115 年 國立中央大學大氣科學學系大氣物理碩士班一般生《流體力學》

本題主要在探討流體力學中兩種基本的描述方法：Lagrangian 方法與 Eulerian 方法，以及它們如何應用於質量守恆定律的表達。

核心觀念：
Lagrangian 方法與 Eulerian 方法是描述流體運動的兩種基本框架。Lagrangian 方法跟隨個別的流體質點，而 Eulerian 方法則關注空間中固定點的流體性質。

詳細說明：

• Lagrangian Method (拉格朗日方法)

  • 特點： 此方法追蹤個別流體質點的運動軌跡。每個質點被賦予一個標籤（例如初始位置 $\mathbf{x}_0$），並描述其位置 $\mathbf{x}(t)$、速度 $\mathbf{v}(t)$、加速度 $\mathbf{a}(t)$ 等隨時間的變化。我們關心的是「某一個特定質點」的演變。
  • 連結： Lagrangian 方法描述的是「質點」的運動。
  • 質量保守觀念： 在 Lagrangian 觀點下，質量保守意味著單一質點的質量在運動過程中保持不變。如果我們考慮一個由一系列質點組成的流體塊，這個流體塊的總質量在運動過程中也是恆定的。
  • 質量保守方程式： 對於一個具有初始質量 $m_0$ 的單一流體質點，其質量 $m(t)$ 隨時間的變化為 $\frac{dm}{dt} = 0$。如果考慮一個流體塊，其質量 $M$ 隨時間的變化為 $\frac{dM}{dt} = 0$。

• Eulerian Method (歐拉方法)

  • 特點： 此方法關注空間中固定點的流體性質。我們描述的是在空間某一點 $\mathbf{x}$ 和某個時間 $t$ 時的流體性質，例如速度 $\mathbf{v}(\mathbf{x}, t)$、壓力 $p(\mathbf{x}, t)$、密度 $\rho(\mathbf{x}, t)$ 等。我們關心的是「空間某一點」的流體狀態。
  • 連結： Eulerian 方法描述的是「空間場」的運動。
  • 質量保守觀念： 在 Eulerian 觀點下，質量保守意味著一個固定空間區域內，質量的淨流入（或流出）必須為零。換句話說，單位時間內進入某區域的質量總和，必須等於離開該區域的質量總和，否則該區域內的總質量就會改變。
  • 質量保守方程式 (連續方程式)： 考慮一個固定的空間體積 $V$，其內總質量為 $M = \int_V \rho \, dV$。根據質量守恆，其隨時間的變化率必須為零：
    $\frac{dM}{dt} = \frac{d}{dt} \int_V \rho \, dV = 0$
    由於 $V$ 是固定的，我們可以將時間微分移到積分內部：
    $\int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} \, dV = 0$
    根據散度定理，這個積分可以寫成通過體積表面 $S$ 的質量通量：
    $\int_V \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) \, dV = \oint_S (\rho \mathbf{v}) \cdot d\mathbf{S}$
    因此，連續方程式的微分形式為：
    $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$
    這個方程式表示，在空間某一點，密度的變化率加上通過該點的質量通量散度為零。

• 兩種方法之間的連結

  • Lagrangian 描述中的位置 $\mathbf{x}(t)$ 和 Eulerian 描述中的位置

核心觀念

本題考查向量微積分在流體力學中的指標記號展開，主要使用：

• 梯度：
  $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathbf{e}_i$
• 散度：
  $\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{\partial A_i}{\partial x_i}$
• 乘積法則：

$$\frac{\partial (fg)}{\partial x_i} =f\frac{\partial g}{\partial x_i} +g\frac{\partial f}{\partial x_i}$$

令 $x_1=x,\ x_2=y,\ x_3=z$，且採用重複指標自動求和規則。題目中的密度記為 $\rho$；第 (d) 式的 $V$ 視為速度向量 $\mathbf{v}$。

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(a) $-\dfrac{1}{\rho}\nabla P$

