108 年 國立宜蘭大學應用經濟與管理學系應用經濟學碩士班《統計學》

本題在考驗對「標準誤」這個統計學基本名詞的理解。

標準誤（Standard Error, SE）是指統計量（例如樣本平均數、樣本比例等）的抽樣分布的標準差。它衡量了從母體中抽取不同樣本時，所計算出的統計量會有多大的變異性。

本題旨在了解「機率分配」的基本概念。

機率分配（Probability Distribution）是指描述隨機變數（Random Variable）所有可能取值及其對應機率的函數或表格。它告訴我們一個隨機事件發生各種結果的可能性。

本題考驗對「抽樣偏誤」的定義與理解。

抽樣偏誤（Sampling Bias）是指在抽樣過程中，由於某種系統性的原因，導致樣本的統計特性不能代表母體的統計特性，從而產生與真實母體參數的系統性差異。這種偏誤會導致樣本統計量對母體參數的估計產生偏差，且這種偏差是不可透過增加樣本數來消除的。

常見的抽樣偏誤包括：

1. 選擇性偏誤 (Selection Bias)：樣本的選擇方式本身就存在問題，例如，只調查願意接受訪談的人，可能導致某些族群被過度代表或代表不足。

本題在考驗對「均方誤差」這個統計學名詞的理解。

均方誤差（Mean Squared Error, MSE）是衡量一個估計量（Estimator）或模型預測值與實際值之間差異的度量。它定義為預測值與實際值之差的平方的期望值。MSE 包含了偏差（Bias）和變異數（Variance）兩個部分。

MSE 的計算公式為：
$MSE(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - \theta)^2]$
其中 $\hat{\theta}$ 是估計量，$\theta$ 是真實參數。

本題考驗對「比率尺度」資料類型的辨識能力。

統計資料的尺度（Scale of Measurement）是衡量變數類型的分類方式，常見的有四種：名目尺度（Nominal Scale）、次序尺度（Ordinal Scale）、區間尺度（Interval Scale）和比率尺度（Ratio Scale）。

• 名目尺度：只能區分類別，無順序。例如：性別（男/女）、血型（A/B/AB/O）。
• 次序尺度：可以區分類別且具有順序，但類別間的差距無法衡量。例如：教育程度（國小/國中/高中/大學）、滿意度（非常不滿意/不滿意/普通/滿意/非常滿意）。
• 區間尺度：具有順序，且類別間的差距是等距的，但沒有絕對的零點。

本題考驗對線性轉換（Linear Transformation）對變數標準差影響的理解。

假設原始變數為 $X$，其平均數為 $\mu_X$ 且標準差為 $\sigma_X$。
當我們對 $X$ 進行線性轉換，得到新的變數 $Y = aX + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常數。
則新變數 $Y$ 的平均數為 $\mu_Y = a\mu_X + b$。
新變數 $Y$ 的標準差為 $\sigma_Y = |a|\sigma_X$。

本題考驗機率論中基本事件運算和機率公式的理解。

我們逐一檢視每個選項：

(A) 若A、B互斥 (mutually exclusive)，則表示A與B不能同時發生，即 $A \cap B = \emptyset$。
此時， $P(A \cap B) = P(\emptyset) = 0$。
而 $P(A) + P(B)$ 通常不等於 0 (除非 A 和 B 都是機率為 0 的事件，但題目說是非空集合)。
正確的公式是，若 A 和 B 互斥，則 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。
因此，選項 (A) 是錯誤的。

(B) $(A \cup B)^c$ 表示 A 或 B 的聯集（Union）的補集（Complement）。
$A^c$ 表示 A 的補集，$B^c$ 表示 B 的補集。
$A^c \cap B^c$ 表示 A 的補集與 B 的補集的交集（Intersection）。
根據德摩根定律（De Morgan's Laws），對於集合運算，有以下兩個定律：

