108 年 國立中央大學太空科學研究所碩士班在職生《普通物理學》

本題主要在考察學生對慣性系的理解。慣性系是牛頓運動定律適用的參考系。

(a) 慣性系 (Inertial Frame) 的定義：
慣性系是一個參考系，在這個參考系中，不受外力的物體會保持靜止或等速度直線運動。換句話說，在慣性系中，牛頓第一運動定律（慣性定律）成立。

(b) 判定一個系統是否為慣性系的方法：
判斷一個參考系是否為慣性系，主要看牛頓第一運動定律是否適用。
方法一：觀察不受外力或所受合外力為零的物體。如果在該參考系中，這些物體確實保持靜止或作等速度直線運動，那麼該參考系就是慣性系。
方法二：觀察是否有「慣性力」出現。慣性力（或稱假想力、虛擬力）是在非慣性系中為了維持牛頓第二運動定律的形式而引入的力，例如離心力、科氏力。如果在一個參考系中，觀察到物體在沒有實際外力作用下卻出現了運動，或者物體的運動軌跡與預期不符，並且這些「異常」運動可以由慣性力來解釋，那麼這個參考系就不是慣性系。

本題主要考察學生對溫度和熱平衡這兩個熱力學基本概念的理解。

(a) 溫度的定義：
從巨觀角度來看，溫度是物體冷熱程度的標度，是區分物體冷熱的物理量。
從微觀角度來看，溫度是物質內部分子或原子熱運動平均動能的一種量度。溫度越高，分子運動越劇烈；溫度越低，分子運動越緩慢。嚴格來說，絕對溫度與分子的平均平移動能成正比。

(b) 熱平衡 (Thermal Equilibrium) 的定義與舉例：
當兩個或多個系統之間，在沒有發生能量（熱量）轉移的條件下，彼此之間沒有宏觀上的淨能量交換（即熱量交換），則稱這些系統處於熱平衡狀態。處於熱平衡狀態的系統，其溫度是相同的。

舉例說明：

1. 一杯熱水放在室溫的房間裡：剛開始，熱水溫度高於室溫，會向周圍空氣傳遞熱量，導致溫度下降。周圍空氣吸收熱量，溫度略微升高。這個過程會持續進行，直到熱水的溫度與房間內空氣的溫度相等。

本題旨在考察學生對熱力學中「熵」和「熱力學第二定律」這兩個核心概念的理解。

(a) 熵 (Entropy) 的定義：
熵是熱力學中用來描述系統無序度或混亂程度的物理量。在微觀層面上，熵與系統微觀狀態的數目有關。一個系統的微觀狀態越多（即系統越混亂、越無序），其熵值就越大。
在宏觀層面上，熵的變化與系統在可逆過程中吸收或釋放的熱量及其絕對溫度有關。對於一個可逆過程，熵的變化量 $\Delta S$ 定義為 $\Delta S = \frac{Q_{rev}}{T}$，其中 $Q_{rev}$ 是系統在可逆過程中吸收的熱量，$T$ 是系統的絕對溫度。

(b) 熱力學第二定律 (Second Law of Thermodynamics) 的內容：
熱力學第二定律有幾種等價的表述方式，最常見的有 Clausius 表述和 Kelvin-Planck 表述，以及從熵的角度的表述。

本題考察學生對光子（量子力學中的基本粒子）的動量和能量的定義。

(a) 光子的動量 (Momentum of a Photon)：
光子是電磁輻射的量子，它具有能量和動量，但沒有靜止質量。光子的動量 $p$ 可以通過其能量 $E$ 和光速 $c$ 來表示：
$p = \frac{E}{c}$
也可以用其波長 $\lambda$ 來表示。由於光子的能量 $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$，其中 $h$ 是普朗克常數，$f$ 是頻率，所以光子的動量也可以寫成：
$p = \frac{h}{\lambda}$
其中 $\lambda$ 是光的波長。

(b) 光子的能量 (Energy of a Photon)：
光子的能量 $E$ 由其頻率 $f$ 或波長 $\lambda$ 來決定。這由普朗克-愛因斯坦關係式給出：
$E = hf$

