113 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班一般生《普通物理學》

本題為基本觀念題，旨在測試考生對物理學基本定律與名詞的理解。

(1) 牛頓運動定律 (Newton's Laws of Motion)：
這是描述物體運動與受力之間關係的三個基本定律，由艾薩克·牛頓提出。

• 第一運動定律（慣性定律）： 任何物體都會保持靜止狀態或等速度直線運動狀態，除非受到外力的作用而迫使它改變這種狀態。
• 第二運動定律（加速度定律）： 物體所受的淨外力等於其質量與加速度的乘積，方向與加速度方向相同。數學表達式為 $\vec{F}_{net} = m\vec{a}$。
• 第三運動定律（作用力與反作用力定律）： 對於每一個作用力，都有一個大小相等、方向相反的反作用力，同時作用在不同的物體上。

(2) 熱力學第一定律 (First Law of Thermodynamics)：
此定律是能量守恆定律在熱力學系統中的一種表述。它指出，一個系統的內能變化量等於系統吸收的熱量減去系統對外界所做的功。

本題考查斜向拋射運動的分析，屬於基本動力學問題。我們將使用運動學方程式來求解。假設空氣阻力可忽略。

設 $v_0$ 為初速， $\alpha_0$ 為仰角。
初速度的水平分量為 $v_{0x} = v_0 \cos \alpha_0$。
初速度的垂直分量為 $v_{0y} = v_0 \sin \alpha_0$。
重力加速度為 $g$，方向向下。

(1) 球到達最高點之時間和高度：
在最高點，球的垂直速度分量 $v_y$ 為零。
利用垂直方向的運動學方程式：$v_y = v_{0y} - gt$。
令 $v_y = 0$，可得最高點時間 $t_{top}$：
$0 = v_0 \sin \alpha_0 - gt_{top}$
$t_{top} = \frac{v_0 \sin \alpha_0}{g}$

將 $v_0 = 40 \, \text{m/s}$ 和 $\alpha_0 = 60^\circ$ 代入：
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$t_{top} = \frac{40 \, \text{m/s} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8 \, \text{m/s}^2} = \frac{20\sqrt{3}}{9.8} \, \text{s} \approx \frac{20 \times 1.732}{9.8} \, \text{s} \approx 3.53 \, \text{s}$

最高點的高度 $y_{max}$ 可以利用垂直方向的運動學方程式：$y = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2$。
令 $y_0 = 0$，將 $t_{top}$ 代入：
$y_{max} = (v_0 \sin \alpha_0) t_{top} - \frac{1}{2}g t_{top}^2$
$y_{max} = (v_0 \sin \alpha_0) \left(\frac{v_0 \sin \alpha_0}{g}\right) - \frac{1}{2}g \left(\frac{v_0 \sin \alpha_0}{g}\right)^2$
$y_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha_0}{g} - \frac{1}{2}\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha_0}{g}$
$y_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha_0}{2g}$

將 $v_0 = 40 \, \text{m/s}$ 和 $\alpha_0 = 60^\circ$ 代入：

本題考查圓周運動的受力分析與週期計算，屬於動力學範疇。題目描述的是一個圓錐擺 (conical pendulum) 的情況。

設細繩張力為 $T$。
當擺繩與垂直方向夾角為 $\beta$ 時，擺錘做水平圓周運動，圓周運動的半徑為 $r = L \sin \beta$。
重力加速度為 $g$，方向向下。

(1) 列出切向和徑向之平衡力方程式：
由於是「等速率圓周運動」，故切向加速度為零。
我們需要分析作用在擺錘上的力，並將其分解為徑向和切向分量。
作用在擺錘上的力有：

• 重力：$mg$，方向鉛直向下。
• 細繩張力：$T$，沿細繩方向，指向懸掛點。

將這些力分解到徑向（指向圓心的方向）和切向（運動方向）。
在夾角 $\beta$ 時，張力 $T$ 的鉛直分量為 $T \cos \beta$，水平分量為 $T \sin \beta$。
徑向方向（水平方向，指向圓心）：張力的水平分量 $T \sin \beta$ 提供向心力。
切向方向：在等速率圓周運動中，切向加速度為零。

徑向力方程式（向心力）：
$F_{radial} = T \sin \beta = m a_c = m \frac{v^2}{r} = m \frac{v^2}{L \sin \beta}$
其中 $v$ 是擺錘的速率，$r = L \sin \beta$ 是圓周運動的半徑。

