111 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《大氣動力學》

本題主要在探討絕對角動量守恆在一個大氣動力學問題中的應用，並結合科氏力效應來解釋物體的偏轉現象，最後計算慣性流的偏轉半徑。

【核心觀念】

1. 絕對角動量守恆 (Conservation of Absolute Angular Momentum)：在沒有外力矩作用下，系統的絕對角動量保持不變。絕對角動量包含地球自轉的角動量和物體相對於地球自轉軸的角動量。
2. 科氏力 (Coriolis Force)：由於地球自轉，在旋轉參考座標系中運動的物體會受到一個看似的力，即科氏力。它會使北半球的物體向右偏轉，南半球向左偏轉。
3. 慣性流 (Inertial Flow)：在水平方向上，當物體僅受科氏力作用時，會沿著水平方向做圓周運動，此種運動稱為慣性流。

【詳解】

何謂絕對角動量守恆？

絕對角動量 $M$ 定義為物體相對於地球自轉軸的角動量。對於位於地球表面、緯度為 $\phi$ 的質點，其絕對角動量可以表示為：
$M = r^2 \Omega \sin\phi + u_x r \cos\phi$
其中 $r$ 是質點距離地球自轉軸的垂直距離，$r = R_e \cos\phi$ ($R_e$ 為地球半徑)，$\Omega$ 是地球自轉角速度，$\phi$ 是緯度，而 $u_x$ 是物體相對於地球表面的東西向速度。

絕對角動量守恆定律指出，在忽略摩擦力和非保守力（如壓力梯度力）的影響下，如果一個氣塊僅在水平方向上運動，且沒有受到外力矩作用，則其絕對角動量 $M$ 應保持不變。

依此解釋北緯45度的靜止氣塊突然向北位移時將如何偏轉？

假設一個靜止的氣塊位於北緯45度 ($\phi_0 = 45^\circ$)，其初始的絕對角動量為：
$M_0 = R_e^2 \cos^2\phi_0 \Omega \sin\phi_0$
（因為初始靜止，所以 $u_x = 0$）。

當此氣塊突然向北位移至較高的緯度 $\phi > \phi_0$ 時，其距離地球自轉軸的垂直距離 $r = R_e \cos\phi$ 會減小，因為 $\cos\phi$ 隨著 $\phi$ 增大而減小。
根據絕對角動量守恆定律 $M = r^2 \Omega \sin\phi + u_x r \cos\phi = M_0$。
由於 $r$ 減小，為了保持 $M$ 不變，必須有新的項 $u_x r \cos\phi$ 產生。
$(R_e \cos\phi)^2 \Omega \sin\phi + u_x (R_e \cos\phi) \cos\phi = R_e^2 \cos^2\phi_0 \Omega \sin\phi_0$
$u_x = \frac{R_e^2 \cos^2\phi_0 \Omega \sin\phi_0 - (R_e \cos\phi)^2 \Omega \sin\phi}{(R_e \cos\phi) \cos\phi}$
$u_x = \frac{R_e \Omega}{\cos\phi} \left( \frac{\cos^2\phi_0 \sin\phi_0}{\cos\phi} - \cos\phi \sin\phi \right)$
由於氣塊向北移動，緯度 $\phi$ 增加，$\sin\phi$ 增加，$\cos\phi$ 減小。

核心觀念

本題考查中高緯度大氣中，水平氣壓梯度力、科氏力與曲率所造成的向心加速度三者達成的梯度風平衡。

梯度風是沿等壓線作曲線運動時的風，其平衡關係為

$$\frac{V^2}{R}+fV = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n},$$

其中：

• $V$：切向風速；
• $R$：氣流曲率半徑；
• $f$：科氏參數；
• $\rho$：空氣密度；
• $n$：由低壓中心指向外側的徑向座標。

在北半球：

• 正常低壓為氣旋式旋轉，風向逆時針；
• 正常高壓為反氣旋式旋轉，風向順時針。

關鍵在於梯度風方程中有二次項 $V^2/R$，因此高壓情況會產生判別式限制；低壓情況則不會。

解題方法：建立梯度風平衡方程

取徑向向外為正方向。對圓形氣流而言，實際水平加速度為向心加速度：

$$a_r=-\frac{V^2}{R}.$$

水平運動方程的徑向分量為

$$-\frac{V^2}{R}-fV = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}.$$

整理得

$$\boxed{ \frac{V^2}{R}+fV = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} }$$

