114 年國立中山大學經濟學系碩士班《個體經濟學》考古題與詳解

Question 1

Question 1: There is a consumer with a utility function $u(x, y) = x^{1/3}y^{2/3}$ where $x$ is the consumption on good 1 and $y$ is the consumption on good 2. The price for good 1 is $p_1 = 1$ , and the price for good 2 is $p_2 = 2$ . The consumer has an income of 10. Suppose the government imposes a tax on the consumption of good 1 so that the consumer needs to pay 0.5 for every unit of consumption for good 1.
(a) What is the optimal consumption of good 1 and good 2 for this consumer? (15 points)
(b) What is the tax collected by the government? (5 points)

Accepted Answer

本題考驗消費者選擇理論，包含效用最大化問題與稅負分析。

核心觀念：消費者在預算限制下，透過邊際替代率等於價格比，以達成效用最大化。政府課稅會改變相對價格，進而影響消費者選擇與政府稅收。

解題步驟：

Part (a): 消費者最適選擇

辨識預算限制式：
消費者所得為 $I = 10$ 。
好1的價格為 $p_1 = 1$ 。
好2的價格為 $p_2 = 2$ 。
政府對好1課徵每單位 0.5 的從量稅，因此消費者購買每單位好1的實際支出為 $p_1' = p_1 + \text{tax} = 1 + 0.5 = 1.5$ 。
預算線方程式為： $p_1'x + p_2y = I$
即 $1.5x + 2y = 10$ 。
設定效用函數與價格比：
效用函數為 $u(x, y) = x^{1/3}y^{2/3}$ 。
邊際效用分別為：
$MU_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{3}x^{-2/3}y^{2/3}$
$MU_y = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2}{3}x^{1/3}y^{-1/3}$
邊際替代率 (MRS) 為：
$MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{\frac{1}{3}x^{-2/3}y^{2/3}}{\frac{2}{3}x^{1/3}y^{-1/3}} = \frac{1}{2} \frac{y}{x}$ 。
求解效用最大化條件：
效用最大化條件為 $MRS_{xy} = \frac{p_1'}{p_2}$ 。

Question 2

Question 2: A person's utility comes from consumption and leisure. He/she has an endowment of 10 units of money. There is an amount of time, which is 24 hours, that he/she can spend on either work or leisure. The wage is 2 units of money per hour, and the price of consumption is 1 unit of money. His/her utility function is $u(C, L) = \sqrt{CL}$ , where $C$ is the amount of consumption and $L$ is the amount of leisure. This person needs to decide the amount of time spent between work and leisure in order to maximize his/her utility.
(a) Draw the budget line on a graph where the horizontal axis represents leisure, and the vertical axis represents consumption. (8 points)
(b) What is this person's optimal allocation of time between work and leisure? (10 points) What is his/her utility at this allocation? (2 point)

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「勞動—休閒選擇模型」： - 總時間分配為 $$H+L=24,$$ 其中 $H$ 為工作時數，$L$ 為休閒時數。 - 所得由非勞動所得與勞動所得構成： $$C=10+2H,$$ 因消費品價格為 $1$，故貨幣所得全部可購買 $C$ 單位消費。 - 效用函數為 $$u(C,L)=\sqrt{CL}.$$ 由於平方根函數為單調遞增函數，最大化 $\sqrt{CL}$ 等同於最大化 $CL$。 解題方法 先將工作時數以休閒時數表示： $$H=24-L.$$ 代入所得限制式： $$C=10+2H=10+2(24-L)=58-2L.$$ 因此預算線為 $$C+2L=58,$$ 或寫成 $$C=58-2L.$$ 其中： - $L=0$ 時，$C=58$； - $L=24$ 時，$C=10$； - 預算線斜率為 $-2$，代表多增加 $1$ 小時休閒，必須放棄 $2$ 單位消費。 （a）預算線圖形 橫軸為休閒 $L$，縱軸為消費 $C$。預算線連接兩個截距： $$ (0,58),\qquad (24,10). $$ 可表示如下： 預算線方程式為 $$C=58-2L,\qquad 0\leq L\leq 24.$$ （b）最適時間配置與效用 方法一：直接最大化效用 將預算線代入效用函數： $$ u(L)=\sqrt{L(58-2L)}. $$ 因平方根函數單調遞增，改為最大化效用平方： $$ u(L)^2=L(58-2L)=58L-2L^2. $$ 對 $L$ 微分： $$ \frac{d[u(L)^2]}{dL}=58-4L. $$ 令一階導數等於零： $$ 58-4L=0, $$ 因此 $$ L^=14.5. $$ 工作時數為 $$ H^=24-14.5=9.5. $$ 最適消費量為 $$ C^=10+2(9.5)=29. $$ 方法二：無異曲線與預算線相切 邊際效用為