本題主要考察學生對剛體力學中兩個重要概念——轉動慣量和角動量的定義。

(a) 轉動慣量 (Rotational Inertia / Moment of Inertia)：
轉動慣量是物體對其轉動運動的一種慣性度量。它表示物體抵抗其角速度變化的能力。物體的轉動慣量不僅取決於其質量，還取決於質量的分佈。質量離轉軸越遠，轉動慣量越大。
對於一個由離散質點組成的系統，總轉動慣量 $I$ 是所有質點的質量 $m_i$ 與它們到轉軸距離 $r_i$ 的平方乘積之和：
$I = \sum_i m_i r_i^2$
對於一個連續分布的物體，轉動慣量是通過積分計算的：
$I = \int r^2 \, dm$
其中 $r$ 是微小質量元 $dm$ 到轉軸的距離。
轉動慣量是剛體繞某個固定軸轉動時的「質量」對應量。

(b) 轉動動量 (Angular Momentum)：
轉動動量，也稱為角動量，是描述物體繞某個點或軸轉動狀態的物理量。它相當於平動中的動量在轉動中的類比。

核心觀念

本題考查電磁學的四個基本定律，即馬克斯威爾方程式。它們分別描述：

1. 電荷產生電場。
2. 磁單極子不存在，磁力線必形成閉合曲線。
3. 隨時間變化的磁場會產生旋渦電場。
4. 電流與隨時間變化的電場都能產生磁場。

在真空中，電場 $\mathbf{E}$、磁場 $\mathbf{B}$、電荷密度 $\rho$ 與電流密度 $\mathbf{J}$ 的微分形式如下。

解題方法

直接依序寫出四條方程式，並標示各式所代表的物理意義。

1. 高斯電定律

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

積分形式為

$$\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}$$

其中 $\rho$ 是電荷密度，$Q_{\mathrm{enc}}$ 是封閉曲面內的總電荷，$\varepsilon_0$ 是真空介電常數。

此式表示電荷是電場的源。封閉曲面穿出的電通量，與曲面內所包覆的電荷量成正比。

---

2. 高斯磁定律

$$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$

積分形式為

$$\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0$$

此式表示不存在孤立的磁單極子。磁力線不會由單獨的磁荷開始或結束，而是形成閉合曲線，因此任意封閉曲面的總磁通量皆為零。

---

3. 法拉第電磁感應定律

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

積分形式為

$$\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}$$

右側的負號代表楞次定律：感應電場所造成的效應，會阻礙磁通量的變化。

此式說明隨時間改變的磁場會產生旋渦電場，即使空間中沒有導線，仍可存在感應電場。

---

4. 安培–馬克斯威爾定律

本題考察學生對楞次定律的理解及其與馬克斯威爾方程組的關聯。

楞次定律 (Lenz's Law) 的內容：
楞次定律是電磁感應現象的一個重要規律，它指出：當通過一個線圈的磁通量發生變化時，線圈中會產生感應電動勢，而感應電動勢所激發的感應電流的方向，總是使得感應磁場去阻礙引起感應電動勢的磁通量的變化。
簡而言之，感應電流的方向總是與引起它的磁通量變化方向相反。這其實是能量守恆定律在電磁感應現象中的體現。如果感應電流的方向使得感應磁場去「加強」原磁通量的變化，那麼系統的能量將會無中生有地增加，這違反了能量守恆。

與楞次定律有關的馬克斯威爾方程式：
楞次定律描述的是感應電動勢的方向，而感應電動勢的產生是由於磁場的變化。在馬克斯威爾方程組中，直接描述了磁場變化如何產生電場（進而產生感應電動勢）的方程是法拉第電磁感應定律。

