113 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《大氣動力學》

核心觀念

本題考查：

1. 自轉地球上的絕對角動量守恆。
2. 氣塊向北移動時的科氏力偏轉。
3. 慣性氣流的偏轉半徑。

以單位質量氣塊表示，繞地球自轉軸的絕對角動量為

$$M=(\Omega a\cos\phi+u)a\cos\phi$$

其中：

• $\Omega$：地球自轉角速度；
• $a$：地球半徑；
• $\phi$：緯度；
• $u$：相對地面的東向風速。

在沒有摩擦及其他繞自轉軸外力矩的情況下，$M$ 守恆。

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解題方法

(a) 向北移動時的偏轉方向

初始位置為北緯 $30^\circ$，且氣塊靜止，因此 $u_0=0$。初始絕對角動量為

$$M_0=\Omega a^2\cos^2 30^\circ$$

當氣塊向北移動至較高緯度 $\phi>30^\circ$ 時，其與地球自轉軸的距離

$$r=a\cos\phi$$

會變小。若氣塊仍保持原本的東向速度，便不足以維持原有的絕對角動量。為使角動量守恆，氣塊必須產生向東的相對風速。

令移動後的東向風速為 $u$，則

$$(\Omega a\cos\phi+u)a\cos\phi = \Omega a^2\cos^2 30^\circ$$

整理得

$$u = \Omega a \left( \frac{\cos^2 30^\circ}{\cos\phi} -\cos\phi \right)$$

因為 $\phi>30^\circ$ 時 $\cos\phi<\cos30^\circ$，可得

$$u>0$$

故 $u$ 為東向。

在北半球，向北運動的氣流受到向右的科氏力，因此其運動方向會逐漸向東偏轉，形成順時針方向的慣性圓周運動。

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(b) 慣性氣流的偏轉半徑

水平慣性運動的偏轉半徑為

核心觀念

本題考查三個相互連結的概念：

1. 梯度風平衡：壓力梯度力、科氏力與曲率造成的離心力三者平衡。
2. 正常低壓與不正常低壓：正常低壓的風向為氣旋式；不正常低壓的風向與氣旋式相反。
3. 熱力風平衡與暖心結構：由靜力平衡與地轉風關係，判斷溫度場如何控制不同高度的風場。

