108 年 國立宜蘭大學應用經濟與管理學系經營管理碩士班《微積分》

此題考驗極限的計算，特別是處理不定型 $\frac{0}{0}$ 的方法。當 $x \to 0$ 時，分子 $\sqrt{3} - \sqrt{0+3} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$，分母也為 $0$，故為 $\frac{0}{0}$ 型。我們可以使用分子有理化或羅必達法則來求解。

方法一：分子有理化
$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{x+3}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{x+3})(\sqrt{3}+\sqrt{x+3})}{x(\sqrt{3}+\sqrt{x+3})}$
$= \lim_{x\to 0} \frac{3 - (x+3)}{x(\sqrt{3}+\sqrt{x+3})} = \lim_{x\to 0} \frac{-x}{x(\sqrt{3}+\sqrt{x+3})}$
消去 $x$ 後，代入 $x=0$：

此題考驗基本微分的計算，特別是連鎖法則以及對數函數和冪函數的微分。

給定 $y = \ln(x+1)$。

(1) 求一階導數 $\frac{dy}{dx}$：
我們知道 $\frac{d}{du}(\ln u) = \frac{1}{u}$，且 $\frac{d}{dx}(x+1) = 1$。
使用連鎖法則：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln(x+1)) = \frac{1}{x+1} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) = \frac{1}{x+1} \cdot 1 = \frac{1}{x+1}$
可以寫成 $(x+1)^{-1}$。

(2) 求二階導數 $\frac{d^2y}{dx^2}$：
我們對一階導數 $\frac{dy}{dx} = (x+1)^{-1}$ 進行微分。
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right) = \frac{d}{dx}((x+1)^{-1})$
使用冪次法則和連鎖法則：

此題考驗積分在成本函數中的應用，特別是從邊際成本求總成本，並利用給定的條件計算積分常數。

邊際成本 $MC(x)$ 是總成本 $C(x)$ 對產量 $x$ 的微分，即 $MC(x) = \frac{dC}{dx}$。
因此，總成本 $C(x)$ 可以透過對邊際成本 $MC(x)$ 積分得到：
$C(x) = \int MC(x) dx = \int (32 - 0.04x) dx$
對上式進行積分：
$C(x) = 32x - 0.04 \frac{x^2}{2} + K$
$C(x) = 32x - 0.02x^2 + K$
其中 $K$ 是積分常數。

題目給定條件：生產 1 單位的費用為 50 元，即 $C(1) = 50$。
我們將 $x=1$ 代入總成本函數，並令其等於 50，以求解 $K$：

此題考驗對數函數和指數函數的微分，以及連鎖法則的應用。

給定 $x = \log_2(8^t + 1)$。
我們需要求 $\frac{dx}{dt}$。
首先，注意到底數是 2 的對數。我們可以利用換底公式將其轉換為自然對數，這通常更方便微分：
$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$
所以，$x = \frac{\ln(8^t + 1)}{\ln 2}$。

由於 $\ln 2$ 是常數，我們可以將其提出：
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\ln 2} \frac{d}{dt}(\ln(8^t + 1))$

現在我們需要微分 $\ln(8^t + 1)$。使用連鎖法則。
令 $u = 8^t + 1$。則 $\frac{du}{dt}$ 是對 $8^t+1$ 的微分。
$\frac{d}{dt}(8^t)$ 是指數函數的微分。我們知道 $\frac{d}{dt}(a^t) = a^t \ln a$。
所以，$\frac{d}{dt}(8^t) = 8^t \ln 8$。
$\frac{d}{dt}(1) = 0$。
因此，$\frac{du}{dt} = 8^t \ln 8$。

此題考驗不定積分的計算，分別是涉及根號的積分和簡單的冪函數積分。

(1) 計算 $\int \sqrt{x^2-1} \, dx$
這個積分通常需要三角換元法或雙曲換元法。考慮三角換元：令 $x = \sec \theta$。
則 $dx = \sec \theta \tan \theta \, d\theta$。
$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$ (假設 $\tan \theta \ge 0$)。
所以積分變為：
$\int \tan \theta \cdot (\sec \theta \tan \theta) \, d\theta = \int \tan^2 \theta \sec \theta \, d\theta$
我們知道 $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$。
$\int (\sec^2 \theta - 1) \sec \theta \, d\theta = \int (\sec^3 \theta - \sec \theta) \, d\theta$
$= \int \sec^3 \theta \, d\theta - \int \sec \theta \, d\theta$
$\int \sec \theta \, d\theta = \ln|\sec \theta + \tan \theta| + C$。
$\int \sec^3 \theta \, d\theta$ 的積分是標準結果，可以透過分部積分法推導：
$\int \sec^3 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta + \frac{1}{2} \ln|\sec \theta + \tan \theta| + C$。
所以，

