108 年 國立中山大學物理學系碩士班《電磁學》

核心觀念

• 旋度 (curl) 與斯托克斯定理：向量場 $\mathbf{F}$ 在有界、光滑曲面 $S$（其邊界為閉合曲線 $C=\partial S$）上，$\displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$。
• 散度 (divergence) 與高斯-格林定理：向量場 $\mathbf{F}$ 在有界、光滑閉合曲面 $S$ 所圍成的體積 $V$（$S=\partial V$）上，$\displaystyle\oiint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS= \iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\,dV$。
• 關鍵定義
  • $\nabla\times\mathbf{F}$：旋度，衡量場在局部的迴轉性。
  • $\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}$：散度，衡量場在局部的發散或收縮。
  • $\mathbf{n}$：曲面外法向單位向量（在斯托克斯定理中指向曲面的一側，在高斯定理中指向外側）。

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解題方法

1. 寫出積分形式

   • 旋度定理（斯托克斯）
     $\boxed{\displaystyle\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS}$
     其中 $d\mathbf{r}$ 為沿邊界 $C$ 的微分位移向量，$\partial S$ 表示 $S$ 的有向邊界。
   • 散度定理（高斯）
     $\boxed{\displaystyle\oiint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS= \iiint_{V}(\nabla\!\cdot\!\mathbf{F})\,dV}$
     其中 $\partial V$ 為閉合曲面 $S$，$dS$ 為面微元面積，$\mathbf{n}$ 為外向單位法向。

2. 說明積分符號的意義

   • 迴路積分 $\displaystyle\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ 為向量場在邊界上沿切向的線積分。
   • 面積分 $\displaystyle\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$ 為旋度在曲面上投影於法向的通量。
   • 流量積分 $\displaystyle\oiint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS$ 為向量場穿過閉合曲面的總通量。
   • 體積積分 $\displaystyle\iiint_{V}(\nabla\!\cdot\!\mathbf{F})\,dV$ 為散度在體積內的總發散量。

3. 條件

   • $\mathbf{F}$ 必須在所考慮的區域（含邊界）上至少 $C^{1}$（即一階連續可微）。

核心觀念

本題考查真空中的 Maxwell 方程組，以及其「微分形式」表示法。

在 SI 制中，真空具有

$$\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E},\qquad \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}$$

真空中若沒有自由電荷與電流，則

$$\rho=0,\qquad \mathbf{J}=0$$

Maxwell 方程組包含兩個散度方程與兩個旋度方程：

• 電場的高斯定律
• 磁場的高斯定律
• 法拉第電磁感應定律
• 安培－Maxwell 定律

解題方法

直接將真空條件 $\rho=0$ 與 $\mathbf{J}=0$ 代入 Maxwell 方程的微分形式。

1. 電場的高斯定律

一般形式為

$$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$$

使用 $\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}$，且真空中 $\rho=0$：

$$\nabla\cdot\left(\varepsilon_0\mathbf{E}\right)=0$$

由於 $\varepsilon_0$ 為常數，因此

$$\boxed{\nabla\cdot\mathbf{E}=0}$$

這表示真空中沒有電荷作為電場的源或匯。

2. 磁場的高斯定律

磁場的高斯定律為

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

此式表示自然界中沒有已被觀測到的磁單極，因此磁力線沒有起點或終點，而是形成閉合曲線。

3. 法拉第電磁感應定律

法拉第定律的微分形式為

$$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

負號代表楞次定律：感應電場的方向會抵抗磁通量的變化。

4. 安培－Maxwell 定律

一般形式為

$$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

在真空中 $\mathbf{J}=0$，並代入

$$\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}, \qquad \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}$$

得到

$$\nabla\times\left(\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\right) = \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

由於 $\mu_0$ 為常數，因此

核心觀念

• 麥克斯韋方程組（真空中）

$$\begin{aligned} &\nabla\cdot\mathbf{E}=0,\\ &\nabla\cdot\mathbf{B}=0,\\ &\nabla\times\mathbf{E}= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\\ &\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}. \end{aligned}$$

• 電磁波的傳播是由場的相互耦合所產生的橫波。
• 目標是從上述方程推出波動方程，從而得到波速 $c$ 的表達式。

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解題方法

1. 對電場取旋度
   從法拉第感應定律 $\nabla\times\mathbf{E}= -\partial\mathbf{B}/\partial t$，再對兩側取旋度：

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr).$

2. 代入安培-麥克斯韋定律
   右側使用 $\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$，得到

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$

3. 向量恆等式
   由恆等式 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}$，且在真空中 $\nabla\cdot\mathbf{E}=0$，故

核心觀念

本題考查「點電偶極子的電勢與電場」，以及球座標中的梯度運算。

假設電偶極矩為 $\mathbf P=P\hat{\mathbf z}$，位於原點，空間為真空，求原點外 $r>0$ 的電場。點電偶極子的電勢為

$$V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf P\cdot\hat{\mathbf r}}{r^2}$$