這就是梯度風平衡式。

若壓力隨半徑向外增加，則

$$\frac{\partial p}{\partial r}>0,$$

代表中心為低壓；若壓力向外減少，則

$$\frac{\partial p}{\partial r}<0,$$

代表中心為高壓。

正常低壓：氣壓梯度沒有上限

北半球正常低壓的風為逆時針，令逆時針方向為正，因此

$$V>0.$$

低壓中心壓力較低，壓力向外增加，所以

$$\frac{\partial p}{\partial r}>0.$$

梯度風方程為

$$\frac{V^2}{R}+fV = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}.$$

左側兩項皆為正：

• $V^2/R$ 為曲率造成的向心加速度大小；
• $fV$ 為科氏項。

解此二次方程：

$$V^2+fRV-\frac{R}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}=0,$$

因此

$$V = -\frac{fR}{2} + \sqrt{ \left(\frac{fR}{2}\right)^2 + \frac{R}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} }.$$

由於低壓時

$$\frac{\partial p}{\partial r}>0,$$

所以根號內為

$$\left(\frac{fR}{2}\right)^2 + \frac{R}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}>0,$$

對任意大的正氣壓梯度，判別式都維持為正。因此數學上不存在氣壓梯度的上限。

物理上，低壓的氣壓梯度力指向低壓中心，與向心加速度方向一致；科氏力則向外，會抵消部分氣壓梯度力。當氣壓梯度增強時，風速可以增大，所需的向心加速度 $V^2/R$ 也同時增大，故不存在類似高壓的最大氣壓梯度限制。

正常高壓：氣壓梯度有上限

北半球正常高壓的風為順時針。若仍以逆時針為正，則高壓風速為

$$V<0.$$

高壓中心壓力較高，壓力向外降低，因此

$$\frac{\partial p}{\partial r}<0.$$

梯度風方程仍為

$$\frac{V^2}{R}+fV = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}.$$

將其視為 $V$ 的二次方程：

$$V^2+fRV-\frac{R}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}=0.$$

其解為

$$V = -\frac{fR}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{fR}{2}\right)^2 + \frac{R}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} }.$$

因為高壓時 $\partial p/\partial r<0$，必須要求根號內不小於零：

$$\left(\frac{fR}{2}\right)^2 + \frac{R}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} \geq 0.$$

整理得

本題旨在釐清淺水運動中位渦 (potential vorticity) 的重要性，以及為何它比垂直渦度 (vertical vorticity) 更適合用來分析淺水運動的偏轉行為。

【核心觀念】

1. 位渦 (Potential Vorticity, PV)：位渦是描述流體在絕熱、無摩擦條件下，其渦度、穩定度和厚度之間關係的一個守恆量。對於一個具有可壓縮性、非均勻密度且受科氏力作用的流體，其位渦的守恆是基本定律。
2. 垂直渦度 (Vertical Vorticity)：指流體質點繞垂直軸的渦度，即 $\zeta = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$。
3. 淺水運動 (Shallow Water Motion)：指流體運動的垂直尺度遠小於水平尺度，且流體密度近似均勻（或僅有少量密度變化），運動主要由一個或幾個流體層的水平運動來描述。例如，海洋的表層水、大氣中的中尺度對流系統（在某些近似下）。
4. 絕對渦度 (Absolute Vorticity)：垂直渦度與行星渦度（地球自轉引起的垂直渦度）之和，即 $\eta = \zeta + f$。

【詳解】

解釋淺水渦 (Potential Vorticity)

在絕熱、無摩擦的條件下，一個具有均勻密度的淺水層，其位渦 (PV) 是守恆的。對於一個厚度為 $H$ 的均勻密度淺水層，其位渦定義為：
$PV = \frac{\zeta + f}{H}$
其中 $\zeta$ 是相對渦度（垂直渦度），$f$ 是行星渦度（科氏參數）。
這個定義可以推廣到密度不均勻但壓力與深度呈線性關係的情況。

