114 年 國立中山大學經濟學系碩士班《統計學》

核心觀念

本題考查動差生成函數的基本性質：

$$M(0)=1,\qquad E(X)=M'(0),\qquad \operatorname{Var}(X)=K''(0),$$

其中 $K(t)=\ln M(t)$ 為累積量生成函數。利用 $K''(0)$ 求變異數，可避免直接計算 $M''(0)$ 的繁瑣展開。

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解題方法

已知

$$M(t)=(a+be^{ct})^c.$$

因為 $M(0)=1$，所以

$$(a+b)^c=1.$$

在題目的實數參數設定下，取

$$a+b=1.$$

令

$$K(t)=\ln M(t)=c\ln(a+be^{ct}).$$

先求一階導數：

$$K'(t) =\frac{c^2be^{ct}}{a+be^{ct}}.$$

因此

$$E(X)=K'(0) =\frac{c^2b}{a+b} =c^2b.$$

由 $E(X)=4$ 得

$$c^2b=4, \qquad b=\frac{4}{c^2}.$$

再求二階導數：

$$K''(t) =\frac{c^3ab e^{ct}}{(a+be^{ct})^2}.$$

所以

$$\operatorname{Var}(X)=K''(0) =\frac{c^3ab}{(a+b)^2} =c^3ab.$$

由 $a+b=1$ 及 $b=4/c^2$，

$$a=1-\frac{4}{c^2}.$$

代入變異數條件：

$$2=c^3\left(1-\frac{4}{c^2}\right)\frac{4}{c^2}.$$

整理得

$$2=4c-\frac{16}{c}.$$

兩邊乘以 $c$：

$$2c=4c^2-16,$$

因此

$$2c^2-c-8=0.$$

解得

本題考驗聯合機率密度函數 (Joint Probability Density Function, PDF) 的性質，包括邊緣機率密度函數 (Marginal PDF)、條件機率密度函數 (Conditional PDF) 以及共變異數 (Covariance)。

給定的聯合 PDF 為 $f_{XY}(x,y) = \frac{2(x + 2y)}{3}$，其定義域為 $0 < x < 1$ 且 $0 < y < 1$。

a. 求邊緣機率密度函數 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$

邊緣 PDF 的計算方法是將聯合 PDF 對另一個變數進行積分。
求 $f_X(x)$，我們將 $f_{XY}(x,y)$ 對 $y$ 從其定義域積分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y) dy$
由於 $0 < y < 1$，積分範圍為 0 到 1。
$f_X(x) = \int_{0}^{1} \frac{2(x + 2y)}{3} dy$
$f_X(x) = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} (x + 2y) dy$
$f_X(x) = \frac{2}{3} \left[ xy + y^2 \right]_{0}^{1}$
$f_X(x) = \frac{2}{3} \left[ (x \cdot 1 + 1^2) - (x \cdot 0 + 0^2) \right]$
$f_X(x) = \frac{2}{3} (x + 1)$
此邊緣 PDF 對於 $0 < x < 1$ 有效。
我們驗證一下 $f_X(x)$ 是否為一個合法的 PDF：
$\int_{0}^{1} f_X(x) dx = \int_{0}^{1} \frac{2}{3} (x + 1) dx = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$。
邊緣 PDF $f_X(x)$ 是合法的。

求 $f_Y(y)$，我們將 $f_{XY}(x,y)$ 對 $x$ 從其定義域積分：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y) dx$
由於 $0 < x < 1$，積分範圍為 0 到 1。
$f_Y(y) = \int_{0}^{1} \frac{2(x + 2y)}{3} dx$
$f_Y(y) = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} (x + 2y) dx$
$f_Y(y) = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^2}{2} + 2yx \right]_{0}^{1}$
$f_Y(y) = \frac{2}{3} \left[ \left( \frac{1^2}{2} + 2y \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 2y \cdot 0 \right) \right]$
$f_Y(y) = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} + 2y \right)$
$f_Y(y) = \frac{1}{3} + \frac{4y}{3} = \frac{1+4y}{3}$
此邊緣 PDF 對於 $0 < y < 1$ 有效。
我們驗證一下 $f_Y(y)$ 是否為一個合法的 PDF：
$\int_{0}^{1} f_Y(y) dy = \int_{0}^{1} \frac{1+4y}{3} dy = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (1+4y) dy = \frac{1}{3} \left[ y + 2y^2 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} (1 + 2) = \frac{3}{3} = 1$。
邊緣 PDF $f_Y(y)$ 是合法的。