梯度 $\nabla P$ 的指標形式為

$$\nabla P=\frac{\partial P}{\partial x_i}\mathbf{e}_i$$

因此

$$-\frac{1}{\rho}\nabla P = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_i}\mathbf{e}_i$$

以向量分量展開：

$$-\frac{1}{\rho}\nabla P = -\frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial P}{\partial x_1}\mathbf{i} + \frac{\partial P}{\partial x_2}\mathbf{j} + \frac{\partial P}{\partial x_3}\mathbf{k} \right)$$

亦可寫成

$$-\frac{1}{\rho}\nabla P = -\frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial P}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial P}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial P}{\partial z}\mathbf{k} \right)$$

物理上，$\nabla P$ 指向氣壓增加最快的方向，因此負梯度 $-\nabla P$ 指向氣壓降低最快的方向。除以密度後，表示單位質量所受的壓力梯度力，即動量方程中的壓力作用項。

三個方向的分量為

$$\left(-\frac{1}{\rho}\nabla P\right)_1 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_1}$$ $$\left(-\frac{1}{\rho}\nabla P\right)_2 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_2}$$ $$\left(-\frac{1}{\rho}\nabla P\right)_3 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_3}$$

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(b) $\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})$

速度向量為

$$\mathbf{v}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}+u_3\mathbf{k}$$

質量通量向量為

$$\rho\mathbf{v} = \rho u_1\mathbf{i} + \rho u_2\mathbf{j} + \rho u_3\mathbf{k}$$

因此其散度為

$$\nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = \frac{\partial(\rho u_1)}{\partial x_1} + \frac{\partial(\rho u_2)}{\partial x_2} + \frac{\partial(\rho u_3)}{\partial x_3}$$

指標形式為

$$\nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = \frac{\partial(\rho u_i)}{\partial x_i}$$

使用乘積法則，可進一步展開為

$$\frac{\partial(\rho u_i)}{\partial x_i} = u_i\frac{\partial\rho}{\partial x_i} + \rho\frac{\partial u_i}{\partial x_i}$$

也就是

$$\nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = \mathbf{v}\cdot\nabla\rho + \rho\nabla\cdot\mathbf{v}$$

物理上，$\rho\mathbf{v}$ 是質量通量，$\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})$ 表示單位體積內質量流出的淨速率：

• 散度為正：質量由該微小流體元素淨流出。
• 散度為負：質量向該微小流體元素淨流入。

在質量守恆方程中，

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) =0$$

因此，質量通量散度與密度的時間變化彼此平衡。

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(c) $\nabla\cdot\mathbf{v}$

將速度分量直接代入散度定義：

$$\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}$$

指標形式為

$$\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{\partial u_i}{\partial x_i}$$

直角座標展開為

核心觀念

本題考查二維流場中的速度位 $\phi$ 與流函數 $\psi$，以及無旋流、無輻散流的數學條件。

設二維速度場為

$$\boldsymbol{V}=(u,v)$$

其中 $u$、$v$ 分別為 $x$、$y$ 方向的速度分量。

速度位定義為

$$u=\frac{\partial \phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \phi}{\partial y}$$

因此

$$\boldsymbol{V}=\nabla\phi$$

流函數採用下列慣例：

$$u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$$

因此速度向量與流函數梯度互相垂直。

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解題方法

先由速度位與流函數的定義，說明如何判斷速度方向與大小；再分別將無輻散條件與無旋條件代入速度表示式，推導 $\phi$ 與 $\psi$ 所滿足的拉普拉斯方程。

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一、利用速度位 $\phi$ 判斷風向與風速

由

$$\boldsymbol{V}=\nabla\phi$$

可知速度向量是速度位的梯度，因此指向 $\phi$ 增加最快的方向，也就是垂直於等速度位線 $\phi=\text{常數}$ 的方向。

速度分量為

$$u=\phi_x,\qquad v=\phi_y$$

所以風速大小為

$$|\boldsymbol{V}|=\sqrt{u^2+v^2} =\sqrt{\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2} =|\nabla\phi|$$

