108 年 國立臺灣大學大氣系碩士班乙組《大氣動力學》

此題主要在探討觀測速度與實際大氣溫度變化率之間的關係，並結合空間變化與時間變化。

(1)
首先，我們需要定義幾個變數：
$v_{obs}$：觀測速度 (km/hr)
$v_{air}$：無人機的空速 (km/hr)
$\frac{\partial T}{\partial x}$：溫度由西向東的變化率（空間變化率），單位是 K/100km。我們假設無人機是沿著東西方向飛行，所以 $x$ 方向代表由西向東。
$\frac{\partial T}{\partial t}$：觀測到的溫度變化率，單位是 K/hr。

觀測到的溫度變化率 $\frac{\partial T}{\partial t}$ 是由無人機的運動（空間變化）和實際大氣的溫度變化（時間變化）共同造成的。
如果無人機是靜止的，那麼 $\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial T}{\partial t}_{actual}$。
如果大氣溫度是空間均勻的，那麼 $\frac{\partial T}{\partial t} = v_{obs} \frac{\partial T}{\partial x}$。

在這一題中，我們假設大氣溫度只有空間變化，沒有時間的均勻變化，也就是 $\frac{\partial T}{\partial t}_{actual} = 0$。
所以，觀測到的溫度變化率 $\frac{\partial T}{\partial t}$ 就是由無人機的運動與大氣的空間溫度變化率所貢獻的。
由於無人機是向東飛行，其速度方向與溫度由西向東的變化方向相同，所以觀測到的溫度變化率為：
$\frac{\partial T}{\partial t} = v_{air} \frac{\partial T}{\partial x}$

其中 $v_{air}$ 是無人機的空速，我們假設無人機的空速就是其量測到的速率。
題目中提到「量到的溫度變化為 4K/hr」，這是 $\frac{\partial T}{\partial t}$。
題目中提到「溫度由西向東的變化（單位 K/100km）」，這是 $\frac{\partial T}{\partial x}$。
無人機速率是 $v_{air}$。

情況一：無人機速率為 200km/hr
$\frac{\partial T}{\partial t} = 4 \text{ K/hr}$
$v_{air} = 200 \text{ km/hr}$
則 $\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\frac{\partial T}{\partial t}}{v_{air}} = \frac{4 \text{ K/hr}}{200 \text{ km/hr}} = 0.02 \text{ K/km}$
將單位轉換為 K/100km：
$0.02 \text{ K/km} \times 100 \text{ km} = 2 \text{ K/100km}$
所以，溫度由西向東的變化是 2 K/100km。

情況二：無人機速率為 100km/hr
$\frac{\partial T}{\partial t} = 4 \text{ K/hr}$
$v_{air} = 100 \text{ km/hr}$
則 $\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\frac{\partial T}{\partial t}}{v_{air}} = \frac{4 \text{ K/hr}}{100 \text{ km/hr}} = 0.04 \text{ K/km}$
將單位轉換為 K/100km：
$0.04 \text{ K/km} \times 100 \text{ km} = 4 \text{ K/100km}$
所以，溫度由西向東的變化是 4 K/100km。

假設：
此計算的假設是：

1. 大氣溫度場只有空間變化，沒有隨時間的均勻變化（即 $\frac{\partial T}{\partial t}_{actual} = 0$）。
2. 無人機是沿著溫度梯度最大的方向（由西向東）飛行。
3. 無人機的空速就是其量測到的速率。
4. 溫度變化率是常數。

【答案】溫度由西向東的變化為 2 K/100km；若飛機速率為 100km/hr，則為 4 K/100km。假設為大氣溫度場無時間均勻變化，且無人機沿溫度梯度飛行。

此題主要探討地球自轉對大氣運動的影響，包括科氏力、 $\beta$ 效應，以及尺度分析與 Rossby number 的概念。

(1)
為何赤道上無科氏力？
科氏力 (Coriolis force) 的向量形式為 $\vec{F}_c = -2\vec{\Omega} \times \vec{v}$，其中 $\vec{\Omega}$ 是地球自轉角速度向量，$\vec{v}$ 是物體的運動速度向量。
科氏力的方向垂直於 $\vec{\Omega}$ 和 $\vec{v}$ 所構成的平面。
地球自轉角速度向量 $\vec{\Omega}$ 指向北極星的方向。
在赤道上，地球自轉軸（也就是 $\vec{\Omega}$ 的方向）與地表是垂直的。
當物體在赤道上沿著地表運動時（例如水平方向的運動），其速度向量 $\vec{v}$ 是與 $\vec{\Omega}$ 平行的。
根據向量叉乘的性質，如果兩個向量平行，它們的叉乘結果為零。
因此，在赤道上，由於 $\vec{v}$ 與 $\vec{\Omega}$ 平行，$-2\vec{\Omega} \times \vec{v} = 0$，所以科氏力為零。
更直觀地說，科氏力是地球自轉導致的慣性力。在赤道上，水平運動的物體實際上是繞著地球自轉軸在運動，但相對於自轉軸的垂直方向，其運動是「直線」的。只有當物體有垂直於自轉軸方向的速度分量，或者當物體運動的速度向量不平行於自轉軸時，才會感受到科氏力。