令 $r$ 為距離低壓中心的半徑，徑向向外為正，$v$ 為切向風速，$f$ 為科氏參數。低壓中心的壓力梯度力指向內，定義其大小為

$$G=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}>0.$$

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(a) 南、北半球皆可存在正常低壓及不正常低壓

1. 梯度風方程

圓形等壓線上的梯度風平衡為

$$\frac{v^2}{r}+fv=G.$$

其中：

• $\dfrac{v^2}{r}$：曲率造成的離心力項；
• $fv$：科氏力項；
• $G$：指向低壓中心的壓力梯度力大小。

整理成二次方程：

$$v^2+frv-Gr=0.$$

因此

$$v=\frac{-fr\pm\sqrt{f^2r^2+4Gr}}{2}.$$

由於 $G>0$，判別式必定為正，因此低壓的梯度風方程具有兩個實數解。

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2. 北半球的情況

北半球 $f>0$。

此時：

• 取正根，得到 $v>0$，風呈逆時針旋轉，為氣旋式環流；
• 取負根，得到 $v<0$，風呈順時針旋轉，為反氣旋式環流。

因此北半球低壓可有：

正常低壓

北半球正常低壓為逆時針旋轉，風向與一般氣旋相同。此時壓力梯度力指向中心，科氏力與離心力共同維持平衡。

不正常低壓

北半球不正常低壓為順時針旋轉，風向與一般低壓相反。此時離心力仍指向外，而科氏力的方向改變，三力仍可透過另一個梯度風根達成平衡。

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3. 南半球的情況

南半球 $f<0$。

此時兩個根的旋轉方向對調：

• 正常低壓為順時針旋轉，即 $v<0$；
• 不正常低壓為逆時針旋轉，即 $v>0$。

因此南半球同樣存在兩種數學上的梯度風解：

• 正常低壓：旋轉方向符合南半球氣旋式低壓；
• 不正常低壓：旋轉方向與正常低壓相反。

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4. 不正常低壓的動力穩定性

雖然兩種低壓皆可滿足梯度風方程，但不正常低壓通常不是穩定的天氣系統。

圓周運動的絕對渦度可用下式表示：

$$\zeta_a=f+\frac{2v}{r}.$$

對正常低壓而言，$\zeta_a$ 與 $f$ 同號，系統具有慣性穩定性。

對不正常低壓而言，代入不正常低壓的梯度風根可得

$$f+\frac{2v}{r} = -\operatorname{sgn}(f) \sqrt{f^2+\frac{4G}{r}},$$

所以 $\zeta_a$ 與 $f$ 反號，表示系統具有慣性不穩定性。任何小擾動都容易使其偏離原本的圓形平衡流場。

因此，「可存在」是指數學上可以滿足梯度風方程；「正常」則代表實際上較能維持的穩定低壓環流。

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(b) 為何熱力風平衡下的颱風必須是正常低壓，且邊界層以上為暖心低壓

1. 颱風主要位於邊界層以上的梯度風平衡

近地面邊界層內，摩擦力不可忽略，風速會低於無摩擦梯度風，並且具有向低壓中心的輻合。

在邊界層以上，摩擦力顯著減小，颱風的主要環流可近似為梯度風平衡：

$$\frac{v^2}{r}+fv=G.$$

因此颱風必須選擇一個能夠維持穩定、連續且具有輻合補充的梯度風分支。

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2. 不正常低壓無法維持颱風所需的穩定環流

不正常低壓雖然也是梯度風方程的解，但其絕對渦度與科氏參數反號：

$$\operatorname{sgn}(\zeta_a)\ne\operatorname{sgn}(f).$$

這代表不正常低壓具有慣性不穩定性。對一個半徑方向上的小擾動而言，氣流無法產生足夠的恢復作用，圓形環流容易崩解。

颱風需要的是：

• 穩定的強烈旋轉；
• 邊界層內向低壓中心的摩擦輻合；
• 上升運動與深對流；
• 低層角動量與水氣的持續輸送。

這些條件都要求低壓環流採用正常低壓分支。因此，熱力風平衡下的颱風必須是正常低壓，而不能是不正常低壓。

此題考察學生對絕對渦度、位渦和位溫的概念及其守恆條件的理解，以及非保守過程對這些物理量的影響。

核心觀念：

• 絕對渦度 (Absolute Vorticity)： 氣塊相對於慣性座標系的渦度。在地球自轉座標系中，等於相對渦度加上行星渦度 ($f$)。
• 相對渦度 (Relative Vorticity)： 氣塊相對於地球自轉座標系的渦度。
• 行星渦度 (Planetary Vorticity)： 地球自轉的渦度，即科氏參數 $f = 2\Omega \sin\phi$。
• 位渦 (Potential Vorticity, PV)： 一種與氣塊運動和環境條件相關的量，在某些理想條件下為保守量。通常定義為絕對渦度乘以相當於氣塊所在層的厚度，再除以該厚度。
• 位溫 (Potential Temperature, $\theta$)： 一種溫度，表示將氣塊絕熱地壓縮或膨脹到參考壓力（通常是 1000 hPa）時的溫度。在絕熱過程中為保守量。

絕對渦度為何非保守？

絕對渦度 $\zeta_{abs} = \zeta_{rel} + f$。
其中 $\zeta_{rel}$ 是相對渦度， $f$ 是行星渦度。

在地球自轉座標系中，絕對渦度的垂直分量隨時間的變化率由以下方程描述（忽略非保守力）：
$\frac{d\zeta_{abs}}{dt} = -\zeta_{abs} (\nabla \cdot \mathbf{v}) + (\nabla \times \mathbf{F})_{z}$
其中 $\mathbf{v}$ 是氣塊速度，$\mathbf{F}$ 是非保守力（如摩擦力、輻射加熱等）。

絕對渦度 $\zeta_{abs}$ 的守恆條件是：

1. 無散度運動： $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$。這表示氣塊的運動是不可壓縮的，或者是在一個近似不可壓縮的系統中。
2. 無非保守力： $\nabla \times \mathbf{F} = 0$。這表示沒有產生額外渦度的非保守力（例如摩擦力）。

