113 年 國立中山大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

這題考驗消費者理論中的效用最大化問題，包含處理具有固定邊際替代率（MRS）或角解（corner solution）的效用函數，以及價格變動下的替代效果與所得效果的分解。

核心觀念：消費者在預算限制下，透過最大化效用函數來決定商品的需求量。對於此題的效用函數 $u(x_1, x_2) = 2\sqrt{x_1} + x_2$，其邊際替代率為 $MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x_1}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{x_1}}$。

(a) 求解 $p_1 = 2$, $p_2 = 1$, $m \ge 2$ 時的 $x_1$ 和 $x_2$ 的需求函數。
此時的預算限制式為 $2x_1 + x_2 = m$。
我們比較 $MRS_{12}$ 與價格比 $\frac{p_1}{p_2}$。
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{1} = 2$。
若要達到內部解（interior solution），需滿足 $MRS_{12} = \frac{p_1}{p_2}$，即 $\frac{1}{\sqrt{x_1}} = 2$，解得 $\sqrt{x_1} = \frac{1}{2}$，故 $x_1 = \frac{1}{4}$。
此時 $x_2 = m - 2x_1 = m - 2(\frac{1}{4}) = m - \frac{1}{2}$。
此解有效的前提是 $x_1 > 0$ 且 $x_2 > 0$。
$x_1 = \frac{1}{4}$ 恆大於 0。
$x_2 = m - \frac{1}{2} > 0$ 意味著 $m > \frac{1}{2}$。
題目給定的條件是 $m \ge 2$，這遠大於 $\frac{1}{2}$，因此消費者會選擇內部解。
所以，當 $p_1 = 2, p_2 = 1, m \ge 2$ 時：
Good 1 的需求函數為 $x_1^*(m) = \frac{1}{4}$。
Good 2 的需求函數為 $x_2^*(m) = m - \frac{1}{2}$。

【答案】Good 1 的需求為 $\frac{1}{4}$；Good 2 的需求為 $m - \frac{1}{2}$。

(b) 求解 $p_1 = 2$, $p_2 = 1$, $0 \le m < 2$ 時的 $x_1$ 和 $x_2$ 的需求函數。
此時價格比 $\frac{p_1}{p_2} = 2$。
我們觀察 $MRS_{12} = \frac{1}{\sqrt{x_1}}$。
若 $x_1$ 越大，則 $MRS_{12}$ 越小。
若 $x_1$ 越小，則 $MRS_{12}$ 越大。
比較 $\frac{p_1}{p_2} = 2$ 與 $MRS_{12}$。
如果我們假設消費者購買 $x_1 > \frac{1}{4}$，則 $MRS_{12} < 2$。此時，消費者會希望減少 $x_1$ 以提高效用，因為他願意支付的 $x_1$ 的邊際價值（MRS）低於市場價格比。
如果我們假設消費者購買 $x_1 < \frac{1}{4}$，則 $MRS_{12} > 2$。此時，消費者會希望增加 $x_1$ 以提高效用，因為他願意支付的 $x_1$ 的邊際價值（MRS）高於市場價格比。
這意味著，如果存在內部解，它必定在 $x_1 = \frac{1}{4}$ 處。
然而，在 $m < 2$ 的情況下，如果我們計算出 $x_1 = \frac{1}{4}$，則 $x_2 = m - 2(\frac{1}{4}) = m - \frac{1}{2}$。
如果 $m < \frac{1}{2}$，則 $x_2$ 會是負數，這是不可行的。
如果 $\frac{1}{2} \le m < 2$，則 $x_2 = m - \frac{1}{2} \ge 0$。
我們需要考慮角解（corner solution）。
比較 $MRS_{12}$ 與 $\frac{p_1}{p_2}$。
當 $x_1$ 趨近於 0 時，$MRS_{12}$ 趨近於無限大。此時 $MRS_{12} > \frac{p_1}{p_2}$。
當 $x_1$ 趨近於 $\frac{m}{p_1} = \frac{m}{2}$ (此時 $x_2=0$) 時，$MRS_{12} = \frac{1}{\sqrt{m/2}}$。
我們比較 $\frac{1}{\sqrt{x_1}}$ 與 $2$。
如果 $MRS_{12} > \frac{p_1}{p_2}$，消費者會傾向於多消費 $x_1$。
如果 $MRS_{12} < \frac{p_1}{p_2}$，消費者會傾向於少消費 $x_1$。