本題考驗對 Chebyshev 定理的理解與應用。

Chebyshev 定理（切比雪夫不等式）是一個關於機率分布的普遍性定理，它給出了任何機率分布中，觀測值與其平均數之間差距的機率上限。對於任何具有有限期望值 $\mu$ 和有限變異數 $\sigma^2$ 的隨機變數 $X$，對於任意常數 $k > 0$，有：
$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$

這個定理告訴我們，與平均數差距至少 $k$ 個標準差的事件發生的機率，最多為 $1/k^2$。

在本題中，我們關心的是「與算術平均數的差距會超過三倍標準差」的比例，這意味著 $|X - \mu| \ge 3\sigma$。
所以，這裡的 $k=3$。

本題考驗對統計學中幾個重要定理或法則的辨識能力，特別是與常態分配和估計範圍相關的法則。

我們逐一分析各選項：

(A) 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)：
CLT 指出，無論母體本身的分布為何，只要樣本數足夠大，樣本平均數的抽樣分布會近似於常態分配。它主要關注的是樣本平均數的分布，而不是直接給出特定範圍內估計值的比例。

(B) 柴比雪夫定理 (Chebyshev's Theorem)：
如前一題所述，Chebyshev 定理給出任何分布下，觀測值與平均數差距 $k$ 個標準差的機率上限為 $1/k^2$。對於 $k=2$，上限是 $1/4 = 25\%$。它是一個非常保守的估計，適用於任何分布，但它給出的是「差距超過」的機率上限，而不是「落在範圍內」的比例。

(C) 經驗法則 (Empirical Rule)：
經驗法則（也稱為 68-95-99.7法則）是針對常態分配（Normal Distribution）的經驗性法則。它指出：

核心觀念

本題考查「母體標準差已知時，母體平均數信賴區間的樣本數決定」。

當母體標準差 $\sigma$ 已知，且希望在信賴水準 $1-\alpha$ 下估計母體平均數，誤差上限為 $E$ 時，所需樣本數為：

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2$$

其中：

• $\sigma$：母體標準差
• $E$：估計誤差上限
• $z_{\alpha/2}$：標準常態分配的臨界值

解題方法

已知：

$$\sigma=3,\qquad E=0.5,\qquad 1-\alpha=0.90$$

因此：

$$\alpha=0.10,\qquad \frac{\alpha}{2}=0.05$$

查標準常態分配表，信賴水準 $90\%$ 對應的臨界值約為：

$$z_{0.05}=1.645$$

代入樣本數公式：

$$n=\left(\frac{1.645(3)}{0.5}\right)^2$$ $$=\left(9.87\right)^2 =97.4169$$

由於樣本數必須為整數，且題目要求「誤差不超過 $0.5$」，樣本數必須向上取整：

$$n=98$$

嚴格按照標準常態臨界值 $z=1.645$ 計算，正確樣本數應為 $98$；但題目選項沒有 $98$。若採部分統計表使用的近似值 $z=1.64$：

$$n=\left(\frac{1.64(3)}{0.5}\right)^2 =(9.84)^2 =96.8256$$

向上取整後：

$$n=97$$

因此本題命題預期答案是選項 (C)。

選項分析

本題考驗對信賴區間（Confidence Interval）寬度影響因素的理解。

信賴區間的寬度（Width）是衡量估計精確度的一個指標。對於母體平均數 $\mu$ 的信賴區間，其一般形式為：
$\bar{X} \pm E$
其中 $\bar{X}$ 是樣本平均數，而 $E$ 是誤差範圍（Margin of Error）。
信賴區間的寬度為 $2E$。

誤差範圍 $E$ 的公式通常是：
$E = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
或在母體標準差 $\sigma$ 未知時，使用樣本標準差 $s$：
$E = t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

我們來分析各個因素對寬度的影響：

(A) 信心水準 (Confidence Level)：
信心水準由 $\alpha$ (顯著水準) 和 $z_{\alpha/2}$ (或 $t_{\alpha/2, n-1}$) 所決定。
例如，在常態近似下，信心水準越高（例如 95% vs 90%），則 $\alpha$ 越小，$\alpha/2$ 越小，
$z_{\alpha/2}$ 越大。

