115 年 國立中山大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題考的是消費者效用極大化，以及內部解與角點解的判斷。

消費者的預算限制為

$$p_1x_1+p_2x_2\le m,$$

且效用函數為

$$u(x_1,x_2)=x_1+2\ln x_2,\qquad x_2>0.$$

兩種商品的邊際效用為

$$MU_1=\frac{\partial u}{\partial x_1}=1, \qquad MU_2=\frac{\partial u}{\partial x_2}=\frac{2}{x_2}.$$

由於兩種商品的邊際效用皆為正，收入會全部用於消費，因此預算限制取等號：

$$p_1x_1+p_2x_2=m.$$

內部最適解需滿足

$$\frac{MU_1}{p_1}=\frac{MU_2}{p_2},$$

亦即

$$\frac{1}{p_1}=\frac{2/x_2}{p_2}.$$

因此

$$x_2^*=\frac{2p_1}{p_2}.$$

但此結果必須檢查是否能使 $x_1\ge 0$。若內部解導出的 $x_1<0$，最適解便是角點 $x_1=0$。

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解題方法

將預算限制改寫為

$$x_1=\frac{m-p_2x_2}{p_1},$$

代入效用函數：

$$u(x_2)=\frac{m-p_2x_2}{p_1}+2\ln x_2.$$

對 $x_2$ 微分：

$$\frac{du}{dx_2} =-\frac{p_2}{p_1}+\frac{2}{x_2}.$$

令一階導數等於零：

$$-\frac{p_2}{p_1}+\frac{2}{x_2}=0,$$

得到

$$x_2^*=\frac{2p_1}{p_2}.$$

二階導數為

$$\frac{d^2u}{dx_2^2}=-\frac{2}{x_2^2}<0,$$

所以若此解可行，即為唯一的內部效用極大解。

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(i) $p_1=2,\ p_2=4,\ m=10$

先求商品 2 的內部最適消費量：

$$x_2^*=\frac{2p_1}{p_2} =\frac{2(2)}{4}=1.$$

再由預算限制求商品 1：

$$2x_1+4(1)=10,$$

本題考驗賽局理論中的重複刪減法、純粹策略納許均衡與混合策略納許均衡。

核心觀念：

1. 嚴格劣勢策略 (Strictly Dominated Strategy)：若某策略對某玩家而言，無論對方採取何種策略，其收益都嚴格小於另一策略的收益，則該策略為嚴格劣勢策略。
2. 納許均衡 (Nash Equilibrium)：在賽局中，若所有玩家都選擇了其最佳應對策略，且沒有任何玩家有誘因單方面改變其策略，則稱此策略組合為納許均衡。
3. 純粹策略納許均衡 (Pure-Strategy Nash Equilibrium, PSNE)：所有玩家都選擇單一確定性策略的納許均衡。
4. 混合策略 (Mixed Strategy)：玩家以一定的機率分佈來選擇多種策略。
5. 混合策略納許均衡 (Mixed-Strategy Nash Equilibrium, MSNE)：在納許均衡中，至少有一位玩家採用混合策略。在 MSNE 中，每個玩家的混合策略都使其餘玩家對其採用的策略組合感到無差異（即，對於其他玩家而言，其採用的混合策略組合是最佳應對）。

圖一：支付矩陣
玩家 2
L C R
玩家 1
U (2,6) (5,8) (6,5)
M (7,3) (3,2) (2,1)
D (1,1) (2,6) (3,3)

