111 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班一般生《流體力學》

核心觀念

本題探討流體力學中連續方程式（質量保守方程式，Continuity Equation）在兩種不同觀察座標系下的物理表述與意義：

1. 歐拉觀點（Eulerian Viewpoint / Control Volume Approach）：以空間中固定的控制體積（Control Volume, CV）為觀察對象，關注特定空間位置隨時間的物理量變化。
2. 拉格朗日觀點（Lagrangian Viewpoint / System Approach）：以特定流體質點（Fluid Particle）或封閉流體系統（System）為觀察對象，跟隨質點運動，關注該質點自身物理量隨時間的變化。
3. 實質導數（Substantial / Material Derivative）：連結兩種觀點的數學算符：
   $\frac{d}{dt} = \frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec{V} \cdot \nabla$

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解題方法：推導與比較分析

1. 兩方程式的數學等價性

由向量恆等式展開散度項：
$\nabla \cdot (\rho \vec{V}) = \rho \nabla \cdot \vec{V} + \vec{V} \cdot \nabla \rho$

代入第一個方程式：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{V} \cdot \nabla \rho + \rho \nabla \cdot \vec{V} = 0$

根據實質導數的定義，前兩項即為隨體時間變化率（Material Derivative）：
$\frac{d\rho}{dt} \equiv \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{V} \cdot \nabla \rho$

整理後即得第二個方程式：
$\frac{d\rho}{dt} = -\rho \nabla \cdot \vec{V}$

兩式在數學上完全等價，分別代表同一物理守恆定律在不同視角下的展現。

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2. Eulerian Viewpoint 下之質量保守意義

對應方程式：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{V}) = 0 \implies \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\rho \vec{V})$

• 觀察基準：固定於空間中的微小控制體積 $dV$（空間位置 $\vec{x}$ 固定）。
• 項次物理意義：
  • $\frac{\partial \rho}{\partial t}$：空間固定點上流體密度的局部時間變化率（Local rate of change of density），乘以體積即為該控制體積內總質量的蓄積率。
  • $\nabla \cdot (\rho \vec{V})$：單位體積、單位時間內通過控制表面淨流出的質量通量（Net mass flux per unit volume leaving the control surface）。
• 守恆物理意義：
  「固定空間控制體積內質量的增加率，等於單位時間內流體由邊界面淨流入的質量率。」此視角不追蹤任何個別流體分子的行蹤，而是駐守在固定空間觀測質量的出入平衡。

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3. Lagrangian Viewpoint 下之質量保守意義

對應方程式：
$\frac{d\rho}{dt} = -\rho \nabla \cdot \vec{V} \implies \frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt} + \nabla \cdot \vec{V} = 0$

• 觀察基準：跟隨流體流動的一團特定流體微元（Fluid Element），其質量 $m = \rho\,\delta\mathcal{V}$ 為定值（系統質量守恆，

核心觀念

本題考驗流體力學中**環流（Circulation, $\Gamma$）的定義、極座標下的線積分，以及自由渦旋（Free Vortex / Irrotational Vortex）**的流場特性。

1. 環流的定義：
   環流 $\Gamma$ 定義為速度向量 $\vec{V}$ 沿著封閉曲線 $C$ 的線積分（通常取逆時針方向為正）：
   $\Gamma = \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{r}$

2. 自由渦旋之特性：
   題目給定之速度場為 $V_r = 0$、$V_\theta = \frac{A}{r}$。在極座標下，流體的 $z$ 方向渦度（Vorticity）$\omega_z$ 為：
   $\omega_z = (\nabla \times \vec{V})_z = \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial (r V_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial V_r}{\partial \theta} \right]$
   將 $V_\theta = \frac{A}{r}$ 代入可得：
   $\omega_z = \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial (A)}{\partial r} - 0 \right] = 0 \quad (r \neq 0)$
   這表示除了原點 $r = 0$ 為奇異點（Singularity）外，流場全區皆為無旋流（Irrotational Flow）。

3. 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）之應用：
   若封閉曲線圍繞無旋區域，環流值為零；但若封閉路徑圈繞奇異點 $r = 0$，則可藉由拓撲等效性，將任意封閉路徑變形為以原點為中心、半徑為 $R$ 的同心圓路徑進行計算。

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解題方法

方法一：選取同心圓封閉路徑積分

由於除了 $r = 0$ 之外全區無旋，根據複變柯西積分定理（Cauchy's Theorem）或格林定理（Green's Theorem），任何圍繞原點 $r = 0$ 一圈的簡單封閉路徑 $C$，其環流值皆與半徑為任意常數 $R$ 的圓形路徑 $C_R$ 相同。