為何大氣或海洋會有 $\beta$ 效應？
$\beta$ 效應 (beta effect) 是指科氏參數 $f$ 隨緯度變化的效應。
科氏參數 $f$ 的定義是 $f = 2\Omega \sin\phi$，其中 $\Omega$ 是地球自轉角速度的大小，$\phi$ 是緯度。
科氏參數 $f$ 隨緯度 $\phi$ 變化，在赤道 ($\phi=0$) 時 $f=0$，在極地 ($\phi=\pm 90^\circ$) 時 $|f|=2\Omega$ 最大。
$\beta$ 參數的定義是 $\beta = \frac{\partial f}{\partial y}$，其中 $y$ 是垂直於緯度線的指向北方的距離。
在球座標系中，如果我們考慮 $y$ 方向的變化，可以證明 $\beta = \frac{1}{R}\frac{\partial f}{\partial \phi} = \frac{2\Omega \cos\phi}{R}$，其中 $R$ 是地球半徑。
因此，$\beta$ 參數在低緯度地區較大，在高緯度地區（接近極點）較小，但在非零緯度地區，$\beta$ 通常是存在的。
$\beta$ 效應在大氣和海洋中很重要，特別是對於長波長的波動（例如行星波、Rossby 波）。
$\beta$ 效應會導致這些波的相速度和群速度方向發生變化，並且是 Rossby 波得以傳播的根本原因。
簡單來說，由於地球是個球體，科氏參數隨緯度變化，這使得大氣和海洋的動力學行為變得複雜，產生了 $\beta$ 效應。

為何只有與地表垂直的 $f$ 重要？
地球自轉角速度向量 $\vec{\Omega}$ 可以分解為平行於地表和垂直於地表的兩個分量。
$\vec{\Omega} = \Omega \cos\phi \hat{j} + \Omega \sin\phi \hat{k}$，其中 $\hat{j}$ 是水平方向（沿著經度線）的單位向量，$\hat{k}$ 是垂直於地表（指向天頂）的單位向量。
科氏力的公式是 $\vec{F}_c = -2\vec{\Omega} \times \vec{v}$。
假設 $\vec{v} = u\hat{i} + v\hat{j} + w\hat{k}$，其中 $u, v, w$ 分別是 $x$（東西向）、$y$（南北向）、$z$（垂直向上）方向的速度分量。
$\vec{\Omega} \times \vec{v} = (\Omega \cos\phi \hat{j} + \Omega \sin\phi \hat{k}) \times (u\hat{i} + v\hat{j} + w\hat{k})$
$= \Omega \cos\phi (u\hat{k} - v\hat{i}) + \Omega \sin\phi (-u\hat{j} + v\hat{i})$
$= -\Omega \cos\phi v \hat{i} + \Omega \cos\phi u \hat{k} - \Omega \sin\phi u \hat{j} + \Omega \sin\phi v \hat{i}$
$= (\Omega \sin\phi v - \Omega \cos\phi v) \hat{i} - \Omega \sin\phi u \hat{j} + \Omega \cos\phi u \hat{k}$

科氏力 $\vec{F}_c = -2\vec{\Omega} \times \vec{v}$
$\vec{F}_c = -2(\Omega \sin\phi v - \Omega \cos\phi v) \hat{i} + 2\Omega \sin\phi u \hat{j} - 2\Omega \cos\phi u \hat{k}$

我們通常定義：
科氏參數 $f = 2\Omega \sin\phi$ (這個分量與 $\vec{\Omega}$ 垂直於自轉軸的分量有關，影響水平運動)
地轉參數 $f_z = 2\Omega \cos\phi$ (這個分量與 $\vec{\Omega}$ 平行於自轉軸的分量有關，影響垂直運動)

所以，科氏力可以寫成：
$\vec{F}_c = -2(\frac{f}{2} v - \frac{f_z}{2} v) \hat{i} + f u \hat{j} - f_z u \hat{k}$
$\vec{F}_c = -(fv - f_z v) \hat{i} + f u \hat{j} - f_z u \hat{k}$

在氣象學中，我們通常考慮的是水平運動，即 $u$ 和 $v$。
科氏力對 $y$ 方向（南北向）的影響是 $f u$。這個力的大小與 $f = 2\Omega \sin\phi$ 成正比，是我們最常提到的科氏力。
科氏力對 $x$ 方向（東西向）的影響是 $-(fv - f_z v)$。
科氏力對 $z$ 方向（垂直向上）的影響是 $-f_z u = -2\Omega \cos\phi u$。

