109 年 國立宜蘭大學應用經濟與管理學系經營管理碩士班《統計學》

此題在考驗對統計檢定中兩種錯誤的定義。
型I錯誤（Type I error）是指當虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）實際上為真時，我們卻拒絕了它。

此題在考驗統計學中「參數」（Parameter）與「統計量」（Statistic）的區別。
參數（Parameter）是指描述母體（Population）特徵的數值。這些數值通常是未知的，我們希望透過樣本來估計它們。例如，母體平均數 $\mu$、母體標準差 $\sigma$。

此題考驗在推論母體變異數時，樣本變異數所遵循的機率分配。
當我們想從樣本變異數 $s^2$ 推論母體變異數 $\sigma^2$ 時，特別是當母體服從常態分配且樣本數較小時，我們使用的機率分配是卡方分配（Chi-squared distribution）。

此題考驗對機率分布偏態（Skewness）的判斷。
偏態描述了機率分布的左右不對稱性。

• 右偏（Positive Skewness）：平均數 > 中位數 > 眾數。分布的尾巴較長在右側。
• 左偏（Negative Skewness）：平均數 < 中位數 < 眾數。分布的尾巴較長在左側。

此題考驗盒形圖（Box Plot）的組成要素。
盒形圖是一種用來顯示數據分布的五數概括（Five-number summary）的圖形工具。這五個數值是：

1. 最小值（Minimum）
2. 第一四分位數（$Q_1$，25th percentile）
3. 中位數（Median，$Q_2$，50th percentile）
4. 第三四分位數（$Q_3$，75th percentile）

核心觀念

本題考查「已知母體標準差時，估計母體平均數所需樣本數」的計算。

當母體標準差 $\sigma$ 已知，母體平均數的信賴區間誤差上限為

其中：

• $E$：估計誤差上限
• $z_{\alpha/2}$：信賴水準所對應的標準常態臨界值
• $\sigma$：母體標準差
• $n$：樣本數

整理可得所需樣本數：

解題方法

題目給定：

信賴水準為 $90\%$，因此

標準常態臨界值為 $z_{0.05}\approx 1.645$。依本題選項所採用的近似值 $z\approx1.64$：

樣本數必須取整數，且應向上取整：

因此選擇 $(C)$。

補充而言，若使用較精確的 $z=1.645$，則

此題考驗影響信賴區間（Confidence Interval, CI）寬度的因素。
信賴區間的寬度通常是 CI 的上限減去下限。對於估計母體平均數 $\mu$ 的信賴區間，其一般形式為：
$\bar{X} \pm E$
其中 $E$ 是誤差範圍（Margin of Error）。
對於母體變異數 $\sigma^2$ 已知的情況：$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
對於母體變異數 $\sigma^2$ 未知，但母體近似常態且樣本數較大（或母體標準差已知）的情況：$E = t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

此題在考驗 P-value 的定義，特別是在單尾檢定（左尾檢定）的情況下。
P-value 是在虛無假設 $H_0$ 為真時，觀察到當前樣本結果或更極端結果的機率。
在本次檢定中：

• 虛無假設 $H_0: \mu \ge 30$
• 對立假設 $H_1: \mu < 30$
  這是一個左尾檢定（Left-tailed test），因為對立假設關注的是母體平均數小於某個值。
  樣本觀察值是 $\bar{X} = C$。

P-value 的計算應基於 $H_0$ 為真時，觀察到樣本平均數 $\bar{X}$ 等於 $C$ 或比 $C$ 更「極端」（即更支持 $H_1$）的機率。
在這個左尾檢定中，「更極端」意味著更小的值。
因此，P-value 的定義是：在 $H_0$ 為真（即 $\mu \ge 30$）的情況下，觀察到樣本平均數 $\bar{X}$ 小於或等於 $C$ 的機率。

然而，在檢定中，我們通常假設 $H_0$ 中的邊界值（或最壞情況）為真來計算 P-value，這樣 P-value 才會是最大的，這樣判斷才最保守。在這裡，邊界值是 $\mu = 30$。
所以，P-value 的計算通常是在 $\mu = 30$ 的假設下，計算 P($\bar{X} \le C$)。