法拉第電磁感應定律（微分形式）為：
$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
其中：

• $\mathbf{E}$ 是電場強度。
• $\mathbf{B}$ 是磁場強度。

本題要求解釋位移電流的概念，並指出它在馬克斯威爾方程組中的體現。

位移電流 (Displacement Current) 的概念：
位移電流是由詹姆斯·克拉克·馬克斯威爾提出的，它是馬克斯威爾方程組的關鍵組成部分，使得方程組能夠預言電磁波的存在。
在馬克斯威爾的理論中，電流不僅僅指自由電荷的運動（傳導電流），還包括了電場的變化。位移電流的定義是：
$\mathbf{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
其中 $\mathbf{J}_D$ 是位移電流密度，$\varepsilon_0$ 是真空介電常數，$\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ 是電場隨時間的變化率。

位移電流的物理意義：
馬克斯威爾發現，單獨的傳導電流（$\mathbf{J}$）無法解釋某些現象，例如在電容器充電過程中，電容器兩極板之間的空隙（或電介質）雖然沒有傳導電流，但卻能產生磁場，且這個磁場的行為與傳導電流產生的磁場相似。他提出，電場的變化也能像傳導電流一樣，在周圍空間產生磁場。
位移電流具有「類比」傳導電流的性質，它也能產生磁場。在電容器充電時，兩極板間電場的增加，就相當於產生了位移電流，這個位移電流的磁效應與傳導電流的磁效應在某種意義上是等價的，這使得馬克斯威爾方程組在數學上得以自洽，並能預言電磁波的存在。

包含位移電流的馬克斯威爾方程組方程式：
在馬克斯威爾方程組的四個方程中，安培-馬克斯威爾定律包含了位移電流項。

本題考察學生對電容和電阻抗概念的理解。

(a) 電容 (Capacity of a Capacitor) 的定義：
電容是衡量一個物體（通常是導體或一對導體結構）儲存電荷能力的物理量。對於一個孤立導體，其電容 $C$ 定義為其所帶電荷 $Q$ 與其電勢 $V$ 的比值：
$C = \frac{Q}{V}$
更常見的是，電容是指由兩個相互靠近且彼此絕緣的導體（稱為極板）組成的元件，它們之間充滿了電介質。當在兩個極板之間施加電壓 $V$ 時，會在兩個極板上分別儲存大小相等、電荷符號相反的電荷 $Q$。此時，電容 $C$ 定義為：
$C = \frac{Q}{|V|}$
電容的單位是法拉 (Farad, F)。1 法拉等於 1 庫侖每伏特 ($1 \, \text{F} = 1 \, \text{C/V}$)。電容的大小取決於導體的幾何形狀、尺寸以及導體之間電介質的性質。

(b) 估算電容所對應的阻抗 (Impedance) 大小：
電容在交流電路中表現出對電流的一種「阻礙」作用，這種阻礙作用稱為電容電抗 (Capacitive Reactance)，通常用 $X_C$ 表示。它不是真正的電阻，因為它不消耗能量（能量在電容中儲存和釋放）。
電容的電抗大小與其電容值 $C$ 和交流電的角頻率 $\omega$ (或頻率 $f$) 有關。

本題考察學生對電感和電阻抗概念的理解。

(a) 電感 (Inductance of an Inductor) 的定義：
電感是衡量一個線圈（電感器）產生磁場以抵抗電流變化的能力的物理量。當電流通過線圈時，會在線圈周圍產生磁場，進而產生磁通量。如果線圈中的電流發生變化，那麼通過線圈的磁通量也會發生變化，根據法拉第電磁感應定律，這會引起一個自感電動勢，其方向總是阻礙原電流的變化。
電感 $L$ 被定義為線圈的總磁鏈（磁通量乘以線圈匝數）與通過線圈的電流 $I$ 的比值：
$L = \frac{N\Phi_B}{I}$
其中 $N$ 是線圈的匝數，$\Phi_B$ 是通過每一匝線圈的磁通量。
電感的單位是亨利 (Henry, H)。1 亨利等於 1 韋伯每安培 ($1 \, \text{H} = 1 \, \text{Wb/A}$)。電感的大小取決於線圈的幾何形狀（如匝數、長度、截面積）以及線圈內部或周圍介質的磁導率。