b. 求條件機率密度函數 $f_{X|Y}(X = x | Y = y)$

條件 PDF 的定義為 $f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}$，其中 $f_Y(y) > 0$。
我們已經計算出 $f_{XY}(x,y) = \frac{2(x + 2y)}{3}$ 和 $f_Y(y) = \frac{1+4y}{3}$。
$f_{X|Y}(x|y) = \frac{\frac{2(x + 2y)}{3}}{\frac{1+4y}{3}}$
$f_{X|Y}(x|y) = \frac{2(x + 2y)}{1+4y}$
此條件 PDF 對於 $0 < x < 1$ 且 $0 < y < 1$ 有效。

我們驗證一下 $f_{X|Y}(x|y)$ 在 $x$ 上的積分是否為 1：
$\int_{0}^{1} f_{X|Y}(x|y) dx = \int_{0}^{1} \frac{2(x + 2y)}{1+4y} dx$
$= \frac{2}{1+4y} \int_{0}^{1} (x + 2y) dx$
$= \frac{2}{1+4y} \left[ \frac{x^2}{2} + 2yx \right]_{0}^{1}$
$= \frac{2}{1+4y} \left( \frac{1}{2} + 2y \right)$
$= \frac{2}{1+4y} \cdot \frac{1+4y}{2} = 1$。
條件 PDF $f_{X|Y}(x|y)$ 是合法的。

c. 求 $Cov(3X, 4Y)$

共變異數的性質為 $Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y)$。
所以 $Cov(3X, 4Y) = 3 \cdot 4 \cdot Cov(X, Y) = 12 Cov(X, Y)$。
共變異數的計算公式為 $Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。

核心觀念

本題是已知母體標準差 $\sigma=4$ 的單一母體平均數左尾 $Z$ 檢定：

$$H_0:\mu\ge 8,\qquad H_{\alpha}:\mu<8$$

因為母體為常態分配且 $\sigma$ 已知，樣本平均數服從：

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

檢定統計量為：

$$Z=\frac{\bar X-8}{\sigma/\sqrt n}$$

顯著水準為 $\alpha=0.05$，左尾臨界值為：

$$z_{0.05}=-1.645$$

當 $Z<-1.645$ 時拒絕 $H_0$。

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解題方法

建立拒絕域

本題 $n=100$，因此：

$$\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{4}{\sqrt{100}}=0.4$$

拒絕 $H_0$ 的條件為：

$$\frac{\bar X-8}{0.4}<-1.645$$

整理得：

$$\bar X<8-1.645(0.4)$$ $$\bar X<7.342$$

因此：

• 若 $\bar X<7.342$，拒絕 $H_0$；
• 若 $\bar X\ge 7.342$，不拒絕 $H_0$。

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（a）當 $\mu=7.2$ 時的 Type II error 機率

Type II error 是「實際上 $\mu=7.2<8$，但未拒絕 $H_0$」的錯誤。

因此：

$$\beta=P(\bar X\ge 7.342\mid \mu=7.2)$$

在實際平均數 $\mu=7.2$ 下：

$$\bar X\sim N(7.2,0.4^2)$$

標準化：

$$\beta =P\left( Z\ge \frac{7.342-7.2}{0.4} \right)$$ $$\beta=P(Z\ge 0.355)$$

查標準常態分配表，取 $z=0.36$：

$$\Phi(0.36)=0.6406$$

所以：

$$\beta=1-\Phi(0.36) =1-0.6406 =0.3594$$

因此 Type II error 機率約為：

$$\boxed{\beta\approx 0.36}$$

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（b）使 Type II error 降至 $0.05$ 所需的樣本數