絕對渦度非保守的原因：

1. 散度效應 ($\nabla \cdot \mathbf{v} \neq 0$)：
   • 輻合/輻散： 當氣塊運動發生輻合（例如低壓區，$\nabla \cdot \mathbf{v} < 0$），相對渦度會增加。當發生輻散（例如高壓區，$\nabla \cdot \mathbf{v} > 0$），相對渦度會減小。由於 $\zeta_{abs} = \zeta_{rel} + f$，相對渦度的變化會導致絕對渦度的變化。
   • 垂直運動： 即使是不可壓縮的水平運動，如果存在垂直運動，也可能導致水平速度場的散度不為零。
2. 非保守力 ($\nabla \times \mathbf{F} \neq 0$)：
   • 摩擦力： 摩擦力通常會減小風速，並在某些情況下產生或增強渦度。例如，在靠近地面的情況下，摩擦力會減慢風速，導致輻合，進而增加相對渦度。
   • 加熱/冷卻： 雖然加熱/冷卻本身不是力，但它會改變密度和壓力梯度，進而影響風場，產生散度效應。

舉例解釋絕對渦度非保守：
考慮一個在北緯 30 度的氣塊。行星渦度 $f = 2\Omega \sin 30^\circ = \Omega > 0$。
初始氣塊靜止，相對渦度 $\zeta_{rel} = 0$，絕對渦度 $\zeta_{abs} = f = \Omega$。

1. 輻合導致的渦度增加：
   假設氣塊進入一個低壓系統，發生輻合。水平速度場的散度 $\nabla \cdot \mathbf{v} < 0$。
   根據 $\frac{d\zeta_{abs}}{dt} = -\zeta_{abs} (\nabla \cdot \mathbf{v})$，由於 $\zeta_{abs} > 0$ 且 $\nabla \cdot \mathbf{v} < 0$，則 $\frac{d\zeta_{abs}}{dt} > 0$。
   這表示氣塊的絕對渦度會增加。如果氣塊最初是靜止的，那麼是相對渦度增加了。
   例如，一個靜止的氣塊被拉入一個旋轉的低壓中心，它的相對渦度會顯著增加，導致絕對渦度增加。
2. 摩擦力導致的渦度增加：
   假設氣塊靠近地面，受到摩擦力。摩擦力減慢了風速，特別是當水平風場存在輻合時，摩擦力會增強輻合，進而增加相對渦度。
   例如，在一個高壓系統中，地轉風是順時針（北半球）。如果考慮摩擦力，風會向內偏轉，導致輻合，增加相對渦度。

位渦 (Potential Vorticity, PV) 的守恆：
位渦的定義有很多種，最常見的是 Ertel's PV：
$\text{PV} = \frac{\zeta_{abs} \cdot \Delta z}{\Delta \rho}$
或者更嚴謹地，對於一個絕熱、無摩擦的系統，位渦是保守的：
$\text{PV} = -\frac{1}{\rho} (\nabla p \times \nabla \theta) \cdot \mathbf{k}$
或者，對於一個水平運動佔主導的系統，可以簡化為：

此題主要考察學生對飽和相當位溫的定義、守恆性及其在條件不穩定性分析中的應用。

(a) 飽和相當位溫 (equivalent potential temperature, $\theta_{se}$) 的定義與守恆性

定義：
飽和相當位溫 ($\theta_{se}$) 是指將含有水汽的空氣塊，在不考慮非絕熱過程（如輻射、摩擦）的情況下，先絕熱地移動到參考壓力（通常為 $p_0 = 1000 \, \text{hPa}$），然後將其內含的水汽全部凝結成液態水並釋放潛熱，再將混合物（乾空氣+液態水）絕熱地移動到參考壓力 $p_0$ 時的溫度。
更簡潔的說法是：將濕空氣絕熱地乾焓壓縮到飽和，然後再絕熱地乾焓壓縮到參考壓力 $p_0$ 所達到的溫度。

數學表達式：
$\theta_{se} = T_0 = T \left( \frac{p_0}{p} \right)^{R/c_p} \exp\left( \frac{L_v q_s}{c_p T} \right)$
其中：

• $T$ 是當前溫度，$p$ 是當前壓力。
• $T_0$ 是最終的飽和相當位溫。
• $p_0$ 是參考壓力 (1000 hPa)。
• $R$ 是乾空氣的氣體常數，$c_p$ 是定壓比熱。
• $L_v$ 是水汽的汽化潛熱。
• $q_s$ 是當前溫度 $T$ 和壓力 $p$ 下的飽和水汽壓。

