113 年 國立中央大學產業經濟研究所產業經濟組《經濟學》

本題主要考驗對幾何級數求和公式的應用，以及極限的概念。

核心觀念：

1. 幾何級數求和公式：$\sum_{i=0}^{n-1} r^i = \frac{1-r^n}{1-r}$
2. 極限的計算與判斷。
3. 函數的性質分析。

解題步驟：

(a) Simplify the above geometric series.

此題要求簡化給定的幾何級數。
給定的級數為 $\sum_{i=1}^{n} e^{-ix} = e^{-x} + e^{-2x} + \dots + e^{-nx}$。
這是一個公比為 $r = e^{-x}$ 的幾何級數。
我們可以將其改寫為：
$\sum_{i=1}^{n} (e^{-x})^i$
為了使用提示中的公式 $\sum_{i=0}^{n-1} r^i = \frac{1-r^n}{1-r}$，我們需要將級數的起始項調整為 $i=0$。
原級數可以寫成：
$\sum_{i=1}^{n} (e^{-x})^i = \sum_{i=0}^{n} (e^{-x})^i - (e^{-x})^0$
$= \sum_{i=0}^{n} (e^{-x})^i - 1$
現在，我們使用提示中的公式，令 $r = e^{-x}$。注意提示公式的總項數是 $n$ 項 (從 0 到 $n-1$)。
我們的級數 $\sum_{i=0}^{n} (e^{-x})^i$ 總共有 $n+1$ 項 (從 0 到 $n$)。
因此，我們需要將提示公式中的 $n$ 替換為 $n+1$。
$\sum_{i=0}^{n} r^i = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$
將 $r = e^{-x}$ 代入：
$\sum_{i=0}^{n} e^{-ix} = \frac{1-(e^{-x})^{n+1}}{1-e^{-x}} = \frac{1-e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$
所以，原級數為：
$\sum_{i=1}^{n} e^{-ix} = \left( \sum_{i=0}^{n} e^{-ix} \right) - 1 = \frac{1-e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}} - 1$
$= \frac{1-e^{-(n+1)x} - (1-e^{-x})}{1-e^{-x}}$
$= \frac{1-e^{-(n+1)x} - 1 + e^{-x}}{1-e^{-x}}$
$= \frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$
我們可以進一步將分子和分母同時乘以 $e^x$ 來簡化，但通常以上形式已足夠。
或者，我們可以將級數表示為：
$e^{-x} + e^{-2x} + \dots + e^{-nx}$
首項 $a = e^{-x}$，公比 $r = e^{-x}$，項數 $n$。
幾何級數求和公式為 $S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$。
$S_n = e^{-x} \frac{1-(e^{-x})^n}{1-e^{-x}} = e^{-x} \frac{1-e^{-nx}}{1-e^{-x}}$
$= \frac{e^{-x} - e^{-x}e^{-nx}}{1-e^{-x}} = \frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$
兩種方法結果一致。
【答案】 $\frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$ 或 $e^{-x} \frac{1-e^{-nx}}{1-e^{-x}}$

(b) Find the limit of the above series when $n \to +\infty$.

我們需要計算當 $n \to +\infty$ 時，(a) 部分的級數和的極限。
級數和為 $S_n = \frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$。
由於 $x > 0$，我們知道 $e^{-x} < 1$。
因此，當 $n \to +\infty$ 時，$(n+1)x \to +\infty$，所以 $e^{-(n+1)x} \to 0$。
極限為：
$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{e^{-x} - e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}$
$= \frac{e^{-x} - 0}{1-e^{-x}}$
$= \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$
【答案】 $\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$

(c) How does the limit of this series change with $x$? Explain.

我們剛剛計算出級數和的極限為 $L(x) = \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$，其中 $x > 0$。
我們需要分析這個極限值 $L(x)$ 如何隨著 $x$ 的變化而變化。
首先，我們觀察函數 $L(x)$ 的性質。
我們可以將 $L(x)$ 寫成：
$L(x) = \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \frac{1}{e^x - 1}$
這是因為分子分母同時乘以 $e^x$：

本題主要考驗對市場集中度衡量指標的計算與應用，包括市場佔有率、集中率以及赫夫達爾—赫希曼指數(HHI)。

核心觀念：

1. 市場佔有率 (Market Share)：單一公司銷售額或產量佔市場總銷售額或總產量的比例。
2. 集中率 (Concentration Ratio)：市場上前 k 家公司市場佔有率的總和。
3. 赫夫達爾—赫希曼指數 (Herfindahl-Hirschman Index, HHI)：市場上所有公司市場佔有率平方的總和。
4. 市場集中度判斷：根據集中率或 HHI 的值來判斷市場結構。

解題步驟：

首先，計算市場總訂戶數：
總訂戶數 = 10,555,342 + 7,050,283 + 2,425,267 + 7,089,905 + 2,035,230
總訂戶數 = 29,155,027

(a) Find the market share of every firm.

