111 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班在職生《應用數學》

此題為兩部分微分方程的求解，(a)為全微分方程，(b)為非齊次線性常係數微分方程。

Part a: 全微分方程

首先，我們需要確認此方程是否為全微分方程。給定的方程是 $e^{2x} (2 \cos y dx - \sin y dy) = 0$。
我們可以將其改寫為 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的形式。
令 $M(x,y) = e^{2x} (2 \cos y)$ 且 $N(x,y) = -e^{2x} \sin y$。
檢查全微分的條件：$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^{2x} 2 \cos y) = -2e^{2x} \sin y$。
$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (-e^{2x} \sin y) = -2e^{2x} \sin y$。
由於 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，故此方程為全微分方程。

全微分方程的解存在一個函數 $\Phi(x,y)$ 使得 $\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y)$ 且 $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y)$。
我們從 $\frac{\partial \Phi}{\partial x} = e^{2x} (2 \cos y)$ 開始積分：
$\Phi(x,y) = \int e^{2x} (2 \cos y) dx = (\int e^{2x} dx) (2 \cos y) = \frac{1}{2} e^{2x} (2 \cos y) + h(y) = e^{2x} \cos y + h(y)$。
其中 $h(y)$ 是關於 $y$ 的任意函數。

接著，我們利用 $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y)$ 來求解 $h(y)$：
$\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^{2x} \cos y + h(y)) = -e^{2x} \sin y + h'(y)$。
我們知道 $N(x,y) = -e^{2x} \sin y$，所以：
$-e^{2x} \sin y + h'(y) = -e^{2x} \sin y$。
這意味著 $h'(y) = 0$，因此 $h(y) = C_1$，其中 $C_1$ 是一個常數。

所以，$\Phi(x,y) = e^{2x} \cos y + C_1$。
全微分方程的解的形式為 $\Phi(x,y) = C$，即 $e^{2x} \cos y = C'$ (令 $C' = C - C_1$)。

現在應用初始條件 $y(0) = 0$：
將 $x=0$ 和 $y=0$ 代入解的方程：
$e^{2(0)} \cos(0) = C'$
$1 \cdot 1 = C'$
$C' = 1$。

因此，該微分方程的特解為 $e^{2x} \cos y = 1$。

Part b: 非齊次線性常係數微分方程

此題要求求解一個二階線性微分方程的冪級數解，其形式為 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$。

給定的微分方程為 $y'' + y' + x^2y = 0$。
此方程的係數 $P(x)=1$ 和 $Q(x)=x^2$ 在 $x=0$ 處都是解析的，因此 $x=0$ 是標準點 (ordinary point)，我們可以尋找冪級數解。
假設解的形式為 $y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$。
對 $y(x)$ 求導兩次：
$y'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$
$y''(x) = \sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}$

將這些代入微分方程：
$\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2} + \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} + x^2 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = 0$

為了合併這些級數，我們需要使它們的幂次相同。我們將第一個級數的索引變換，使其幂次為 $x^k$；第二個級數的索引變換，使其幂次為 $x^k$；第三個級數的幂次也調整為 $x^k$。

對於第一項 $\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}$，令 $k = n-2$，則 $n = k+2$。當 $n=2$ 時，$k=0$。
級數變為 $\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) a_{k+2} x^k$。

對於第二項 $\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$，令 $k = n-1$，則 $n = k+1$。當 $n=1$ 時，$k=0$。
級數變為 $\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k$。

對於第三項 $x^2 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+2}$，令 $k = n+2$，則 $n = k-2$。當 $n=0$ 時，$k=2$。
級數變為 $\sum_{k=2}^\infty a_{k-2} x^k$。

將變換後的級數代回方程：
$\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) a_{k+2} x^k + \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k + \sum_{k=2}^\infty a_{k-2} x^k = 0$