守恆性證明 (假設無其他非絕熱過程)：

我們需要證明在絕熱過程中，$\theta_{se}$ 是保守的。
考慮一個濕空氣塊，其溫度為 $T$，壓力為 $p$，水汽含量為 $q$。
該空氣塊的相當位溫（未飽和）為 $\theta = T \left( \frac{p_0}{p} \right)^{R/c_p}$。
當空氣塊絕熱地上升時，壓力 $p$ 降低，溫度 $T$ 根據絕熱過程變化。
如果空氣塊達到飽和，則其溫度為 $T_{sat}$，壓力為 $p_{sat}$。此時 $q = q_s(T_{sat}, p_{sat})$。
然後，將此飽和空氣塊絕熱地移動到參考壓力 $p_0$。
在此過程中，水汽會持續凝結，釋放潛熱，這不是一個純粹的乾絕熱過程。
$\theta_{se}$ 的定義實際上是包含了一個「乾絕熱」和「濕絕熱」的混合概念。

讓我們從熱力學第一定律和水汽相變的過程來理解。
對於濕空氣塊，其熱力學過程可以視為一個乾絕熱過程加上一個濕絕熱過程。
濕絕熱過程是指空氣塊在上升過程中，溫度因絕熱膨脹而降低，同時水汽凝結釋放潛熱，這個潛熱會部分抵消絕熱膨脹的冷卻效應。
$\theta_{se}$ 的定義就是將所有潛熱效應「乾絕熱化」到參考狀態。

考慮一個濕空氣塊，其溫度 $T$ 和壓力 $p$。
由熱力學第一定律：$c_p dT - \frac{1}{\rho} dp + L_v dq_l = 0$，其中 $dq_l$ 是單位質量空氣中液態水（或冰）的增加率（即凝結率）。
我們知道 $dp = dp_d + dp_v$，$dT = dT_d + dT_v$。
對於乾空氣：$c_p dT_d - \frac{1}{\rho_d} dp_d = 0$。
對於水汽：$R_v T dq_v = \frac{1}{\rho_v} dp_v$ (近似)。

考慮濕絕熱過程的能量方程：
$c_p dT + L_v dq_l = \frac{1}{\rho} dp$
其中 $q_l$ 是液態水含量，$\rho$ 是濕空氣密度。
如果我們將其寫成 $\theta$ 的形式：
$d\theta = \theta \left( \frac{c_p dT}{T} - \frac{R}{p} dp \right)$
$d\theta_{se}$ 的定義是將濕絕熱過程的效應「乾絕熱化」。
一個常見的證明方法是考慮一個濕絕熱過程。
在濕絕熱過程中，$\theta$ 的變化率並非為零。
但 $\theta_{se}$ 的定義就是將濕絕熱過程中釋放的潛熱效應「乾絕熱化」，使其成為一個在濕絕熱過程中保守的量。