風向角若以 $x$ 軸正向為基準，則可寫成

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{v}{u}\right)$$

實際判斷時應依據 $u$、$v$ 的正負決定所在象限，完整寫法為

$$\theta=\operatorname{atan2}(v,u)$$

等速度位線的疏密也能反映風速：

• 等位線越密，單位距離內 $\phi$ 的變化越大，故 $|\nabla\phi|$ 越大，風速越快。
• 等位線越疏，速度位變化率越小，故風速越慢。
• 速度向量處處垂直於等位線，並指向 $\phi$ 增加的方向。

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二、利用流函數 $\psi$ 判斷風向與風速

由流函數定義

$$u=\psi_y,\qquad v=-\psi_x$$

可得

$$\boldsymbol{V}=(\psi_y,-\psi_x)$$

而

$$\nabla\psi=(\psi_x,\psi_y)$$

兩者內積為

$$\boldsymbol{V}\cdot\nabla\psi = \psi_y\psi_x-\psi_x\psi_y=0$$

因此速度向量垂直於 $\nabla\psi$，也就是沿著 $\psi=\text{常數}$ 的曲線方向。這些曲線稱為流線。

所以：

• $\psi=\text{常數}$ 的曲線就是流線。
• 風向沿著流線切線方向。
• 由 $u$、$v$ 的正負判斷實際流動方向。
• 流線越密，代表相鄰流線間的流量變化集中，通常表示風速越大。

風速大小為

$$|\boldsymbol{V}| = \sqrt{u^2+v^2} = \sqrt{\psi_y^2+\psi_x^2} = |\nabla\psi|$$

流函數差值具有流量意義。對二維不可壓縮流而言，兩條流線 $\psi_1$ 與 $\psi_2$ 之間的單位厚度質量流量或體積流量，與

$$|\psi_2-\psi_1|$$

成正比。因此在相同幾何尺度下，流線越密，表示流量梯度越大，風速通常越大。

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三、證明無輻散流滿足 $\nabla^2\phi=0$

無輻散條件是速度場的散度為零：

$$\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0$$

在二維直角座標中，

$$\nabla\cdot\boldsymbol{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} =0$$

由速度位定義

$$u=\phi_x,\qquad v=\phi_y$$

代入可得

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\phi_x\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\phi_y\right)$$

因此

$$\phi_{xx}+\phi_{yy}=0$$

而二維拉普拉斯算子為

本題要求利用流體力學（特別是與熱力學結合的觀點）的方程式，來解釋影響氣象觀測站溫度變化的因素。這通常涉及到能量守恆或熱力學第一定律在流體系統中的應用。

核心觀念：
氣象觀測站的溫度變化受到流體（空氣）的能量收支影響，這可以用能量守恆方程式來描述，該方程式包含了對流、輻射、相變、以及與環境的熱交換等項。

詳細說明：

影響氣象觀測站溫度變化的因素，可以從大氣熱力學和流體力學的能量守恆方程式來推導。對於一個單位質量的空氣，其內能 $e$（或焓 $h$，對於定壓過程）的變化率可以表示為：

$\frac{De}{Dt} = \frac{1}{\rho} \frac{dp}{dt} + \frac{1}{\rho} q_{src} - \frac{1}{\rho} \nabla \cdot \mathbf{F}_{rad} - \frac{1}{\rho} \nabla \cdot \mathbf{F}_{visc}$

其中：

• $\frac{De}{Dt}$ 是物質導數，表示單位質量空氣內能隨時間的變化率。
• $\frac{1}{\rho} \frac{dp}{dt}$ 是由於壓力變化引起的功（膨脹或壓縮功）。
• $q_{src}$ 是單位體積的熱源項（例如，化學反應，但在大氣中較少考慮）。
• $\mathbf{F}_{rad}$ 是輻射通量向量，代表單位時間單位面積輻射能的傳輸。
• $\mathbf{F}_{visc}$ 是黏滯力引起的熱通量（通常很小，但可能包含於總熱通量）。