為了合併所有級數，我們將前兩個級數的 $k=0$ 和 $k=1$ 項單獨列出，然後從 $k=2$ 開始合併：
當 $k=0$: $(0+2)(0+1) a_2 x^0 + (0+1) a_1 x^0 = 2a_2 + a_1$
當 $k=1$: $(1+2)(1+1) a_3 x^1 + (1+1) a_2 x^1 = 6a_3 + 2a_2 x$

將 $k=0$ 和 $k=1$ 的項寫出，並從 $k=2$ 開始合併：
$(2a_2 + a_1) + (6a_3 + 2a_2) x + \sum_{k=2}^\infty [(k+2)(k+1) a_{k+2} + (k+1) a_{k+1} + a_{k-2}] x^k = 0$

為了使整個等式為零，每一項的係數都必須為零。
首先，考慮常數項和 $x$ 項的係數：
$k=0$: $2a_2 + a_1 = 0 \implies a_2 = -\frac{1}{2} a_1$
$k=1$: $6a_3 + 2a_2 = 0 \implies a_3 = -\frac{2}{6} a_2 = -\frac{1}{3} a_2$
將 $a_2$ 代入：$a_3 = -\frac{1}{3} (-\frac{1}{2} a_1) = \frac{1}{6} a_1$

核心觀念

對矩陣 $A$ 而言，若存在非零向量 $\mathbf v$ 滿足

$$A\mathbf v=\lambda \mathbf v,$$

則 $\lambda$ 稱為特徵值，$\mathbf v$ 稱為對應的特徵向量。

求出全部特徵值與特徵向量後，若能找到三個線性獨立的特徵向量，即可令

$$P=\begin{bmatrix}\mathbf v_1&\mathbf v_2&\mathbf v_3\end{bmatrix}, \qquad D=\begin{bmatrix} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3 \end{bmatrix},$$

並得到對角化結果

$$A=PDP^{-1}.$$

本題矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} -5&-6&6\\ -9&-8&12\\ -12&-12&16 \end{bmatrix},$$

且已知一個特徵值為 $\lambda_1=-2$。

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一、求特徵值

特徵方程為

$$\det(\lambda I-A)=0.$$

其中

$$\lambda I-A= \begin{bmatrix} \lambda+5&6&-6\\ 9&\lambda+8&-12\\ 12&12&\lambda-16 \end{bmatrix}.$$

沿第一列展開：

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) ={}&(\lambda+5)\left[(\lambda+8)(\lambda-16)+144\right]\\ &-6\left[9(\lambda-16)+144\right]\\ &-6\left[108-12(\lambda+8)\right]. \end{aligned}$$

化簡各部分：

$$(\lambda+8)(\lambda-16)+144 =\lambda^2-8\lambda+16,$$ $$9(\lambda-16)+144=9\lambda,$$ $$108-12(\lambda+8)=12-12\lambda.$$

因此

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=(\lambda+5)(\lambda^2-8\lambda+16)-54\lambda-72+72\lambda\\ &=\lambda^3-3\lambda^2-6\lambda+8. \end{aligned}$$