1. 取一以原點為圓心、半徑為 $R$ 之逆時針圓形路徑 $C_R$：
   • 位置微元向量：$d\vec{r} = dr\,\hat{e}_r + r\,d\theta\,\hat{e}_\theta = R\,d\theta\,\hat{e}_\theta$（因沿圓周路徑 $dr = 0$）
   • 速度向量：$\vec{V} = V_r\,\hat{e}_r + V_\theta\,\hat{e}_\theta = \frac{A}{R}\,\hat{e}_\theta$

核心觀念

1. 自由渦旋（Free Vortex / Irrotational Vortex）：
   速度場僅有切線分量且滿足 $V_\theta \propto \frac{1}{r}$ 的二維流場，稱為「自由渦旋」或「非旋渦旋」。在此流場中，除原點（奇異點 $r = 0$）之外，全場渦度（Vorticity）皆為零。
2. 極座標下的渦度公式：
   在極座標 $(r, \theta)$ 下，垂直於流平面的渦度分量 $\omega_z$ 定義為： $$\omega_z = (\nabla \times \vec{V})_z = \frac{1}{r}\left[ \frac{\partial (r V_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial V_r}{\partial \theta} \right]$$
3. 史托克定理（Stokes' Theorem）與環流（Circulation）定義：
   封閉曲線 $C$ 的環流 $\Gamma$ 定義為速度向量沿該曲線的線積分： $$\Gamma = \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{r}$$ 若封閉曲線 $C$ 所圍成的區域 $R$ 內向量場及其一階偏導函數處處連續且單值（亦即區域內無奇異點），則可依據史托克定理將線積分轉換為渦度的面積分： $$\Gamma = \iint_R (\nabla \times \vec{V}) \cdot \hat{n} \, dA = \iint_R \omega_z \, dA$$

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解題方法

步驟一：分析流場速度分量與求出渦度

由題目給定條件：

• 徑向速度：$V_r = 0$
• 切線速度：$V_\theta = \frac{A}{r}$（$A > 0$）

在 $r > 0$ 的任意點計算垂直軸向的渦度分量 $\omega_z$：

$$\omega_z = \frac{1}{r}\left[ \frac{\partial}{\partial r}\left(r \cdot \frac{A}{r}\right) - \frac{\partial (0)}{\partial \theta} \right]$$

化簡括號內之項：

$$r \cdot V_\theta = r \cdot \frac{A}{r} = A$$

對 $r$ 微分（$A$ 為常數）：

核心觀念

本題旨在探討**自由渦流（Free Vortex / Potential Vortex）**的流場運動學特性，核心觀念與公式包括：

1. 極座標下的二維渦度（Vorticity）公式：
   在極座標 $(r, \theta)$ 下，垂直於流場平面的渦度分量 $\zeta$（或 $\omega_z$）定義為速度場旋度的垂直分量：

   $$\zeta = (\nabla \times \vec{V})_z = \frac{1}{r} \frac{\partial (r V_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r} \frac{\partial V_r}{\partial \theta}$$

2. 環流（Circulation, $\Gamma$）與史托克定理（Stokes' Theorem）：
   環流定義為速度沿封閉路徑 $C$ 的線積分：

   $$\Gamma = \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{r}$$

   由史托克定理，環流等於路徑所圍曲面 $S$ 上的渦度通量：

   $$\Gamma = \iint_S (\nabla \times \vec{V}) \cdot d\vec{A} = \iint_S \zeta \, dA$$

   定理適用的充分必要條件：速度場及其一階偏導數在該封閉區域 $S$ 內必須連續且單連通（simply connected），不可包含奇異點（singularity）。

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解題方法

1. 渦度（Vorticity）之計算

給定速度場：

$$V_r = 0, \quad V_\theta = \frac{A}{r} \quad (r > 0)$$

代入極座標垂直渦度公式：

$$\zeta = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \cdot \frac{A}{r} \right) - \frac{1}{r} \frac{\partial (0)}{\partial \theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial (A)}{\partial r} - 0$$

由於 $A$ 為常數，其對 $r$ 的偏微分為 $0$：

$$\zeta = 0 \quad (r > 0)$$

因此，除原點 $r = 0$ 之外，整個流場的渦度皆為零，屬於無旋流動（Irrotational Flow）。

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2. 環流與渦度「關係看似不一致」的成因分析

題目前兩小題計算之典型結果為：

• 小題 (1)：計算包圍原點半徑為 $R$ 的圓形路徑之環流： $$\Gamma = \oint V_\theta \, (r \, d\theta) = \int_0^{2\pi} \left(\frac{A}{R}\right) (R \, d\theta) = 2\pi A \neq 0$$
• 小題 (2)：計算不包圍原點的閉合路徑之環流，其結果為 $\Gamma = 0$。

