115 年 國立臺灣大學地質科學系及海洋研究所聯合招生《微積分（A）》

核心觀念

本題綜合考查：

• 極限的等價無窮小與有理化
• 鏈鎖律
• 反三角函數微分
• 基本不定積分
• 微積分基本定理
• 變數變換
• 黎曼和
• 一階非線性微分方程

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解題方法與詳解

(a) $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{x}}$

利用 $\sin x\sim x$，得

$$\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{x}} =\sqrt{\frac{\sin x}{x}} \longrightarrow \sqrt{1}=1.$$

解題技巧： 遇到 $\sin x/x$ 且 $x\to0$，直接使用基本極限。

【答案】$\boxed{1}$

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(b) $\displaystyle \frac{d}{dx}(2x)^2$

先化簡：

$$(2x)^2=4x^2.$$

因此

$$\frac{d}{dx}(2x)^2 =\frac{d}{dx}(4x^2) =8x.$$

【答案】$\boxed{8x}$

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(c) $\displaystyle \frac{d}{dx}2^{x^2}$

使用公式

$$\frac{d}{dx}a^{u(x)} =a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).$$

令 $u(x)=x^2$，則 $u'(x)=2x$，所以

$$\frac{d}{dx}2^{x^2} =2^{x^2}\ln2\cdot2x.$$

【答案】$\boxed{2x\ln2\cdot2^{x^2}}$

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(d) $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\sin^{-1}x$

首先，

$$\frac{d}{dx}\sin^{-1}x =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

再微分一次：

$$\frac{d^2}{dx^2}\sin^{-1}x =\frac{d}{dx}(1-x^2)^{-1/2}$$ $$=-\frac12(1-x^2)^{-3/2}(-2x) =\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}.$$

【答案】$\boxed{\dfrac{x}{(1-x^2)^{3/2}}}$

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(e) $\displaystyle \int\sec^2x\,dx$

由基本積分公式

$$\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x,$$

因此

$$\int\sec^2x\,dx=\tan x+C.$$

【答案】$\boxed{\tan x+C}$

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(f) $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_0^x f(t)\,dt$

由微積分基本定理，若 $f$ 在 $x$ 附近連續，則

$$\frac{d}{dx}\int_0^x f(t)\,dt=f(x).$$

積分變數是虛變數 $t$，微分後要將上限變數 $x$ 代回函數。

【答案】$\boxed{f(x)}$

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(g) $\displaystyle \int_0^1xe^{-x^2}\,dx$

令

$$u=x^2,\qquad du=2x\,dx,$$

所以 $x\,dx=\frac12du$。當 $x=0$ 時 $u=0$；當 $x=1$ 時 $u=1$。

因此

$$\int_0^1xe^{-x^2}\,dx =\frac12\int_0^1e^{-u}\,du$$ $$=\frac12[-e^{-u}]_0^1 =\frac12(1-e^{-1}).$$

【答案】$\boxed{\dfrac{1-e^{-1}}{2}}$

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(h) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)$

使用有理化：

$$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} = \frac{(x+\sqrt{x})-x} {\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}$$ $$= \frac{\sqrt{x}} {\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}.$$

分子分母同除以 $\sqrt{x}$：

$$\frac{1} {\sqrt{1+\frac1{\sqrt{x}}}+1} \longrightarrow \frac{1}{1+1} =\frac12.$$

