111 年 國立中央大學產業經濟研究所產業經濟組《經濟學》

此題考驗消費者理論中，擁有列茲性效用函數（Leontief utility function）的消費者，在面對預算限制下的需求函數推導，以及參數 $\alpha$ 對其消費決策的影響。

核心觀念：列茲性效用函數代表完全互補品，消費者會讓兩種財貨的消費比例固定，以達到效用最大化。

(a) Walrasian Demand 的推導

列茲性效用函數 $u(x_1, x_2) = \min(\alpha x_1, x_2)$ 表示消費者會讓 $\alpha x_1 = x_2$ 才能達到效用最大。這是因為在 $\alpha x_1 = x_2$ 的點上，兩種財貨的組合是消費者的「完美組合」，在此組合之下，增加任何一種財貨的消費都不會增加總效用，因為另一種財貨的消費量是固定的。

將此條件代入預算線 $x_1 + px_2 = w$：
將 $x_2 = \alpha x_1$ 代入預算線：
$x_1 + p(\alpha x_1) = w$
$x_1(1 + p\alpha) = w$
$x_1^* = \frac{w}{1 + p\alpha}$

將 $x_1^* = \frac{w}{1 + p\alpha}$ 代入 $x_2 = \alpha x_1$：
$x_2^* = \alpha x_1^* = \alpha \frac{w}{1 + p\alpha}$

因此，Walrasian Demand 為：
$x_1^*(p, w, \alpha) = \frac{w}{1 + p\alpha}$
$x_2^*(p, w, \alpha) = \frac{\alpha w}{1 + p\alpha}$

【答案】 Walrasian Demand 為 $x_1^* = \frac{w}{1 + p\alpha}$ 且 $x_2^* = \frac{\alpha w}{1 + p\alpha}$。

(b) 比較 $x_1$ 與 $x_2$ 的消費量

我們需要比較 $x_1^*$ 和 $x_2^*$ 的大小。
比較 $\frac{w}{1 + p\alpha}$ 和 $\frac{\alpha w}{1 + p\alpha}$。
由於 $w > 0$ 且 $1 + p\alpha > 0$ (因為 $p>0, \alpha>0$)，比較式可以簡化為比較 $1$ 和 $\alpha$。

情況一：若 $\alpha = 1$，則 $x_1^* = x_2^*$。
情況二：若 $\alpha > 1$，則 $1 < \alpha$，所以 $\frac{w}{1 + p\alpha} < \frac{\alpha w}{1 + p\alpha}$，即 $x_1^* < x_2^*$。
情況三：若 $\alpha < 1$，則 $1 > \alpha$，所以 $\frac{w}{1 + p\alpha} > \frac{\alpha w}{1 + p\alpha}$，即 $x_1^* > x_2^*$。

解釋：
由於消費者的效用函數為 $u(x_1, x_2) = \min(\alpha x_1, x_2)$，消費者會讓 $\alpha x_1 = x_2$。
若 $\alpha > 1$，表示單位 $x_1$ 所能提供的「效用單位」是 $x_2$ 的 $\alpha$ 倍。為了達到 $\alpha x_1 = x_2$，消費者需要消費較少的 $x_1$ 和較多的 $x_2$。例如，若 $\alpha=2$，則 $2x_1=x_2$，表示 $x_1$ 的「效用價值」是 $x_2$ 的兩倍，消費者為了平衡，會讓 $x_2$ 的消費量是 $x_1$ 的兩倍。因此，當 $\alpha > 1$ 時，消費者會消費更多單位的好 2（$x_2^* > x_1^*$）。
反之，若 $\alpha < 1$，表示單位 $x_1$ 所能提供的「效用單位」是 $x_2$ 的 $\alpha$ 倍。為了達到 $\alpha x_1 = x_2$，消費者需要消費較多的 $x_1$ 和較少的 $x_2$。例如，若 $\alpha=0.5$，則 $0.5x_1=x_2$，表示 $x_1$ 的「效用價值」是 $x_2$ 的一半，消費者為了平衡，會讓 $x_1$ 的消費量是 $x_2$ 的兩倍。因此，當 $\alpha < 1$ 時，消費者會消費更多單位的好 1（$x_1^* > x_2^*$）。
若 $\alpha = 1$，則 $x_1 = x_2$，消費量相等。

此題考驗產業經濟學中衡量市場結構集中度的指標，包含四 firm 集中度比率 (CR4) 與赫芬達爾-赫胥曼指數 (HHI)。

核心觀念：集中度指標用來衡量市場上少數幾家大公司所佔有的市場份額，以判斷市場的競爭程度。

(a) 4-firm concentration ratio (CR4) 與 Herfindahl-Hirschman Index (HHI)

4-firm concentration ratio (CR4)：
CR4 是指市場上最大的四家公司所佔的市場總份額。
根據表格，市場份額由大到小排序為：
Verizon: 36.8%
AT&T: 32.8%
T-Mobile: 15.4%
Sprint: 13.4%
US Cellular: 1.6%