核心觀念

本題考查「兩個獨立大樣本平均數差異檢定」的基本條件與特性。

設兩母體平均數分別為 $\mu_1$、$\mu_2$，欲檢定：

當兩樣本彼此獨立，且樣本數夠大時，依中央極限定理，樣本平均數差 $\bar X_1-\bar X_2$ 的抽樣分配近似常態分配。若母體變異數已知，常用統計量為：

在虛無假設 $H_0:\mu_1-\mu_2=0$ 下，統計量可寫為：

此類檢定的重點是：

1. 兩樣本彼此獨立。
2. 樣本須具有隨機性與代表性。
3. 兩樣本來自兩個不同母體。
4. 兩樣本的樣本數不必相同。
5. 獨立樣本不要求兩群樣本的個體特性完全相似。

解題方法

逐一檢查各選項是否符合「獨立大樣本平均數差異檢定」的條件。

本題的關鍵在於區分：

• 獨立樣本：兩群樣本各自抽取，彼此沒有一一配對關係。
• 配對樣本：兩群資料具有配對關係，常要求配對個體在重要特徵上相近。

「兩群樣本特性非常相似」比較接近配對樣本或隨機實驗中控制干擾變數的概念，不是獨立樣本平均數差異檢定的必要條件。

選項分析

(A) 分配樣本的過程完全隨機

此敘述可視為正確。

隨機抽樣或隨機分派有助於避免選樣偏誤，使樣本能代表所要研究的母體，也能降低研究者主觀選擇造成的影響。

核心觀念

本題測驗統計學中**測量尺度（Scales of Measurement）**的分類與判斷。心理學家史蒂文斯（S. S. Stevens）將測量尺度由低階至高階劃分為四類：

1. 名目尺度（Nominal scale）：僅具「分類」功能，無大小順序（如：性別、血型）。
2. 順序尺度（Ordinal scale）：具分類與「排序」功能，但間距無法量化（如：名次、滿意度）。
3. 區間尺度（Interval scale）：具排序與「等距」特性，沒有絕對零點（只有相對零點），數值可做加減運算，但不可作比率或倍數比較（如：攝氏溫度、年份）。
4. 比率尺度（Ratio scale）：具備上述所有特性，且具有絕對零點（True zero / Absolute zero），零代表「完全不存在」或「無」，數值可進行加、減、乘、除運算，具備有意義的倍數關係（如：長度、重量、金額）。

解題方法

區分「區間尺度」與「比率尺度」的最關鍵切入點為：是否存在「絕對零點」？

• 若數值為 $0$ 時，代表完全沒有該物理量，且「數值加倍」具有實質倍數意義，即為比率尺度。
• 若數值為 $0$ 僅為人為約定的基準點（$0$ 不代表完全沒有該物理量），且不能說「數值兩倍代表物理量為兩倍」，則為區間尺度。

選項分析

• (A) 溫度（正確，符合題意）
  一般日常使用的溫度單位為攝氏（$^\circ\text{C}$）或華氏（$^\circ\text{F}$），其 $0^\circ\text{C}$ 僅為水結冰的相變基準點，不代表「沒有熱量」或「分子完全停止運動」。此外，$40^\circ\text{C}$ 的熱度並非 $20^\circ\text{C}$ 的兩倍。

此題考驗當使用常態分配近似二項分配時，所需的修正方法。
二項分配（Binomial Distribution）是一個離散型（Discrete）機率分配，它描述在固定次數的獨立試驗中，某事件成功 k 次的機率。
常態分配（Normal Distribution）是一個連續型（Continuous）機率分配。

當我們用連續型的常態分配來近似離散型的二項分配時，我們需要進行「連續性修正」（Continuity Correction）。這是因為離散型變數在一個點上的機率，在連續型變數中相當於一個區間的機率。
例如，計算 P(X=k) 時，我們用常態分配近似為 P($k-0.5 \le X \le k+0.5$)。
計算 P(X $\le$ k) 時，我們用常態分配近似為 P($X \le k+0.5$)。

