115 年 國立中山大學經濟學系碩士班《統計學》

核心觀念

本題考查非負隨機變數的「尾積分公式」（tail integral formula），核心工具為：

• 累積分配函數
  $F(t)=P(X\le t)$
• 指示函數表示法
  $x=\int_0^\infty \mathbf{1}_{\{t\le x\}}\,dt,\qquad x\ge 0$
• Tonelli 定理：對非負函數可交換積分與期望的順序。

此公式允許 $E(X)$ 為 $+\infty$，因此不必先假設期望有限。

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解題方法與第一個等式

因為 $X$ 為非負隨機變數，對每個實現值 $X(\omega)\ge 0$，有

$$X(\omega) = \int_0^\infty \mathbf{1}_{\{t\le X(\omega)\}}\,dt.$$

原因是當 $0\le t\le X(\omega)$ 時，指示函數等於 $1$；當 $t>X(\omega)$ 時，指示函數等於 $0$，故積分區間長度正好為 $X(\omega)$。

因此

$$E(X) = E\left[\int_0^\infty \mathbf{1}_{\{t\le X\}}\,dt\right].$$

由於被積函數非負，根據 Tonelli 定理可交換期望與積分：

$$E(X) = \int_0^\infty E\left[\mathbf{1}_{\{t\le X\}}\right]\,dt.$$

又因為指示函數的期望等於該事件的機率，

$$E\left[\mathbf{1}_{\{t\le X\}}\right] = P(t\le X) = P(X\ge t).$$

所以得到

$$\boxed{ E(X)=\int_0^\infty P(X\ge t)\,dt }.$$

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第二個等式

按照累積分配函數的標準定義，

$$F(t)=P(X\le t).$$

因此

$$1-F(t)=P(X>t).$$

嚴格而言，

核心觀念

本題考查：

• 動差生成函數的定義：
  $M_Y(t)=E(e^{tY})$
• 隨機變數轉換後的分布判斷。
• 混合型分布：$Y$ 在 $0$ 點具有一個離散機率，同時在 $(0,10]$ 上具有連續密度。

已知
$X\sim U[-5,15],\qquad f_X(x)=\frac{1}{20},\quad -5\le x\le 15.$

且
$Y=\max\{0,X-5\}.$

解題方法

先依照 $X$ 的範圍討論 $Y$：

情況一：$X\le 5$

此時
$X-5\le 0,$
因此
$Y=0.$

其機率為

$$P(Y=0)=P(X\le 5)=\frac{5-(-5)}{15-(-5)} =\frac{10}{20}=\frac12.$$

所以，$Y$ 在 $0$ 點有 $\frac12$ 的離散機率。

情況二：$X>5$

此時
$Y=X-5.$

因為 $5<X\le 15$，所以
$0<Y\le 10.$

由於轉換為平移，$Y$ 在 $(0,10]$ 上的密度仍為
$f_Y(y)=\frac1{20},\qquad 0<y\le 10.$

因此，$Y$ 的動差生成函數必須同時包含：

1. $Y=0$ 的離散部分；
2. $0<Y\le 10$ 的連續部分。

依照定義，

$$\begin{aligned} M_Y(t) &=E(e^{tY})\\ &=e^{t\cdot 0}P(Y=0)+\int_0^{10}e^{ty}\frac1{20}\,dy\\ &=\frac12+\frac1{20}\int_0^{10}e^{ty}\,dy. \end{aligned}$$

當 $t\ne 0$ 時，

核心觀念

本題考查：

1. 條件期望的迭代法則
   $\mathbb{E}(U)=\mathbb{E}\bigl[\mathbb{E}(U\mid X)\bigr]$

2. 條件期望下的可測函數提取
   若 $g(X)$ 僅為 $X$ 的函數，則

$$\mathbb{E}\bigl[g(X)Y\mid X\bigr] =g(X)\mathbb{E}(Y\mid X)$$

3. 估計量不偏性的定義
   估計量 $T$ 對參數 $\theta$ 不偏，意指
   $\mathbb{E}(T)=\theta$

題目已給定 $X_i,Y_i>0$，且
$\mathbb{E}(Y_i\mid X_i)=\theta X_i.$

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解題方法

關鍵切入點是把 $Y_i$ 除以 $X_i$，並利用 $X_i$ 已知時可視為常數：

$$\mathbb{E}\left(\frac{Y_i}{X_i}\mid X_i\right) =\frac{1}{X_i}\mathbb{E}(Y_i\mid X_i) =\frac{1}{X_i}\theta X_i =\theta.$$