核心觀念

本題考核二維極座標系（平面極座標 $r, \theta$）下理想流體的基本運動學與動力學描述：

1. 速度位（Velocity Potential, $\phi$）之定義：
   對於無旋流場，流速向量可表為速度位之梯度 $\vec{V} = \nabla\phi$。在極座標下分量為： $$v_r = \frac{\partial \phi}{\partial r}, \quad v_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}$$
2. 流函數（Stream Function, $\psi$）之定義：
   對於滿足不可壓縮連續方程式的二維流場，存在流函數 $\psi$，滿足： $$v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}, \quad v_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$$
3. 渦度（Vorticity, $\vec{\omega}$ 或 $\zeta$）：
   速度場之旋度 $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V}$。在極座標二維平面流中，渦度僅具垂直於平面（$\hat{k}$ 方向）之分量： $$\omega_z = (\nabla \times \vec{V})_z = \frac{1}{r}\left[ \frac{\partial (r v_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right]$$
4. 環流量（Circulation, $\Gamma_C$）：
   流速沿封閉路徑 $C$ 之線積分： $$\Gamma_C = \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{r}$$

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解題方法與詳細推導

題目給定自由渦旋之速度場分量：

$$v_r = 0, \quad v_\theta = \frac{\Gamma}{2\pi r}$$

其中 $\Gamma$ 為常數。

1. 求解速度位 $\phi(r, \theta)$

由速度位定義：

$$\frac{\partial \phi}{\partial r} = v_r = 0$$

對 $r$ 偏積分可得 $\phi$ 僅為 $\theta$ 之函數：

$$\phi(r, \theta) = f(\theta)$$

代入切線分量關係式：

$$\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta} = v_\theta = \frac{\Gamma}{2\pi r} \implies \frac{d f(\theta)}{d\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi}$$

積分得：

$$\phi(r, \theta) = \frac{\Gamma}{2\pi}\theta + C_1$$

（若選取參考基準點，常數 $C_1$ 可令為 0，通常以 $\phi = \dfrac{\Gamma}{2\pi}\theta$ 表示）。

2. 求解流函數 $\psi(r, \theta)$

由流函數定義：

$$\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = v_r = 0 \implies \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = 0$$

表示 $\psi$ 與 $\theta$ 無關，即 $\psi(r, \theta) = g(r)$。
再利用切線分量關係式：

$$-\frac{\partial \psi}{\partial r} = v_\theta = \frac{\Gamma}{2\pi r} \implies \frac{d g(r)}{dr} = -\frac{\Gamma}{2\pi r}$$

對 $r$ 進行積分：

$$\psi(r, \theta) = -\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r + C_2$$

（常數 $C_2$ 為任意參考常數，通常取 $C_2 = 0$，表示為 $\psi = -\dfrac{\Gamma}{2\pi}\ln r$）。

3. 計算渦度 $\omega_z$

將速度場代入極座標渦度公式：

$$\omega_z = \frac{1}{r}\left[ \frac{\partial (r v_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right]$$

其中 $r v_\theta = r \left(\dfrac{\Gamma}{2\pi r}\right) = \dfrac{\Gamma}{2\pi} = \text{const}$，且 $v_r = 0$。

• 當 $r > 0$ 時：

核心觀念

本題考查流體運動學（Fluid Kinematics）中描述流體「旋轉特性」的兩個核心物理量：

1. 渦度（Vorticity, $\vec{\omega}$ 或 $\boldsymbol{\zeta}$）：速度場的旋度，為描寫流體微元在流場中**局部自轉（微觀旋轉）**的向量量度。
2. 環流量（Circulation, $\Gamma$）：速度場沿封閉曲線的線積分，為描寫流體沿特定閉合路徑流動的**整體淨旋轉（宏觀累積）**純量。
3. 史托克定理（Stokes' Theorem）：連結微觀渦度與宏觀環流量的數學橋樑，即環流量等於穿過該封閉路徑所圍曲面的渦度通量。

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解題方法

1. 渦度（Vorticity）

(1) 數學表示式

設流場的三維速度向量為 $\vec{V} = u\hat{i} + v\hat{j} + w\hat{k}$，渦度向量 $\vec{\omega}$ 定義為速度向量之旋度（Curl）：

$$\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V}$$

在笛卡兒坐標系（Cartesian Coordinates）下展開為：

$$\vec{\omega} = \left( \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right)\hat{k}$$

在大氣物理與氣象學中，大氣運動多呈準水平流動，常特別專注於其垂直分量，定義為相對渦度（Relative Vorticity, $\zeta$）：

$$\zeta = \hat{k} \cdot (\nabla \times \vec{V}) = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$$