【答案】$\boxed{\dfrac12}$

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核心觀念

這題是初值問題，微分方程含有一次項與平方項。先平移變數

$$z=y-1$$

可將方程化為

$$z'+xz+\frac12z^2=0.$$

當 $z\neq 0$ 時，令 $w=\frac1z$，可將這個非線性方程化為一階線性微分方程。若初值使 $z=0$，則應直接檢查平衡解，不能使用倒數代換。

解題方法

(a) $y(0)=1$

由 $z=y-1$ 得 $z(0)=0$。方程可寫成

$$z'=-xz-\frac12z^2.$$

函數 $z=0$ 是此方程的解，因此對應 $y=1$。又右側對 $z$ 光滑，初值問題的解唯一，故此初值下的解就是

$$y(x)=1.$$

(b) $y(0)=0$

由 $z=y-1$ 得 $z(0)=-1$，因此在初值附近 $z\neq 0$，可令

$$w=\frac1z.$$

由 $z'=-xz-\frac12z^2$ 得

$$w'=-\frac{z'}{z^2} =\frac{x}{z}+\frac12 =xw+\frac12.$$

所以 $w$ 滿足線性方程

$$w'-xw=\frac12,\qquad w(0)=-1.$$

積分因子為 $e^{-x^2/2}$。兩邊同乘後，

$$\left(we^{-x^2/2}\right)'=\frac12e^{-x^2/2}.$$

從 $0$ 積分到 $x$，並代入 $w(0)=-1$：

核心觀念

本題考查：

• 二重積分與三重積分的積分區域判讀。
• 橢圓區域的邊界表示。
• 利用區域對稱性判斷積分值。
• 無界區域上的廣義重積分是否收斂。

由

$$x^2+2y^2\le x$$

可得

$$2y^2\le x(1-x).$$

因此必須有

$$0\le x\le 1,$$

且

$$-\sqrt{\frac{x(1-x)}{2}} \le y\le \sqrt{\frac{x(1-x)}{2}}.$$

題目中的條件含有 $z$，但第 (a) 題為 $dx\,dy$，故只需取其在 $xy$ 平面上的投影區域。

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(a) 計算 $\displaystyle \iint_D e^{x^2}\,dx\,dy$

解題方法

被積函數 $e^{x^2}$ 只與 $x$ 有關，因此先對 $y$ 積分最直接。

對固定的 $x$，$y$ 的範圍為

$$-\sqrt{\frac{x(1-x)}{2}} \le y\le \sqrt{\frac{x(1-x)}{2}}, \qquad 0\le x\le 1.$$

所以

$$\begin{aligned} \iint_D e^{x^2}\,dx\,dy &= \int_0^1 \int_{-\sqrt{x(1-x)/2}}^{\sqrt{x(1-x)/2}} e^{x^2}\,dy\,dx\\ &= \int_0^1 e^{x^2} \left[ 2\sqrt{\frac{x(1-x)}{2}} \right]dx\\ &= \sqrt{2}\int_0^1 e^{x^2}\sqrt{x(1-x)}\,dx. \end{aligned}$$

此積分沒有初等函數形式，因此以一維定積分表示即為精確答案。若需要級數形式，利用

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!},$$

可得

$$\begin{aligned} \iint_D e^{x^2}\,dx\,dy &= \sqrt{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 x^{2n+\frac12}(1-x)^{\frac12}\,dx\\ &= \sqrt{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B\left(2n+\frac32,\frac32\right)}{n!}, \end{aligned}$$

其中 $B$ 為 Beta 函數。

數值上約為

$$\iint_D e^{x^2}\,dx\,dy\approx 0.7862.$$

解題技巧

這是一道關於多元函數的梯度、最值問題，涉及到了向量分析和拉格朗日乘數法。

(a) 核心觀念：函數在某點增加最快的方向是梯度方向。
給定函數 $f(x, y, z) = xy^2z^3$。
梯度向量 $\nabla f$ 的計算：
$\frac{\partial f}{\partial x} = y^2z^3$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2xyz^3$
$\frac{\partial f}{\partial z} = 3xy^2z^2$
所以，$\nabla f(x, y, z) = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2)$。
給定點 $p = (a, b, c)$，其中 $a > 0, b > 0, c > 0$。
在點 $p$ 處的梯度為 $\nabla f(a, b, c) = (b^2c^3, 2abc^3, 3ab^2c^2)$。
函數 $f$ 在點 $p$ 增加最快的方向就是梯度向量 $\nabla f(p)$ 的方向。
我們需要找到這個方向的單位向量，但題目只要求方向，所以直接給出梯度向量即可。
【答案】$(b^2c^3, 2abc^3, 3ab^2c^2)$