核心觀念

本題考「顯著水準」與「拒絕域」的關係。

顯著水準 $\alpha$ 是在虛無假設 $H_0$ 為真時，錯誤拒絕 $H_0$ 的最大容許機率。對同一個檢定統計量而言：

• 顯著水準越高，拒絕域越大。
• 顯著水準越低，拒絕域越小。
• 因此，若在較嚴格的顯著水準 $0.01$ 下拒絕 $H_0$，則在 $0.05$ 下必定也會拒絕。
• 但若在 $0.01$ 下不拒絕 $H_0$，提高顯著水準至 $0.05$ 後，結果可能改變，也可能不變。

以 $p$ 值表示：

• 當 $p \leq \alpha$ 時，拒絕 $H_0$。
• 當 $p > \alpha$ 時，不拒絕 $H_0$。

解題方法

題目已知在顯著水準 $0.01$ 下不拒絕虛無假設，因此：

提高顯著水準至 $0.05$，需依 $p$ 值所在範圍判斷：

1. 若 $0.01<p\leq 0.05$，則在 $0.05$ 下拒絕 $H_0$。
2. 若 $p>0.05$，則在 $0.05$ 下仍不拒絕 $H_0$。

因為題目沒有提供確切的 $p$ 值，所以無法判定在 $0.05$ 下必然拒絕或必然不拒絕，只能確定「不一定會被拒絕」。

選項分析

(A) 在顯著水準 $0.05$ 下，會被拒絕

錯誤。

核心觀念

列聯表卡方獨立性檢定會比較每一格的觀測次數 $O_{ij}$ 與虛無假設「兩變數彼此獨立」下的期望次數 $E_{ij}$。期望次數的計算式為：

整張表的觀測次數總和，等於總樣本數 $n$；期望次數總和也等於 $n$。因此，觀測次數總和與期望次數總和必定相等。

解題方法

設列聯表共有 $r$ 列、$c$ 欄。將所有格子的期望次數加總：

各列合計加總為 $n$，各欄合計加總也為 $n$，所以：

此題考驗 Chebyshev 定理（Chebyshev's Theorem）的應用。
Chebyshev 定理提供了一個關於數據分布的界限，不論其分布形態如何（即使不是常態分配）。它指出，對於任何一個機率分布，至少有 $1 - \frac{1}{k^2}$ 的數據落在距離平均數 $\mu$ 的 $k$ 個標準差範圍內，其中 $k > 1$。

定理的另一種表述是：至多有 $\frac{1}{k^2}$ 的數據落在距離平均數 $\mu$ 的 $k$ 個標準差範圍之外。
即：$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$

此題考驗對統計量「偏誤」（Bias）的定義。
點估計量（Point Estimator） $\hat{\theta}$ 用於估計母體參數 $\theta$。
偏誤（Bias）的定義是估計量期望值與真實參數值之間的差異。
Bias($\hat{\theta}$) = $E(\hat{\theta}) - \theta$

• 如果 Bias($\hat{\theta}$) = 0，則稱該估計量為「不偏估計量」（Unbiased Estimator）。

核心觀念

本題的核心觀念為常態母體的抽樣分配（Sampling Distribution of Sample Mean）與隨機變數的標準化（Standardization）。

1. 常態母體下樣本平均數的分配性質：
   設母體 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 為來自該母體之一組大小為 $n$ 的獨立隨機樣本（i.i.d.）。則樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ 亦嚴格服從常態分配：

   • 期望值：$E(\bar{X}) = \mu$
   • 變異數：$Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$
   • 標準差（標準誤）：$SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
     即：
   $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

2. 標準化（Z 轉換）：
   任一常態隨機變數減去其期望值，再除以其標準差，即轉換為標準常態分配 $N(0, 1)$：

   $$Z = \frac{\bar{X} - E(\bar{X})}{\sqrt{Var(\bar{X})}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$$