Question 3

Question 3: A monopoly firm faces a market that consists of two groups of consumers. The demand function for the first group of consumers is $D_1(p)$ , and the demand function for the second group of consumers is $D_2(p)$ , where $p$ is the price. If the firm produces $Y$ units of output, then the total cost of production is $5Y$ . The firm sets the same price for both groups of consumers.
(a) Suppose $D_1(p) = 40 - p$ and $D_2(p) = 20 - p$ . What is the profit-maximizing price? (10 points) What is the quantity sold under this price? (5 points)
(b) Suppose $D_1(p) = 40 - p$ and $D_2(p) = 2 - p$ . What is the profit-maximizing price? (10 points) What is the quantity sold under this price? (5 points)

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「單一價格壟斷」的利潤極大化。

由於廠商對兩群消費者收取相同價格 $p$ ，總需求量為兩群需求量的加總：

Q(p)=D_1(p)+D_2(p)

但當某一群的需求函數降為負值時，該群實際需求量應視為 $0$ 。廠商利潤為：

\pi(p)=pQ(p)-C(Q)

題目給定總成本：

C(Y)=5Y

因此邊際成本與平均成本皆為：

MC=AC=5

解題時必須依照不同價格區間寫出總需求，再分別求利潤極大值，最後比較各區間結果。

(a) $D_1(p)=40-p$ ， $D_2(p)=20-p$

第一步：建立分段總需求

第一群消費者在 $p\leq 40$ 時有需求，第二群消費者在 $p\leq 20$ 時有需求。

因此：

區間一： $0\leq p\leq 20$

兩群皆購買：

Q(p)=(40-p)+(20-p)=60-2p

利潤為：

\pi(p)=p(60-2p)-5(60-2p)

整理得：

\pi(p)=(p-5)(60-2p)

\pi(p)=-2p^2+70p-300

對價格微分：

\frac{d\pi}{dp}=-4p+70

令一階導數等於 $0$ ：

-4p+70=0

p=17.5

此價格位於 $0\leq p\leq 20$ ，符合本區間條件。

對應銷售量為：

Q=60-2(17.5)=60-35=25

區間二： $20<p\leq 40$

此時第二群需求為 $0$ ，只有第一群購買：

Q(p)=40-p

利潤為：

\pi(p)=(p-5)(40-p)

\pi(p)=-p^2+45p-200

微分得：

\frac{d\pi}{dp}=-2p+45

令其等於 $0$ ：

-2p+45=0

p=22.5

此價格符合 $20<p\leq 40$ 。

此區間的銷售量為：

Q=40-22.5=17.5

比較各區間利潤

在兩群皆購買的最適價格 $p=17.5$ 下：

\pi=(17.5-5)(25)=312.5

在只有第一群購買的最適價格 $p=22.5$ 下：

\pi=(22.5-5)(17.5)=306.25

由於 $312.5>306.25$ ，因此全體市場的利潤極大值出現在兩群皆購買的區間。

(b) $D_1(p)=40-p$ ， $D_2(p)=2-p$

第一步：建立分段總需求

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Question 4

Question 4: Two players play the following extensive-form game. Player 1 first decides to play $L_1$ or $R_1$ . If he/she plays $L_1$ , the game ends, and if he/she plays $R_1$ , it is player 2's turn. Then, Player 2 decides whether to play $L_2$ or $R_2$ . If Player 2 plays $L_2$ , the game ends, and if he/she plays $R_2$ , its Player 1's turn. Finally, Player 1 decides whether to play $L_3$ or $R_3$ . The game tree is shown in Figure 1. In the game tree, the number on the left in a pair of numbers represents Player 1's payoff, and the number on the right in a pair of numbers represents Player 2's payoff.
Use backward induction to find the subgame-perfect Nash equilibrium. (15 points)
Note that you need to provide some brief reasoning on the backward induction to get full credits.
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

本題考驗賽局理論中的動態賽局分析，特別是尋找子賽局完美納什均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE)。

核心觀念：動態賽局使用反向歸納法 (Backward Induction) 來求解 SPNE。從賽局的最後一步開始，決定該階段的參與者會如何選擇，然後將這些預期的選擇結果向前推進，推導出先前階段的參與者會如何決策。