(2) 物理意義

• 流體微元的自轉角速度：渦度是流體微元平均角速度向量 $\vec{\Omega}$ 的兩倍，即：

$$\vec{\omega} = 2\vec{\Omega}$$

因此，渦度定量刻劃了流體微元自身繞其質心的瞬時旋轉速率與旋轉軸向。

• 旋轉流場的局部特徵：渦度是「點函數」（Point function）。若某處 $\vec{\omega} = \vec{0}$，稱該點的流動為無旋流（Irrotational flow）；若 $\vec{\omega} \neq \vec{0}$，則為有旋流（Rotational flow）。注意：流體質點即使在彎曲的流線上運動（公轉），若微元本身不自轉，其渦度仍為零。

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2. 環流量（Circulation）

(1) 數學表示式

設 $C$ 為流場中任意一條封閉的有向曲線，$d\vec{r} = dx\hat{i} + dy\hat{j} + dz\hat{k}$ 為曲線上的微元切向線段向量。環流量 $\Gamma$ 定義為速度場沿閉合迴路 $C$ 的線積分：

$$\Gamma = \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{r}$$

在二維平面上，若沿逆時針方向積分，可寫為：

$$\Gamma = \oint_C (u\,dx + v\,dy)$$

核心觀念

本題旨在探討流體力學與大氣動力學中兩個描述旋轉特性的重要物理量——環流量（Circulation, $\Gamma$）與渦度（Vorticity, $\vec{\omega}$ 或 $\vec{\zeta}$）之間的數學與物理關聯。核心工具為向量微積分中的斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

1. 環流量之定義：
   流速向量 $\vec{V}$ 沿著封閉封閉曲線 $C$ 的線積分： $$\Gamma \equiv \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{r}$$
2. 渦度之定義：
   流速場之旋度（Curl），代表流體微元的旋轉角速度之兩倍： $$\vec{\omega} \equiv \nabla \times \vec{V}$$
3. 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）：
   對於任意以簡單閉合曲線 $C$ 為邊界的光滑曲面 $S$，向量場 $\vec{A}$ 滿足： $$\oint_C \vec{A} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{A}) \cdot \hat{n} \, dA$$ 其中 $\hat{n}$ 為曲面 $S$ 之外法線單位向量，其正方向與曲線 $C$ 的積分方向符合右手定則。

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解題方法

1. 渦度與環流量之關係推導

令向量場 $\vec{A} = \vec{V}$（流場速度向量），考慮由閉合迴路 $C$ 所圍成的任意開曲面 $S$，直接代入斯托克斯定理：

$$\oint_C \vec{V} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{V}) \cdot \hat{n} \, dA$$

將環流量定義 $\Gamma = \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{r}$ 及渦度定義 $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V}$ 代入上式，可得：

$$\Gamma = \iint_S \vec{\omega} \cdot \hat{n} \, dA$$

物理意義：

• 閉合迴路 $C$ 上的環流量 $\Gamma$，等於通過該迴路所張成的任意曲面 $S$ 之總渦度通量（Total Vorticity Flux）。
• 若取微元面積 $\Delta S$，兩者關係為： $$\omega_n = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta \Gamma}{\Delta S}$$ 即「渦度在法向的分量」可視為「單位面積上的微觀環流量」（環流量密度）。環流量是宏觀量，渦度是微觀點特性。

2. 應用之限制（數學條件與物理邊界）

將斯托克斯定理應用於流體力學推導渦度與環流量關係時，存在以下關鍵限制：

1. 向量場之可微性與連續性限制（無奇點限制）：
   速度場 $\vec{V}$ 及其一階偏導數在曲面 $S$ 及邊界曲線 $C$ 上必須處處連續且良態（Well-behaved）。若區域內存在奇異點（Singularity，例如點渦/自由渦旋的中心 $r=0$ 處速度發散、渦度未定義），則無法直接在跨越該點的曲面上套用斯托克斯定理。

核心觀念

本題旨在探討流體動力學與大氣動力學中極為重要的環流量變化定理（Bjerknes Circulation Theorem，皮雅克尼斯環流定理）。其核心觀念與所用定理包括：

1. 環流量（Circulation, $\Gamma$）之定義：
   沿著流體中某一隨流閉合物質線（Material curve）$C$ 的速度線積分：
   $\Gamma \equiv \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{l}$
2. 物質線微分與質點導數之可交換性：
   隨流線段元素 $d\vec{l}$ 的物質導數滿足：
   $\frac{d(d\vec{l})}{dt} = d\left(\frac{d\vec{l}}{dt}\right) = d\vec{V}$
3. 動量方程式（Euler 運動方程式）：
   假設流體為無黏性（Inviscid），在重力場等保守力（Conservative body force，$\vec{g} = -\nabla\Phi$）作用下，運動方程式為：
   $\frac{d\vec{V}}{dt} = -\frac{1}{\rho}\nabla p - \nabla\Phi$
4. 單值函數全微分的閉合路徑積分：
   任何單值純量場（如動能 $V^2/2$、重力位能 $\Phi$）的全微分沿閉合路徑積分必為零：
   $\oint_C d\left(\frac{V^2}{2}\right) = 0, \quad \oint_C d\Phi = 0$