(i) 寫出玩家 1 的嚴格劣勢策略。
我們比較玩家 1 的策略 U, M, D，在玩家 2 採取 L, C, R 時的收益。

• 策略 U vs M:
  • 若玩家 2 選 L：U 收益 2, M 收益 7 (M > U)
  • 若玩家 2 選 C：U 收益 5, M 收益 3 (U > M)
  • 若玩家 2 選 R：U 收益 6, M 收益 2 (U > M)
    U 並非嚴格劣於 M，M 也非嚴格劣於 U。
• 策略 U vs D:
  • 若玩家 2 選 L：U 收益 2, D 收益 1 (U > D)
  • 若玩家 2 選 C：U 收益 5, D 收益 2 (U > D)
  • 若玩家 2 選 R：U 收益 6, D 收益 3 (U > D)
    所有情況下，U 的收益都嚴格大於 D 的收益。因此，D 是 U 的嚴格劣勢策略。
• 策略 M vs D:
  • 若玩家 2 選 L：M 收益 7, D 收益 1 (M > D)
  • 若玩家 2 選 C：M 收益 3, D 收益 2 (M > D)
  • 若玩家 2 選 R：M 收益 2, D 收益 3 (D > M)
    M 並非嚴格劣於 D，D 也非嚴格劣於 M。

因此，玩家 1 的嚴格劣勢策略是 D。

【答案】(i) D

(ii) 寫出玩家 2 的嚴格劣勢策略。
我們比較玩家 2 的策略 L, C, R，在玩家 1 採取 U, M, D 時的收益。

• 策略 L vs C:
  • 若玩家 1 選 U：L 收益 6, C 收益 8 (C > L)
  • 若玩家 1 選 M：L 收益 3, C 收益 2 (L > C)
  • 若玩家 1 選 D：L 收益 1, C 收益 2 (C > L)
    L 並非嚴格劣於 C，C 也非嚴格劣於 L。
• 策略 L vs R:
  • 若玩家 1 選 U：L 收益 6, R 收益 5 (L > R)
  • 若玩家 1 選 M：L 收益 3, R 收益 1 (L > R)
  • 若玩家 1 選 D：L 收益 1, R 收益 3 (R > L)
    L 並非嚴格劣於 R，R 也非嚴格劣於 L。
• 策略 C vs R:
  • 若玩家 1 選 U：C 收益 8, R 收益 5 (C > R)
  • 若玩家 1 選 M：C 收益 2, R 收益 1 (C > R)
  • 若玩家 1 選 D：C 收益 6, R 收益 3 (C > R)
    所有情況下，C 的收益都嚴格大於 R 的收益。因此，R 是 C 的嚴格劣勢策略。

因此，玩家 2 的嚴格劣勢策略是 R。

【答案】(ii) R

(iii) 寫出所有純粹策略納許均衡 (PSNE)。
我們可以使用重複刪減嚴格劣勢策略的方法，或者直接檢查每個單元格。

重複刪減劣勢策略：

1. 刪除玩家 1 的劣勢策略 D。
2. 刪除玩家 2 的劣勢策略 R。

新的支付矩陣（只保留玩家 1 的 U, M 和玩家 2 的 L, C）：
玩家 2
L C
玩家 1
U (2,6) (5,8)
M (7,3) (3,2)

現在我們尋找這個簡化矩陣中的 PSNE。

• 檢查 (U, L):
  • 玩家 1 在玩家 2 選 L 時，U 收益 2，M 收益 7。玩家 1 會從 U 轉向 M (7 > 2)。所以 (U, L) 不是 NE。
• 檢查 (U, C):
  • 玩家 1 在玩家 2 選 C 時，U 收益 5，M 收益 3。玩家 1 不會從 U 轉向 M (5 > 3)。
  • 玩家 2 在玩家 1 選 U 時，C 收益 8，L 收益 6。玩家 2 不會從 C 轉向 L (8 > 6)。
  • 因此，(U, C) 是 PSNE。

核心觀念

本題涉及：

1. 最佳反應函數：給定另一位農民的用水量，選擇使自身效用最大的用水量。
2. 純策略納許均衡：每位農民的策略都是對另一位農民策略的最佳反應。
3. 帕累托效率：不存在另一個可行配置，使至少一人的效用提高且沒有任何人的效用下降。