反向歸納法步驟：

分析賽局的最後一個決策節點：
賽局的最後一個決策節點是 Player 1 在 Player 2 選擇 $R_2$ 之後的決策節點 (節點標示為 '1'，位於 $R_3$ 和 $L_3$ 的上方)。
在這個節點，Player 1 面臨選擇 $L_3$ 或 $R_3$ 。
- 如果 Player 1 選擇 $L_3$ ，Player 1 的支付為 10，Player 2 的支付為 8。
- 如果 Player 1 選擇 $R_3$ ，Player 1 的支付為 9，Player 2 的支付為 10。
  Player 1 為了最大化自己的支付，會選擇 $L_3$ (獲得 10 > 9)。
  因此，在 Player 2 選擇 $R_2$ 的情況下，Player 1 會選擇 $L_3$ 。此時，結果為 (10, 8)。
分析 Player 2 的決策節點：
Player 2 的決策節點位於 Player 1 選擇 $R_1$ 之後，Player 2 決定 $L_2$ 或 $R_2$ (節點標示為 '2'，位於 $L_2$ 和 $R_2$ 的上方)。
Player 2 在做決策時，會預期到 Player 1 在後續節點的反應。
- 如果 Player 2 選擇 $L_2$ ，遊戲結束，Player 1 的支付為 2，Player 2 的支付為 0。
- 如果 Player 2 選擇 $R_2$ ，我們已經從步驟 1 知道，Player 1 會選擇 $L_3$ ，最終結果是 (10, 8)。
  Player 2 為了最大化自己的支付，會比較選擇 $L_2$ 的支付 (0) 和選擇 $R_2$ 後預期的支付 (8)。
  Player 2 會選擇 $R_2$ (獲得 8 > 0)。
  因此，在 Player 1 選擇 $R_1$ 的情況下，Player 2 會選擇 $R_2$ 。
分析賽局的起始決策節點：
這是 Player 1 在賽局開始時的決策節點，他面臨選擇 $L_1$ 或 $R_1$ 。
Player 1 在做決策時，會預期到 Player 2 後續的反應以及自己最後的反應。

Question 5

Question 5: Three players play a simultaneous-move game. Player 1 chooses between U and D. Player 2 chooses between L and R. Player 3 chooses between A and B. Note that all three players make their decisions simultaneously. The payoff matrices are shown in Figure 2. In Figure 2, Player 1 chooses which row to play; Player 2 chooses which column to play; Player 3 chooses which matrix to play. In each cell in the matrices, the number on the left is Player 1's payoff; the number in the middle is Player 2's payoff; the number on the right is Player 3's payoff. (For example, if Player 1 plays U, Player 2 plays L, and Player 3 plays A, then Player 1 gets 3, Player 2 gets 3, and Player 3 gets 10.)
Find all pure-strategy Nash equilibria. You need to provide some brief reasoning on your answer to get the full credits. (15 points)
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 純策略納許均衡是指：在其他玩家策略固定時，任何一位玩家單獨改變策略，都不能提高自己的報酬。三位玩家同時選擇，因此要逐一確認每位玩家的策略都是對另外兩位玩家策略的最佳回應。 解題方法 依圖中報酬，先比較玩家 1、玩家 2 在各矩陣中的最佳回應： - 玩家 1：玩家 2 選 $L$ 時，選 $U$ 的報酬較高；玩家 2 選 $R$ 時，選 $D$ 的報酬較高。這在矩陣 $A$、$B$ 都成立。 - 玩家 2：玩家 1 選 $U$ 時，選 $L$ 的報酬較高；玩家 1 選 $D$ 時，選 $R$ 的報酬較高。這在矩陣 $A$、$B$ 都成立。

114 年國立中山大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

第 1 題

第 2 題

核心觀念

解題方法

（a）預算線圖形

（b）最適時間配置與效用

方法一：直接最大化效用

方法二：無異曲線與預算線相切

第 3 題

核心觀念

(a) $D_1(p)=40-p$ ， $D_2(p)=20-p$

第一步：建立分段總需求

區間一： $0\leq p\leq 20$

區間二： $20<p\leq 40$

比較各區間利潤

(b) $D_1(p)=40-p$ ， $D_2(p)=2-p$

第一步：建立分段總需求

第 4 題

第 5 題

其他考古題

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中山大學《個體經濟學》其他年度

其他學校的經濟系考古題

114 年 國立中山大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

第 1 題

第 2 題

核心觀念

解題方法

（a）預算線圖形

（b）最適時間配置與效用

方法一：直接最大化效用

方法二：無異曲線與預算線相切

第 3 題

核心觀念

(a) D1(p)=40−pD_1(p)=40-pD1​(p)=40−p，D2(p)=20−pD_2(p)=20-pD2​(p)=20−p

第一步：建立分段總需求

區間一：0≤p≤200\leq p\leq 200≤p≤20

區間二：20<p≤4020<p\leq 4020<p≤40

比較各區間利潤

(b) D1(p)=40−pD_1(p)=40-pD1​(p)=40−p，D2(p)=2−pD_2(p)=2-pD2​(p)=2−p

第一步：建立分段總需求

第 4 題

第 5 題

其他考古題

114 年中山大學的其他科目

中山大學《個體經濟學》其他年度

其他學校的經濟系考古題

114 年國立中山大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

(a) $D_1(p)=40-p$ ， $D_2(p)=20-p$

區間一： $0\leq p\leq 20$

區間二： $20<p\leq 40$

(b) $D_1(p)=40-p$ ， $D_2(p)=2-p$