最大的四家公司是 Verizon, AT&T, T-Mobile, Sprint。
CR4 = 36.8% + 32.8% + 15.4% + 13.4% = 98.4%

Herfindahl-Hirschman Index (HHI)：
HHI 是市場上所有公司市場份額平方的總和。
HHI = $\sum_{i=1}^{N} s_i^2$, 其中 $s_i$ 是第 i 家公司的市場份額 (以百分比表示)。

HHI = $(36.8)^2 + (32.8)^2 + (15.4)^2 + (13.4)^2 + (1.6)^2$
HHI = $1354.24 + 1075.84 + 237.16 + 179.56 + 2.56$
HHI = $2849.36$

【答案】 4-firm concentration ratio (CR4) 為 98.4%。Herfindahl-Hirschman Index (HHI) 為 2849.36。

(b) T-mobile 與 Sprint 合併後的 HHI

若 T-mobile 與 Sprint 合併，它們的市場份額將合併。
合併前的 T-mobile 市場份額：15.4%
合併前的 Sprint 市場份額：13.4%
合併後的 T-mobile/Sprint 市場份額：15.4% + 13.4% = 28.8%

核心觀念

1. 幾何分佈與獨立試驗機率（Geometric Distribution & Independent Trials）：
   每次投擲公正硬幣為獨立的白努利試驗（Bernoulli trial），出現正面（Head, $H$）與反面（Tail, $T$）之機率皆為 $\frac{1}{2}$。第 $k$ 次才首次出現正面的機率服從幾何分佈。
2. 聖彼得堡悖論（St. Petersburg Paradox）：
   傳統期望值準則下，若賭局的期望報酬發散至無窮大（$\infty$），理性人應願意支付無窮大的金額參與；然而現實中人們僅願意支付極少的金額。
3. 期望效用理論與風險態度（Expected Utility Theory & Risk Aversion）：
   在無風險偏好特定函數時，一般衡量「最高願意支付金額（Willingness to Pay, WTP）」預設為**風險中立（Risk Neutral）**下的期望報酬 $E[W]$；若考慮風險趨避（Risk Aversion），WTP 則為確定等值（Certainty Equivalent, $CE$），滿足 $u(CE) = E[u(W)]$。
4. 極限與確定性報酬（Certain Payoff）：
   若不論第幾次擲出正面報酬皆為固定常數 $x$，且試驗持續至正面出現為止，則獲得 $x$ 的機率為 $1$（Almost Surely），賭局實質上為無風險資產。

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題目詳解與推導

(a) 求第 $k$ 次試驗才首次出現正面的機率

• 分析：
  第 $k$ 次試驗首次出現正面，代表前 $k-1$ 次試驗皆為反面（$T$），且第 $k$ 次試驗為正面（$H$）。
• 推導：
  由於每次投擲皆為獨立事件，且每次擲出反面與正面的機率均為 $\frac{1}{2}$：
  $P(K = k) = \underbrace{P(T) \times P(T) \times \cdots \times P(T)}_{k-1 \text{ 次}} \times P(H) = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{2^k}$

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(b) 若硬幣最多投擲 $k$ 次，Simon 願意支付多少金額參與賭局？

• 分析：
  設投擲次數上限為 $k$ 次。在第 $i$ 次（$1 \le i \le k$）首次擲出正面時，獲得獎金為 $2^{i-1}$。
  在標準經濟學假設下（Simon 為風險中立者，或計算其客觀期望報酬），其最高願意支付金額（WTP）等於該賭局的期望報酬 $E[W_k]$。
• 推導：
  $E[W_k] = \sum_{i=1}^{k} P(K = i) \cdot (\text{第 } i \text{ 次獲勝獎金}) = \sum_{i=1}^{k} \left(\frac{1}{2}\right)^i \cdot 2^{i-1}$
  $E[W_k] = \sum_{i=1}^{k} \frac{2^{i-1}}{2^i} = \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{2} = \underbrace{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2}}_{k \text{ 項}} = \frac{k}{2}$
• 結論：
  在風險中立假設下，Simon 願意支付的金額為 $$\frac{k}{2}$。（若 Simon 為風險趨避者，其願意支付的金額將小於 $$\frac{k}{2}$）。

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(c) 若遊戲可無限次進行，會發生什麼情況？現實中會發生嗎？

1. 理論數學推導（會發生什麼情況）：
   若無投擲次數限制（$k \to \infty$），賭局的數學期望報酬為：
   $E[W] = \lim_{k \to \infty} E[W_k] = \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^i 2^{i-1} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2} = \infty$
   若依傳統期望價值準則，Simon 願意支付**無窮大（$\infty$）**的金額來參與這個賭局。

2. 現實情況與經濟學解釋（Does that happen in practice?）：
   在現實中絕不可能發生（不會有人願意支付龐大或無窮大的金額參與）。