本題的關鍵在於，清水效用項為

$$\frac{2}{96-x_1-x_2}.$$

當剩餘水量 $96-x_1-x_2$ 趨近於 $0$ 時，此項會趨近於正無窮大。因此，題目所給的效用函數具有奇異性，導致最佳反應與均衡不存在。

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（i）農民 1 的最佳反應

給定 $x_2$，農民 1 的問題為

$$\max_{x_1} \ u_1(x_1,x_2) = \sqrt{x_1}+\frac{2}{96-x_1-x_2}.$$

由於剩餘水量必須為正，合理的可行範圍為

$$0\le x_1<96-x_2,$$

其中要求 $0\le x_2<96$。

對 $x_1$ 微分：

$$\frac{\partial u_1}{\partial x_1} = \frac{1}{2\sqrt{x_1}} + \frac{2}{(96-x_1-x_2)^2}.$$

在可行範圍內，

$$\frac{1}{2\sqrt{x_1}}>0, \qquad \frac{2}{(96-x_1-x_2)^2}>0,$$

所以

$$\frac{\partial u_1}{\partial x_1}>0.$$

因此，農民 1 的效用會隨著 $x_1$ 增加而嚴格增加。當 $x_1$ 趨近於 $96-x_2$ 時，

$$\lim_{x_1\to (96-x_2)^-} u_1(x_1,x_2) = +\infty.$$

但在 $x_1=96-x_2$ 時，分母為 $0$，效用函數沒有定義。因此不存在一個真正能夠達到最大效用的 $x_1$。

故農民 1 的最佳反應不存在：

$$\boxed{BR_1(x_2)\text{ 不存在，}\quad 0\le x_2<96.}$$

若 $x_2=96$，則剩餘水量已為零，沒有任何符合正剩餘水量的 $x_1$，同樣不存在最佳反應。

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（ii）純策略納許均衡

純策略納許均衡要求

$$x_1^*\in BR_1(x_2^*), \qquad x_2^*\in BR_2(x_1^*).$$

然而，由（i）可知，無論給定何種可行的 $x_2$，農民 1 都沒有最佳反應；對稱地，農民 2 也沒有最佳反應。

本題考驗古諾競爭模型（Cournot Competition）與子賽局完美納許均衡（Subgame-Perfect Nash Equilibrium, SPNE）。題目設定為一個有三個生產相同產品的廠商的市場，他們需要決定產量。

核心觀念：

1. 古諾模型 (Cournot Model)：一種寡占市場模型，其中廠商同時決定產量，並假設其他廠商的產量固定。
2. 最佳反應函數 (Best Response Function)：在古諾模型中，廠商為使其利潤最大化，在假定其他廠商產量固定的情況下所決定的自身產量。
3. 古諾納許均衡 (Cournot Nash Equilibrium)：所有廠商都選擇其最佳反應產量，且沒有廠商能單方面改變產量以增加利潤的策略組合。
4. 子賽局完美納許均衡 (SPNE)：在序貫賽局中，玩家在每個子賽局（包含最後階段的子賽局）都採取最佳策略的納許均衡。這需要使用向後歸納法（backward induction）來求解。

市場設定：

• 廠商數量：3 (Firm 1, Firm 2, Firm 3)
• 產品：相同
• 成本函數：$c_i(q_i) = 2q_i$ (邊際成本 MC = 2)
• 市場逆需求函數：$p = 300 - q_1 - q_2 - q_3$

利潤函數：
廠商 $i$ 的利潤 $\pi_i = (p - MC) q_i = (300 - q_1 - q_2 - q_3 - 2) q_i = (298 - q_1 - q_2 - q_3) q_i$