解題方法

1. 確認母體參數：
   由題意可知，母體隨機變數 $X$ 服從平均數 $\mu = 2$、標準差 $\sigma = 4$（母體變異數 $\sigma^2 = 16$）的常態分配，即 $X \sim N(2, 4^2)$。

2. 推導樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配：
   由常態分配的線性組合性質，樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ 之分配為：

   • $E(\bar{X}) = \mu = 2$
   • $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{16}{n}$
   • $SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{n}}$
     故：
   $$\bar{X} \sim N\left(2, \frac{16}{n}\right)$$

3. 進行標準化求 $Z$：
   將 $\bar{X}$ 進行標準化：

   $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 2}{4 / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$$

   此式亦可改寫為：

此題考驗簡單線性迴歸（Simple Linear Regression）的基本假設。
簡單線性迴歸模型為：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$，其中 $\epsilon_i$ 是誤差項。
為了使迴歸參數的估計量（如普通最小平方估計 OLS）具有良好的性質（如無偏、有效），並進行統計推論（如假設檢定、信賴區間），通常需要滿足以下幾個基本假設（Gauss-Markov Assumptions，也稱為 OLS Assumptions）：

1. 線性假設 (Linearity)：模型是線性的。
2. 隨機抽樣 (Random Sampling)：樣本是從母體中隨機抽取的。
3. 誤差項期望值為零 (Zero Conditional Mean)：$E(\epsilon_i | X_i) = 0$。這意味著誤差項的期望值為零，且誤差項與自變數 $X_i$ 不相關。這保證了 OLS 估計量是無偏的。
4. 同質變異數 (Homoscedasticity)：誤差項的變異數是恆定的，即 $Var(\epsilon_i | X_i) = \sigma^2$ 對所有 $i$ 成立。這意味著誤差項的標準差是一個常數（且為正）。這保證了 OLS 估計量是有效的（最小變異數）。
5. 誤差項彼此間不相關 (No Autocorrelation)：對於不同觀測值的誤差項之間沒有相關性，即 $Cov(\epsilon_i, \epsilon_j | X_i, X_j) = 0$ for $i \neq j$。這在橫斷面資料（Cross-sectional data）中通常是合理的，但在時間序列資料（Time series data）中可能被違反（此時稱為自相關 Autocorrelation）。

此題考驗顯著水準（$\alpha$）與型II錯誤（Type II error, $\beta$）機率之間的關係。

• 型I錯誤（Type I error, $\alpha$）：當虛無假設 $H_0$ 為真時，拒絕 $H_0$ 的機率。
• 型II錯誤（Type II error, $\beta$）：當對立假設 $H_1$ 為真時，未能拒絕 $H_0$ 的機率。
• 檢定力（Power of the test）：$1 - \beta$。這是當 $H_1$ 為真時，正確拒絕 $H_0$ 的機率。

在其他條件（如樣本數 $n$、母體變異數 $\sigma^2$、對立假設的效應大小）不變的情況下：

• 增加顯著水準 $\alpha$（例如從 0.01 增加到 0.05），意味著我們願意承擔更高的型I錯誤風險。

核心觀念

本題比較二項分配（Binomial distribution）與超幾何分配（Hypergeometric distribution）的基本條件。

1. 二項分配

若進行 $n$ 次伯努利試驗，且每次試驗：

• 只有成功與失敗兩種結果；
• 各次試驗相互獨立；
• 成功機率均為 $p$；

則成功次數 $X$ 服從二項分配：

其機率函數為：

2. 超幾何分配

母體共有 $N$ 個物件，其中 $K$ 個為成功類別，抽取 $n$ 個且不放回。若 $X$ 表示抽出的成功個數，則：

其機率函數為：

由於是不放回抽樣，每抽出一個物件後，母體組成會改變，因此下一次抽到成功的機率也可能改變，各次試驗通常不獨立。

解題方法

判斷兩種分配的關鍵，在於「各次試驗的成功機率是否固定」以及「抽樣後是否放回」。

• 二項分配：各次試驗的成功機率固定為 $p$，且試驗彼此獨立。
• 超幾何分配：不放回抽樣，母體組成逐次改變，因此成功機率通常不相等。

因此，超幾何分配的每次試驗成功機率不必相等，這正是它與二項分配的重要差異。

選項分析

(A) 超幾何分配的分類較多

錯誤。

此題考驗對相關係數（Correlation Coefficient, $r$）的理解。
相關係數 $r$ 是衡量兩個變數之間線性關係強度與方向的指標，其值介於 -1 和 +1 之間。