更嚴謹的證明思路：
考慮一個濕空氣塊，其狀態由 $(T, p, q)$ 給定。
將其絕熱地移動到壓力 $p'$，溫度 $T'$。
如果 $q < q_s(T', p')$，則為乾絕熱過程，$\theta$ 守恆。
如果 $q \ge q_s(T', p')$，則會發生凝結。
$\theta_{se}$ 的定義是：將氣塊先絕熱地移動到飽和狀態 $(T_{sat}, p_{sat})$，然後將其中的水汽全部凝結，此時溫度為 $T_{final}$。最後，將這個乾空氣（假設所有水汽都變成液態水並移走）絕熱地移動到 $p_0$，其溫度即為 $\theta_{se}$。
$\theta_{se} = T_{sat} \left( \frac{p_0}{p_{sat}} \right)^{R/c_p}$
這個 $T_{sat}$ 是通過解濕絕熱過程方程得到的。
濕絕熱過程的微分形式可以寫成：
$d\theta = -\frac{L_v}{c_p} \frac{\theta}{T} dq_l$
其中 $dq_l$ 是單位質量空氣中液態水增加的量。
如果我們假設 $q_l$ (液態水含量) 相對於 $q$ (總水汽含量) 很小，並且 $T \approx \theta$，則：
$d\theta \approx -\frac{L_v}{c_p} \left( \frac{\theta}{T} \right) dq_l$
在飽和狀態下，$q = q_s$。
$\theta_{se}$ 的定義是將所有凝結過程中釋放的潛熱效應「乾絕熱化」。
實際上，$\theta_{se}$ 是通過以下方程定義的：
$\theta_{se} = \theta \exp\left( \frac{L_v r_s}{c_p T} \right)$
其中 $r_s$ 是飽和混合比。
考慮乾絕熱過程 $d\theta = 0$。
考慮濕絕熱過程，$\theta$ 的變化率與凝結率有關。
$\theta_{se}$ 的守恆性是因為它包含了潛熱效應的「乾絕熱化」。
更精確的證明涉及對濕絕熱過程的積分。
假設一個濕空氣塊從 $(T, p)$ 絕熱地移動到 $(T_{sat}, p_{sat})$，此時 $q = q_s(T_{sat}, p_{sat})$。
在此過程中，$\theta$ 守恆。
然後，假設所有水汽 $q$ 凝結成液態水，釋放潛熱 $L_v q$。
這個潛熱加熱會使溫度升高。
如果我們將這個過程「乾絕熱化」，可以證明 $\theta_{se}$ 是保守的。
一個簡化的證明思路是：
考慮濕絕熱過程：$d(c_p T + L_v q) = \alpha dp$。
將其轉化為關於 $\theta$ 的形式。
$\theta_{se}$ 的定義就是將濕絕熱過程的潛熱效應乾絕熱化到參考壓力。
在濕絕熱過程中，$\theta_{se}$ 保持不變。
證明：
從濕絕熱過程的能量方程：
$c_p dT + L_v dq_l = \alpha dp$
其中 $dq_l$ 是液態水增加的量。
我們可以將其寫成：
$d(c_p T + L_v q) = \alpha dp$ (這裡 $q$ 是總水汽含量，凝結時 $q$ 減少，但 $q_l$ 增加，總的水含量不變)。
實際上，濕絕熱過程的守恆量是：
$d(c_p T + L_v q) = \alpha dp$
將 $T$ 和 $p$ 轉換為 $\theta$ 和 $p$。
$c_p T = c_p \theta \left( \frac{p}{p_0} \right)^{R/c_p}$
$dp = dp_0 \left( \frac{p}{p_0} \right)^{c_p/R}$
這轉換比較複雜。

簡化證明思路：
$\theta_{se}$ 的定義是將濕空氣的潛熱效應乾絕熱化。
考慮兩個狀態 1 和 2，它們是由同一個氣塊在濕絕熱過程中經歷的。
狀態 1: $(T_1, p_1, q_1)$
狀態 2: $(T_2, p_2, q_2)$
濕絕熱過程意味著：
$c_p T_1 + L_v q_1 = c_p T_2 + L_v q_2 \quad (\text{如果 } p_1=p_2)$
或者更一般地，能量守恆。
$\theta_{se}$ 的定義是：
$\theta_{se} = T \left( \frac{p_0}{p} \right)^{R/c_p} \exp\left( \frac{L_v q_s}{c_p T} \right)$

此題主要考察學生對慣性不穩定、慣性重力波及地轉調整等動力學概念的理解與應用。

(a) 慣性不穩定 (Inertial Instability)

機制：
慣性不穩定發生在地球自轉座標系中，當氣塊的運動方向與其所受的科氏力方向相反時。更具體地說，是當氣塊相對於平衡位置的運動（例如，偏離某個壓力梯度力平衡軌道）所受到的科氏力方向指向遠離平衡位置時。

考慮一個在地球自轉座標系中的氣塊。其運動方程（忽略其他力）為：
$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -2\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}$
其中 $\mathbf{v}$ 是氣塊相對於地球的運動速度，$\mathbf{\Omega}$ 是地球自轉角速度。

在水平運動中，如果氣塊以速度 $\mathbf{v}$ 相對於地球運動，科氏力 $-2\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}$ 總是垂直於 $\mathbf{v}$。
慣性不穩定與科氏力提供的「向心力」有關。
考慮一個氣塊相對於某個圓形軌道運動。
如果氣塊順時針運動（在北半球），科氏力提供向心力，使氣塊維持圓周運動。
如果氣塊逆時針運動（在北半球），科氏力提供離心力，使氣塊遠離圓心。