核心觀念

本題考查「資料分散程度」的衡量方式。常見的分散程度指標包括：

• 共變異數：衡量兩組變數的共同變動方向與程度。
• 變異數：衡量資料與平均數差異的平方平均。
• 標準差：變異數的平方根，與原始資料使用相同單位。
• 中位數：衡量資料位置，不是分散程度指標。

對資料 $X_1,X_2,\ldots,X_n$，樣本標準差為

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}}$$

標準差越大，表示資料越分散；標準差越小，表示資料越集中。

解題方法

題目要比較「年均所得」與「身高」兩組資料的分散程度。判斷重點是選擇能直接反映各組資料離平均數程度，且具有原始資料單位的指標。

標準差具有以下優點：

1. 直接衡量資料偏離平均數的程度。
2. 與原始資料使用相同單位，所得單位為元或公分。
3. 比變異數容易解釋，適合用來描述資料的實際分散情形。

因此，在四個選項中，標準差是最適合作為分散程度的客觀衡量數據。

嚴格而言，若要比較不同單位、不同平均水準資料的「相對分散程度」，最理想的指標是變異係數：

$$CV=\frac{s}{\bar X}\times 100\%$$

但變異係數並未列在選項中；就本題提供的選項而言，應選擇標準差。

選項分析

(A) 共變異數（Covariance）錯誤

共變異數是用來衡量兩個變數是否共同變動，其公式為

本題考驗對常態分配（Normal Distribution）特性的理解，特別是標準差對曲線形狀的影響。

常態分配的曲線由其平均數（期望值 $\mu$）和標準差 $\sigma$ 決定。

• 平均數 $\mu$：決定了曲線的中心位置，即峰值出現的位置。平均數越大，曲線的中心越靠右；平均數越小，曲線的中心越靠左。
• 標準差 $\sigma$：決定了曲線的離散程度，即曲線的「胖瘦」或「高矮」。

本題考驗對不同統計圖形（Statistical Graphics）特性的了解，以及它們各自適合呈現的資料特徵。

我們逐一分析各選項：

(A) 點圖 (Dot Diagram)：
點圖是用點來表示每一個數據點。它能顯示所有數據點，並提供資料的分布情況，但對於大量數據，圖形會變得擁擠，難以辨識。它能顯示最大值、最小值，但中位數和四分位距不易直接看出。

(B) 直方圖 (Histogram)：
直方圖是用長條圖來表示數據的頻率分布。它將數據分成若干區間（bins），並顯示每個區間的數據數量。直方圖能很好地顯示數據的整體分布形狀（如偏態、峰態），但它無法直接顯示個別數據點（如最大值、最小值）或四分位數。

(C) 盒形圖 (Box Plot)：
盒形圖（也稱為箱型圖）是一種專門用來顯示數據的五數概括（Five-Number Summary）的圖形，這五個數值是：

本題考驗對假設檢定（Hypothesis Testing）中兩種錯誤類型的理解。

在假設檢定中，我們面臨兩種可能的錯誤：

1. 型 I 錯誤 (Type I Error)：當虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）實際上是正確的，但我們卻根據樣本結果拒絕了它。這個錯誤的機率通常用 $\alpha$ 表示，也稱為顯著水準（Significance Level）。
2. 型 II 錯誤 (Type II Error)：當對立假設（Alternative Hypothesis, $H_1$）實際上是正確的（也就是虛無假設 $H_0$ 是錯誤的），但我們卻未能拒絕虛無假設。這個錯誤的機率通常用 $\beta$ 表示。

本題考驗對機率分布偏態（Skewness）與集中趨勢指標之間關係的理解。

偏態描述了機率分布曲線的非對稱性。

• 對稱分布 (Symmetric Distribution)：平均數、中位數和眾數通常相等（或非常接近）。例如，常態分配。
• 右偏分布 (Positively Skewed / Right-Skewed Distribution)：
  • 分布的尾部較長，延伸到右側。
  • 大部分數據集中在左側。
  • 一般情況下，平均數 > 中位數 > 眾數。
  • 平均數被右側的極大值拉高。
• 左偏分布 (Negatively Skewed / Left-Skewed Distribution)：
  • 分布的尾部較長，延伸到左側。
  • 大部分數據集中在右側。