對於理想氣體，內能 $e$ 與溫度 $T$ 的關係為 $e = c_v T$，其中 $c_v$ 是定容比熱。
焓 $h = e + \frac{p}{\rho}$，對於定壓過程 $\frac{Dh}{Dt} = c_p \frac{DT}{Dt}$，其中 $c_p$ 是定壓比熱。

我們通常使用溫度 $T$ 作為核心變量，其變化率可以通過考慮能量的傳輸和轉換來描述。一個簡化的能量守恆方程式（針對溫度 $T$）可以寫成：

$\frac{DT}{Dt} = \frac{1}{c_p} \left( \frac{1}{\rho} \frac{dp}{dt} - \frac{1}{\rho} \nabla \cdot \mathbf{F}_{rad} - \frac{1}{\rho} \nabla \cdot \mathbf{F}_{heat} \right)$

其中 $\mathbf{F}_{heat}$ 代表總的熱通量，包含輻射、傳導、對流等。

現在，我們將這個方程式展開，並列出影響氣象觀測站溫度變化的具體因素：

1. 大氣運動 (對流與平流)

• 對流 (Convection)： $\frac{DT}{Dt}$ 包含 $\mathbf{v} \cdot \nabla T$ 項，這代表了流體運動攜帶熱量的過程。
  • 垂直運動： 上升運動（例如，對流雲、鋒面系統）常伴隨絕熱膨脹，導致溫度下降；下降運動（例如，高壓區）伴隨絕熱壓縮，導致溫度上升。
  • 水平運動 (平流, Advection)： $\mathbf{v} \cdot \nabla T$ 項也描述了水平方向的溫度輸送。如果觀測站被暖空氣團或冷空氣團經過，溫度會隨之變化。
• 輻射冷卻/加熱： $-\frac{1}{\rho} \nabla \cdot \mathbf{F}_{rad}$ 這一項描述了輻射的影響。
  • 太陽輻射吸收： 太陽短波輻射被大氣和地面吸收，加熱空氣。
  • 地面輻射： 地面白天吸收太陽輻射後在夜間向外輻射長波輻射，冷卻地面和近地面空氣。
  • 大氣自身輻射： 大氣中的水汽、二氧化碳等溫室氣體也會吸收和輻射長波輻射，影響溫度分佈。
  • 雲的影響： 雲層可以反射太陽輻射（白天降溫）並吸收和輻射長波輻射（夜晚保溫）。

2. 壓力變化 (絕熱過程)

• $\frac{1}{\rho} \frac{dp}{dt}$ 項：
  • 氣壓變化： 當氣團上升時，壓力降低，氣團絕熱膨脹，溫度下降。反之，當氣團下降時，壓力升高，氣團絕熱壓縮，溫度上升。這是影響溫度的一個重要因素，尤其是在天氣系統（如氣旋和反氣旋）經過時。

3. 水汽相變 (潛熱釋放/吸收)

• 雖然上述方程式沒有直接列出，但大氣中的水汽相變（凝結、蒸發）是重要的熱力學過程。
  • 凝結 (Condensation)： 當水汽凝結成液態水或固態冰時，會釋放潛熱，加熱周圍空氣。例如，雲的形成過程。
  • 蒸發 (Evaporation)： 當液態水或固態冰蒸發成水汽時，會吸收潛熱，冷卻周圍空氣。

4. 其他熱交換過程

• 地面傳導與對流： 儘管我們關注的是空氣溫度，但地面與空氣之間的熱傳導和局部的對流也會影響觀測站附近的溫度。
• 蒸散作用 (Evapotranspiration)： 植物的蒸散作用會吸收熱量，對近地面溫度有冷卻作用。