慣性不穩定更常見的發生在垂直方向上的不平衡。
考慮一個在垂直方向上存在壓力梯度的氣塊。
在靜止大氣中，氣壓梯度力與重力平衡，即 $\frac{1}{\rho}\nabla p + g\mathbf{k} = 0$。
如果考慮地球自轉，氣塊的運動方程為：
$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -2\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v} - g\mathbf{k} + \frac{1}{\rho}\nabla p$
在梯度風平衡中，水平運動是平衡的。
然而，慣性不穩定發生在當氣塊相對於其平衡位置（例如，相對於地轉風或梯度風）的運動，使得科氏力不僅不提供向心力，反而成為離心力，加速了其遠離平衡位置的運動。

一個更直觀的理解是從流體力學的渦度方程來看。
在地球自轉座標系中，絕對渦度的垂直分量隨時間的變化率為：
$\frac{d\zeta_{abs}}{dt} = -\zeta_{abs} (\nabla \cdot \mathbf{v}) + (\nabla \times \mathbf{F})_{z}$
慣性不穩定通常與垂直運動和行星渦度有關。
在極點附近，行星渦度 $f$ 接近於零。
在赤道附近，行星渦度 $f$ 也接近於零。
慣性不穩定通常發生在這樣的區域。

條件：
慣性不穩定發生的條件是，氣塊的運動速度 $\mathbf{v}$ 和地球自轉角速度 $\mathbf{\Omega}$ 的組合，使得科氏力 $-2\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}$ 產生了指向遠離平衡位置的加速度。
這通常發生在：

1. 運動方向與科氏力方向相反：
   • 在北半球，如果氣塊向東運動，科氏力向南。如果氣塊向西運動，科氏力向北。
   • 慣性不穩定最常見的發生在垂直方向上。如果一個氣塊相對於其平衡位置（例如，在壓力梯度力平衡下）向上運動，並且其運動速度與科氏力方向相反，則會發生慣性不穩定。
2. 行星渦度 $f$ 較小：
   嚴格來說，慣性不穩定與行星渦度 $f$ 的符號和大小有關。
   絕對渦度 $\zeta_{abs} = \zeta_{rel} + f$。
   在北半球，$f>0$。如果氣塊向東運動，其相對渦度 $\zeta_{rel}$ 可能為負（順時針）。
   當 $\zeta_{rel} + f < 0$ 時，可能發生慣性不穩定。
   這意味著，如果相對渦度是順時針的（負的），並且其大小大於行星渦度，則會發生慣性不穩定。
   $\zeta_{rel} < -f$
   這通常發生在強烈的順時針渦旋（如反氣旋）中，或者在低緯度地區（$f$ 較小）。

簡單的例子：
想像一個在北半球，位於一個反氣旋邊緣的氣塊。
反氣旋的環流是順時針的，所以氣塊有順時針的相對渦度 ($\zeta_{rel} < 0$)。
如果這個氣塊的順時針相對渦度 $|\zeta_{rel}|$ 大於行星渦度 $f$，則其絕對渦度 $\zeta_{abs} = \zeta_{rel} + f < 0$。
此時，若氣塊有向外的輻射速度（例如，從反氣旋中心向外運動），則會受到科氏力的作用。
科氏力 $-2m(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v})$，如果 $\mathbf{v}$ 是向外的，則 $\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}$ 是指向順時針方向的。
所以科氏力 $-2m(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v})$ 指向逆時針方向。
如果絕對渦度為負（順時針），則其運動方程的科氏力項表現為離心力。

總結慣性不穩定：

• 機制： 當氣塊的運動使其受到的科氏力方向指向遠離其平衡位置時。
• 條件： 通常發生在氣塊的相對渦度是順時針的，並且其大小超過了行星渦度（即 $\zeta_{rel} < -f$），或者在垂直方向上，氣塊的運動與其所受的科氏力方向相反。

(b) 慣性重力波 (Inertial Gravity Wave) 與地轉調整 (Geostrophic Adjustment)