位渦守恆定律指出，在上述理想條件下，一個流體塊的位渦值不會改變。這意味著，如果流體層的厚度 $H$ 改變，相對渦度 $\zeta$ 也必須改變，以保持 $\frac{\zeta + f}{H}$ 的值不變。

在分析淺水運動是否偏轉時，為何必須使用位渦來說明，而不能使用垂直渦度？

當我們討論淺水運動的偏轉時，我們實際上是在討論其絕對渦度 $\eta = \zeta + f$ 的變化。
淺水運動的特點是其垂直尺度 $H$ 相對於水平尺度很小，並且通常假設為均勻密度。
在這種情況下，位渦守恆定律 $\frac{\zeta + f}{H} = \text{constant}$ 變得非常重要。
我們可以將其改寫為：
$\zeta + f = \text{constant} \times H$
$\zeta = (\text{constant}) \times H - f$
這表明，淺水層的相對渦度 $\zeta$ 不僅取決於行星渦度 $f$，還與其厚度 $H$ 成正比。

為什麼不能只用垂直渦度 $\zeta$？

垂直渦度 $\zeta$ 本身並不是一個守恆量，它會受到厚度 $H$ 的影響。
在淺水運動中，由於流體層的伸縮（厚度 $H$ 的變化），會引起相對渦度 $\zeta$ 的變化。
例如：

1. 收縮 (Convergence)：當淺水層受到水平輻合作用，導致厚度 $H$ 減小。根據位渦守恆 $\frac{\zeta + f}{H} = \text{constant}$，如果 $H$ 減小，為了保持 PV 不變，分子 $\zeta + f$ 必須增加。由於 $f$ 是常數（在局部區域），所以 $\zeta$ 必須增加。

本題主要探討飽和相當位溫 (Equivalent Potential Temperature, $T_{e}$) 的定義、守恆性及其與條件性不穩定 (Conditional Instability) 的關係。

【核心觀念】

1. 飽和相當位溫 ($T_e$)：指將濕空氣絕熱地加熱或冷卻至飽和狀態，然後再絕熱地壓縮或膨脹至標準氣壓 1000 hPa 時的溫度。它是一個綜合考慮了濕度和壓力對空氣溫度影響的量。
2. 保守量 (Conservative Property)：在沒有非絕熱過程（如摩擦、輻射、潛熱釋放等）影響下，一個物理量保持不變的性質。
3. 絕熱過程 (Adiabatic Process)：系統與外界沒有熱量交換的過程。
4. 條件性不穩定 (Conditional Instability)：指大氣的穩定度取決於空氣塊的濕度。當濕空氣塊上升並達到飽和後，由於潛熱釋放，其溫度遞減率會小於環境溫度遞減率，導致其變得不穩定。乾空氣塊則可能在飽和前就變得穩定。
5. 相當位溫 ($T_{e}$)：一個比 $T_e$ 更廣泛的概念，指將濕空氣絕熱地壓縮至飽和，然後再絕熱地加熱至飽和，最後再絕熱地壓縮至標準氣壓 1000 hPa 時的溫度。$T_e$ 考慮了潛熱釋放的影響。

【詳解】

何謂飽和相當位溫 ($T_e$)？

飽和相當位溫 ($T_e$) 是指一個空氣塊：

1. 首先，將其絕熱地加熱或冷卻，使其溫度變化，直到空氣塊達到飽和狀態。
2. 然後，將這個飽和空氣塊絕熱地壓縮或膨脹，直到其壓力達到標準大氣壓 1000 hPa。
   此時的溫度，即為該空氣塊的飽和相當位溫 $T_e$。

$T_e$ 可以看作是將濕空氣中的水汽全部凝結釋放潛熱後，再將其絕熱地調整到標準參考壓力（1000 hPa）時的溫度。它反映了空氣塊的總熱力學含量，包括乾空氣的熱含量和水汽的潛熱含量。

試證明飽和濕空氣在運動時的飽和相當位溫為近乎保守量 (假設無其它非絕熱過程)。

這裡的敘述有點歧義，通常我們說的是「濕空氣」的相當位溫（$T_e$）是保守量，而不是「飽和濕空氣」的相當位溫。
更精確的說法是：在絕熱過程中，一個空氣塊的相當位溫 $T_e$ 是守恆的。
我們來證明這個守恆性。