本題考驗對相關係數（Correlation Coefficient, $r$）的理解及其性質。

相關係數 $r$ 的值介於 -1 和 +1 之間，用來衡量兩個變數之間線性關係的強度和方向。

• $r > 0$：表示正向（或稱陽性）相關，即一個變數增加時，另一個變數也傾向於增加。
• $r < 0$：表示負向（或稱陰性）相關，即一個變數增加時，另一個變數傾向於減少。
• $r = 0$：表示兩個變數之間沒有線性相關性。
• $|r|$ 的值越接近 1，表示線性關係越強；$|r|$ 的值越接近 0，表示線性關係越弱。

題目給定 $r = 0.30$。

我們逐一分析各選項：

(A) 兩者正向相關：
由於 $r = 0.30 > 0$，表示 X 與 Y 之間存在正向相關。此敘述是正確的。

(B) X 增加1單位時,Y 增加0.3 單位：
相關係數 $r$ 衡量的是變數之間的線性相關方向和強度，但它不直接表示當一個變數改變一個單位時，另一個變數會改變多少。這個關係（斜率）是由迴歸係數（Regression Coefficient）來衡量的。
例如，簡單線性迴歸模型為 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$。

本題考驗對 P 值（P-value）定義的理解，以及在單尾檢定中的應用。

P 值是在虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）為真的前提下，觀察到樣本統計量（Sample Statistic）與當前樣本統計量（或更極端）的機率。

在這個題目中：

• 虛無假設 $H_0: \mu = 100$
• 對立假設 $H_1: \mu > 100$
  這是一個右尾檢定（Right-tailed test），因為對立假設是「大於」。
• 觀察到的樣本平均數是 $X = C$。

P 值的計算，是在 $H_0$ 為真的情況下，計算出觀察到的樣本統計量（或比觀察到的樣本統計量更「極端」）的機率。
在右尾檢定中，「更極端」意味著「更大」。
因此，P 值是在 $H_0$ 為真時，樣本平均數大於或等於觀察到的樣本平均數 $C$ 的機率。
即 $P\text{-value} = P(\bar{X} \ge C | H_0 \text{ is true})$。

我們需要將樣本平均數 $\bar{X}$ 轉換為標準化的統計量（例如 z 值或 t 值），然後計算對應的機率。
在假設 $H_0$ 為真時，母體平均數 $\mu = 100$。
如果母體標準差 $\sigma$ 已知，我們使用 z 統計量：
$z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中 $\mu_0 = 100$。
P 值為 $P(Z \ge \frac{C - 100}{\sigma/\sqrt{n}})$。

如果母體標準差 $\sigma$ 未知，我們使用 t 統計量：

核心觀念

「有效性（Efficiency）」是比較兩個估計量變異數大小的性質。若 $\hat{\theta}_1$ 與 $\hat{\theta}_2$ 都是同一參數 $\theta$ 的不偏估計量，則：

$$\operatorname{Var}(\hat{\theta}_1) < \operatorname{Var}(\hat{\theta}_2)$$

表示 $\hat{\theta}_1$ 比 $\hat{\theta}_2$ 有效，因為其估計結果的波動較小、精確度較高。

有效性主要比較「變異數」，而非只看是否不偏或是否具一致性。

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解題方法

逐一辨認各選項所描述的統計性質：

• $E(\hat{\theta})=\theta$：不偏性（Unbiasedness）。
• $\operatorname{Var}(\hat{\theta})$ 較小：有效性（Efficiency）。
• $\lim_{n\to\infty}\operatorname{Var}(\hat{\theta})=0$：通常與一致性（Consistency）的判斷有關，但單獨成立仍不足以完整保證一致性。