總結方程式的關鍵項：

從能量守恆的觀點，影響氣象觀測站溫度變化的因素主要來自以下幾個方面，它們體現在能量守恆方程式的各項中：

本題要求分析二維極座標下的自由渦旋和點源流場，分別求出它們的速度分量、流函數和速度勢，並繪製流場圖。

核心觀念：
自由渦旋和點源是兩種基本的二維流場模型。自由渦旋的特點是環量守恆，點源的特點是流量守恆。速度勢與無旋流場相關，流函數與不可壓流場相關。

詳細說明：

我們使用極座標 $(r, \theta)$。對於二維流場，速度向量可以表示為 $\mathbf{v} = (v_r, v_{\theta})$，其中 $v_r$ 是徑向速度，$v_{\theta}$ 是切向速度。

1. 二維自由渦旋 (Free Vortex)

• 速度分布：
  自由渦旋的特點是其渦量為零（除了在原點），或者說其環量在遠處為常數。在極座標下，自由渦旋通常具有純粹的切向速度，且速度大小與徑向距離 $r$ 成反比。
  $v_r = 0$
  $v_{\theta} = \frac{K}{r}$
  其中 $K$ 是一個常數，代表渦旋的強度。如果 $K > 0$，則為逆時針旋轉；如果 $K < 0$，則為順時針旋轉。
  這個速度場是無旋的，因為 $\nabla \times \mathbf{v}$ 在 $r > 0$ 時為零。

• 流函數 $\psi$：
  對於二維不可壓流場，我們有：
  $v_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}$
  $v_{\theta} = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$
  將自由渦旋的速度分量代入：
  $0 = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \implies \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = 0$，所以 $\psi$ 不依賴於 $\theta$。
  $\frac{K}{r} = -\frac{\partial \psi}{\partial r} \implies \frac{\partial \psi}{\partial r} = -\frac{K}{r}$
  對 $r$ 積分：
  $\psi(r, \theta) = \int -\frac{K}{r} dr = -K \ln r + C$
  我們可以令積分常數 $C=0$，所以 $\psi(r) = -K \ln r$。
  流函數的等值線是流線。由於 $\psi$ 只與 $r$ 有關，所以 $\psi$ 的等值線是同心圓。

• 速度勢 $\phi$：
  對於無旋流場，速度向量是速度勢的梯度：
  $v_r = \frac{\partial \phi}{\partial r}$
  $v_{\theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}$
  將自由渦旋的速度分量代入：
  $0 = \frac{\partial \phi}{\partial r} \implies \frac{\partial \phi}{\partial r} = 0$，所以 $\phi$ 不依賴於 $r$。
  $\frac{K}{r} = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \implies \frac{\partial \phi}{\partial \theta} = K$
  對 $\theta$ 積分：
  $\phi(r, \theta) = K \theta + C$
  我們可以令積分常數 $C=0$，所以 $\phi(\theta) = K \theta$。
  速度勢的等值線是 $\theta = \text{constant}$ 的直線。

• 圖形繪製：

  • 速度場： 速度向量 $\mathbf{v}$ 總是沿著圓周方向，大小為 $K/r$。在離原點越近的地方速度越大，越遠的地方速度越小。
  • 流函數 ($\psi = -K \ln r$):
    如果 $K > 0$ (逆時針渦旋)：$\psi$ 隨 $r$ 增大而減小。流線是同心圓。
    如果 $K < 0$ (順時針渦旋)：$\psi$ 隨 $r$ 增大而增大。流線是同心圓。
    流函數的等值線是同心圓。
  • 速度勢 ($\phi = K \theta$):
    如果 $K > 0$ (逆時針渦旋)：$\phi$ 隨 $\theta$ 增大而增大。
    如果 $K < 0$ (順時針渦旋)：$\phi$ 隨 $\theta$ 增大而減小。
    速度勢的等值線是從原點輻射出去的直線（例如， $\theta = \text{constant}$）。

2. 二維點源 (Point Source)

• 速度分布：
  點源的特點是從原點向外輻射（或向原點匯聚）一個恆定的流量。速度場是純徑向的。
  $v_r = \frac{M}{r}$
  $v_{\theta} = 0$
  其中 $M$ 是一個常數，代表源的強度。如果 $M > 0$，表示源（向外輻射）；如果 $M < 0$，表示匯（向內匯聚）。
  這個速度場是無旋的，因為 $\nabla \times \mathbf{v}$ 在 $r > 0$ 時為零。