相當位溫 $T_e$ 的定義可以通過一個過程來理解：

1. 將一個濕空氣塊（溫度 $T$, 氣壓 $p$, 比濕 $q$）絕熱地移動到飽和狀態（溫度 $T_s$, 壓力 $p'$）。
2. 然後，將這個飽和空氣塊絕熱地加熱（因為有潛熱釋放），直到它變成乾空氣（比濕 $q'=0$），此時的溫度為 $T'_s$。
3. 最後，將這個乾空氣塊絕熱地移動到標準壓力 $p_0 = 1000$ hPa，得到溫度 $T_e$。

更常見的推導是通過位渦守恆或類似的守恆定律。
一個簡化的證明方法是考慮相當位溫的定義公式：
$T_e = T \left( \frac{p_0}{p_{eff}} \right)^{R_d/c_p}$
其中 $p_{eff}$ 是一個「有效壓力」，它考慮了水汽的影響。
對於飽和空氣，其相當位溫 $T_e$ 的一個重要性質是，在絕熱過程中，它是守恆的。

證明過程：
考慮一個濕空氣塊，其狀態由溫度 $T$、氣壓 $p$ 和比濕 $q$ 定義。
相當位溫 $T_e$ 的定義可以寫成：
$T_e = T \left( \frac{1000 \text{ hPa}}{p_{eff}} \right)^{R_d/c_p}$
其中 $p_{eff}$ 是一個與空氣塊的總焓量有關的壓力。

更直接的證明是從濕絕熱過程 (moist adiabatic process) 出發。
飽和相當位溫 $T_e$ 的守恆性源於以下事實：
在絕熱過程中，如果空氣塊是濕的（未飽和），它的溫度 $T$ 和比濕 $q$ 會變化。
如果空氣塊是飽和的，它的溫度 $T_s$ 和壓力 $p$ 會變化，並且當它上升時，會釋放潛熱，這會使其溫度遞減率小於乾絕熱遞減率。

一個關鍵的物理量是總焓量。在絕熱過程中，總焓量守恆。
相當位溫 $T_e$ 可以被看作是空氣塊的總焓量的一種度量。
$T_e$ 的守恆性，是基於以下幾個過程的組合：

1. 乾絕熱過程：溫度 $T$ 和壓力 $p$ 變化，比濕 $q$ 不變。
2. 飽和絕熱過程：溫度 $T_s$ 和壓力 $p$ 變化，水汽凝結釋放潛熱，比濕 $q_s$ 變化。
3. 水汽凝結：釋放潛熱，導致溫度變化。

相當位溫 $T_e$ 的一個常見定義公式為：
$T_e = T_{set} \exp\left(\frac{L_v q_s(T_{set}, p)}{c_p T_{set}} - \frac{R_d}{c_p} \ln\left(\frac{p}{p_0}\right)\right)$
其中 $T_{set}$ 是將空氣塊絕熱地移動到飽和狀態時的溫度，$q_s$ 是該溫度下的飽和比濕，$L_v$ 是水汽的潛熱，$c_p$ 是定壓比熱，$R_d$ 是乾空氣的氣體常數，$p_0=1000$ hPa。

簡化的證明思路：
相當位溫 $T_e$ 可以被視為空氣塊在飽和時的「乾空氣相當溫度」，並且考慮了潛熱釋放的效應。
在絕熱過程中，如果沒有額外的水汽加入或移除，且無非絕熱過程。
對於未飽和空氣，其溫度 $T$ 和比濕 $q$ 變化，但 $T_e$ 保持不變。
對於飽和空氣，其溫度 $T_s$ 和壓力 $p$ 變化，會釋放潛熱。這個潛熱的釋放過程，本身就是 $T_e$ 定義的一部分。

更精確的數學證明通常涉及以下關係：

1. 乾絕熱過程：$\frac{dT}{T} - \frac{R_d}{c_p} \frac{dp}{p} = 0$

本題主要探討慣性不穩定 (inertial instability) 的概念、發生條件、在高壓與低壓系統中的差異，以及其與對稱不穩定 (symmetric instability) 的關係。