因此，本題應以「比較兩估計量的變異數」作為判斷有效性的依據。

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選項分析

(A) $E(\hat{\theta}_2)=\theta$

此式表示 $\hat{\theta}_2$ 是 $\theta$ 的不偏估計量：

$$E(\hat{\theta}_2)=\theta$$

它只能說明估計量的期望值等於真實參數，不能說明其變異數較小，因此不是有效性的定義。

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(B) $\operatorname{Var}(\hat{\theta}_1)<\operatorname{Var}(\hat{\theta}_2)$

本題考驗在進行母體平均數推論時，樣本大小與所用機率分配的關係。

當我們要從樣本平均數 $\bar{X}$ 推論母體平均數 $\mu$ 時，常用的統計量是 $\frac{\bar{X} - \mu}{SE(\bar{X})}$。
其中 $SE(\bar{X})$ 是樣本平均數的標準誤。

情況一：母體標準差 $\sigma$ 已知。
此時，不論樣本大小 $n$ 如何，由於常態母體的樣本平均數服從常態分配，標準化的統計量 $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 服從標準常態分配（Z 分配）。
所以，若母體是常態分配且 $\sigma$ 已知，則使用 Z 分配。

情況二：母體標準差 $\sigma$ 未知。
此時，我們必須使用樣本標準差 $s$ 來估計 $\sigma$。

• 大樣本 (Large Sample)：當樣本數 $n$ 足夠大時（通常認為 $n \ge 30$），根據中央極限定理，樣本平均數的分布近似於常態分配。

本題考驗對簡單線性迴歸模型（Simple Linear Regression Model）基本假設的掌握。

簡單線性迴歸模型通常表示為：
$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$
其中 $Y_i$ 是應變數，$X_i$ 是自變數，$\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，$\epsilon_i$ 是誤差項。

進行迴歸分析時，通常會做出一系列假設，以確保估計量（如 $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$）的性質（如不偏性、有效性、一致性）以及進行假設檢定和建構信賴區間的有效性。這些假設通常包括：

1. 線性關係 (Linearity)：應變數 $Y$ 與自變數 $X$ 之間存在線性關係。
2. 零均值誤差 (Zero Mean Error)：誤差項的期望值為零，即 $E[\epsilon_i] = 0$。
3. 同質變異數 (Homoscedasticity)：誤差項的變異數是常數，即 $Var(\epsilon_i) = \sigma^2$ 對所有 $i$ 都成立。這也稱為誤差項的「同質性」。
4. 誤差項獨立 (Independence of Errors)：誤差項之間彼此獨立，即 $Cov(\epsilon_i, \epsilon_j) = 0$ 對於 $i \neq j$。

本題考驗對二項分配（Binomial Distribution）和超幾何分配（Hypergeometric Distribution）的區別，特別是它們的關鍵假設。

這兩種分配都用於描述在多次試驗中成功（或滿足某種條件）的次數。它們的主要區別在於試驗是否「獨立」以及抽樣是否「有放回」。

二項分配 (Binomial Distribution)

• 適用於進行 $n$ 次獨立的伯努利試驗（Bernoulli Trials）。
• 每次試驗只有兩種可能結果：「成功」（機率為 $p$）和「失敗」（機率為 $1-p$）。
• 每次試驗的成功機率 $p$ 保持不變。
• 試驗是獨立的，這意味著一次試驗的結果不影響其他試驗的結果。
• 抽樣是「有放回」的（或者母體非常大，以至於抽樣的影響可以忽略不計）。

超幾何分配 (Hypergeometric Distribution)

• 適用於從一個有限的母體中進行「無放回」抽樣。
• 母體包含 $N$ 個物件，其中有 $K$ 個是「成功」的，$N-K$ 個是「失敗」的。
• 從母體中抽取 $n$ 個樣本。

本題考驗對 P 值（P-value）的定義、解釋及其在假設檢定中的應用。

P 值是在虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）為真的前提下，觀察到樣本統計量（Sample Statistic）與當前樣本統計量（或更極端）的機率。
P 值的大小反映了觀察到的樣本數據與虛無假設的相容程度。P 值越小，表示樣本數據與虛無假設的偏離程度越大，越有理由拒絕虛無假設。