(b) 核心觀念：判斷函數在定義域上的最小值。
函數 $f(x, y, z) = xy^2z^3$ 定義在區域 $Q := \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\}$。
在區域 $Q$ 中，$x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$。
因此，$x \ge 0$, $y^2 \ge 0$, $z^3 \ge 0$。
所以，$f(x, y, z) = xy^2z^3 \ge 0$ 對於區域 $Q$ 中的所有點都成立。
最小值為 $0$。
當 $x=0$ 或 $y=0$ 或 $z=0$ 時，函數值為 $0$。
例如，取點 $(0, 1, 1)$，則 $f(0, 1, 1) = 0 \cdot 1^2 \cdot 1^3 = 0$。
取點 $(1, 0, 1)$，則 $f(1, 0, 1) = 1 \cdot 0^2 \cdot 1^3 = 0$。
取點 $(1, 1, 0)$，則 $f(1, 1, 0) = 1 \cdot 1^2 \cdot 0^3 = 0$。
因此，在區域 $Q$ 上，$f(x, y, z)$ 的最小值是 $0$。
【答案】0

(c) 核心觀念：利用拉格朗日乘數法求解約束條件下的函數最值。
我們要找函數 $f(x, y, z) = xy^2z^3$ 在曲面 $S := \{(x, y, z) \in Q \mid x^2 + y^2 + z^2 = 6 \}$ 上的最大值。
約束條件是：

1. $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$
2. $g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 6 = 0$

我們使用拉格朗日乘數法。設置 $\nabla f = \lambda \nabla g$。
$\nabla f = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2)$
$\nabla g = (2x, 2y, 2z)$
拉格朗日方程組：

1. $y^2z^3 = \lambda (2x)$ (1)
2. $2xyz^3 = \lambda (2y)$ (2)
3. $3xy^2z^2 = \lambda (2z)$ (3)
4. $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ (4)
5. $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$

考慮邊界情況：
如果 $x=0$ 或 $y=0$ 或 $z=0$，則 $f(x, y, z) = 0$。由於 $f$ 在 $Q$ 上的最小值是 $0$，最大值必須大於 $0$（假設存在非零點）。
因此，我們考慮 $x > 0, y > 0, z > 0$ 的情況。
此時 $\lambda$ 也不為零，否則 $\nabla f = 0$，則 $y^2z^3=0, 2xyz^3=0, 3xy^2z^2=0$，這與 $x,y,z>0$ 矛盾。

從 (1) 式：$y^2z^3 = 2\lambda x$
從 (2) 式：$xyz^3 = \lambda y$ => $2xyz^3 = 2\lambda y$
從 (3) 式：$xy^2z^2 = \lambda z$ => $3xy^2z^2 = 2\lambda z$

將 (1) 和 (2) 相除 (假設 $\lambda \neq 0, x \neq 0, y \neq 0$):

核心觀念

本題考查：

• 向量場散度的計算；
• 反平方徑向向量場
  $E=\frac{\mathbf r}{\|\mathbf r\|^3}$
  的散度；
• 散度定理；
• 曲面方向與通量積分的判斷。

其中
$\mathbf r=(x,y,z),\qquad \|\mathbf r\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$

注意 $E$ 在原點沒有定義，但原點不在曲面 $Q$ 上。

(a) 計算 $\operatorname{div}E$

令

$$E_1=\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\quad E_2=\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\quad E_3=\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.$$

因此

$$\operatorname{div}E = \frac{\partial E_1}{\partial x} +\frac{\partial E_2}{\partial y} +\frac{\partial E_3}{\partial z}.$$

計算第一項：

$$\frac{\partial E_1}{\partial x} = \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} -\frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}.$$

同理，

$$\frac{\partial E_2}{\partial y} = \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} -\frac{3y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}},$$ $$\frac{\partial E_3}{\partial z} = \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} -\frac{3z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}.$$

相加得

$$\begin{aligned} \operatorname{div}E &= \frac{3}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} -\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\\ &=0. \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{\operatorname{div}E=0\qquad\text{於 }(x,y,z)\ne(0,0,0).}$$

(b) 計算曲面積分

第一步：利用半球面 $S$

考慮單位上半球

$$S=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1,\ z\ge 0\}.$$