因此，每一個比值 $Y_i/X_i$ 的期望均為 $\theta$。至於 $Z$，則先對全部的 $X_1,\ldots,X_n$ 取條件期望，再檢查剩餘的期望是否等於 $\theta$。

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(a) 估計量 $W$ 的不偏性

估計量為

$$W=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{Y_i}{X_i}.$$

由於 $X_i>0$，所以比值 $Y_i/X_i$ 有定義。對每一項而言，

$$\begin{aligned} \mathbb{E}\left(\frac{Y_i}{X_i}\right) &=\mathbb{E}\left[ \mathbb{E}\left(\frac{Y_i}{X_i}\mid X_i\right) \right]\\ &=\mathbb{E}(\theta)\\ &=\theta. \end{aligned}$$

因此，

$$\begin{aligned} \mathbb{E}(W) &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}\left(\frac{Y_i}{X_i}\right)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\theta\\ &=\theta. \end{aligned}$$

最小假設

要使 $W$ 不偏，最小條件為：

• $X_i\neq 0$ 幾乎處處成立，使 $Y_i/X_i$ 有定義；
• 對每個 $i$，皆滿足
  $\mathbb{E}(Y_i\mid X_i)=\theta X_i;$
• $Y_i/X_i$ 具有有限期望，以確保不偏性的期望存在。

題目已給定 $X_i,Y_i$ 為正隨機變數，因此 $X_i>0$ 已保證分母不為零。並且在題目的條件期望存在且有限時，$W$ 不需要額外的獨立性或同分布假設；即使各觀測值之間存在相關性，線性期望仍然成立。

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(b) 估計量 $Z$ 的不偏性

估計量為

$$Z=\frac{\bar Y}{\bar X^2},$$

其中

$$\bar Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i, \qquad \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.$$

在隨機樣本假設下，各組 $(X_i,Y_i)$ 彼此獨立，因此

$$\mathbb{E}(\bar Y\mid X_1,\ldots,X_n) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}(Y_i\mid X_1,\ldots,X_n).$$

由於第 $i$ 組資料與其他組獨立，

$$\mathbb{E}(Y_i\mid X_1,\ldots,X_n) =\mathbb{E}(Y_i\mid X_i) =\theta X_i.$$

所以

$$\mathbb{E}(\bar Y\mid X_1,\ldots,X_n) =\frac{\theta}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i =\theta\bar X.$$

此題涉及複合泊松過程 (Compound Poisson Process) 的概念，其中保險賠付總額由事故發生次數和每次事故的損失金額共同決定。

核心概念：

1. 泊松分布 (Poisson Distribution): 事故發生次數 $N$ 服從泊松分布。
2. 指數分布 (Exponential Distribution): 每次事故的損失金額 $X_i$ 服從指數分布。
3. 條件期望與全期望法則 (Conditional Expectation and Law of Total Expectation)。
4. 複合泊松過程的期望值。
5. 截尾 (Deductible) 概念。

已知：

• $N \sim Poisson(\lambda)$, 其中 $\lambda = 0.5$。
• $X_i \sim Exponential(\mu)$, 其中 $\mu = 20000$。指數分布的參數通常是率，所以 PDF 是 $f(x) = \frac{1}{\mu} e^{-x/\mu}$。這裡的 $\mu$ 是均值，所以我們應該用 $\frac{1}{\text{mean}}$ 作為率。
  設 $X_i \sim Exponential(\beta)$, 則 $E[X_i] = \beta$。題目給的是均值是 20000，所以 $\beta = 20000$。
  $X_i$ 的 PDF 是 $f_{X_i}(x) = \frac{1}{20000} e^{-x/20000}$ for $x \ge 0$。
• $N$ 與 $X_i$ 相互獨立。

(a) 計算總賠付金額 $S = \sum_{i=1}^{N} X_i$ 的期望值 $E(S)$。
這是一個複合泊松過程的總和。
根據全期望法則：
$E(S) = E[E[S | N]]$
在給定事故次數 $N=n$ 的條件下，總賠付金額是 $n$ 個獨立同分布的 $X_i$ 的和：
$S | N=n = \sum_{i=1}^{n} X_i$
因此，
$E[S | N=n] = E\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} E[X_i]$
由於 $X_i$ 獨立同分布且 $E[X_i] = 20000$，
$E[S | N=n] = n \cdot E[X_i] = n \cdot 20000$
現在，我們將這個結果代回全期望法則：
$E(S) = E[N \cdot 20000]$
由於 20000 是常數，
$E(S) = 20000 \cdot E[N]$
$N$ 服從均值為 0.5 的泊松分布，所以 $E[N] = 0.5$。
$E(S) = 20000 \cdot 0.5 = 10000$

