112 年 國立中央大學產業經濟研究所產業經濟組《經濟學》

本題主要考驗對幾何級數求和公式的應用，以及極限的概念。

核心觀念：

1. 幾何級數求和公式：$\sum_{i=0}^{n-1} r^i = \frac{1-r^n}{1-r}$
2. 極限的計算與判斷。
3. 函數的性質分析。

解題步驟：

(a) Simplify the above geometric series.

此題要求簡化給定的幾何級數。
給定的級數為 $\sum_{i=1}^{n} e^{-ix} = e^{-x} + e^{-2x} + \dots + e^{-nx}$。
這是一個公比為 $r = e^{-x}$ 的幾何級數。
我們可以將其改寫為：
$\sum_{i=1}^{n} (e^{-x})^i$
為了使用提示中的公式 $\sum_{i=0}^{n-1} r^i = \frac{1-r^n}{1-r}$，我們需要將級數的起始項調整為 $i=0$。
原級數可以寫成：
$\sum_{i=1}^{n} (e^{-x})^i = \sum_{i=0}^{n} (e^{-x})^i - (e^{-x})^0$
$= \sum_{i=0}^{n} (e^{-x})^i - 1$
現在，我們使用提示中的公式，令 $r = e^{-x}$。注意提示公式的總項數是 $n$ 項 (從 0 到 $n-1$)。
我們的級數 $\sum_{i=0}^{n} (e^{-x})^i$ 總共有 $n+1$ 項 (從 0 到 $n$)。
因此，我們需要將提示公式中的 $n$ 替換為 $n+1$。
$\sum_{i=0}^{n} r^i = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$
將 $r = e^{-x}$ 代入：
$\sum_{i=0}^{n} e^{-ix} = \frac{1-(e^{-x})^{n+1}}{1-e^{-x}} = \frac{1-e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$
所以，原級數為：
$\sum_{i=1}^{n} e^{-ix} = \left( \sum_{i=0}^{n} e^{-ix} \right) - 1 = \frac{1-e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}} - 1$
$= \frac{1-e^{-(n+1)x} - (1-e^{-x})}{1-e^{-x}}$
$= \frac{1-e^{-(n+1)x} - 1 + e^{-x}}{1-e^{-x}}$
$= \frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$
我們可以進一步將分子和分母同時乘以 $e^x$ 來簡化，但通常以上形式已足夠。
或者，我們可以將級數表示為：
$e^{-x} + e^{-2x} + \dots + e^{-nx}$
首項 $a = e^{-x}$，公比 $r = e^{-x}$，項數 $n$。
幾何級數求和公式為 $S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$。
$S_n = e^{-x} \frac{1-(e^{-x})^n}{1-e^{-x}} = e^{-x} \frac{1-e^{-nx}}{1-e^{-x}}$
$= \frac{e^{-x} - e^{-x}e^{-nx}}{1-e^{-x}} = \frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$
兩種方法結果一致。
【答案】 $\frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$ 或 $e^{-x} \frac{1-e^{-nx}}{1-e^{-x}}$

(b) Find the limit of the above series when $n \to +\infty$.

我們需要計算當 $n \to +\infty$ 時，(a) 部分的級數和的極限。
級數和為 $S_n = \frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$。
由於 $x > 0$，我們知道 $e^{-x} < 1$。
因此，當 $n \to +\infty$ 時，$(n+1)x \to +\infty$，所以 $e^{-(n+1)x} \to 0$。
極限為：
$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$
$= \frac{e^{-x} - 0}{1-e^{-x}}$
$= \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$
【答案】 $\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$

(c) How does the limit of this series change with $x$? Explain.

我們剛剛計算出級數和的極限為 $L(x) = \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$，其中 $x > 0$。
我們需要分析這個極限值 $L(x)$ 如何隨著 $x$ 的變化而變化。
首先，我們觀察函數 $L(x)$ 的性質。
我們可以將 $L(x)$ 寫成：
$L(x) = \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \frac{1}{e^x - 1}$
這是因為分子分母同時乘以 $e^x$：

此題考驗市場結構分析中的集中度指標計算，包含市場占有率、集中比率及赫芬達指數。

核心觀念：

1. 市場占有率 (Market Share) 的計算。
2. 集中比率 (Concentration Ratio)，特別是四業集中比率 (4-firm Concentration Ratio)。
3. 赫芬達-赫希曼指數 (Herfindahl-Hirschman Index, HHI)。
4. 市場結構的判斷標準。

解題過程：

首先，計算總用戶數，作為市場總規模。
總用戶數 = 10,555,342 + 7,050,283 + 2,425,267 + 7,089,905 + 2,035,230
總用戶數 = 29,155,027

(a) 計算各公司的市場占有率：
市場占有率 = (公司用戶數 / 總用戶數) * 100%

1. ChungHwa Telecom (中華電信):
   市場占有率 = (10,555,342 / 29,155,027) * 100% $\approx$ 36.17%

2. Far EasTone Telecom (遠傳電信):
   市場占有率 = (7,050,283 / 29,155,027) * 100% $\approx$ 24.18%

3. Taiwan Star Telecom (台灣之星):
   市場占有率 = (2,425,267 / 29,155,027) * 100% $\approx$ 8.32%

4. Taiwan Mobile (台灣大哥大):
   市場占有率 = (7,089,905 / 29,155,027) * 100% $\approx$ 24.32%

5. Asia Pacific Telecom (亞太電信):
   市場占有率 = (2,035,230 / 29,155,027) * 100% $\approx$ 6.98%

為了方便後續計算，我們將市場占有率以小數表示（例如 0.3617）。
ChungHwa Telecom: 0.3617
Taiwan Mobile: 0.2432
Far EasTone Telecom: 0.2418
Taiwan Star Telecom: 0.0832
Asia Pacific Telecom: 0.0698

檢查總和：0.3617 + 0.2432 + 0.2418 + 0.0832 + 0.0698 = 0.9997。由於四捨五入，總和略小於 1，這是正常的。

【答案】
ChungHwa Telecom: 約 36.17%
Far EasTone Telecom: 約 24.18%
Taiwan Mobile: 約 24.32%
Taiwan Star Telecom: 約 8.32%
Asia Pacific Telecom: 約 6.98%

(b) 計算四業集中比率 (4-firm Concentration Ratio)：
首先，將公司依市場占有率由高至低排序：

1. ChungHwa Telecom: 36.17%
2. Taiwan Mobile: 24.32%
3. Far EasTone Telecom: 24.18%
4. Taiwan Star Telecom: 8.32%
5. Asia Pacific Telecom: 6.98%

核心觀念

本題考的是企業最適廣告強度公式：

$$\frac{A}{PQ}=\frac{\epsilon_A}{\epsilon_D}$$

其中，$\frac{A}{PQ}$ 是廣告支出占銷售收入的比率；$\epsilon_A$ 是廣告需求彈性，衡量廣告支出增加 $1\%$ 時，需求量約增加多少百分比；$\epsilon_D$ 是價格需求彈性。需求曲線向下傾斜時，題目以負號定義 $\epsilon_D$，因此它通常為正值。

解題方法

比較廣告強度與兩種彈性的關係即可。由公式可知，廣告強度與 $\epsilon_A$ 同方向變動，與 $\epsilon_D$ 反方向變動；解讀時將其他條件視為不變。

(a) $\epsilon_A$ 上升時，$\frac{\epsilon_A}{\epsilon_D}$ 上升，因此最適廣告支出占銷售收入的比率提高。