慣性重力波：
慣性重力波是地球自轉座標系中，由擾動引起的一種波動。它同時受到科氏力（慣性效應）和恢復力（重力或壓力梯度力）的影響。
其頻率 $\omega$ 與波數向量 $\mathbf{k}$ 的關係為：
$\omega^2 = f^2 + c^2 k^2$
其中 $f$ 是科氏參數，$\omega$ 是波的頻率，$\mathbf{k}$ 是水平波數向量， $c$ 是波速（例如，聲速或重力波速）。

• 慣性效應 ($f^2$)： 這是由於地球自轉引起的。當擾動在水平方向上運動時，科氏力會產生恢復力，使波的頻率降低。
• 重力效應 ($c^2 k^2$)： 這是由於壓力梯度力（或重力）作為恢復力引起的。

此題考察學生對準地轉理論的掌握，包括其基本假設、方程組，以及如何應用準地轉方程分析大尺度天氣系統的演變。

(a) 準地轉系統及其方程式

準地轉理論 (Quasi-Geostrophic Theory)：
準地轉理論是一種近似理論，用於分析大尺度、中緯度、準地轉平衡天氣系統的動力學。它基於以下兩個主要近似：

1. 準地轉平衡 (Quasi-Geostrophic Balance)： 認為水平氣壓梯度力與科氏力大致平衡，但存在微小的偏差，這些偏差是系統演變的驅動力。即：
   $\mathbf{f} \times \mathbf{v} \approx \nabla p / \rho$
   其中 $\mathbf{f}$ 是科氏參數，$\mathbf{v}$ 是水平速度，$\nabla p$ 是壓力梯度，$\rho$ 是密度。
2. 準地轉斜率 (Quasi-Geostrophic Slope)： 認為水平速度的偏差（相對於地轉風）與垂直速度的偏差（相對於地轉垂直速度）的比例很小。

基於這些近似，準地轉理論推導出了一套簡化的動力學方程組，稱為準地轉方程組。

準地轉方程組包含的主要方程式：

1. 準地轉連續方程 (Quasi-Geostrophic Vorticity Equation)：
   描述了絕對渦度隨時間的變化，主要由相對渦度的平流、行星渦度的平流（由於緯度變化）和垂直運動引起的渦度變化組成。
   $\frac{\partial \zeta}{\partial t} + \mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta + f (\nabla \cdot \mathbf{v}) + w (\frac{\partial f}{\partial z}) = 0$
   在準地轉近似下，通常寫為：
   $\frac{\partial \zeta_g}{\partial t} + \mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta_g + f (\nabla \cdot \mathbf{v}_g) + w_g (\frac{\partial f}{\partial z}) = 0$
   更常見的形式是：
   $\frac{\partial \zeta_g}{\partial t} + \mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta_g + f w_z = 0$
   其中 $\zeta_g$ 是地轉渦度，$\mathbf{v}_g$ 是地轉風，$\nabla \cdot \mathbf{v}_g$ 是水平速度散度， $f$ 是科氏參數，$w_z = \frac{\partial w}{\partial z}$ （這裡 $w$ 是垂直速度）。

2. 準地轉熱力方程 (Quasi-Geostrophic Thermal Equation) 或 準地轉絕熱方程：
   描述了相當於位溫的量（或溫度）隨時間的變化，主要由平流和垂直運動引起的絕熱加熱/冷卻組成。
   $\frac{\partial \theta}{\partial t} + \mathbf{v}_g \cdot \nabla \theta + w_g N^2 = 0$
   其中 $\theta$ 是位溫，$N^2$ 是布伊西涅-邁厄函數 (Brunt-Väisälä frequency) 的平方，代表大氣的穩定度。

3. 準地轉 Omega 方程 (Quasi-Geostrophic Omega Equation)：
   這是準地轉理論的核心方程之一，它將垂直速度 $\omega$ (或 $w$) 與水平渦度變化和溫度變化聯繫起來。它是由熱力方程和渦度方程組合推導出來的。
   $\omega = \omega_{ad} + \omega_{tv}$
   其中 $\omega_{ad}$ 是由渦度變化引起的垂直運動，$\omega_{tv}$ 是由溫度平流引起的垂直運動。
   $\nabla^2 \omega + f^2 \frac{\partial^2 \omega}{\partial z^2} = f \frac{\partial}{\partial z} (\mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta_g) - \frac{R}{p} \nabla^2 (\mathbf{v}_g \cdot \nabla T)$
   或者更常見的形式，其中 $\omega$ 是指 $\frac{dp}{dt}$：
   $\nabla^2 \omega + f^2 \frac{\partial^2 \omega}{\partial z^2} = f \frac{\partial}{\partial z} (\mathbf{v}_g \cdot \nabla \zeta_g) - \frac{R}{p} \nabla^2 (\mathbf{v}_g \cdot \nabla T)$
   其中 $\nabla^2$ 是水平拉普拉斯算子。