所以，總賠付金額的期望值是 10000。

【答案】(a) $E(S) = 10000$。

(b) 計算考慮了 5000 的免賠額 (deductible) 後，保險公司預期的總年度賠款。
設 $Y_i$ 是保險公司對第 $i$ 次事故的賠付金額。
免賠額為 5000。這意味著：

• 如果損失 $X_i \le 5000$，保險公司賠付 0。
• 如果損失 $X_i > 5000$，保險公司賠付 $X_i - 5000$。
  所以，$Y_i = \max(0, X_i - 5000)$。

我們需要計算總賠付金額 $S_{insurer} = \sum_{i=1}^{N} Y_i$ 的期望值 $E(S_{insurer})$。
同樣使用全期望法則：
$E(S_{insurer}) = E[E[S_{insurer} | N]]$
在給定事故次數 $N=n$ 的條件下，
$E[S_{insurer} | N=n] = E\left[\sum_{i=1}^{n} Y_i\right] = \sum_{i=1}^{n} E[Y_i]$
我們需要計算 $E[Y_i] = E[\max(0, X_i - 5000)]$。
$X_i$ 服從均值為 20000 的指數分布，其 PDF 為 $f_{X_i}(x) = \frac{1}{20000} e^{-x/20000}$ for $x \ge 0$。
$E[Y_i] = \int_{0}^{\infty} \max(0, x - 5000) f_{X_i}(x) dx$
$E[Y_i] = \int_{0}^{\infty} \max(0, x - 5000) \frac{1}{20000} e^{-x/20000} dx$
由於 $\max(0, x-5000)$ 在 $x \le 5000$ 時為 0，我們只需要從 5000 開始積分：
$E[Y_i] = \int_{5000}^{\infty} (x - 5000) \frac{1}{20000} e^{-x/20000} dx$

此題考驗對二項分布的理解，以及在樣本量足夠大時，如何使用常態分布來近似二項分布進行機率計算。

核心概念：

1. 二項分布 (Binomial Distribution): 進行 $n$ 次獨立的伯努利試驗，成功的次數服從二項分布。
2. 常態近似二項分布 (Normal Approximation to Binomial Distribution): 當樣本量 $n$ 足夠大，且 $np \ge 5$ 和 $n(1-p) \ge 5$ 時，二項分布可以用常態分布近似。
3. 連續性修正 (Continuity Correction): 在使用常態分布近似離散的二項分布時，需要進行連續性修正。

問題設定：

• 樣本量 $n = 1000$。
• 假設的真實人口偏好率（成功率）$p = 0.70$。
• 我們想計算觀察到 675 或更少「喜歡」的機率，即 $P(X \le 675)$，其中 $X$ 是成功次數。

由於 $n=1000$ 是一個很大的樣本量，我們可以近似地將二項分布視為常態分布。
首先，我們需要檢查近似的條件：
$np = 1000 \times 0.70 = 700$
$n(1-p) = 1000 \times (1 - 0.70) = 1000 \times 0.30 = 300$
由於 $np = 700 \ge 5$ 且 $n(1-p) = 300 \ge 5$，常態近似是適用的。

二項分布 $X \sim Binomial(n, p)$ 的均值和標準差分別為：
$E(X) = np = 1000 \times 0.70 = 700$
$Var(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.70 \times 0.30 = 210$
$SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{210} \approx 14.4914$

我們將使用常態分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 來近似二項分布，其中 $\mu = np = 700$ 和 $\sigma^2 = np(1-p) = 210$。

核心觀念

令

$$S=\sum_{i=1}^{6}X_i.$$

因為 $X_1,\ldots,X_6\overset{iid}{\sim}\operatorname{Bernoulli}(p)$，故

$$S\sim\operatorname{Binomial}(6,p).$$

本題為左尾檢定：

$$H_0:p\ge 0.5,\qquad H_1:p<0.5.$$

當 $S$ 越小時，越支持 $p<0.5$，因此拒絕域應設在 $S$ 的小值區域。

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解題方法：建立 5% 精確檢定

對任意固定的 $k$，

$$P_p(S\le k)$$

會隨著 $p$ 增加而減少。因此在虛無假設 $p\ge 0.5$ 下，左尾拒絕機率的最大值發生於邊界 $p=0.5$。

先計算：

$$P_{0.5}(S=0)=\binom{6}{0}(0.5)^0(0.5)^6 =\frac{1}{64}=0.015625<0.05.$$

若將 $S=1$ 也納入拒絕域，則

$$\begin{aligned} P_{0.5}(S\le 1) &=P_{0.5}(S=0)+P_{0.5}(S=1)\\ &=\binom{6}{0}(0.5)^6+\binom{6}{1}(0.5)^6\\ &=\frac{1+6}{64}\\ &=\frac{7}{64}=0.109375>0.05. \end{aligned}$$