• 流函數 $\psi$：
  $v_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}$
  $v_{\theta} = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$
  將點源的速度分量代入：

本題要求分析一個二維風場的環流量，該風場僅有切向速度分量，且其大小隨徑向距離 $r$ 變化。接著探討渦度與環流量的關係。

核心觀念：
環流量是沿封閉曲線的線積分，描述了流體繞該曲線的「旋轉」程度。渦度是流體微小區域的旋轉速率。

詳細說明：

給定的二維風場只有切向速度分量 $v_{\theta}$，且其形式為：
$v_{\theta}(r) = \begin{cases} R_0^2 \omega_0 / r & r \le R_0 \\ 0 & r > R_0 \end{cases}$
其中 $R_0$ 和 $w_0$ 是常數。注意題目中的 $R^2$ 應為 $R_0^2$ 才能使單位一致，且 $w_0$ 應為 $\omega_0$ (角速度符號)。假設 $R_0$ 和 $\omega_0$ 是常數。

1. 環流量 (Circulation) 的討論

環流量 $\Gamma$ 定義為沿封閉曲線 $C$ 的速度向量線積分：
$\Gamma = \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}$
對於一個二維極座標下的圓形路徑 $C$，其半徑為 $r$，則 $d\mathbf{l} = (dr, r d\theta)$。由於我們只有切向速度 $v_{\theta}$，且 $v_r = 0$，所以 $\mathbf{v} = (0, v_{\theta})$。
沿著半徑為 $r$ 的圓形路徑， $d\mathbf{l}$ 的切向分量是 $r d\theta$。
因此，環流量為：
$\Gamma(r) = \oint_{r=\text{const}} v_{\theta} (r \cdot d\theta) = r v_{\theta}(r) \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi r v_{\theta}(r)$

現在我們針對三個區域討論環流量：

• (a) $r > R_0$：
  在這個區域， $v_{\theta}(r) = 0$。
  因此，沿著半徑大於 $R_0$ 的任何圓形封閉路徑，環流量為：
  $\Gamma(r) = r \cdot 0 = 0$
  討論： 在 $r > R_0$ 的區域，風場是靜止的（沒有切向速度），所以環流量為零。

• (b) $r = R_0$：
  在這個區域， $v_{\theta}(R_0) = R_0^2 \omega_0 / R_0 = R_0 \omega_0$。
  沿著半徑為 $R_0$ 的圓形封閉路徑，環流量為：
  $\Gamma(R_0) = 2\pi R_0 v_{\theta}(R_0) = 2\pi R_0 (R_0 \omega_0) = 2\pi R_0^2 \omega_0$
  討論： 在 $r = R_0$ 的圓周上，存在一個有限的切向速度。這代表了一個「渦旋層」或「剪切層」，在該層上流體發生旋轉。

• (c) $r < R_0$：
  在這個區域， $v_{\theta}(r) = R_0^2 \omega_0 / r$。
  沿著半徑為 $r$ ($r < R_0$) 的圓形封閉路徑，環流量為：
  $\Gamma(r) = 2\pi r v_{\theta}(r) = 2\pi r \left( \frac{R_0^2 \omega_0}{r} \right) = 2\pi R_0^2 \omega_0$
  討論： 在 $r < R_0$ 的所有圓形封閉路徑上，環流量都是一個常數 $2\pi R_0^2 \omega_0$。這與自由渦旋的特性（環量守恆）類似，但這裡的速度分佈是 $v_{\theta} \propto 1/r$。

總結 (1)：

• $r > R_0$：$\Gamma = 0$
• $r = R_0$：$\Gamma = 2\pi R_0^2 \omega_0$
• $r < R_0$：$\Gamma = 2\pi R_0^2 \omega_0$