令新的樣本數為 $n$。拒絕域為：

核心觀念

本題考查迴歸模型中「水準值」與「對數值」的係數解釋。判斷重點如下：

• $salary$ 與 $sales$ 都未取對數：係數是「銷售額增加一單位，薪資增加多少單位」。
• $log(salary)$ 取對數、$sales$ 未取對數：係數近似表示薪資的百分比變化。
• $salary$ 未取對數、$log(sales)$ 取對數：係數表示銷售額增加 $1\%$ 時，薪資增加多少薪資單位。
• $salary$ 與 $sales$ 都取對數：係數是薪資對銷售額的彈性，表示銷售額增加 $1\%$ 時，薪資約增加多少百分比。

以下均採用其他條件不變，即 ceteris paribus 的解釋。

解題方法

利用對數的微分關係：

$$d\log(salary)=\frac{dsalary}{salary}$$ $$d\log(sales)=\frac{dsales}{sales}$$

因此：

• $\log(salary)$ 的變化可解讀為 $salary$ 的比例變化。
• $\log(sales)$ 的變化可解讀為 $sales$ 的比例變化。
• 當變化幅度較小時，比例變化可近似轉換為百分比變化。

（a）$salary = 4.82 + 0.3sales + u$

此模型中，$salary$ 與 $sales$ 都是水準值。

固定其他條件，$sales$ 增加一單位時：

$$\Delta salary=0.3\Delta sales$$

若 $\Delta sales=1$，則：

$$\Delta salary=0.3$$

因此，迴歸係數 $0.3$ 表示：

在其他條件不變下，公司的銷售額增加一單位，CEO 薪資平均增加 $0.3$ 個薪資單位。

若薪資與銷售額的單位分別是千元、百萬元，則應依題目資料的單位具體換算；不能直接將 $0.3$ 解讀成 $30\%$。

（b）$log(salary) = 4.82 + 0.3sales + u$

此模型是「對數—水準模型」。$salary$ 取自然對數，$sales$ 未取對數。

固定其他條件，$sales$ 增加一單位時：

$$\Delta\log(salary)=0.3$$

由於：

$$\Delta\log(salary) = \log\left(\frac{salary_1}{salary_0}\right)$$

所以薪資的確切倍數變化為：

$$\frac{salary_1}{salary_0}=e^{0.3}$$

薪資的確切百分比變化為：

$$100\left(e^{0.3}-1\right)\% \approx 34.99\%$$

因此，迴歸係數 $0.3$ 表示：

在其他條件不變下，公司的銷售額增加一單位，CEO 薪資平均增加約 $30\%$。

這是小幅變動下的近似解釋。若要求精確百分比，應寫成約 $34.99\%$，而不是 $30\%$。

（c）$salary = 4.82 + 0.3log(sales) + u$

此模型是「水準—對數模型」。$salary$ 未取對數，$sales$ 取自然對數。

固定其他條件，$sales$ 增加 $1\%$ 時：

$$\Delta\log(sales) \approx \frac{\Delta sales}{sales} =0.01$$

因此：

核心觀念

本題考查「解釋變數測量誤差」對 OLS 一致性的影響，核心工具包括：

• OLS 斜率估計量
• 大數法則與機率極限
• 共變異數與變異數的定義
• Classical Errors-in-Variables（CEV）所造成的 attenuation bias（衰減偏誤）

真實模型為

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i^*+u_i$$

但研究者觀察到的是

$$x_i=x_i^*+e_i$$

其中 $x_i^*$ 為未觀察到的真實解釋變數，$e_i$ 為測量誤差。

標準迴歸外生性條件為

$$Cov(x_i^*,u_i)=0$$

CEV 通常還包含

$$Cov(x_i^*,e_i)=0,\qquad Cov(e_i,u_i)=0$$

題目明確給定 $Cov(x_i^*,e_i)=0$；以下依照標準 CEV 與原始迴歸模型的外生性條件推導。

解題方法：直接推導 OLS 斜率估計量

研究者將 $y_i$ 對觀察到的 $x_i$ 進行 OLS 迴歸。含截距的 OLS 斜率估計量為

$$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$$

將

$$x_i=x_i^*+e_i$$

與

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i^*+u_i$$

代入。

由於扣除樣本平均數後，截距 $\beta_0$ 消失，因此

$$y_i-\bar{y} = \beta_1(x_i^*-\bar{x}^*)+(u_i-\bar{u})$$

且

$$x_i-\bar{x} = (x_i^*-\bar{x}^*)+(e_i-\bar{e})$$

因此，分子為

$$\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$ $$= \sum_{i=1}^n \left[(x_i^*-\bar{x}^*)+(e_i-\bar{e})\right] \left[\beta_1(x_i^*-\bar{x}^*)+(u_i-\bar{u})\right]$$