(i) 在此設定下，所有三個廠商同時決定產量。
(i-1) 給定廠商 2 生產 $q_2$ 且廠商 3 生產 $q_3$，廠商 1 的最佳反應為何？
廠商 1 的利潤函數為：$\pi_1(q_1) = (298 - q_1 - q_2 - q_3) q_1 = 298q_1 - q_1^2 - q_2q_1 - q_3q_1$
為求最大利潤，對 $q_1$ 求一階導數並令其等於零：
$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 298 - 2q_1 - q_2 - q_3 = 0$
$2q_1 = 298 - q_2 - q_3$
$q_1 = \frac{298 - q_2 - q_3}{2} = 149 - \frac{1}{2}q_2 - \frac{1}{2}q_3$
這是廠商 1 的最佳反應函數 $BR_1(q_2, q_3)$。

【答案】(i-1) 廠商 1 的最佳反應函數為 $q_1 = 149 - \frac{1}{2}q_2 - \frac{1}{2}q_3$。

(i-2) 純粹策略納許均衡為何？
在古諾納許均衡中，每個廠商都選擇其最佳反應產量，且其他廠商的產量固定。由於是三個廠商同時決策，且成本函數相同，我們預期對稱的解，即 $q_1 = q_2 = q_3 = q$。
我們需要寫出所有廠商的最佳反應函數：
$BR_1(q_2, q_3) = 149 - \frac{1}{2}q_2 - \frac{1}{2}q_3$
$BR_2(q_1, q_3) = 149 - \frac{1}{2}q_1 - \frac{1}{2}q_3$
$BR_3(q_1, q_2) = 149 - \frac{1}{2}q_1 - \frac{1}{2}q_2$

在對稱均衡中，令 $q_1 = q_2 = q_3 = q$。將此代入任一最佳反應函數，例如 $BR_1$：
$q = 149 - \frac{1}{2}q - \frac{1}{2}q$
$q = 149 - q$
$2q = 149$
$q = \frac{149}{2} = 74.5$

因此，純粹策略納許均衡為 $q_1 = q_2 = q_3 = 74.5$。
總產量 $Q = q_1 + q_2 + q_3 = 3 \times 74.5 = 223.5$。
市場價格 $p = 300 - 223.5 = 76.5$。
每個廠商的利潤 $\pi_i = (p - MC) q_i = (76.5 - 2) \times 74.5 = 74.5 \times 74.5 = 5550.25$。

【答案】(i-2) 純粹策略納許均衡為 $q_1 = q_2 = q_3 = 74.5$。

(ii) 在此設定下，廠商 1 先決定產量 $q_1$。之後，廠商 2 和廠商 3 觀察到 $q_1$ 後，同時決定產量。求子賽局完美納許均衡 (SPNE)。
這是一個序貫賽局，我們需要使用向後歸納法來求解。

階段 2：廠商 2 和廠商 3 的決策 (在廠商 1 決定 $q_1$ 後)
此時，廠商 1 的產量 $q_1$ 已固定。廠商 2 和 3 獨立地決定各自的產量 $q_2$ 和 $q_3$ 以最大化各自的利潤。
廠商 2 的利潤函數（在 $q_1$ 固定下）：
$\pi_2(q_2) = (298 - q_1 - q_2 - q_3) q_2 = 298q_2 - q_1q_2 - q_2^2 - q_3q_2$
對 $q_2$ 求一階導數並令其等於零：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 298 - q_1 - 2q_2 - q_3 = 0$
$2q_2 = 298 - q_1 - q_3$
$q_2 = \frac{298 - q_1 - q_3}{2} = 149 - \frac{1}{2}q_1 - \frac{1}{2}q_3$
這是廠商 2 對於 $q_1$ 和 $q_3$ 的最佳反應函數 $BR_2(q_1, q_3)$。

同理，廠商 3 的利潤函數（在 $q_1$ 固定下）：
$\pi_3(q_3) = (298 - q_1 - q_2 - q_3) q_3 = 298q_3 - q_1q_3 - q_2q_3 - q_3^2$
對 $q_3$ 求一階導數並令其等於零：
$\frac{\partial \pi_3}{\partial q_3} = 298 - q_1 - q_2 - 2q_3 = 0$
$2q_3 = 298 - q_1 - q_2$