• $r > 0$：表示正相關（Positive Correlation），即當一個變數增加時，另一個變數也傾向於增加。
• $r < 0$：表示負相關（Negative Correlation），即當一個變數增加時，另一個變數傾向於減少。
• $r = 0$：表示沒有線性相關。
• $|r|$ 的大小：表示線性關係的強度。$|r|$ 越接近 1，線性關係越強；$|r|$ 越接近 0，線性關係越弱。

讓我們逐一分析選項：
(A) 兩者正向相關：由於 $r = 0.30 > 0$，表示 $X$ 和 $Y$ 之間存在正向線性相關。此敘述是正確的。

(B) 此係數大小取決於樣本個數：相關係數 $r$ 的計算公式是 $r = \frac{Cov(X, Y)}{s_X s_Y}$。
其中 $Cov(X, Y)$ 是樣本共變異數，而 $s_X, s_Y$ 是樣本標準差。
樣本共變異數和樣本標準差的計算都涉及到樣本數 $n$。

核心觀念

「經驗法則」（Empirical Rule）描述近似鐘形、對稱的常態分配中，資料落在平均數附近的比例。若母體平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$，則：

也就是說，約有 $68\%$ 的觀察值落在平均數上下 $1$ 個標準差內，約有 $95\%$ 落在上下 $2$ 個標準差內，約有 $99.7\%$ 落在上下 $3$ 個標準差內。

核心觀念

題目只提供「伯努利試驗（Bernoulli trial）」這個主題，未列出具體問句、選項或數值，因此無法判定原題要求的是定義、機率計算，還是辨認試驗類型。以下以「說明伯努利試驗的定義與重要性質」作答。

伯努利試驗是只有兩種互斥結果的一次隨機試驗，通常稱為「成功」與「失敗」。若成功的機率為 $p$，則失敗的機率為 $1-p$，其中 $0\leq p\leq 1$。令隨機變數 $X$ 在成功時取 $1$、失敗時取 $0$，則 $X$ 服從參數為 $p$ 的伯努利分配：

其期望值與變異數為：

解題方法

判斷一個情境是否為伯努利試驗，依序確認：

1. 一次試驗的結果是否可明確分成兩類，並指定其中一類為「成功」。
2. 成功機率是否固定為 $p$；失敗機率因而為 $1-p$。

核心觀念

虛無假設（$H_0$）是統計假設檢定中，研究者先假定成立、再利用樣本資料檢驗的主張。它通常表示「沒有差異」、「沒有關聯」或「效果為零」。

假設檢定會將母體參數的主張寫成 $H_0$ 與對立假設 $H_1$。$H_0$ 通常包含等號；$H_1$ 則表示研究者欲尋找證據支持的差異、關聯或效果。

例如，若要檢驗某商品的母體平均重量是否為 $500$ 公克，可設定：

其中 $\mu$ 表示母體平均重量。

解題方法

回答「虛無假設」的定義時，應掌握三個重點：

1. 檢定基準：先以 $H_0$ 作為分析的基準，再判斷樣本資料是否提供足夠證據反對它。
2. 假設形式：$H_0$ 通常以等號表示特定數值或「無效果」狀態，例如 $H_0:\mu=\mu_0$。
3. 檢定結論：若檢定結果達到預先設定的顯著水準，則拒絕 $H_0$；若未達顯著水準，則不拒絕 $H_0$。