在中緯度地區，$\phi$ 接近 $45^\circ$，$\sin\phi$ 和 $\cos\phi$ 都比較大。
但是，大氣的垂直速度 $w$ 通常比水平速度 $u, v$ 小得多（尺度分析顯示 $w \sim (L/H) u$ 或 $v$，其中 $L/H \gg 1$）。
因此，科氏力對垂直速度的影響（$-f_z u$）通常遠小於其他力（如重力、壓力梯度力）。
此外，科氏力的水平分量（$-f_z v$）在南北方向的貢獻也通常比 $f u$ 小，因為 $f_z = f \cot\phi$。在中緯度，$\cot\phi$ 不會太小。
然而，在討論大尺度運動時，科氏力的水平分量 $f u$ 對於偏轉水平運動（如地轉平衡）至關重要。
而垂直分量 $-f_z u$ 對於垂直運動的影響，相較於重力（$\approx g$）和壓力梯度力（$\approx \frac{\Delta p}{\rho H}$）而言，通常被忽略。
因此，在標準的大氣動力學和天氣系統分析中，我們主要關注的是科氏參數 $f = 2\Omega \sin\phi$，它支配著水平運動的偏轉。

總結：

• 赤道上科氏力為零是因為物體速度向量平行於地球自轉軸。
• $\beta$ 效應源於科氏參數隨緯度變化，對長波運動（如 Rossby 波）的傳播至關重要。

此題主要探討 Ekman 輸送及其在海洋學中的應用，包括 Ekman spirial、Ekman transport 以及湧升流的機制。

(1)
上式的物理意義
式子 $\int_{-\infty}^{\infty} \rho \vec{v}_h dz = -k \times \int_{-\infty}^{\infty} \vec{\tau}_{wind} dz$ 描述了 Ekman transport 的概念。
左邊的積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \rho \vec{v}_h dz$ 代表的是整個水體（從海面到無限深處）的總水平動量通量，或者可以理解為整個水柱的平均水平質量通量（如果密度 $\rho$ 視為常數）。
右邊的積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \vec{\tau}_{wind} dz$ 代表的是風對整個水柱施加的總風應力。
$-k \times$ 表示向量叉乘，其中 $k$ 是垂直向上的單位向量。在右手定則下，$k \times \vec{\tau}_{wind}$ 會將風應力向量 $\vec{\tau}_{wind}$ 進行一個 $90^\circ$ 的反時針旋轉（如果 $\vec{\tau}_{wind}$ 是水平向量）。

物理意義的解釋：
Ekman transport 指的是，在考慮了科氏力 (Coriolis force) 和風應力 (wind stress) 的作用下，由風驅動的海洋表層水體的總水平淨輸送。
風作用在海面產生風應力 $\vec{\tau}_{wind}$，這個應力會帶動表層海水運動。
由於地球自轉，運動中的海水會受到科氏力的影響。在北半球，科氏力會使運動方向偏右；在南半球，科氏力會使運動方向偏左。
在理想情況下（忽略黏滯力的垂直變化、邊界效應等），表層海水運動會形成一個 Ekman spiral：最上層的海水受風應力驅動，向右偏轉（北半球）；下一層海水受到上一層的拖曳和科氏力的影響，運動方向與上一層略有不同，並且科氏力方向也改變，導致其運動方向再次偏右，依此類推。
這種螺旋效應從海面向下延伸，速度逐漸減小，方向也逐漸偏轉，直到某個深度（Ekman 深度）為止，其速度趨近於零。
Ekman transport 是這些螺旋運動在垂直方向上的總和。
結果是，在北半球，由風驅動的表層水體的淨輸送方向（Ekman transport）會偏離風向 $90^\circ$ 在其右側。
在南半球，淨輸送方向會偏離風向 $90^\circ$ 在其左側。
這個淨輸送方向與風向的關係是：
$\vec{V}_{Ekman} = \frac{\vec{\tau}_{wind} \times k}{f}$ （這個公式是簡化形式，通常是這個關係，但題目給的是積分形式）
或者更準確地說，Ekman transport 的方向是與風應力方向垂直且偏向右側（北半球）或左側（南半球）。

南半球冰山移動和海面風向的關係：
在南半球，Ekman transport 的方向是偏離風向 $90^\circ$ 在其左側。
冰山漂浮在海面上，其移動主要受到風和洋流的影響。
如果風是驅動冰山移動的主要因素，那麼冰山會受到風應力的影響。
在南半球，風應力會產生一個 Ekman transport，這個 transport 是向左偏離風向 $90^\circ$ 的。
因此，冰山的漂移方向（特別是其淨移動方向，如果只考慮風的影響）會大致沿著 Ekman transport 的方向。
例如，如果海面風是從北向南吹（南半球的東北風），那麼 Ekman transport 的方向將是偏離南向 $90^\circ$ 的左側，也就是偏向東南方向。
所以，南半球的冰山移動方向會大致偏離海面風向 $90^\circ$ 在左側。

(2)
副熱帶北美洲、南美洲西側（大洋東側）的湧升流現象
這兩個區域都位於副熱帶（約 $30^\circ$N 或 $30^\circ$S），並且是大洋的東側（例如加州的海岸、秘魯的海岸）。
在這個區域，盛行風是從陸地吹向海洋的 信風 (trade winds)，在北半球是從東北吹向西南，在南半球是從東南吹向西北。
以北半球加州海岸為例，盛行風是東北風，吹向西南，沿著海岸線吹。