P 值與顯著水準（Significance Level, $\alpha$）的關係是進行決策的關鍵：

• 如果 P 值 $\le \alpha$，則拒絕虛無假設 $H_0$。
• 如果 P 值 $> \alpha$，則未能拒絕虛無假設 $H_0$。

我們來分析各選項：

(A) 估計值的標準差為 0.036
估計值的標準差（Standard Deviation of the Estimator），也就是標準誤（Standard Error, SE），是衡量估計量穩定性的指標。P 值是機率，與標準差是不同的概念。P 值 0.036 並不直接代表估計值的標準差。此敘述是錯誤的。

核心觀念

簡單迴歸模型可寫成：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$$

截距項 $\beta_0$ 表示 $X=0$ 時母體迴歸線上 $Y$ 的預測值。截距項的 $t$ 檢定通常檢驗：

$$H_0:\beta_0=0 \qquad\text{對}\qquad H_1:\beta_0\ne 0$$

其檢定統計量為：

$$t=\frac{\hat{\beta}_0-0}{SE(\hat{\beta}_0)}$$

題目給定 $t=-0.20$，代表截距估計值距離虛無假設的 $0$ 僅 $0.20$ 個標準誤，絕對值很小。在一般顯著水準下，這不足以拒絕 $H_0$，表示沒有足夠證據認為截距異於 $0$。

解題方法

先辨認題目給的是「截距項」的 $t$ 值，而不是斜率 $\beta_1$ 的檢定值。截距檢定關心的是 $X=0$ 時，迴歸線的預測值是否異於 $0$；它不直接檢驗 $X$ 與 $Y$ 的相關方向，也不衡量 $X$ 對 $Y$ 變異的解釋比例。

因題目未提供自由度與顯著水準，無法計算精確的 $p$ 值；依一般考題採用的顯著水準判斷，$|t|=0.20$ 屬於不顯著，因此不拒絕截距為 $0$ 的虛無假設。

選項分析

本題要求根據枝葉圖（Stem-and-Leaf Plot）計算一系列描述性統計量，包括平均數、中位數、眾數、標準差和變異係數。

首先，我們需要將枝葉圖轉換為原始數據列表。
枝葉圖的格式為：枝 | 葉。葉的單位是 1。

枝 1: 19 -> 數據點為 19
枝 2: 0028 -> 數據點為 20, 20, 22, 28
枝 3: 0156666 -> 數據點為 30, 31, 35, 36, 36, 36, 36
枝 4: 37 -> 數據點為 43, 47

整理後的數據列表（共 n=12 個數據點）：
19, 20, 20, 22, 28, 30, 31, 35, 36, 36, 36, 36, 43, 47

1. 計算平均數 ($\bar{X}$)
平均數是所有數據點的總和除以數據點的個數。
Sum = 19 + 20 + 20 + 22 + 28 + 30 + 31 + 35 + 36 + 36 + 36 + 36 + 43 + 47
Sum = 403
數據點個數 n = 12

$\bar{X} = \frac{\text{Sum}}{n} = \frac{403}{12} \approx 33.5833$

2. 計算中位數 (Median)
數據點個數 n = 12 (偶數)。
中位數是排序後第 $n/2$ 個和第 $(n/2)+1$ 個數據的平均值。
$n/2 = 12/2 = 6$
$(n/2)+1 = 7$
排序後的數據：19, 20, 20, 22, 28, 30, 31, 35, 36, 36, 36, 36, 43, 47
第 6 個數據是 30。
第 7 個數據是 31。

Median = $\frac{30 + 31}{2} = \frac{61}{2} = 30.5$

3. 計算眾數 (Mode)
眾數是數據集中出現頻率最高的數值。
觀察數據：
19 (1次)
20 (2次)
22 (1次)
28 (1次)
30 (1次)
31 (1次)
35 (1次)
36 (4次)
43 (1次)
47 (1次)
出現頻率最高的數值是 36 (出現 4 次)。