因為已知 $\lambda=-2$ 是特徵值，所以因式分解為

$$\lambda^3-3\lambda^2-6\lambda+8 =(\lambda+2)(\lambda-1)(\lambda-4).$$

故三個特徵值為

$$\boxed{\lambda_1=-2,\qquad \lambda_2=1,\qquad \lambda_3=4}.$$

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二、求對應於 $\lambda_1=-2$ 的特徵向量

解

$$(A+2I)\mathbf v=\mathbf 0.$$

有

$$A+2I= \begin{bmatrix} -3&-6&6\\ -9&-6&12\\ -12&-12&18 \end{bmatrix}.$$

令 $\mathbf v=(x,y,z)^T$，方程組為

$$\begin{cases} -3x-6y+6z=0,\\ -9x-6y+12z=0,\\ -12x-12y+18z=0. \end{cases}$$

前兩式分別除以 $-3$：

$$\begin{cases} x+2y-2z=0,\\ 3x+2y-4z=0. \end{cases}$$

由第一式得

$$x=-2y+2z.$$

代入第二式：

$$3(-2y+2z)+2y-4z=0,$$ $$-4y+2z=0, \qquad z=2y.$$

因此

$$x=-2y+2(2y)=2y.$$

取 $y=1$，得到特徵向量

$$\mathbf v_1= \begin{bmatrix} 2\\1\\2 \end{bmatrix}.$$

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三、求對應於 $\lambda_2=1$ 的特徵向量

解

$$(A-I)\mathbf v=\mathbf 0.$$

有

$$A-I= \begin{bmatrix} -6&-6&6\\ -9&-9&12\\ -12&-12&15 \end{bmatrix}.$$

方程組可寫成

$$\begin{cases} x+y-z=0,\\ -9x-9y+12z=0,\\ -12x-12y+15z=0. \end{cases}$$

核心觀念

本題考查向量微積分的基本定義與公式：

1. 純量函數 $h(x,y,z)$ 的梯度：

$$\nabla h = \left[ \frac{\partial h}{\partial x}, \frac{\partial h}{\partial y}, \frac{\partial h}{\partial z} \right]$$

2. 向量場 $F=[F_1,F_2,F_3]$ 的散度：

$$\nabla\cdot F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$$

3. 向量場 $F=[F_1,F_2,F_3]$ 的旋度：

$$\nabla\times F = \left[ \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}, \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right]$$

題目給定

$$u=[z,x,y],\qquad v=[y+z,z+x,x+y],$$

以及純量函數

$$f=x+y-z,\qquad g=xyz.$$

注意：題目 a 寫成 $\nabla\cdot(fg)$，但 $fg$ 是純量，散度只能作用於向量場，因此按嚴格定義此式無法成立。以下依計算題脈絡，採用合理修正：題目 a 原意為求 $\nabla(fg)$。

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a. 求 $\nabla(fg)$

先計算乘積：

$$fg=(x+y-z)xyz.$$

使用乘積微分法則：

$$\nabla(fg)=g\nabla f+f\nabla g.$$

由於

$$\nabla f = \left[ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right] = [1,1,-1],$$

且

$$\nabla g = \nabla(xyz) = [yz,xz,xy],$$

所以

$$\nabla(fg) = xyz[1,1,-1] + (x+y-z)[yz,xz,xy].$$

分別計算三個分量：

$$\frac{\partial(fg)}{\partial x} = xyz+(x+y-z)yz = yz(2x+y-z),$$ $$\frac{\partial(fg)}{\partial y} = xyz+(x+y-z)xz = xz(x+2y-z),$$ $$\frac{\partial(fg)}{\partial z} = -xyz+(x+y-z)xy = xy(x+y-2z).$$

因此

$$\boxed{ \nabla(fg) = \left[ yz(2x+y-z), xz(x+2y-z), xy(x+y-2z) \right] }$$

若題目 a 確實要求 $\nabla\cdot(fg)$，則因 $fg$ 為純量，該表示式在向量分析中沒有定義。

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b. 求 $\nabla\cdot(u\times v)$

第一步：計算 $u\times v$

$$u\times v = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ z&x&y\\ y+z&z+x&x+y \end{vmatrix}.$$

因此

$$u\times v = \left[ x(x+y)-y(z+x), \right.$$ $$\left. -\{z(x+y)-y(y+z)\}, \ z(z+x)-x(y+z) \right].$$

逐項化簡：

第一分量：

$$x(x+y)-y(z+x) = x^2+xy-yz-xy = x^2-yz.$$

第二分量：

$$-\{z(x+y)-y(y+z)\} = -(xz+yz-y^2-yz) = y^2-xz.$$

第三分量：

$$z(z+x)-x(y+z) = z^2+xz-xy-xz = z^2-xy.$$

所以

$$u\times v=[x^2-yz,\ y^2-xz,\ z^2-xy].$$

第二步：計算散度

$$\nabla\cdot(u\times v) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2-yz) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2-xz) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2-xy).$$

分別為

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2-yz)=2x,$$ $$\frac{\partial}{\partial y}(y^2-xz)=2y,$$