108 年 國立中央大學地球科學學系地球物理碩士班在職生《地球物理學》

此題主要考察地球磁場的生成機制、空間分布特性、海洋地殼磁化記錄能力，以及如何從磁條帶推斷地磁歷史。

(a) 地球磁場的形成理論主要為「地球發電機理論」(Geodynamo Theory)。此理論認為，地球核心外核的液態鐵鎳合金因對流和科里奧利力作用，產生導電流體運動。這種運動能夠產生電流，進而形成地球磁場。核心深處的熱量差異（來自放射性衰變和殘餘熱）驅動對流，地球自轉則提供科里奧利力，這兩者是發電機效應的關鍵。

(b) 地球磁場的空間分布呈現近似偶極子 (dipole) 的特性，最主要的磁場分量來自地球的內核。在地球表面，磁場強度並非均勻分布，大致上在赤道地區最強，向兩極遞減。磁場方向也隨位置變化，在磁赤道附近近似水平，在磁極附近近似垂直。計算理論上地磁場強度，通常是基於偶極子模型，其磁場強度與距離的立方成反比。例如，在赤道上方 $r$ 處，磁偶極子產生的磁場強度約為 $B \approx \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁導率，$M$ 是地磁偶極矩。然而，實際地磁場比純偶極子模型複雜，存在較高階的球諧函數項，描述了非偶極子分量，這些分量與地核內部的複雜流動有關。

此題主要考察重力測量數據的處理、異常的解釋，以及重力異常與衛星軌道的關聯。

(a) 從實際觀測到的重力加速度值推導自由空間和布蓋重力異常值的過程如下：

1. 原始觀測值 (Observed gravity)：在測點 $i$ 觀測到的重力加速度值 $g_{obs,i}$。

2. 天文改正 (Free-air correction)：這是將觀測值調整到與參考橢球體的標準重力值相同的基準面（通常是大地水準面）上的基本改正。考慮到測點的海拔高度，重力值會隨高度降低。自由空間改正假設測點上方是真空，僅考慮高度變化對重力值造成的影響。

   • 自由空間改正量 $C_{FA} = 0.3086 \times h_i$ (毫伽/公尺)，其中 $h_i$ 是測點的海拔高度。
   • 自由空間重力異常 (Free-air anomaly)：$\Delta g_{FA,i} = g_{obs,i} - g_{std,i} + C_{FA}$。其中 $g_{std,i}$ 是在測點緯度處參考橢球體上的標準重力值。自由空間異常主要反映了測點上方大氣和下方地殼密度不均勻的綜合影響。

3. 布歇改正 (Bouguer correction)：考慮到測點下方地殼的質量。假設測點下方到參考大地水準面之間填充了平均密度的地殼物質，需要減去這部分物質產生的重力效應。

   • 布歇改正量 $C_B = 2\pi G \rho_{avg} h_i$ (毫伽)，其中 $G$ 是萬有引力常數，$\rho_{avg}$ 是地殼平均密度（通常取 2.67 g/cm³）。
   • 布歇改正後的重力值：$g_{obs,i} - g_{std,i} + C_{FA} - C_B$。

4. 地形改正 (Terrain correction)：由於測點周圍的地形起伏（山丘、峽谷）會對重力觀測值產生影響，需要進行地形改正，以消除這些不規則地形的影響，使數據能更準確地反映地下密度變化。這是最複雜的改正，通常需要藉助地形模型進行計算。

5. 布蓋重力異常 (Bouguer anomaly)：將自由空間異常扣除布歇改正量（即減去假設的填充物質的重力效應）並加上地形改正後，得到布蓋異常。

   • $\Delta g_B = g_{obs,i} - g_{std,i} + C_{FA} - C_B + C_{Terrain}$
   • 布蓋異常主要反映了地下密度不均勻的影響，尤其對深部、大規模的密度變化較為敏感。

意義：自由空間異常反映了測點上方和下方綜合的密度異常。布蓋異常則旨在消除高度和填充物質的影響，更直接地反映地下密度結構。

(b) 圖中 X 點和 Y 點位於紅海區域，但重力異常值不同，主要原因在於兩點下方的地質結構和密度分布不同。

• X 點：位於陸地上或較高地形區域，其上方可能存在密度較低的陸殼物質。同時，由於地形起伏，可能需要較大的地形改正。

核心觀念

本題考查二層水平地層的折射震波分析。利用到時—距離圖的斜率可求震波速度：

$$t=\frac{x}{v}$$

因此：

$$\frac{\Delta t}{\Delta x}=\frac{1}{v}$$

第二層震波以臨界角 $i_c$ 沿第一、二層界面折射，其臨界角符合 Snell 定律：

$$\sin i_c=\frac{v_1}{v_2}$$

其中 $v_1$、$v_2$ 分別為第一層與第二層速度。

由圖讀得折線大致通過：

• 第一段：$(x,t)=(0,0)$ 到 $(80\text{ m},50\text{ ms})$
• 第二段：$(80\text{ m},50\text{ ms})$ 到 $(200\text{ m},80\text{ ms})$