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解題方法

本題要求由運動方程式出發，推導並物理性地解釋環流量時變率之關係式。解題步驟依序為：

1. 對環流量定義式取物質導數（Material Derivative），利用微分乘積律展開。
2. 證明速度對線元素導數的積分項恆等於零。
3. 代入無黏性流體受保守外力之動量方程式。
4. 消除全微分項，得到目標方程式。
5. 進行物理意義與大氣物理現象之詮釋。

詳細推導步驟

Step 1：對閉合物質線的環流量求物質導數
設 $C$ 為隨流移動的閉合物質迴路，其環流量之時變率為：
$\frac{d\Gamma}{dt} = \frac{d}{dt} \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{l} = \oint_C \frac{d\vec{V}}{dt} \cdot d\vec{l} + \oint_C \vec{V} \cdot \frac{d(d\vec{l})}{dt}$

Step 2：化簡第二項（動能項）
由於 $d\vec{l}$ 代表相鄰流體質點間的位置差微元，在隨流移動時：
$\frac{d(d\vec{l})}{dt} = d\left(\frac{d\vec{l}}{dt}\right) = d\vec{V}$
代入第二項中：
$\oint_C \vec{V} \cdot \frac{d(d\vec{l})}{dt} = \oint_C \vec{V} \cdot d\vec{V} = \oint_C d\left(\frac{1}{2} \vec{V} \cdot \vec{V}\right) = \oint_C d\left(\frac{V^2}{2}\right)$
因為動能 $\frac{V^2}{2}$ 為單值純量場，沿任意閉合迴路之全微分積分必為零：
$\oint_C d\left(\frac{V^2}{2}\right) = 0$
因此環流量時變率簡化為：
$\frac{d\Gamma}{dt} = \oint_C \frac{d\vec{V}}{dt} \cdot d\vec{l}$

Step 3：代入動量運動方程式（Euler 方程式）
無黏性流體在保守外力場（位能為 $\Phi$）作用下的運動方程式為：
$\frac{d\vec{V}}{dt} = -\frac{1}{\rho}\nabla p - \nabla\Phi$
將此式代入環流量時變率：
$\frac{d\Gamma}{dt} = \oint_C \left(-\frac{1}{\rho}\nabla p - \nabla\Phi\right) \cdot d\vec{l} = -\oint_C \frac{\nabla p \cdot d\vec{l}}{\rho} - \oint_C \nabla\Phi \cdot d\vec{l}$

Step 4：化簡純量位能項與壓強梯度項
根據梯度性質與全微分定義：
$\nabla p \cdot d\vec{l} = dp, \quad \nabla\Phi \cdot d\vec{l} = d\Phi$
其中保守力位能沿閉合路徑積分為零：
$\oint_C \nabla\Phi \cdot d\vec{l} = \oint_C d\Phi = 0$
故式子化簡為：
$\frac{d\Gamma}{dt} = -\oint_C \frac{dp}{\rho}$
得證題目給定之方程式。

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方程式之物理意義解釋

核心觀念

本題評量地球物理流體力學與大氣動力學中的基礎概念，主要包含兩個核心：

1. 正壓流體（Barotropic Fluid）的定義：密度 $\rho$ 僅為壓力 $p$ 的單變數函數，即狀態方程式滿足 $\rho = \rho(p)$，等壓面與等密度面（或等比容面）互相平行，兩者法向量平行：$\nabla \rho \times \nabla p = \mathbf{0}$。
2. 克耳文環流定理（Kelvin's Circulation Theorem）與環流量守恆：探討非黏性流體在保守外力場下，閉合封閉物質迴路上的速度線積分（環流量 $\Gamma$）隨物質時間的變化率，關鍵在於壓力梯度力所產生的「斜壓項（Solenoidal Term / Baroclinic Vector）」在正壓條件下為零。

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解題方法

本題為觀念推導題，解答切入點如下：

1. 先從熱力學狀態與空間分佈兩個角度給出「正壓流體」的嚴格數學與物理定義。
2. 透過流體運動方程式（無黏性動量方程式／歐拉方程式）對閉合物質迴路進行時間全微分，推導「克耳文環流定理」。
3. 說明在保守力場及正壓條件下，斜壓力矩（Baroclinic torque）項為何消失，進而證明環流量守恆。