由於 $\mathbf P=P\hat{\mathbf z}$，且 $\hat{\mathbf z}\cdot\hat{\mathbf r}=\cos\theta$，因此

$$V(r,\theta)=\frac{P\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

電場與電勢的關係為

$$\mathbf E=-\nabla V$$

球座標中的梯度為

$$\nabla V = \hat{\mathbf r}\frac{\partial V}{\partial r} + \hat{\boldsymbol\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta} + \hat{\boldsymbol\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial\phi}$$

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解題方法與推導

由

$$V(r,\theta)=\frac{P\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

可得徑向偏微分

$$\frac{\partial V}{\partial r} = -\frac{2P\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$$

以及極角偏微分

$$\frac{\partial V}{\partial\theta} = -\frac{P\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

因為電勢與 $\phi$ 無關，

$$\frac{\partial V}{\partial\phi}=0$$

所以電場為

$$\mathbf E = -\left[ \hat{\mathbf r}\frac{\partial V}{\partial r} + \hat{\boldsymbol\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta} \right]$$

代入上述結果：

核心觀念

• 靜電勢 $V(\mathbf r)$ 與帶電分佈的關係由庫倫勢公式給出：
  $V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,d\tau'$
  若電荷分佈在表面，則 $\rho\,d\tau' \to \sigma\,dA'$，其中 $\sigma$ 為面電荷密度。
• 球殼上的電荷在外部的等效模型是 點電荷，其總電荷量等於球殼上全部電荷。
• 參考勢能取無窮遠處 $V(\infty)=0$，因此 $V(r)$ 即為相對於無窮遠的電勢。

解題方法

1. 求面電荷密度 $\sigma$
   總電荷 $q$ 均勻分佈於半徑 $R$ 的球殼表面，表面積 $4\pi R^{2}$，故
   $\sigma = \frac{q}{4\pi R^{2}}.$

2. 利用球對稱性
   在球殼外部（$r>R$）的電場與由同等總電荷 $q$ 集中於球心的點電荷相同，這是高斯定理的直接結果。
   因此，距離球心 $r$ 處的電勢為
   $V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r},\qquad r\ge R.$

核心觀念

• 比奧-薩伐爾定律 (Biot‑Savart Law)：

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int\frac{I\,\mathrm{d}\mathbf{l}\times\mathbf{\hat{R}}}{R^{2}}$

其中 $\mathrm{d}\mathbf{l}$ 為電流元方向，$\mathbf{R}$ 為觀測點 $\mathbf{r}$ 與電流元之向量，$R=|\mathbf{R}|$，$\mathbf{\hat{R}}=\mathbf{R}/R$。

• 長直導線的對稱性：電流分布在無限長直線上，系統在圓柱座標下具有軸對稱與環向對稱，磁場僅在與導線同心的圓周上，方向為 $\boldsymbol{\phi}$（右手定則）。

解題方法

1. 設定座標系
   取導線沿 $z$ 軸，觀測點 $P$ 位於距離 $s$ 的徑向位置，坐標為 $(s,0,0)$（圓柱座標 $(s,\phi=0,z=0)$）。

2. 寫出電流元
   電流元 $\mathrm{d}\mathbf{l}= \hat{\mathbf{z}}\,\mathrm{d}z$，方向沿 $z$ 軸。

3. 求 $\mathbf{R}$、$R$ 與 $\mathrm{d}\mathbf{l}\times\mathbf{\hat{R}}$

$$\mathbf{R}= \mathbf{r}-\mathbf{r}' = (s,0,0)- (0,0,z)=\begin{pmatrix}s\\0\\-z\end{pmatrix},\qquad R=\sqrt{s^{2}+z^{2}}$$

$\mathbf{\hat{R}}=\frac{1}{\sqrt{s^{2}+z^{2}}}\begin{pmatrix}s\\0\\-z\end{pmatrix}$

$$\mathrm{d}\mathbf{l}\times\mathbf{\hat{R}}= \hat{\mathbf{z}}\mathrm{d}z \times \frac{1}{\sqrt{s^{2}+z^{2}}}\begin{pmatrix}s\\0\\-z\end{pmatrix} =\frac{s\,\mathrm{d}z}{\sqrt{s^{2}+z^{2}}}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$$

4. 代入 Biot‑Savart

核心觀念

使用畢奧－沙伐定律計算電流元產生的磁場：

$$d\mathbf B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf r}{r^3}$$

其中 $d\boldsymbol{\ell}$ 是沿電流方向的線元素，$\mathbf r$ 是從電流元指向觀測點的位移。圓環上各電流元產生的磁場，其垂直於圓環軸線的分量彼此抵消；沿軸線的分量則同向相加。

解題方法

令圓環位於 $xy$ 平面、圓心在原點，觀測點位於 $(0,0,z)$，其中 $z>0$。先以參數角 $\phi$ 表示圓環上的電流元：

$$d\boldsymbol{\ell}=R(-\sin\phi,\cos\phi,0)\,d\phi$$

從電流元指向觀測點的位移為

$$\mathbf r=(-R\cos\phi,-R\sin\phi,z), \qquad r=\sqrt{R^2+z^2}$$

計算叉積：

$$d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf r = (Rz\cos\phi,\ Rz\sin\phi,\ R^2)\,d\phi$$