【核心觀念】

1. 慣性不穩定 (Inertial Instability)：指當流體質點所受的科氏力與離心力之和不足以提供所需的向心力時，會產生向外加速的現象。這發生在水平運動中，當運動軌跡的曲率與科氏參數 $f$ 的乘積小於質點速度時。
2. 科氏力 (Coriolis Force)：因地球自轉而產生的慣性力，在北半球向右偏，南半球向左偏。
3. 離心力 (Centrifugal Force)：在旋轉參考系中，物體沿曲線運動時感受到的向外力。
4. 梯度風平衡 (Gradient Wind Balance)：氣壓梯度力、科氏力與離心力之間的平衡。
5. 對稱不穩定 (Symmetric Instability)：指在垂直平面內，當流體質點所受的浮力與科氏力之和不足以提供所需的向心力時，會產生向外（或向內）加速的現象。這發生在具有水平風切變的垂直運動中，當運動軌跡的曲率與科氏參數 $f$ 的乘積小於垂直速度時。
6. 絕對渦度 (Absolute Vorticity)：垂直渦度與行星渦度之和 ($\eta = \zeta + f$)。

【詳解】

(a) 試說明慣性不穩定及其發生的條件。(5分)

慣性不穩定 (Inertial Instability)

慣性不穩定是一種發生在水平運動中的不穩定性。它發生於當一個流體質點在水平方向上進行圓周運動時，其所受的合力（科氏力與離心力的合力）不足以提供維持該圓周運動所需的向心力，進而導致質點向外加速。

更具體地說，考慮一個質點在水平面上運動，受到科氏力 $f \vec{v}$ 和離心力 $\frac{v^2}{r} \hat{n}$（其中 $\hat{n}$ 指向圓心）。為了維持一個半徑為 $r$ 的圓周運動，需要一個向心加速度 $\frac{v^2}{r}$。
在梯度風平衡中，我們有：

• 高壓系統：氣壓梯度力指向低壓，平衡科氏力（指向高壓）與離心力（指向低壓）。
  $\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n} = f v + \frac{v^2}{r}$
• 低壓系統：氣壓梯度力指向高壓，與離心力（指向低壓）之和平衡科氏力（指向低壓）。
  $\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n} + \frac{v^2}{r} = f v$

慣性不穩定的發生條件：
慣性不穩定發生在當離心力加上科氏力不足以平衡氣壓梯度力，或者說，當氣壓梯度力不足以維持所需的運動時。

在梯度風平衡的框架下，我們可以這樣理解：

• 高壓系統：方程式為 $\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n} = f v + \frac{v^2}{r}$。這裡 $f v$ 和 $\frac{v^2}{r}$ 都指向「外面」（低壓方向）。如果氣壓梯度力 $\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n}$ 顯著大於 $f v + \frac{v^2}{r}$，則會產生向內（高壓）的淨力，這與高壓系統的環流方向相反。
  實際上，慣性不穩定發生在當科氏力加上離心力不足以提供足夠的向心力來平衡氣壓梯度力時。
  我們可以從另一個角度來看：考慮一個質點以速度 $v$ 沿著半徑為 $r$ 的圓形軌跡運動。
  如果 $f v + \frac{v^2}{r} < \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n}$（高壓），則淨力是向內的，這會使質點加速向內，這不是慣性不穩定。
  慣性不穩定發生在當向外的力（離心力）加上科氏力不足以平衡向內的力（氣壓梯度力）時。
  或者說，當氣壓梯度力不足以提供所需的合力時。

  更簡潔的條件：
  慣性不穩定發生在當流體質點以速度 $v$ 沿著半徑為 $r$ 的圓形軌跡運動時，若滿足：
  $\left| f v + \frac{v^2}{r} \right| < \left| \text{PGF} \right|$
  這裡的符號和方向很重要。
  在高壓系統中，氣壓梯度力指向低壓，科氏力指向高壓（在北半球，若 $v$ 是順時針），離心力指向低壓。
  $\text{PGF}_{\text{out}} = f v_{\text{in}} + \frac{v^2}{r}_{\text{out}}$
  慣性不穩定發生在當 $\frac{v^2}{r} + |f|v < \text{ 某個向內的力 }$。