(b) 估算電感所對應的阻抗 (Impedance) 大小：
電感在交流電路中同樣表現出對電流的一種「阻礙」作用，這種阻礙作用稱為電感電抗 (Inductive Reactance)，通常用 $X_L$ 表示。與電容類似，它也不是真正的電阻，能量在電感器中以磁場的形式儲存和釋放。

本題要求計算一個已知動能的電子的速度和動量大小。由於給定的動能單位是 MeV，這提示我們可能需要考慮相對論效應，但首先我們應當計算一下其靜止動能，以判斷是否需要使用相對論公式。

已知：
動能 $K = 0.8 \, \text{MeV}$
電子靜止質量 $m_e = 0.91 \times 10^{-30} \, \text{kg}$
電子靜止質量能量 $E_0 = m_e c^2$
光速 $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$

首先將動能單位轉換為焦耳 (J)：
$1 \, \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}$
$1 \, \text{MeV} = 10^6 \, \text{eV}$
所以，$K = 0.8 \times 10^6 \, \text{eV} = 0.8 \times 10^6 \times (1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}) = 1.28 \times 10^{-13} \, \text{J}$

計算電子的靜止質量能量 $E_0$：
$E_0 = m_e c^2 = (0.91 \times 10^{-30} \, \text{kg}) \times (3 \times 10^8 \, \text{m/s})^2$
$E_0 = 0.91 \times 10^{-30} \times 9 \times 10^{16} \, \text{J}$
$E_0 = 8.19 \times 10^{-14} \, \text{J}$

現在我們比較動能 $K$ 和靜止質量能量 $E_0$：
$K = 1.28 \times 10^{-13} \, \text{J}$
$E_0 = 8.19 \times 10^{-14} \, \text{J}$
可以看到 $K > E_0$。這表示電子的動能大約是其靜止能量的 1.56 倍 ($1.28 \times 10^{-13} / 8.19 \times 10^{-14} \approx 1.56$)。因此，我們必須使用相對論力學來計算速度和動量。

相對論中的總能量 $E$ 關係為 $E = K + E_0$。
$E = 1.28 \times 10^{-13} \, \text{J} + 8.19 \times 10^{-14} \, \text{J} = 2.099 \times 10^{-13} \, \text{J}$

相對論中的能量-動量關係為 $E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2 = (pc)^2 + E_0^2$。
我們可以由此計算動量 $p$：
$(pc)^2 = E^2 - E_0^2$
$pc = \sqrt{E^2 - E_0^2}$
$p = \frac{\sqrt{E^2 - E_0^2}}{c}$

代入數值：
$E^2 = (2.099 \times 10^{-13} \, \text{J})^2 \approx 4.406 \times 10^{-26} \, \text{J}^2$
$E_0^2 = (8.19 \times 10^{-14} \, \text{J})^2 \approx 6.708 \times 10^{-27} \, \text{J}^2$
$E^2 - E_0^2 \approx 4.406 \times 10^{-26} - 0.6708 \times 10^{-26} = 3.735 \times 10^{-26} \, \text{J}^2$
$pc = \sqrt{3.735 \times 10^{-26} \, \text{J}^2} \approx 1.933 \times 10^{-13} \, \text{J}$
$p = \frac{1.933 \times 10^{-13} \, \text{J}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} \approx 6.443 \times 10^{-22} \, \text{kg}\cdot\text{m/s}$

(a) 計算速度大小 $v$：
相對論中的總能量也與速度有關：$E = \gamma m_e c^2 = \gamma E_0$，其中 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ 是勞倫茲因子。
所以，$\gamma = \frac{E}{E_0} = \frac{2.099 \times 10^{-13} \, \text{J}}{8.19 \times 10^{-14} \, \text{J}} \approx 2.563$

現在我們用 $\gamma$ 來計算 $v$：
$\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2}$
$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2}$
$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2}$
$v^2 = c^2 \left(1 - \frac{1}{\gamma^2}\right)$
$v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$

代入 $\gamma \approx 2.563$：
$\gamma^2 \approx (2.563)^2 \approx 6.569$
$\frac{1}{\gamma^2} \approx \frac{1}{6.569} \approx 0.1522$
$1 - \frac{1}{\gamma^2} \approx 1 - 0.1522 = 0.8478$
$v = (3 \times 10^8 \, \text{m/s}) \times \sqrt{0.8478}$
$\sqrt{0.8478} \approx 0.9208$