一、什麼是正壓流體？

1. 數學定義：若流體的密度 $\rho$ 僅取決於壓力 $p$，而與溫度 $T$ 或其他熱力學狀態無關，即： $$\rho = \rho(p) \quad \text{或比容 } \alpha = \alpha(p) = \frac{1}{\rho(p)}$$ 此類流體即稱為正壓流體（Barotropic fluid）。常見特例包含不可壓縮流體（$\rho = \text{常數}$）及等溫/絕熱理想氣體（在特定過程下滿足多方過程 $p\rho^{-\gamma}=\text{const}$）。
2. 幾何與物理特徵：在正壓大氣中，等壓面（Isobaric surfaces）與等密度面（Isopycnic surfaces）、等溫面完全重合重疊。此時壓力梯度向量 $\nabla p$ 與密度梯度向量 $\nabla \rho$ 互相平行，滿足： $$\nabla p \times \nabla \rho = \mathbf{0} \quad \left(\text{或 } \nabla \alpha \times \nabla p = \mathbf{0}\right)$$ 反之，若等壓面與等密度面相交，則稱為斜壓流體（Baroclinic fluid）。

二、為什麼正壓流體的環流量會守恆？（克耳文環流定理之證明）

定義閉合物質迴路 $C(t)$ 上的環流量（Circulation）$\Gamma$ 為流體速度向量 $\mathbf{u}$ 沿迴路的線積分：

$$\Gamma = \oint_{C(t)} \mathbf{u} \cdot d\mathbf{r}$$

取物質導數（Material derivative）求環流量隨時間的變化率：

$$\frac{D\Gamma}{Dt} = \frac{D}{Dt} \oint_{C(t)} \mathbf{u} \cdot d\mathbf{r} = \oint_{C(t)} \frac{D\mathbf{u}}{Dt} \cdot d\mathbf{r} + \oint_{C(t)} \mathbf{u} \cdot \frac{D(d\mathbf{r})}{Dt}$$

利用微分運算性質 $\frac{D(d\mathbf{r})}{Dt} = d\left(\frac{D\mathbf{r}}{Dt}\right) = d\mathbf{u}$，第二項可化簡為完全微分沿閉合路徑的積分：

$$\oint_{C(t)} \mathbf{u} \cdot d\mathbf{u} = \oint_{C(t)} d\left(\frac{1}{2}|\mathbf{u}|^2\right) = 0$$

對於非黏性流體，在保守體積力場（外力可寫為純量位能梯度 $\mathbf{g} = -\nabla \Phi$）下，運動方程式（Euler 方程式）為：

$$\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\nabla p - \nabla \Phi$$

核心觀念

本題考查牛頓流體之動量方程式（Navier-Stokes 方程式）之物理意義與簡化形式：

1. 方程式本質：流體質點的牛頓第二運動定律（動量守恆），以歐拉座標（Eulerian coordinate）及指標符號（Einstein summation convention）表示，式中每項之因次均為「單位質量之受力」或「加速度」（因次為 $[L/T^2]$）。
2. 構成假設：
   • 連續介質（Continuum）。
   • 等向性（Isotropic）牛頓流體（應力與應變率呈線性關係）。
   • 採用斯托克斯假說（Stokes' hypothesis），即第二黏滯係數（體積黏滯係數）滿足 $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$，使得體積黏滯度（bulk viscosity） $\zeta = \lambda + \frac{2}{3}\mu = 0$。
   • 動力黏滯係數 $\mu$ 及運動黏滯係數 $\nu = \mu/\rho$ 視為常數。
3. 極限情形簡化：
   • 不可壓縮流（Incompressible flow）：速度發散值 $\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_j}{\partial x_j} = 0$。
   • 理想流體（Inviscid / Ideal fluid）：忽略黏滯效應（$\mu = 0, \nu = 0$），方程式退化為尤拉方程式（Euler equation）。

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解題方法與推導

(a) 適用於什麼樣的流體？

給定之方程式為：

$$\frac{\partial U_i}{\partial t} + U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x_i} + X_i + \frac{\nu}{3} \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial U_j}{\partial x_j}\right) + \nu \frac{\partial^2 U_i}{\partial x_j \partial x_j}$$

其適用流體條件如下：

1. 牛頓流體（Newtonian Fluid）：剪應力與速度梯度（應變率）呈線性正比關係。
2. 黏滯係數為常數（Constant Viscosity, $\nu = \text{const}$）：黏滯項已將運動黏滯係數 $\nu$ 提至微分算子外，表示流體之黏滯度均勻且不隨溫度、壓力劇烈變化。
3. 遵循斯托克斯假說的可壓縮流體（Compressible fluid satisfying Stokes' hypothesis）：
   黏性應力張量採用 $\tau_{ij} = \lambda \left(\frac{\partial U_k}{\partial x_k}\right)\delta_{ij} + \mu \left(\frac{\partial U_i}{\partial x_j} + \frac{\partial U_j}{\partial x_i}\right)$，式中代入 $\lambda = -\frac{2}{3}\mu$ 後展開所得之形式；方程式保留了散度項 $\frac{\partial U_j}{\partial x_j}$，故適用於具可壓縮性的氣體或一般牛頓流體。

