_s}{f_s}$$

歹徒以速度 $v_o$ 向前移動，與前進中的聲波同向，因此聲波相對於歹徒的接近速度為

$$v-v_o$$

歹徒接收到的頻率為

此題考查角速率的定義與計算，以及單位換算。

角速率 $\omega$ 是物體繞著某一點或軸線轉動的快慢程度，定義為單位時間內轉過的弧度。
$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$
其中 $\Delta \theta$ 是轉過的總角度（以弧度為單位），$\Delta t$ 是所花費的時間。

月球自轉一周，代表轉過了 $360^\circ$ 或 $2\pi$ 弧度。
題目給定的時間為 $T = 27.32$ 日。

首先，將時間單位統一為秒，以便計算出標準的國際單位制 (SI unit) 角速率（單位為 $\text{rad/s}$）。
1 日 = 24 小時
1 小時 = 60 分鐘
1 分鐘 = 60 秒
所以，1 日 = $24 \times 60 \times 60 = 86400$ 秒。

月球自轉一周所需時間 $T$ 換算成秒：
$T = 27.32 \text{ 日} \times 86400 \text{ 秒/日}$
$T = 27.32 \times 86400 \text{ 秒}$
$T \approx 2360448 \text{ 秒}$

此題考查導體的電阻計算，需要使用電阻率、導線長度和截面積的關係。

導體的電阻 $R$ 與其長度 $L$ 成正比，與其截面積 $A$ 成反比，比例常數為電阻率 $\rho$：
$R = \rho \frac{L}{A}$

題目給定的資訊：
導線長度 $L = 50 \text{ m}$。
導線直徑 $d = 1.0 \text{ mm}$。
金的電阻率 $\rho = 2.4 \times 10^{-8} \Omega \cdot \text{m}$。
（題目中也給了電導率，但我們計算電阻時，直接使用電阻率較為方便。）

首先，計算導線的截面積 $A$。導線是圓柱形的，所以截面是圓形。
半徑 $r = \frac{d}{2} = \frac{1.0 \text{ mm}}{2} = 0.5 \text{ mm}$。
將半徑單位換算成公尺：$r = 0.5 \text{ mm} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ m}$。
截面積 $A = \pi r^2$。
$A = \pi (0.5 \times 10^{-3} \text{ m})^2$
$A = \pi (0.25 \times 10^{-6} \text{ m}^2)$

此題考查歐姆定律 (Ohm's Law)，這是電路學中最基本的定律之一，描述電壓、電流和電阻之間的關係。

歐姆定律的公式為：
$V = IR$
其中：
$V$ 是電壓 (單位：伏特, V)。
$I$ 是電流 (單位：安培, A)。
$R$ 是電阻 (單位：歐姆, $\Omega$)。

題目給定的資訊：
電阻 $R = 500 \text{ k}\Omega = 500 \times 10^3 \Omega = 5 \times 10^5 \Omega$。
電壓 $V = 1.5 \text{ V}$。

我們需要計算電流 $I$。
從歐姆定律的公式 $V=IR$，我們可以重新整理得到 $I = \frac{V}{R}$。

此題考查帶電粒子在磁場中受到的磁力（勞倫茲力），以及其大小的計算。

帶電粒子在磁場中受到的磁力，其大小由勞倫茲力公式給出：
$\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})$
其中：
$\vec{F}$ 是磁力向量。
$q$ 是粒子的電荷量。
$\vec{v}$ 是粒子的速度向量。
$\vec{B}$ 是磁場向量。
$\times$ 表示向量的叉積。

磁力的大小為：
$F = |q| v B \sin\theta$
其中：
$F$ 是磁力的大小。
$|q|$ 是粒子電荷的絕對值。
$v$ 是粒子的速率。
$B$ 是磁場的強度。
$\theta$ 是速度向量 $\vec{v}$ 與磁場向量 $\vec{B}$ 之間的夾角。

題目給定的資訊：
粒子是質子。質子的電荷量 $q = +e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$。
磁場強度 $B = 1.0 \text{ T}$。