4. 準地轉重力位趨勢方程 (Quasi-Geostrophic Tendency Equation)：
   這個方程將 500 hPa 高度（或某個參考高度）的位勢高度變化率 ($\frac{\partial \phi}{\partial t}$) 與垂直速度 ($\omega$) 和水平渦度變化聯繫起來。它也被稱為準地轉發展方程。
   $\frac{\partial \phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla (\phi + f z) - \frac{R}{p} \omega N^2$
   在 500 hPa 等壓面上，位勢高度 $\phi$ 的變化率主要由兩部分決定：

   • 水平平流： $\mathbf{v}_g \cdot \nabla (\phi + f z)$，指地轉風將渦度平流到該高度。
   • 垂直運動效應： $-\frac{R}{p} \omega N^2$，指該高度上方的垂直運動 ($\omega$) 及其對溫度/位勢的影響。

主要變數：

• $t$: 時間
• $\mathbf{v}_g$: 地轉風速度 (水平向量)
• $\zeta_g$: 地轉渦度 (垂直分量)
• $\nabla$: 水平梯度算子
• $\nabla^2$: 水平拉普拉斯算子
• $f$: 科氏參數
• $w$: 垂直速度 (通常指 $dz/dt$)
• $\omega$: 垂直速度 (指 $dp/dt$)
• $\theta$: 位溫
• $N^2$: 布伊西涅-邁厄函數平方
• $\phi$: 位勢高度
• $R$: 乾空氣的氣體常數
• $p$: 壓力
• $T$: 温度

(b) 準地轉重力位趨勢方程與 500 hPa 脊前 (東側) 的發展

核心概念：
脊 (Ridge) 是指在高空圖上，某個等位勢高度線（如 500 hPa）向高緯度凸出的區域。脊前（東側）是指脊線以東的區域。
準地轉重力位趨勢方程：
$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \mathbf{v}_g \cdot \nabla (\phi + f z) - \frac{R}{p} \omega N^2$
在 500 hPa 等壓面上，$\phi$ 的變化率（趨勢）由兩部分決定：

1. 渦度平流： $\mathbf{v}_g \cdot \nabla (\phi + f z)$。這裡的 $(\phi + f z)$ 可以看作是與渦度相關的量。
2. 垂直運動效應： $-\frac{R}{p} \omega N^2$。指該高度上方的垂直運動對該高度位勢高度的影響。

脊前（東側）的發展分析：

• 脊的結構： 在脊的東側，通常是從高緯度流向低緯度的南風，或者從低緯度流向高緯度的北風，但其特徵是位勢高度從西向東降低。
• 渦度場：
  • 在脊的東側，通常是渦度較小（甚至為負，即反氣旋性）的區域。
  • 脊前（東側）通常位於一個更大尺度的槽的西方。
  • 考慮一個脊的東側。從西向東，位勢高度 $\phi$ 降低。
  • 如果我們考慮 $\phi + f z$ (這裡 $z$ 通常指高度，但這裡的 $z$ 是指與壓力相關的量，或者可以認為是與溫度/位溫相關的量)，在脊的東側，通常是從低渦度區（脊的東側）向高渦度區（槽的西側）移動。
  • 更直接地，考慮 $\mathbf{v}_g \cdot \nabla (\phi + f z)$。在脊的東側，通常是從較低渦度區域向較高渦度區域移動。
  • 如果我們考慮一個簡單的脊，其東側是從高位勢向低位勢。地轉風通常是從高位勢流向低位勢。
  • 在脊的東側，通常是從西向東的風（例如，北風或南風，取決於具體位置）。
  • 若脊的東側是從高緯度（高 $f$）流向低緯度（低 $f$），則行星渦度 $f$ 變化很重要。
  • 一般而言，在脊前（東側），地轉風將渦度平流到該區域。