  最直接的定義：
  慣性不穩定發生在當一個質點以速度 $v$ 沿著半徑為 $r$ 的圓形軌跡運動，且 $\frac{v}{r} < |f|$。
  這意味著，如果質點的速度 $v$ 相對於其運動軌跡的曲率 $1/r$ 來說，不足以產生足夠的科氏力來抵消離心力，則會發生不穩定。
  或者說，當 $\frac{v}{r} < |f|$ 時，科氏力 $f v$ 不足以平衡離心力 $\frac{v^2}{r}$（如果 $f>0$ 且 $v$ 導致向右偏）。
  嚴格來說，慣性不穩定發生在當科氏力與離心力的合力不足以提供所需的向心力時。
  在水平運動中，如果一個質點以速度 $v$ 沿著半徑為 $r$ 的圓形軌跡運動，則其向心加速度為 $\frac{v^2}{r}$。
  在北半球，科氏力提供 $f v$ 的向右偏力，離心力提供 $\frac{v^2}{r}$ 的向外力。
  如果科氏力 $f v$ 和離心力 $\frac{v^2}{r}$ 的合力（在其運動方向的垂直方向上）不足以提供向心力 $\frac{v^2}{r}$，則會發生慣性不穩定。
  條件是：當 $\frac{v}{r} < |f|$ 時。
  這意味著，如果物體的運動速度 $v$ 相對於其運動軌跡的曲率 $1/r$ 較小，或者行星渦度 $f$ 較大，則容易發生慣性不穩定。
  例如，在大尺度、低風速的環流中，或者在高緯度地區（$f$ 較大），更容易出現 $\frac{v}{r} < |f|$ 的情況。

(b) 解釋大尺度氣旋環流與反氣旋環流何者較容易產生慣性不穩定。(5分)

慣性不穩定在高壓（反氣旋）和低壓（氣旋）環流中的比較：

• 低壓系統 (Cyclone)：
  氣壓梯度力指向高壓（內側），科氏力指向低壓（外側，北半球逆時針），離心力也指向低壓（外側）。
  梯度風平衡方程式：$\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n} + \frac{v^2}{r} = f v$。
  在這裡，科氏力 $f v$ 和離心力 $\frac{v^2}{r}$ 共同抵抗氣壓梯度力 $\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n}$。
  如果 $\frac{v}{r} < |f|$，那麼 $f v$ 的方向（指向低壓）會比 $\frac{v^2}{r}$ 更能抵抗氣壓梯度力（指向高壓）。
  實際上，在低壓系統中，科氏力 $f v$ 總是與氣壓梯度力 $\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n}$ 方向相反（或部分相反），並且離心力 $\frac{v^2}{r}$ 也與氣壓梯度力方向相反（指向低壓）。
  從另一個角度看：
  在低壓系統中，科氏力 $f v$ 的作用方向是「向外」（指向低壓）。
  如果 $\frac{v}{r} < |f|$，意味著離心力 $\frac{v^2}{r}$ 相對於科氏力 $f v$ 較小。

本題主要探討準地轉 (quasi-geostrophic) 近似下，500 hPa 槽前（東側）的發展及其垂直運動。這需要運用準地轉重力位趨勢方程和準地轉 $\omega$ 方程。

【核心觀念】

1. 準地轉近似 (Quasi-Geostrophic Approximation)：在討論大尺度天氣系統時，假設流體運動接近地轉平衡，且科氏力、氣壓梯度力是主導力，但同時考慮微小的偏差，以便描述天氣系統的演變。
2. 重力位 (Geopotential)：等重力位面是與重力勢能相同的面。在氣象學中，通常指 $gz$ ($g$ 為重力加速度，$z$ 為高度)。
3. 重力位趨勢方程 (Geopotential Tendency Equation)：描述某一高度上重力位隨時間變化的方程。它與水平散度 (horizontal divergence) 和垂直運動 (vertical motion) 有關。
4. $\omega$ 方程 (Omega Equation)：描述空氣垂直運動速度 ($\omega = dp/dt$) 隨時間和空間變化的方程。它與水平散度的趨勢、溫度平流 (temperature advection) 和渦度平流 (vorticity advection) 有關。
5. 槽 (Trough)：在天氣圖上，等壓線或等重力位線向低值區（低壓）凸出的部分。槽前通常指槽的東側。
6. 渦度平流 (Vorticity Advection)：指渦度隨著氣流運動而傳播的現象。
7. 溫度平流 (Temperature Advection)：指溫度隨著氣流運動而傳播的現象。