市場佔有率 = (單一公司訂戶數 / 市場總訂戶數) * 100%
我們將結果四捨五入到小數點後兩位。

• ChungHwa Telecom:
  市場佔有率 = (10,555,342 / 29,155,027) * 100% ≈ 36.19%
• Far EasTone Telecom:
  市場佔有率 = (7,050,283 / 29,155,027) * 100% ≈ 24.18%
• Taiwan Star Telecom:
  市場佔有率 = (2,425,267 / 29,155,027) * 100% ≈ 8.32%
• Taiwan Mobile:
  市場佔有率 = (7,089,905 / 29,155,027) * 100% ≈ 24.32%
• Asia Pacific Telecom:
  市場佔有率 = (2,035,230 / 29,155,027) * 100% ≈ 6.98%

驗算：36.19 + 24.18 + 8.32 + 24.32 + 6.98 = 99.99% (由於四捨五入，總和略有誤差，在可接受範圍內)。

【答案】
ChungHwa Telecom: 36.19%
Far EasTone Telecom: 24.18%
Taiwan Star Telecom: 8.32%
Taiwan Mobile: 24.32%
Asia Pacific Telecom: 6.98%

(b) Find the 4-firm concentration ratio, defined as the sum of market shares of 4 largest firms.

首先，依據市場佔有率，找出最大的四家公司。
由 (a) 的結果可知，市場佔有率由高至低排序為：

1. ChungHwa Telecom (36.19%)
2. Taiwan Mobile (24.32%)
3. Far EasTone Telecom (24.18%)
4. Taiwan Star Telecom (8.32%)
5. Asia Pacific Telecom (6.98%)

最大的四家公司為：ChungHwa Telecom, Taiwan Mobile, Far EasTone Telecom, Taiwan Star Telecom。
4-firm concentration ratio = 36.19% + 24.32% + 24.18% + 8.32%
4-firm concentration ratio = 93.01%

【答案】 93.01%

(c) Find the Herfindahl-Hirschman Index, which is the sum squares of all firms' market shares.

核心觀念

本題考察 Dorfman–Steiner 廣告強度公式：

$$\frac{A}{PQ}=\frac{\epsilon_A}{|\epsilon_D|}$$

其中：

• $A$：廣告支出
• $P$：價格
• $Q$：產量
• $\epsilon_A=\frac{\partial Q}{\partial A}\frac{A}{Q}$：廣告需求彈性
• $\epsilon_D=\frac{\partial Q}{\partial P}\frac{P}{Q}$：價格需求彈性

由於一般需求曲線向右下方傾斜，$\frac{\partial Q}{\partial P}<0$，所以價格需求彈性通常為負值。廣告強度公式在經濟學上通常使用價格彈性的絕對值 $|\epsilon_D|$，以確保廣告支出為正。

公式表示：

$$\text{廣告支出占銷售額的比例} = \frac{\text{廣告彈性}}{\text{價格需求彈性的絕對值}}$$

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解題方法

將公式改寫為廣告支出：

$$A=PQ\frac{\epsilon_A}{|\epsilon_D|}$$

在比較某一項彈性改變時，假設 $P$、$Q$ 以及另一項彈性維持不變，直接觀察 $A$ 與各彈性之間的關係：

• $A$ 與 $\epsilon_A$ 成正比；
• $A$ 與 $|\epsilon_D|$ 成反比。

因此可直接判斷廣告支出的增減方向。

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（a）需求對廣告更有反應時，廠商廣告較多還是較少？

當需求更能受到廣告影響時，廣告彈性 $\epsilon_A$ 上升。

由

$$A=PQ\frac{\epsilon_A}{|\epsilon_D|}$$

在 $P$、$Q$ 與 $|\epsilon_D|$ 不變下：

$$\frac{\partial A}{\partial \epsilon_A} = PQ\frac{1}{|\epsilon_D|} >0$$

因此，$\epsilon_A$ 越大，最適廣告支出 $A$ 越多。

經濟直觀是：廣告越有效，投入一單位廣告所帶來的銷售量增加越大，廠商越有誘因提高廣告支出。

判斷：廣告較多。

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