2. 渦度與環流量的關係

• 渦度 (Vorticity)：
  渦度是流體微小區域的旋轉程度，定義為速度場的旋度： $\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$。
  對於二維流場 $\mathbf{v} = (v_r, v_{\theta})$，在極座標下，渦度的非零分量是 $z$ 方向的分量：
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r v_{\theta}) - \frac{1}{r} \frac{\partial v_r}{\partial \theta}$
  在這個問題中， $v_r = 0$ 且 $v_{\theta}$ 只依賴於 $r$，所以 $\frac{\partial v_r}{\partial \theta} = 0$。
  因此，渦度為：
  $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r v_{\theta}(r))$

  我們來計算這個風場的渦度：

  • 對於 $r > R_0$： $v_{\theta}(r) = 0$。
    $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \cdot 0) = 0$。
    在 $r > R_0$ 的區域，渦度為零。

  • 對於 $r < R_0$： $v_{\theta}(r) = R_0^2 \omega_0 / r$。
    $r v_{\theta}(r) = r \left( \frac{R_0^2 \omega_0}{r} \right) = R_0^2 \omega_0$ (一個常數)。
    $\omega_z = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (R_0^2 \omega_0) = \frac{1}{r} \cdot 0 = 0$。
    在 $r < R_0$ 的區域，渦度也為零。

  • 在 $r = R_0$ 處：
    速度分量 $v_{\theta}(r)$ 在 $r=R_0$ 處發生突變，從 $R_0 \omega_0$ 變為 $0$。這表示在 $r = R_0$ 的圓周上存在一個具有無限大渦度的「渦度層」（或稱為渦度片）。嚴格來說，這是理想化的模型，真實流體中渦度是連續變化的，但會有一個較窄的區域渦度集中。

• 斯托克斯定理 (Stokes' Theorem) / 渦度與環流量的關係：
  斯托克斯定理將一個封閉曲面上旋度（渦度）的面積分與該曲面邊界的線積分（環流量）聯繫起來。
  對於一個平面區域 $A$，其邊界為封閉曲線 $C$，則：
  $\oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} = \iint_A (\nabla \times \mathbf{v}) \cdot d\mathbf{A}$
  或者，對於二維情況，如果 $\mathbf{v} = (v_x, v_y)$， $\boldsymbol{\omega} = (0, 0, \omega_z)$， $d\mathbf{A} = (0, 0, dA)$：
  $\oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} = \iint_A \omega_z \, dA$
  這個關係表明，一個封閉路徑上的環流量等於該路徑所圍繞的區域內所有渦度的面積分。

• 適用條件：

  1. 向量場可微： 速度場 $\mathbf{v}$ 在區域 $A$ 內是連續且可微的，或者至少在區域邊界 $C$ 上是連續的，並且渦度 $\omega_z$ 在區域 $A$ 內是可積的。
  2. 區域封閉： 曲線 $C$ 必須是封閉的。
  3. 方向一致： 曲線 $C$ 的積分方向與區域 $A$ 的法向量方向必須一致（通常是右手定則）。

• 應用於本題：
  我們計算了 $r < R_0$ 區域的環流量 $\Gamma = 2\pi R_0^2 \omega_0$。
  根據斯托克斯定理，這個環流量應該等於半徑為 $r$ ($r < R_0$) 的圓盤區域內渦度的面積分：
  $\Gamma(r) = \iint_{D_r} \omega_z \, dA$
  其中 $D_r$ 是半徑為 $r$ 的圓盤。
  我們計算得到在 $r < R_0$ 區域， $\omega_z = 0$。
  這似乎與 $\Gamma(r) = 2\pi R_0^2 \omega_0$ 矛盾！

  原因分析：
  這個矛盾來自於渦度分佈的特殊性。在 $r < R_0$ 區域內，渦度確實是零。然而，在 $r = R_0$ 處存在一個「奇異」的渦度層，其渦度在數學上可以被視為一個狄拉克δ函數。
  我們可以將 $\omega_z$ 寫成：