【詳解】

(a) 試以準地轉重力位趨勢方程說明 500 hPa 槽前(東側)的發展。(10分)

準地轉重力位趨勢方程 (Quasi-Geostrophic Geopotential Tendency Equation)

在準地轉近似下，描述重力位趨勢的方程可以寫成：
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \vec{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega S_p$
其中 $\Phi$ 是重力位，$\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 是重力位的時間變化率。
$\vec{v}_g$ 是準地轉風，$\nabla \Phi$ 是重力位的水平梯度。
$- \vec{v}_g \cdot \nabla \Phi$ 代表重力位的平流項，即重力位隨風運動的傳播。
$\omega$ 是垂直速度 ($dp/dt$)，$S_p = -\frac{\partial \Phi}{\partial z} \frac{\partial \ln \theta}{\partial z}$ 是大氣的穩定度參數，通常為正值。

然而，更常用於分析天氣系統發展的準地轉重力位趨勢方程與水平散度相關：
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \nabla \cdot (\Phi \vec{v}_g) - \omega \frac{\partial \Phi}{\partial z}$
在準地轉近似下，更簡潔且常用的形式是基於散度：
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \vec{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega S_p$
或者，結合連續性方程和地轉關係，可以推導出：
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \vec{v}_g \cdot \nabla_p \Phi_0 - \omega \frac{\partial \Phi}{\partial z}$
其中 $\Phi_0$ 是某參考高度的重力位。

最關鍵的準地轉重力位趨勢方程形式，與水平散度有關，其形式為：
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \nabla \cdot (\vec{v}_g \Phi) - \omega \frac{\partial \Phi}{\partial z}$
在準地轉近似下，這個方程可以推導為：
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \vec{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega S_p$
或者，更直接地，與水平散度聯繫起來：
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \text{平流項} - \omega S_p$
其中平流項可以被進一步分解。

更常用於分析天氣系統發展的準地轉方程是基於渦度。
然而，如果專注於重力位趨勢方程，我們需要考慮它與水平散度的關係。
在準地轉近似下，由連續性方程和地轉關係可以得到：
$\nabla^2 \left(\frac{\partial \Phi}{\partial t}\right) = f \nabla \cdot \vec{v}_g$
由於 $\omega$ 方程的推導，我們知道 $\nabla \cdot \vec{v}_g = \frac{1}{f} \frac{\partial \omega}{\partial z}$。
所以，$\nabla^2 \left(\frac{\partial \Phi}{\partial t}\right) = \frac{\partial \omega}{\partial z}$
這表明，重力位的時間變化率的水平拉普拉斯算子與垂直速度的變化率有關。

對於 500 hPa 槽前 (東側) 的發展，我們通常考慮的是渦度平流和溫度平流。
500 hPa 是中層大氣，通常是天氣系統發展的關鍵高度。
槽前（東側）通常位於槽的右側（北半球）。

準地轉渦度方程 (Quasi-Geostrophic Vorticity Equation)
$\frac{\partial \zeta}{\partial t} = - \vec{v}_g \cdot \nabla (\zeta + f) + f \frac{\partial \omega}{\partial z}$
其中 $\zeta$ 是相對渦度。
在 500 hPa，假設 $\omega$ 的變化不大，則 $\frac{\partial \omega}{\partial z}$ 影響相對較小。
所以，$\frac{\partial \zeta}{\partial t} \approx - \vec{v}_g \cdot \nabla (\zeta + f)$
這表明渦度的變化主要由渦度平流決定。

槽前 (東側) 的特徵：
在 500 hPa 等重力位圖上，槽是重力位值向低值區凸出的部分。槽的東側通常是負渦度平流的區域（即較小的渦度被較大的渦度區域輸送過來），或者說是正渦度平流的區域（較大的渦度被較小的渦度區域輸送過來），具體取決於風和渦度的分佈。
在槽的東側，通常伴隨著冷平流（溫度梯度大）。

如何用重力位趨勢方程說明？
重力位趨勢方程 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 描述了該高度上重力位（也就是高度）的變化。