切向力方程式：
由於是等速率圓周運動，切向加速度 $a_t = 0$。
作用在切向的合力為零。
張力的切向分量為零（張力方向與圓周運動平面垂直，但與切向不垂直，而是與徑向有關）。
若我們以擺錘在圓周上的運動方向為切向，則張力 $T$ 的確有分量作用在切向，但此分量隨 $\beta$ 的變化而變化，此處題目假設 $\beta$ 是固定的，表示運動是穩定的。
更準確的說，在穩態下，切向的合力為零。
考慮到重力 $mg$，其分量 $mg \sin \beta$ 似乎是切向的，但這是不對的。
正確的理解是，在圓錐擺運動中，由於 $\beta$ 是固定的，擺錘的速度 $v$ 也是固定的。
重力 $mg$ 只有鉛直分量 $mg$。
張力 $T$ 的鉛直分量 $T \cos \beta$ 平衡了重力 $mg$。
張力 $T$ 的水平分量 $T \sin \beta$ 提供了向心力。
切向方向的合力為零。

本題考查衝量-動量定理的應用。衝量等於動量變化量。

設球的質量為 $m = 0.4 \, \text{kg}$。
設撞擊前的速度為 $\vec{v}_i = 30 \, \text{m/s}$（假設撞向牆壁方向為正）。
設撞擊後的反彈速度為 $\vec{v}_f = -20 \, \text{m/s}$（反彈方向與撞擊方向相反，故為負值）。
接觸時間為 $\Delta t = 0.01 \, \text{s}$。

(1) 求出在球撞擊磚牆期間淨力作用在球上的衝量：
根據衝量-動量定理，衝量 $\vec{I}$ 等於動量變化量 $\Delta \vec{p}$。
$\vec{I} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$
動量 $\vec{p} = m\vec{v}$。
$\vec{p}_i = m \vec{v}_i = (0.4 \, \text{kg}) \times (30 \, \text{m/s}) = 12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
$\vec{p}_f = m \vec{v}_f = (0.4 \, \text{kg}) \times (-20 \, \text{m/s}) = -8 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$

衝量 $\vec{I} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = (-8 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}) - (12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}) = -20 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$。
衝量的方向是負的，表示衝量的方向與我們定義的撞向牆壁的正方向相反，即指向遠離牆壁的方向。

本題考查萬有引力與衛星軌道力學，以及能量守恆概念。

設地球質量為 $M_E$，地球半徑為 $R_E$，萬有引力常數為 $G$。
衛星質量為 $m = 1000 \, \text{kg}$。
軌道高度為 $h = 300 \, \text{km} = 300 \times 10^3 \, \text{m}$。
軌道半徑為 $r = R_E + h$。
我們需要地球的相關數據：
$R_E \approx 6.37 \times 10^6 \, \text{m}$
$M_E \approx 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}$
$G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$

(1) 該衛星需有多大速率和週期？
衛星在高度 $h$ 的圓形軌道上運動，所受萬有引力提供向心力。
$F_{gravity} = \frac{G M_E m}{r^2}$
向心力 $F_c = \frac{m v^2}{r}$
令 $F_{gravity} = F_c$：
$\frac{G M_E m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$
$v^2 = \frac{G M_E}{r}$
$v = \sqrt{\frac{G M_E}{r}}$

計算軌道半徑 $r$：
$r = R_E + h = 6.37 \times 10^6 \, \text{m} + 0.3 \times 10^6 \, \text{m} = 6.67 \times 10^6 \, \text{m}$

計算衛星速率 $v$：
$v = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2) \times (5.97 \times 10^{24} \, \text{kg})}{6.67 \times 10^6 \, \text{m}}}$
$v = \sqrt{\frac{5.97 \times 10^{14}}{6.67 \times 10^6}} \, \text{m/s} \approx \sqrt{0.895 \times 10^8} \, \text{m/s} \approx \sqrt{8.95 \times 10^7} \, \text{m/s}$
$v \approx 9460 \, \text{m/s}$

計算衛星週期 $P$：
週期是衛星繞地球一圈所需的時間。
$P = \frac{2\pi r}{v}$
$P = \frac{2\pi (6.67 \times 10^6 \, \text{m})}{9460 \, \text{m/s}}$
$P \approx \frac{41.9 \times 10^6}{9460} \, \text{s} \approx 4429 \, \text{s}$
換算成分鐘：$4429 \, \text{s} / 60 \, \text{s/min} \approx 73.8 \, \text{min}$。

(2) 將該衛星放入軌道中總共做了多少功？
做的功等於衛星總能量的變化量。
衛星的總力學能 $E$ 為動能 $K$ 與位能 $U$ 之和。
$E = K + U$
動能 $K = \frac{1}{2} m v^2$
位能 $U = -\frac{G M_E m}{r}$
所以，衛星在軌道上的總力學能 $E_{orbit} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_E m}{r}$。