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(b) 解釋方程式中每一項的物理意義

方程式各項代表「作用於流體單位質量上的加速度或力量」，由左至右依序說明：

1. $\frac{\partial U_i}{\partial t}$（局部加速度項 / Local acceleration term）：
   • 在固定空間點上，流速隨時間的變化率（非穩態效應）。若流場為穩態流（steady flow），此項為零。
2. $U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j}$（對流加速度項 / Convective acceleration term）：
   • 流體質點因隨流場運動穿梭於空間不同位置，由空間速度分佈不均所引起的加速度（慣性平流效應）。
   • 左式兩項合併即為物質導數（Material derivative）：$\frac{D U_i}{D t} = \frac{\partial U_i}{\partial t} + U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j}$。
3. $-\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x_i}$（壓力梯度力項 / Pressure gradient force term）：
   • 流體因空間壓力不均勻所產生的表面淨推力（由高壓區推向低壓區），每單位質量所承受的壓力梯度力。
4. $X_i$（體積力項 / Body force term）：
   • 作用於流體內部各質點的遠程外力（每單位質量的體積力），常見如重力項 $g_i$ 或在大氣動力學中常包含的科氏力（Coriolis force）。
5. $\frac{\nu}{3} \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial U_j}{\partial x_j}\right)$（體積膨脹／壓縮引起的黏滯擴散力項 / Viscous dilational stress term）：
   • 因流體可壓縮性導致體積膨脹率（$\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_j}{\partial x_j}$）不均勻所產生的正應力黏滯擴散力。
6. $\nu \frac{\partial^2 U_i}{\partial x_j \partial x_j}$（剪應力黏滯擴散項 / Viscous shear diffusion term）：
   • 即 $\nu \nabla^2 U_i$，由分子黏滯摩擦力引起的動量擴散作用，傾向消弭速度梯度、耗散動能。

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(c) 在不可壓縮流體下，上述方程式可做什麼變化？

• 條件：對於不可壓縮流體（Incompressible fluid），連續方程式（質量守恆）簡化為速度散度等於零：

$$\frac{\partial U_j}{\partial x_j} = 0 \quad (\nabla \cdot \vec{U} = 0)$$

• 方程式變化：

核心觀念

1. 無旋性流（Irrotational Flow）與速度位（Velocity Potential, $\phi$）：
   • 旋度為零的流場（$\nabla \times \vec{V} = 0$），流體質點在運動過程中無自身旋轉（angular rotation）。
   • 根據向量微積分恆等式，旋度恆為零的向量場必可表示為某一純量場的梯度，此純量函數即為速度位 $\phi$，因此無旋流又稱為位勢流（Potential Flow）。
2. 不可壓縮流體（Incompressible Fluid）與流函數（Stream Function, $\psi$）：
   • 流體在流動過程中的密度變化率為零（質點導數 $\frac{D\rho}{Dt} = 0$）。
   • 對於定常或非定常流，不可壓縮性均導致速度場之散度為零（$\nabla \cdot \vec{V} = 0$）。
   • 在二維平面流動中，散度為零的向量場能自動滿足全微分條件，從而保證流函數 $\psi$ 的存在性，用以自動恆等滿足質量守恆（連續方程式）。

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解題方法與詳細推導

(1) 名詞定義

• 無旋性流（Irrotational Flow）或位勢流（Potential Flow）：
  流場中各處的渦度（Vorticity）向量 $\vec{\omega}$ 處處為零，即：

  $$\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$$

  代表流體微元（fluid element）在隨流平移及變形時，不具有角旋轉速度。根據向量分析定理，任何無旋向量場皆可表示為純量位勢函數 $\phi$ 的梯度（$\vec{V} = \nabla \phi$），故無旋性流體力學亦稱為位勢流。

• 不可壓縮流體（Incompressible Fluid）：
  流體質點在流動過程中密度保持不變，即密度的物質導數（Material Derivative）為零：

  $$\frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla)\rho = 0$$

  由流體連續方程式（質量守恆）：

  $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{V}) = \frac{D\rho}{Dt} + \rho(\nabla \cdot \vec{V}) = 0$$