• 低壓發展 (槽加深)：意味著 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 在該區域為負值，即 500 hPa 高度下降，低壓系統加強。
• 高壓發展 (脊加深)：意味著 $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ 在該區域為正值，即 500 hPa 高度上升，高壓系統加強。

槽前 (東側) 的發展通常與低壓系統的加深有關。
在槽的東側，通常是正渦度平流的區域。這意味著，較高渦度的空氣被輸送到了渦度較低的區域。
準地轉渦度方程指出，如果 $\frac{\partial \zeta}{\partial t} > 0$，則有利於低壓發展。
在準地轉近似下，渦度的變化與渦度平流和垂直運動有關。
$\frac{\partial \zeta}{\partial t} = - \vec{v}_g \cdot \nabla (\zeta + f) + f \frac{\partial \omega}{\partial z}$
在槽的東側，通常是負渦度平流（較小的渦度被較大的渦度向上游輸送），或者正渦度平流（較大的渦度被較小的渦度向下游輸送）。
關鍵在於： 在槽前（東側），通常存在 冷平流。冷平流意味著溫度降低的空氣被帶入該區域。
根據準地轉熱量守恆方程（與重力位趨勢方程相關）：
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \vec{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega S_p$
在 500 hPa，$\frac{\partial \Phi}{\partial z} = g$。
在槽的東側，通常是冷平流，即 $\vec{v}_g \cdot \nabla \Phi < 0$（風從冷區吹向暖區，但這裡指的溫度梯度，如果溫度梯度指向西，風是向東，則為冷平流）。
在槽前（東側），通常伴隨有冷平流。冷平流意味著 $\vec{v}_g \cdot \nabla T < 0$。
在準地轉近似下，重力位的變化率與溫度平流有關。
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \vec{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega S_p$
在 500 hPa，如果存在冷平流 ($\vec{v}_g \cdot \nabla T < 0$)，這意味著溫度較低的空氣被帶入該區域。
在準地轉框架下，冷平流（$\vec{v}_g \cdot \nabla T < 0$）會導致負的重力位趨勢 ($\frac{\partial \Phi}{\partial t} < 0$)。
負的重力位趨勢意味著 500 hPa 高度會下降，這表明低壓系統在該區域加強（槽加深）。
因此，在 500 hPa 槽前（東側），由於存在冷平流，根據準地轉重力位趨勢方程，該區域的重力位會下降，表明槽在加深，即低壓系統在發展。

總結說明：
在 500 hPa，槽前（東側）通常是冷平流的區域。根據準地轉重力位趨勢方程：
$\frac{\partial \Phi}{\partial t} \approx - \vec{v}_g \cdot \nabla \Phi - \omega S_p$
在 500 hPa，$\frac{\partial \Phi}{\partial z} = g$。
冷平流 ($\vec{v}_g \cdot \nabla T < 0$) 會導致 $\vec{v}_g \cdot \nabla \Phi < 0$。
如果垂直運動 $\omega$ 的影響不是主導，那麼負的溫度平流（冷平流）將導致 $\frac{\partial \Phi}{\partial t} < 0$。
重力位趨勢為負 ($\frac{\partial \Phi}{\partial t} < 0$) 意味著 500 hPa 的高度下降，這表明該區域的低壓系統（槽）在加深，即槽前（東側）的發展。

(b) 試以準地轉 omega 方程說明 500 hPa 槽前(東側)的垂直運動。(10分)

準地轉 $\omega$ 方程 (Quasi-Geostrophic Omega Equation)

準地轉 $\omega$ 方程描述了垂直速度 $\omega = dp/dt$ 的變化，它綜合了渦度平流和溫度平流的影響。
其形式為：
$\omega = \omega_{adv} + \omega_{wvc}$
其中，
$\omega_{adv} = \frac{1}{f} \left( \vec{v}_g \cdot \nabla \zeta - \vec{v}_g \cdot \nabla (\zeta+f) \right)$
$\omega_{wvc} = \frac{1}{f} \left( \frac{\partial}{\partial t} \nabla^2 \Phi - \nabla \cdot \vec{v}_g \frac{\partial \zeta}{\partial z} \right)$
最常用且直觀的形式是：
$\omega = \omega_{temp} + \omega_{vort}$