核心觀念

標準誤（standard error, SE）是統計量抽樣分配的標準差，用來衡量統計量因抽樣而產生的變動程度。標準誤越小，代表統計量在不同樣本間的抽樣波動越小。

以樣本平均數 $\bar X$ 為例，若母體標準差為 $\sigma$，且樣本為獨立同分配：

母體標準差通常未知時，以樣本標準差 $s$ 估計：

樣本比例 $\hat p$ 的標準誤為：

核心觀念

若沙拉卡路里 $X$ 服從平均數 $\mu=220$、標準差 $\sigma=52$ 的常態分配，則可將 $X$ 標準化為標準常態變數 $Z$：

標準常態累積分配函數記為 $\Phi(z)=P(Z\le z)$。因此，求某數值以上或區間內的機率時，先換算成 $z$ 分數，再查標準常態分配表。

解題方法

（1）沙拉卡路里多於 236.64 的機率

先標準化：

因此：

查表得 $\Phi(0.32)=0.6255$，所以：

多於 236.64 卡路里的機率為 0.3745，約 37.45%。

（2）沙拉卡路里介於 191.92 和 220 之間的機率

下限標準化為：

而 $220$ 正好是平均數，標準化後為 $z=0$。因此：

利用累積機率相減：

核心觀念

兩個獨立常態母體的樣本變異數比，經適當標準化後服從 $F$ 分配：

本題自由度為 $df_1=26-1=25$、$df_2=16-1=15$。因此，變異數比的信賴區間與假設檢定都使用 $F(25,15)$ 分配。

以下以 $F_p(df_1,df_2)$ 表示自由度為 $(df_1,df_2)$ 的 $F$ 分配第 $p$ 分位數。

解題方法

(1) $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的 90% 信賴區間

先計算樣本變異數比：

設 $\alpha=0.10$，則 90% 信賴區間為：

查表約得 $F_{0.95}(25,15)\approx 2.32$，$F_{0.05}(25,15)\approx 0.47$。代入後：

所以，母體變異數比 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的 90% 信賴區間約為 $(0.96,\,4.75)$。

核心觀念

本題要檢定「員工性別」與「缺勤次數分類」是否相互獨立，使用卡方獨立性檢定。此檢定比較各組別的觀察次數與「兩變數無關」時所預期的次數。

假設為：

• $H_0$：員工性別與缺勤次數無關。
• $H_1$：員工性別與缺勤次數有關。

在 $H_0$ 成立時，第 $i$ 列、第 $j$ 欄的期望次數為：

卡方檢定統計量為：

其中 $O_{ij}$ 是觀察次數，$E_{ij}$ 是期望次數。

解題方法與計算

先計算列合計、欄合計及總人數：

依 $H_0$ 的「性別與缺勤次數無關」，各性別在每一缺勤類別的期望次數相同。例如，男性且缺勤 0–5 次的期望次數為：

同理可得期望次數表：

核心觀念

本題考查迴歸係數的單尾 $t$ 檢定，以及虛擬變數係數的解釋。檢定時，應將「全國統計結果的係數 $-0.82$」視為虛無假設中的比較基準，而不是直接檢定係數是否等於零。

迴歸式包含截距、氣溫與杯套變數，共估計 $3$ 個參數，因此在一般線性迴歸假設下，殘差自由度為：

解題方法與計算

（1）檢定 $-0.93$ 是否低於 $-0.82$

「低於」表示要檢定真實氣溫係數是否小於 $-0.82$，因此設定左尾檢定：

以邊界值 $\beta_1=-0.82$ 計算檢定統計量：

自由度為 $17$，顯著水準為 $5\%$ 的左尾臨界值約為 $-1.740$。由於 $-0.585>-1.740$，檢定統計量未落入拒絕域，因此不拒絕 $H_0$。

**結論：**在 $5\%$ 顯著水準下，沒有足夠證據認定此店的真實氣溫係數低於全國係數 $-0.82$。樣本估計值 $-0.93$ 雖然數字較低，仍不足以據此判定母體係數較低。

（2）對誤差項 $\varepsilon$ 的重要假設