Mode = 36

4. 計算標準差 ($s$)
標準差是變異數的平方根。首先計算樣本變異數 $s^2$。
$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}{n-1}$

我們需要計算每個數據點與平均數的差的平方。
$\bar{X} \approx 33.5833$

$X_i$	$X_i - \bar{X}$	$(X_i - \bar{X})^2$
19	19 - 33.5833 = -14.5833	212.6776
20	20 - 33.5833 = -13.5833	184.5036
20	20 - 33.5833 = -13.5833	184.5036
22	22 - 33.5833 = -11.5833	134.1776
28	28 - 33.5833 = -5.5833	31.1736
30	30 - 33.5833 = -3.5833	12.8400
31	31 - 33.5833 = -2.5833	6.6736
35	35 - 33.5833 = 1.4167	2.0070

本題要求計算一個比例（Proportion）的 98% 信賴區間。

已知資訊：

• 樣本大小 $n = 5000$
• 樣本比例 $\hat{p} = 63\% = 0.63$
• 信賴水準 = 98%

首先，我們需要找到對應於 98% 信賴水準的 z 值（臨界值）。
信賴水準為 98% 意味著 $\alpha = 1 - 0.98 = 0.02$。
因此，$\alpha/2 = 0.02 / 2 = 0.01$。
我們需要找到 $z_{0.01}$，即標準常態分布曲線尾部面積為 0.01 的 z 值。
查標準常態分布表可知，$z_{0.01} \approx 2.326$。

信賴區間的公式為：
$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

代入數值：
$\hat{p} = 0.63$
$1 - \hat{p} = 1 - 0.63 = 0.37$
$n = 5000$
$z_{\alpha/2} = 2.326$

本題要求計算所需的樣本大小（Sample Size），以達到特定的誤差範圍和信賴水準。

已知資訊：

• 目標誤差範圍 $E \le 0.02$
• 目標機率（信賴水準）為 98%
• 過去的樣本比例 $\hat{p} = 0.63$ （用於估計比例，或作為預估值）
• 過去的樣本大小 $n_{old} = 5000$ （此資訊在此題中用於估計 $\hat{p}$，但不是計算新樣本大小的直接依據，除非題目要求使用過去的樣本比例來估計）

計算所需樣本大小 $n$ 的公式為：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \times \sigma_p}{E} \right)^2$
其中 $\sigma_p = \sqrt{\frac{p(1-p)}{1}}$ 是比例的標準誤。

在這裡，我們需要使用一個預估的比例值 $p$。由於題目沒有提供新的預估比例，我們可以使用過去調查的樣本比例 $\hat{p} = 0.63$ 作為 $p$ 的估計值。
$p \approx 0.63$
$1-p \approx 1 - 0.63 = 0.37$

信賴水準為 98%，對應的 $z_{\alpha/2} = 2.326$（與上一題相同）。
目標誤差 $E = 0.02$。

將數值代入公式：
$n = \left( \frac{2.326 \times \sqrt{0.63 \times 0.37}}{0.02} \right)^2$

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（One-way ANOVA）之變異數分析表。

共有：

• 五種發酵方式，因此組間自由度為
  $df_{\text{方式}}=k-1=5-1=4$
• 總樣本數為 $50$，因此總自由度為
  $df_{\text{總}}=n-1=50-1=49$
• 誤差自由度為
  $df_{\text{誤差}}=n-k=50-5=45$