展開後得到

$$\begin{aligned} \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) ={}& \beta_1\sum (x_i^*-\bar{x}^*)^2 \\ &+\beta_1\sum (e_i-\bar{e})(x_i^*-\bar{x}^*) \\ &+\sum (x_i^*-\bar{x}^*)(u_i-\bar{u}) \\ &+\sum (e_i-\bar{e})(u_i-\bar{u}) \end{aligned}$$

分母為

$$\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^n \left[(x_i^*-\bar{x}^*)+(e_i-\bar{e})\right]^2$$

故

$$\begin{aligned} \sum (x_i-\bar{x})^2 ={}& \sum (x_i^*-\bar{x}^*)^2 \\ &+2\sum (x_i^*-\bar{x}^*)(e_i-\bar{e}) \\ &+\sum (e_i-\bar{e})^2 \end{aligned}$$

取機率極限

將分子與分母同除以 $n$，依大數法則：

分子的機率極限為

$$\begin{aligned} plim\left[ \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \right] ={}& \beta_1 Var(x_i^*) \\ &+\beta_1 Cov(e_i,x_i^*) \\ &+Cov(x_i^*,u_i) \\ &+Cov(e_i,u_i) \end{aligned}$$

依照標準 CEV 與外生性條件，

$$Cov(e_i,x_i^*)=0,\qquad Cov(x_i^*,u_i)=0,\qquad Cov(e_i,u_i)=0$$

所以分子極限為

$$\beta_1\sigma_{x^*}^2$$

分母的機率極限為

核心觀念

此題考查「單一自變數線性迴歸」的 ANOVA 表。迴歸模型為

$$Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon$$

需要使用以下關係：

• 總平方和分解：

$$SST=SSR+SSE$$

• 自由度分解：

$$df_T=df_M+df_E$$

• 均方：

$$MS=\frac{SS}{df}$$

• 迴歸的 $F$ 統計量：

$$F=\frac{MS_M}{MS_E}$$

本題只有一個解釋變數 $X$，因此模型自由度為 $1$。

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解題方法與計算

（1）Model 的自由度

單一自變數迴歸模型中：

$$df_M=1$$

因此：

$$\boxed{(1)=1}$$

（2）Total 的自由度

Residual 的自由度為 $73$，Model 的自由度為 $1$，所以

$$df_T=df_M+df_E=1+73=74$$

因此：

$$\boxed{(2)=74}$$

（3）Residual 的平方和

由

$$SST=SSR+SSE$$

可得

$$SSE=SST-SSR$$

代入題目數據：

$$SSE=635,065,396-139,449,474$$ $$SSE=495,615,922$$

因此：

$$\boxed{(3)=495,615,922}$$

（4）Model 的均方

$$MS_M=\frac{SS_M}{df_M} =\frac{139,449,474}{1} =139,449,474$$

因此：

$$\boxed{(4)=139,449,474}$$

（5）Residual 的均方

$$MS_E=\frac{SS_E}{df_E} =\frac{495,615,922}{73}$$ $$MS_E\approx 6,789,259.21$$

因此：

$$\boxed{(5)\approx 6,789,259.21}$$

（6）$F$ ratio

$$F=\frac{MS_M}{MS_E} =\frac{139,449,474}{6,789,259.21}$$ $$F\approx 20.54$$

因此：

$$\boxed{(6)\approx 20.54}$$

（7）$F$ critical value

顯著水準為 $\alpha=0.05$，分子自由度為 $1$，分母自由度為 $73$，因此查

$$F_{0.05}(1,73)$$

得到