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解題方法

(a) 第一層與第二層速度

第一層速度由第一段直線斜率求得：

$$\frac{1}{v_1} =\frac{50\text{ ms}}{80\text{ m}} =\frac{0.050\text{ s}}{80\text{ m}} =6.25\times10^{-4}\text{ s/m}$$

所以：

$$\boxed{v_1=1600\text{ m/s}}$$

第二層速度由第二段直線斜率求得：

$$\frac{1}{v_2} =\frac{80-50\text{ ms}}{200-80\text{ m}} =\frac{0.030\text{ s}}{120\text{ m}} =2.50\times10^{-4}\text{ s/m}$$

因此：

$$\boxed{v_2=4000\text{ m/s}}$$

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(b) 第二層頂部深度

第二段折射波直線可寫成：

$$t=t_i+\frac{x}{v_2}$$

其中 $t_i$ 為截距時間。由圖上第二段直線外插至 $x=0$：

$$t_i=50\text{ ms} -\frac{80\text{ m}}{4000\text{ m/s}}$$ $$t_i=0.050-0.020=0.030\text{ s}$$

二層水平地層的截距時間公式為：

$$t_i=\frac{2h\cos i_c}{v_1}$$

先求臨界角：

$$\sin i_c=\frac{v_1}{v_2} =\frac{1600}{4000}=0.4$$ $$i_c=\sin^{-1}(0.4)\approx23.6^\circ$$

此題主要考察地球不同區域的地熱流分布差異、成因，以及影響地熱流的各種因素。

(a) 大陸地殼和海洋地殼在地熱流分布上的差異和造成原因：

• 地熱流 (Heat Flow)：指單位時間內，單位面積通過的熱量，單位通常為 mW/m²。它反映了地球內部向地表散熱的速率。

• 差異：

  • 平均值：大陸地殼的地熱流平均值（約 65 mW/m²）通常高於海洋地殼的平均值（約 50-60 mW/m²）。
  • 變異性：大陸地殼的地熱流分布變異性非常大，從幾十到幾百甚至上千 mW/m² 都有；而海洋地殼的地熱流雖然平均值相對較低，但分布相對均勻，較少出現極端值。
  • 空間分布：
    • 大陸：高地熱流區域常出現在活動構造帶，如造山帶、火山活動區、裂谷帶、地熱田等。低地熱流區域則多見於穩定的大陸克拉通。
    • 海洋：高地熱流區域主要集中在中洋脊（約 100-200 mW/m²），以及海底火山活動區、熱液噴口附近。遠離中洋脊的深海平原地熱流較低且均勻。

• 造成原因：

  1. 放射性元素含量：大陸地殼（特別是花崗岩質的上部地殼）含有比海洋地殼（主要是玄武岩質）高得多的放射性元素（如鈾 U、釷 Th、鉀 K）。這些元素衰變釋放出大量熱能，是大陸地殼內部熱量的重要來源。
  2. 地殼厚度和結構：大陸地殼平均厚度約 30-50 km，而海洋地殼僅約 5-10 km。較厚的大陸地殼可能包含更多富含放射性元素的岩石，且其較厚的結構對熱量向上傳遞有一定阻礙作用，導致地表觀測到的地熱梯度和地熱流可能更高。
  3. 熱的來源（地幔）：
     • 中洋脊：是地幔熱對流上湧最活躍的區域，地幔物質接近地表，導致高地熱流。
     • 隱沒帶：在俯衝帶，冷卻的洋殼向下俯衝，會帶走熱量，導致俯衝板塊上方的區域（大陸緣）地熱流相對較低，而俯衝板塊後方的弧後盆地（若有）可能因地幔物質上湧而呈現高地熱流。
  4. 熱液活動：
     • 海洋：活躍的海底熱液噴口（如在中洋脊）會將地幔熱量直接傳遞到海水，局部區域地熱流極高。
     • 大陸：地下水循環形成的地熱系統，在某些地區（如地熱田）也會導致地熱流局部升高。
  5. 岩石的熱傳導係數：大陸地殼岩石的平均熱傳導係數可能與海洋地殼略有不同，但放射性元素的含量差異是更主要的因素。

(b) 各項參數或作用對地熱流的影響：

1. 熱傳導係數 (Thermal Conductivity, $k$)：
   • 影響：地熱流 $q$ 與地溫梯度 $\frac{dT}{dz}$ 和熱傳導係數 $k$ 之間滿足傅立葉定律：$q = -k \frac{dT}{dz}$。
   • 說明：在相同的地溫梯度下，熱傳導係數越高的岩石，其地熱流值越高。例如，石英含量高的岩石（如砂岩）熱傳導係數較高，而石英含量低的岩石（如純燧石）熱傳導係數較低。