因此，非隨機化的 5% 精確檢定，其拒絕域為

$$R=\{S=0\}.$$

此檢定的實際顯著水準為

$$\sup_{p\ge 0.5}P_p(S=0) =P_{0.5}(S=0) =\frac{1}{64}=0.015625,$$

確實不超過 $5\%$。

若要求檢定的大小恰好等於 $5\%$，可採隨機化檢定：$S=0$ 時必定拒絕，$S=1$ 時以機率 $\gamma$ 拒絕。令

核心觀念

本題為因果推論（Causal Inference）中**雙重差分法（Difference-in-Differences, DID）**之經典計量經濟與統計應用，涵蓋以下核心觀念：

1. DID 計量模型設定與條件期望值：利用「處理組 vs. 對照組」與「實施前 vs. 實施後」雙重差分，消除不隨時間變化的個體異質性與所有組別共同的時間趨勢。
2. 對數被解釋變數的半彈性（Semi-elasticity）經濟意涵：在 $\log\text{-level}$ 迴歸模型中，交互項係數代表處理效應的百分比變化（Percentage Change）。
3. 處理組平均處理效果（ATT）的一致性條件與失效情境：DID 能一致估計 ATT 的關鍵基石為平行趨勢假設（Parallel Trends Assumption）與個體處理穩定值假設（SUTVA / 無溢出效應）。

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解題方法與完整推導

(a) 以條件期望值解釋係數 $\delta$

在給定隨時間變動之商店特徵向量 $X_{it}$ 的條件下，假設模型誤差項滿足外生性條件 $E[\epsilon_{it} \mid Treat_i, Post_t, X_{it}] = 0$。

針對不同組別與時期，分別計算 $\log(Y_{it})$ 的條件期望值：

1. 處理組（City Z, $Treat_i = 1$）：

   • 政策實施後（$Post_t = 1$）：
     $E[\log(Y_{it}) \mid Treat_i = 1, Post_t = 1, X_{it}] = \beta_0 + \beta_1 + \beta_2 + \delta + \gamma X_{it}$
   • 政策實施前（$Post_t = 0$）：
     $E[\log(Y_{it}) \mid Treat_i = 1, Post_t = 0, X_{it}] = \beta_0 + \beta_2 + \gamma X_{it}$
   • 處理組前後期望值變化量：
     $\Delta E_{Treat} = \beta_1 + \delta$

2. 對照組（City K, $Treat_i = 0$）：

   • 政策實施後（$Post_t = 1$）：
     $E[\log(Y_{it}) \mid Treat_i = 0, Post_t = 1, X_{it}] = \beta_0 + \beta_1 + \gamma X_{it}$
   • 政策實施前（$Post_t = 0$）：
     $E[\log(Y_{it}) \mid Treat_i = 0, Post_t = 0, X_{it}] = \beta_0 + \gamma X_{it}$
   • 對照組前後期望值變化量：
     $\Delta E_{Control} = \beta_1$

兩組前後變化量再次取差分（Double Differences），即得到係數 $\delta$：
$\delta = \Big( E[\log(Y_{it}) \mid Treat_i = 1, Post_t = 1, X_{it}] - E[\log(Y_{it}) \mid Treat_i = 1, Post_t = 0, X_{it}] \Big) - \Big( E[\log(Y_{it}) \mid Treat_i = 0, Post_t = 1, X_{it}] - E[\log(Y_{it}) \mid Treat_i = 0, Post_t = 0, X_{it}] \Big)$

結論說明：$\delta$ 代表在控制商店特徵 $X_{it}$ 後，「Z 市在政策實施前後 $\log(Y_{it})$ 的期望值變化」扣除「K 市在同期間 $\log(Y_{it})$ 的期望值變化」之淨差異。

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(b) $\delta$ 之經濟意涵與估計結果解讀

1. 經濟意涵：
   本模型被解釋變數為自然對數轉換 $\log(Y_{it})$，係數 $\delta$ 衡量在控制兩市固有差異、共同時間趨勢及商店特徵後，Z 市實施「每個塑膠袋收費 1 元」政策對每百筆交易塑膠袋使用量產生的平均處理效果百分比變動（Percentage Effect）。

2. 數值與統計檢定解讀：

   • 點估計值 $\hat{\delta} = 0.06$：表示實施收費政策後，Z 市每百筆交易的塑膠袋使用量相較於對照組平均增加約 $6\%$（精確相對變化量為 $(e^{0.06} - 1) \times 100\% \approx 6.18\%$）。