此題考驗二重積分的計算。我們需要按照積分次序，先對內層積分變數進行積分，再對外層積分變數進行積分。

積分的次序是先對 $y$ 積分，再對 $x$ 積分。

第一步：計算內層積分 $\int_0^2 (2xy+3) \, dy$，將 $x$ 視為常數。
$\int_0^2 (2xy+3) \, dy = \left[ 2x \frac{y^2}{2} + 3y \right]_0^2$
$= \left[ xy^2 + 3y \right]_0^2$
代入積分上下限：

此題考驗極限的計算，特別是分段函數的單側極限。

要計算 $\lim_{x\to 2^+} f(x)$，我們需要觀察當 $x$ 從大於 2 的方向趨近於 2 時，$f(x)$ 的值。
根據函數定義：
當 $0 < x \le 2$ 時，$f(x) = 4$。
當 $2 < x \le 3$ 時，$f(x) = 6$。
當 $x$ 從大於 2 的方向趨近於 2 時，我們處於 $2 < x \le 3$ 這個區間。在這個區間內，$f(x)$ 的值是固定的 6。
所以，$\lim_{x\to 2^+} f(x) = 6$。

此題考驗隱函數微分求切線斜率。

給定橢圓的方程式 $x^2 + 4y^2 = 4$。
我們需要找到在點 $P(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的切線斜率。
首先，我們需要確認該點是否在橢圓上。將點的座標代入方程式：
$(2)^2 + 4(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 4 + 4(\frac{2}{4}) = 4 + 4(\frac{1}{2}) = 4 + 2 = 6$。
這裡發現問題，點 $P(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 並不在橢圓 $x^2+4y^2=4$ 上。
$2^2 + 4(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 4 + 4(\frac{2}{4}) = 4+2 = 6 \neq 4$。

假定題目中的點為 $P(x_0, y_0)$ 使得 $x_0^2 + 4y_0^2 = 4$。
如果題目是正確的，那麼這個點是不存在的，也就無法求切線斜率。
然而，按照標準的研究所考試題目流程，通常給定的點都會在曲線或曲面上。
我們檢查題目是否可能印刷錯誤。
假設點的 x 座標是 2，那麼 $2^2 + 4y^2 = 4 \implies 4 + 4y^2 = 4 \implies 4y^2 = 0 \implies y=0$。所以點應為 $(2,0)$。
假設點的 y 座標是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，那麼 $x^2 + 4(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 4 \implies x^2 + 4(\frac{2}{4}) = 4 \implies x^2 + 2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$。所以點應為 $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 或 $(-\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$。

我們按照題目給定的點 $P(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 來進行計算，雖然它不在橢圓上。這可能表示題目有誤，但我們依然照題意計算。

此題考驗計算兩個曲線所圍成的區域面積。

首先，我們需要找到這兩個函數的交點，以確定積分的範圍。
令 $x^2 + 2 = x$。
$x^2 - x + 2 = 0$。
我們計算這個二次方程式的判別式 $\Delta = b^2 - 4ac$：
$\Delta = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$。
由於判別式小於零，這個二次方程式沒有實數解。這意味著曲線 $y = x^2 + 2$ 和 $y = x$ 沒有交點。

題目要求計算在 $0 \le x \le 1$ 區間內，兩圖形所圍成的面積。
當兩個圖形沒有交點時，它們所圍成的「面積」通常是指其中一個函數減去另一個函數在該區間上的積分。
我們需要確定在哪個函數的值比較大。
在區間 $0 \le x \le 1$ 內，我們比較 $x^2+2$ 和 $x$ 的值。
例如，當 $x = 0$ 時，$x^2+2 = 2$，$x = 0$。 $2 > 0$。
當 $x = 1$ 時，$x^2+2 = 1^2+2 = 3$，$x = 1$。 $3 > 1$。
對於 $0 \le x \le 1$，由於 $x^2 \ge 0$，所以 $x^2+2 \ge 2$。

此題考驗多元函數在線性限制下的極值問題，可以使用代入法或拉格朗日乘數法求解。這裡採用代入法，因為限制式較簡單。

給定目標函數 $f(x,y) = 2x + 2xy + y$ 和限制條件 $2x + y = 100$。
從限制條件中，我們可以解出 $y$：
$y = 100 - 2x$。

將 $y$ 的表達式代入目標函數 $f(x,y)$，使其變成一個關於 $x$ 的單變數函數，記為 $g(x)$：
$g(x) = f(x, 100-2x) = 2x + 2x(100-2x) + (100-2x)$
展開並化簡 $g(x)$：
$g(x) = 2x + 200x - 4x^2 + 100 - 2x$
$g(x) = -4x^2 + (2 + 200 - 2)x + 100$
$g(x) = -4x^2 + 200x + 100$

現在，我們需要找到函數 $g(x)$ 的最大值。這是一個開口向下的二次函數，其最大值發生在頂點。
我們可以透過求導並令導數為零來找到頂點的 $x$ 座標。
$g'(x) = \frac{d}{dx}(-4x^2 + 200x + 100)$
$g'(x) = -8x + 200$
令 $g'(x) = 0$：
$-8x + 200 = 0$
$8x = 200$