核心觀念

電子在均勻磁場中做等速圓周運動，所需公式如下：

• 電子迴旋角頻率：

  $\omega_c=\frac{eB_0}{m_e}$

• 迴旋半徑：

  $r_L=\frac{m_e v}{eB_0}$

• 電子繞一圈的週期：

  $T=\frac{2\pi}{\omega_c}$

• 等效平均電流：

  $I=\frac{e}{T}=\frac{e\omega_c}{2\pi}$

• 圓電流的磁矩：

  $\mu=IA=I\pi r_L^2$

其中 $e=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$ 表示電量大小。電子速度遠小於光速：

$\frac{v}{c}=\frac{10^5}{3\times10^8}\ll 1$

因此採用非相對論公式。

以下取背景磁場方向為 $+\hat{\mathbf z}$，即

$\mathbf B=B_0\hat{\mathbf z}$

---

解題方法與基本數值

已知

$v=100\ \mathrm{km/s}=1.0\times10^5\ \mathrm{m/s}$

$B_0=10^{-5}\ \mathrm{T},\qquad m_e=0.91\times10^{-30}\ \mathrm{kg}$

電子迴旋角頻率為

$$\omega_c =\frac{eB_0}{m_e} =\frac{(1.6\times10^{-19})(10^{-5})}{0.91\times10^{-30}} \approx1.76\times10^6\ \mathrm{rad/s}$$

迴旋半徑為

$$r_L=\frac{m_ev}{eB_0} =\frac{(0.91\times10^{-30})(1.0\times10^5)} {(1.6\times10^{-19})(10^{-5})} \approx5.69\times10^{-2}\ \mathrm{m}$$

所以電子的圓周半徑約為

$$r_L\approx5.7\ \mathrm{cm}$$

週期為

$$T=\frac{2\pi}{\omega_c} =\frac{2\pi}{1.76\times10^6} \approx3.57\times10^{-6}\ \mathrm{s}$$

---

(a) 平均電流大小

電子每一週期通過固定位置一次，因此等效平均電流大小為

$$I=\frac{e}{T} =\frac{e\omega_c}{2\pi}$$

代入數值：

$$I= \frac{(1.6\times10^{-19})(1.76\times10^6)} {2\pi} \approx4.5\times10^{-14}\ \mathrm{A}$$

因此

$$\boxed{I\approx4.5\times10^{-14}\ \mathrm{A}}$$

這裡的電流是「慣用電流」的大小；雖然電子帶負電，電流方向與電子運動方向相反。

---

(b) 平均磁矩大小

電子迴旋運動等效為半徑 $r_L$ 的圓電流，因此

$$\mu=I\pi r_L^2$$

代入 $I$ 與 $r_L$：

$$\mu =(4.5\times10^{-14})\pi(5.69\times10^{-2})^2$$ $$\mu\approx4.5\times10^{-16}\ \mathrm{A\,m^2}$$

也可以使用更快速的等價公式：

本題考察對同步衛星的理解，包括其軌道半徑、運動狀態以及在不同參考系下的受力描述。

同步衛星 (Synchronous Satellite) 的定義：
同步衛星是指繞行星運轉的衛星，其軌道週期與行星的自轉週期相同。如果軌道是圓形的且在行星的赤道平面上，那麼這顆衛星相對於地面觀測者將會保持在天空中的固定位置，稱為地球靜止軌道衛星（Geostationary Orbit Satellite）。這裡的「同步衛星」應當指軌道週期與行星自轉週期相同，但不一定在赤道平面。然而，題目中提到「與行星自轉同步」，通常暗示其軌道週期與行星自轉週期相同。

已知：
行星質量 $M$
行星半徑 $R$
行星自轉週期 $T$
衛星質量 $m$ ($m \ll M$)
萬有引力常數 $G$
衛星軌道半徑 (距離行星中心 $r$)