  代入 $\frac{D\rho}{Dt} = 0$，且因密度 $\rho \neq 0$，流場速度之散度（Divergence）處處為零：

  $$\nabla \cdot \vec{V} = 0$$

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(2) 二維卡氏座標下速度分量與速度位 $\phi$、流函數 $\psi$ 之推導

設二維平面卡氏座標 $(x, y)$ 下的速度向量為 $\vec{V} = u(x, y)\hat{i} + v(x, y)\hat{j}$。

A. 速度位 $\phi$ 與速度分量的關係（針對無旋流）

無旋流條件為 $\nabla \times \vec{V} = 0$。在二維卡氏座標中，旋度僅有 $z$ 方向分量：

$$(\nabla \times \vec{V})_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \implies \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$$

由於旋度為零，此向量場為保守場，必存在純量函數 $\phi(x, y)$（速度位），使得速度向量為其梯度向量：

$$\vec{V} = \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j}$$

比較卡氏座標下之分量，即得速度分量與速度位的關係：

$$u = \frac{\partial \phi}{\partial x}$$ $$v = \frac{\partial \phi}{\partial y}$$

(註：若流體力學中約定定義式取負號 $\vec{V} = -\nabla \phi$，則 $u = -\frac{\partial \phi}{\partial x}$、$v = -\frac{\partial \phi}{\partial y}$)

B. 流函數 $\psi$ 與速度分量的關係（針對不可壓縮流）

核心觀念

本題考查連續介質力學與流體力學中極為關鍵的流體微元運動分析（Kinematics of Fluid Motion），即柯西–斯托克斯分解定理（Cauchy-Stokes Decomposition Theorem / Helmholtz Decomposition of Velocity Gradient）。

1. 速度梯度張量分解：
   流場中鄰近兩點間的速度差向量可由泰勒展開式之一階項表示：
   $du_i = \frac{\partial u_i}{\partial x_j} dx_j$
   任何二階張量 $A_{ij} = \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ 均可唯一分解為對稱張量與反對稱張量之和：
   $\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) = \frac{1}{2}D_{ij} + \frac{1}{2}\Omega_{ij}$
2. 各張量之物理意義：
   • 對稱部分 $D_{ij}$ 為應變率張量（Strain Rate Tensor / Rate of Deformation Tensor），描述流體微元的形變率（Deformation Rate）。
   • 反對稱部分 $\Omega_{ij}$ 為自轉率張量／渦度張量（Rotation Rate Tensor / Spin Tensor），描述流體微元之剛體旋轉率（Rigid-body Rotation Rate）。

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解題方法與完整推導

(a) $\bar{\Omega}$ 與 $\bar{D}$ 在數學上與物理上的意義

1. 應變率張量 $\bar{D}$（或記為 $D_{ij}$）：

   • 數學定義與性質：
     $D_{ij} = \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}$
     為速度梯度張量的對稱部分（Symmetric Tensor），滿足：
     $D_{ij} = D_{ji}$
     在二維 Cartesian 座標下，其矩陣形式為：
     $D = \begin{bmatrix} 2\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} & 2\frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix}$
   • 物理意義：
     描述流體微元在流動過程中的形變速率（Rate of Deformation）。它不包含微元的純剛體位移或剛體旋轉，僅表徵微元的幾何形狀改變（長度伸縮與夾角改變）及體積變化率。

2. 自轉率張量 $\bar{\Omega}$（或記為 $\Omega_{ij}$）：

   • 數學定義與性質：
     $\Omega_{ij} = \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i}$
     為速度梯度張量的反對稱／反稱張量（Skew-Symmetric / Anti-Symmetric Tensor），滿足：
     $\Omega_{ij} = -\Omega_{ji} \quad \text{且主對角項} \quad \Omega_{ii} = 0$
     在二維平面上，其矩陣形式為：
     $\Omega = \begin{bmatrix} 0 & \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z \\ \omega_z & 0 \end{bmatrix}$
     其中 $\omega_z = (\nabla \times \vec{V})_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$ 為渦度向量在 $z$ 方向之分量。
   • 物理意義：
     描述流體微元繞自身質心的平均角速度（剛體旋轉率，Rigid-body Angular Velocity）。該運動不引起微元形狀與體積的任何改變。流體微元的平均旋轉角速度向量 $\vec{\omega}_{\text{avg}} = \frac{1}{2}\nabla \times \vec{V} = \frac{1}{2}\vec{\zeta}$，故 $\frac{1}{2}\bar{\Omega} \cdot d\vec{r}$ 即代表微元純旋轉所產生的相對速度增量 $\vec{\omega}_{\text{avg}} \times d\vec{r}$。

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(b) 討論 $i = j$ 與 $i \neq j$ 時，$D$ 項的差異及其代表之意義

將 $D_{ij} = \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}$ 展開為對角項與非對角項進行討論：