ANOVA 表中的基本關係為：

$MS=\frac{SS}{df}$

以及平方和可加總：

$SS_{\text{總}}=SS_{\text{方式}}+SS_{\text{誤差}}$

解題方法

題目給定發酵方式的均方和為 $83$，誤差平方和為 $2,745$。

1. 求發酵方式平方和 $(a)$

發酵方式的自由度為 $4$，因此：

$$SS_{\text{方式}} =MS_{\text{方式}}\times df_{\text{方式}} =83\times4 =332$$

所以：

$(a)=332$

2. 求誤差自由度 $(b)$

誤差自由度為：

$$df_{\text{誤差}}=50-5=45$$

所以：

$(b)=45$

3. 求誤差均方和 $(c)$

本題要求在 5% 的顯著水準下，根據 ANOVA 表格的結果，檢定五種發酵方式的平均成效（發酵時間）是否存在顯著差異。這是一個單因子 ANOVA 的檢定。

我們已經在第一部分計算得到 ANOVA 表格的填補結果：

• df (發酵方式) = 4 (a)
• df (誤差) = 33 (b)
• df (總和) = 37 (e)
• SS (誤差) = 2745
• MS (誤差) = 83
• MS (發酵方式) = 83 (c)
• SS (發酵方式) = 332 (d)

步驟 1：建立虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)

• $H_0$: 五種發酵方式的平均發酵時間沒有顯著差異。即 $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_5$。
• $H_1$: 至少有一種發酵方式的平均發酵時間與其他不同。即不全相等。

步驟 2：計算 F 統計量
F 統計量是組間均方和 (MS_Treatment) 與組內均方和 (MS_Error) 的比值。
$F = \frac{MS(\text{發酵方式})}{MS(\text{誤差})} = \frac{(c)}{(b\text{ to MS})} = \frac{83}{83}$
$F = 1$

步驟 3：確定顯著水準 ($\alpha$) 和臨界值
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

本題要求進行迴歸分析中斜率係數的假設檢定，並判斷某個係數值是否顯著高於一個已知的參考值。

模型：
Profit = $\alpha + \beta \times$ Advertisement + $\epsilon$
其中 $\beta$ 是廣告成本對獲利的影響係數（斜率）。

已知資訊：

• 估計的斜率係數 $\hat{\beta} = 1.430$
• 該係數的標準誤 $SE(\hat{\beta}) = 0.188$
• 樣本數 $n = 24$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$
• 欲比較的參考值 = 1.20

問題： 1.43 這個數值是否顯著高於全國統計結果的係數 1.20？

步驟 1：建立虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)
我們想檢定的是「估計的係數 1.43 是否顯著高於 1.20」。

• 虛無假設 $H_0$: $\beta \le 1.20$ (估計的係數不顯著高於 1.20)
• 對立假設 $H_1$: $\beta > 1.20$ (估計的係數顯著高於 1.20)

注意：這裡是單尾檢定（右尾檢定），因為問題是「是否高於」。

步驟 2：計算 t 檢定值 (t-statistic)
t 檢定值的公式為：
$t = \frac{\text{估計的係數} - \text{假設的係數值}}{\text{估計係數的標準誤}}$
在這裡，假設的係數值是 1.20。
$t = \frac{\hat{\beta} - \beta_{\text{hypothesized}}}{SE(\hat{\beta})}$
$t = \frac{1.430 - 1.20}{0.188}$
$t = \frac{0.230}{0.188}$
$t \approx 1.2234$

本題要求計算簡單線性迴歸模型的判定係數 ($R^2$) 和修正後判定係數 (Adjusted $R^2$)，並已知相關係數。

已知資訊：

• 相關係數 $r = 0.62$
• 樣本數 $n = 24$
• 模型為簡單線性迴歸 (Profit = $\alpha + \beta \times$ Advertisement + $\epsilon$)

1. 計算判定係數 ($R^2$)
對於簡單線性迴歸模型（只有一個自變數），判定係數 $R^2$ 等於相關係數 $r$ 的平方。
$R^2 = r^2$
$R^2 = (0.62)^2$
$R^2 = 0.3844$

2. 計算修正後判定係數 (Adjusted $R^2$)
修正後判定係數的計算公式為：
$R^2_{\text{adj}} = 1 - \left(1 - R^2\right) \frac{n-1}{n-k-1}$
其中：

• $R^2$ 是判定係數。
• $n$ 是樣本數。
• $k$ 是模型中的自變數個數。

在這個簡單線性迴歸模型中，只有一個自變數（Advertisement），所以 $k = 1$。
樣本數 $n = 24$。