112 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班一般生《普通物理學》

本題考查聲波的傳播速度與頻率、波長的關係。

聲波的傳播速度 $v$ 與其頻率 $f$ 及波長 $\lambda$ 的關係式為：
$v = f \lambda$

已知題目給予：
頻率 $f = 6.0 \text{ MHz} = 6.0 \times 10^6 \text{ Hz}$
波長 $\lambda = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}$

本題考查一維直線運動的等加速度運動。

題目描述車輛從煞車開始後，以等加速度運動直到靜止。我們可以使用等加速度運動的運動學公式來求解。

已知：
初速度 $v_0 = 50 \text{ m/s}$ (煞車前的速度)
加速度 $a = -2 \text{ m/s}^2$
末速度 $v = 0 \text{ m/s}$ (完全靜止時的速度)

核心觀念

位置函數為

$$x(t)=3\cos\left(5t-\frac{\pi}{3}\right)$$

物體的速度是位置對時間的一階導數，加速度是位置對時間的二階導數：

$$v(t)=\frac{dx}{dt},\qquad a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}$$

簡諧運動也可使用公式

$$a(t)=-\omega^2x(t)$$

其中振幅 $A=3\ \text{m}$，角頻率 $\omega=5\ \text{rad/s}$。

解題方法

直接對位置函數微分兩次。

第一次微分得速度：

$$v(t)=\frac{dx}{dt} =-15\sin\left(5t-\frac{\pi}{3}\right)$$

第二次微分得加速度：

$$a(t)=\frac{dv}{dt} =-75\cos\left(5t-\frac{\pi}{3}\right)$$

本題考查牛頓第二運動定律。

牛頓第二運動定律指出，作用在物體上的淨力等於物體的質量乘以其加速度：
$F_{net} = ma$

題目中，作用在物體上的水平力為 $F(t) = 7t$。由於物體位於無摩擦力表面，此力即為淨力。
我們被告知在 $t=6$ 秒時，物體的加速度 $a$ 為 $3 \text{ m/s}^2$。

本題考查拋體運動，特別是最大高度的計算。

首先，分析第一種情況：砲彈以 $45^\circ$ 角斜向發射，達到最大高度 $100 \text{ m}$。
設砲彈的初速為 $v_0$。
在斜向拋射中，初速度分解為水平分量 $v_{0x} = v_0 \cos \theta$ 和垂直分量 $v_{0y} = v_0 \sin \theta$。
最大高度 $H$ 的公式為：
$H = \frac{v_{0y}^2}{2g}$

在本題中，$\theta = 45^\circ$ 且 $H = 100 \text{ m}$。
$v_{0y} = v_0 \sin 45^\circ = v_0 \frac{\sqrt{2}}{2}$

所以，
$100 \text{ m} = \frac{(v_0 \frac{\sqrt{2}}{2})^2}{2g} = \frac{v_0^2 \times \frac{2}{4}}{2g} = \frac{v_0^2 \times \frac{1}{2}}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}$

從這裡，我們可以得到 $v_0^2 = 400g$。
或者，我們可以先求出 $v_{0y}^2$:
$v_{0y}^2 = 2gH = 2 \times g \times 100 = 200g$
$v_{0y} = \sqrt{200g}$

核心觀念

本題考查多普勒效應。聲源與觀察者相對於空氣運動時，觀察到的頻率會改變。

警車在後方以較快速度追趕歹徒：

• 聲源：警車，速度 $136\ \text{km/h}$
• 觀察者：歹徒，速度 $100\ \text{km/h}$
• 警笛原頻率：$f_s=100\ \text{Hz}$

假設聲速為 $v=340\ \text{m/s}$，且兩車同向行駛、警笛聲向前傳播。

解題方法

先將車速換算成公尺每秒：

$$v_s=\frac{136}{3.6}=37.78\ \text{m/s}$$ $$v_o=\frac{100}{3.6}=27.78\ \text{m/s}$$

警車發出的連續波，其波長不是 $\frac{v}{f_s}$，因為聲源本身正在向前移動。警車在一個週期 $T=\frac{1}{f_s}$ 內向前移動 $v_sT$，因此前方波長為

$$\lambda=(v-v_s)T =\frac{v-v_s}{f_s}$$

歹徒以速度 $v_o$ 向前移動，與前進中的聲波同向，因此聲波相對於歹徒的接近速度為

$$v-v_o$$

歹徒接收到的頻率為

本題考查週期與角速率的關係。

角速率 $\omega$ (angular velocity) 是描述物體繞軸旋轉快慢的物理量，其單位通常是弧度每秒 (rad/s)。
週期 $T$ (period) 是物體完成一次完整旋轉所需的時間。

兩者之間的關係為：
$\omega = \frac{2\pi}{T}$

題目給予：
月球自轉週期 $T = 27.32$ 日。

我們需要將週期 $T$ 轉換為秒 (s)，因為角速率的標準單位是 rad/s。
1 日 = 24 小時
1 小時 = 60 分鐘
1 分鐘 = 60 秒

所以，1 日 = $24 \times 60 \times 60 = 86400$ 秒。

核心觀念

金屬均勻導線的電阻由下式決定：

$$R=\rho\frac{L}{A}$$

其中：

• $R$：電阻
• $\rho$：電阻率
• $L$：導線長度
• $A$：導線截面積

圓形導線的截面積為：

$$A=\pi r^2=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2$$

本題給定直徑 $d=1.0\text{ mm}$，因此半徑為 $0.5\text{ mm}$。

解題方法

先將直徑換算成公尺：

$$d=1.0\times10^{-3}\text{ m}$$

因此半徑為：

$$r=\frac{d}{2}=5.0\times10^{-4}\text{ m}$$

截面積：

$$A=\pi(5.0\times10^{-4})^2 =7.85\times10^{-7}\text{ m}^2$$

代入金的電阻率 $\rho=2.4\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ 與長度 $L=50\text{ m}$：

$$R=(2.4\times10^{-8}) \frac{50}{7.85\times10^{-7}}$$ $$R\approx1.53\ \Omega$$

本題考查歐姆定律。

歐姆定律描述了電壓 $V$、電流 $I$ 和電阻 $R$ 之間的關係：
$V = IR$

題目給予：
電阻 $R = 500 \text{ k}\Omega = 500 \times 10^3 \Omega = 5 \times 10^5 \Omega$
電壓 $V = 1.5 \text{ V}$

要求：電流 $I$。

根據歐姆定律，我們可以解出電流：
$I = \frac{V}{R}$

本題考查帶電粒子在磁場中受到的磁力（勞倫茲力）。

帶電粒子在磁場中受到的磁力大小 $F_B$ 由以下公式給出：
$F_B = |q| v B \sin \theta$
其中：
$q$ 是粒子的電荷量
$v$ 是粒子的速度大小
$B$ 是磁場強度
$\theta$ 是粒子速度方向與磁場方向之間的夾角

題目給予：
粒子是質子。質子的電荷量 $q = +e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$。
磁場強度 $B = 1.0 \text{ T}$。
粒子速度大小 $v = 5.0 \text{ m/s}$。
速度與磁場的夾角 $\theta = 30^\circ$。