(a) 估算此衛星距離行星中心的距離 $r$：
同步衛星的軌道週期 $T_{orbit}$ 必須等於行星的自轉週期 $T_{planet}$。
對於繞行星做圓周運動的衛星，其向心力由行星的萬有引力提供：
$F_{gravity} = G \frac{Mm}{r^2}$
向心力 $F_c = m \omega_{orbit}^2 r$，其中 $\omega_{orbit}$ 是衛星的角速度。
由於 $T_{planet} = T$，所以衛星的角速度 $\omega_{orbit} = \frac{2\pi}{T}$。
令 $F_{gravity} = F_c$：
$G \frac{Mm}{r^2} = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$
$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2}{T^2} r$
$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$
$r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$

這個公式給出了衛星軌道半徑 $r$ 的值，它只取決於行星的質量 $M$、自轉週期 $T$ 和萬有引力常數 $G$。

(b) 在行星表面的觀測者，如何描述此同步衛星的受力情形與運動情形？
對於行星表面的觀測者，他們處於一個與行星一起自轉的非慣性參考系。
受力情形：

1. 萬有引力：行星對衛星的萬有引力 $\mathbf{F}_g = G \frac{Mm}{r^2} (-\hat{\mathbf{r}})$ （假設衛星在行星外部，$\hat{\mathbf{r}}$ 指向衛星）。這個力指向行星中心。
2. 慣性力：由於行星表面觀測者所在的參考系是旋轉的，他們會觀察到一個慣性力作用在衛星上，以維持牛頓第二定律的形式。這個慣性力是離心力 (Centrifugal Force)。
   離心力的大小為 $F_{centrifugal} = m \omega_{planet}^2 r = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$。
   這個力指向遠離行星旋轉軸心的方向。
   在同步衛星的軌道上，萬有引力正好提供了衛星繞行星中心做圓周運動所需的向心力。因此，從非慣性系（行星表面）來看，衛星似乎是「靜止」的，因為萬有引力（作為真實作用力）與離心力（作為慣性力）大小相等、方向相反（在某些定義下，離心力是負的慣性力）。
   嚴格來說，如果觀測者認為衛星是靜止的，那麼他們會認為淨力為零。那麼，萬有引力 $F_g$ 被離心力 $F_{centrifugal}$ 所平衡。
   $F_g = G \frac{Mm}{r^2}$ (指向中心)

核心觀念

本題考查液體隨轉盤繞鉛直軸旋轉時的自由液面形狀，以及液體體積守恆。

旋轉中的液體達到穩態後，在半徑 $r$ 處受到離心力與重力作用，自由液面呈拋物面，其高度可表示為

$$z(r)=z_0+\frac{\omega^2 r^2}{2g},$$

其中 $z_0$ 為轉軸中心處的液面高度，$\omega$ 為轉盤角速率。

設水杯半徑為

$$R=\frac{D}{2}.$$

水杯靜止時，液面距杯緣為 $d$，因此靜止液面的高度為 $H-d$，其中 $H$ 為杯緣高度。

由於液體不可壓縮，旋轉前後體積不變，所以旋轉後液面的平均高度仍為 $H-d$。

---

解題方法

轉盤轉速增加到臨界值 $\omega_0$ 時，液面恰好在杯緣處溢出。因此旋轉後液面外側邊緣的高度為

$$z(R)=H.$$

由自由液面方程式，

$$H=z_0+\frac{\omega_0^2R^2}{2g}.$$

另一方面，旋轉後液面的平均高度為

$$\bar z =z_0+\frac{\omega_0^2R^2}{4g}.$$

這是因為圓形底面上 $r^2$ 的面積平均值為

$$\langle r^2\rangle =\frac{\int_0^R r^2(2\pi r\,dr)} {\int_0^R 2\pi r\,dr} =\frac{R^2}{2}.$$

而體積守恆給出

$$\bar z=H-d.$$

因此

$$H-d=z_0+\frac{\omega_0^2R^2}{4g}.$$

將此式與

$$H=z_0+\frac{\omega_0^2R^2}{2g}$$