我們來檢視 $x_1 = 0$ 的情況。此時 $x_2 = m$。效用為 $u(0, m) = m$。
我們來檢視 $x_2 = 0$ 的情況。此時 $x_1 = \frac{m}{2}$。效用為 $u(\frac{m}{2}, 0) = 2\sqrt{\frac{m}{2}} = \sqrt{2m}$。
比較 $m$ 與 $\sqrt{2m}$。
若 $m > 2$，則 $m > \sqrt{2m}$。例如 $m=4$， $4 > \sqrt{8} \approx 2.82$。
若 $0 < m < 2$，則 $m < \sqrt{2m}$。例如 $m=1$， $1 < \sqrt{2} \approx 1.41$。
若 $m=2$，則 $m = \sqrt{2m} = 2$。

在 $m < 2$ 的情況下：
如果 $m < \frac{1}{2}$ (這包含了 $m=0$ 的情況)，則 $x_1 = \frac{m}{2}$ 且 $x_2 = 0$。這是因為如果消費者消費任何 $x_2 > 0$，則 $x_1$ 必須減少，這會導致效用下降。
$x_1 = \frac{m}{2}$, $x_2 = 0$。
效用為 $u(\frac{m}{2}, 0) = 2\sqrt{\frac{m}{2}} = \sqrt{2m}$。
若在此情況下消費 $x_2 > 0$，則 $x_1$ 必須減少，例如消費 $x_1 = \frac{m}{2} - \delta$。
此時 $MRS_{12}$ 在 $x_1 = \frac{m}{2}$ 時是多少？ $MRS_{12} = \frac{1}{\sqrt{m/2}} = \sqrt{\frac{2}{m}}$。
當 $m < \frac{1}{2}$ 時，$\sqrt{\frac{2}{m}} > \sqrt{\frac{2}{1/2}} = \sqrt{4} = 2$。
因為 $MRS_{12} > \frac{p_1}{p_2} = 2$，消費者會願意用 $x_2$ 來交換 $x_1$。
所以，當 $m < \frac{1}{2}$ 時，解是 $x_1 = \frac{m}{2}$ 且 $x_2 = 0$。

如果 $\frac{1}{2} \le m < 2$，則 $x_1 = \frac{1}{4}$ 且 $x_2 = m - \frac{1}{2}$。
這是因為在 $x_1 = \frac{1}{4}$ 時， MRS = 2。
如果 $x_1 < \frac{1}{4}$，則 $MRS > 2$。
如果 $x_1 > \frac{1}{4}$，則 $MRS < 2$。
在 $\frac{1}{2} \le m < 2$ 的情況下，如果我們設定 $x_1 = \frac{1}{4}$，則 $x_2 = m - \frac{1}{2} \ge 0$。
此時 $MRS_{12} = \frac{1}{\sqrt{1/4}} = \frac{1}{1/2} = 2 = \frac{p_1}{p_2}$。
這是內部解。
所以，當 $\frac{1}{2} \le m < 2$ 時：
Good 1 的需求函數為 $x_1^*(m) = \frac{1}{4}$。
Good 2 的需求函數為 $x_2^*(m) = m - \frac{1}{2}$。

總結 (b) 小題：
當 $0 \le m < \frac{1}{2}$ 時： $x_1^*(m) = \frac{m}{2}$, $x_2^*(m) = 0$。
當 $\frac{1}{2} \le m < 2$ 時： $x_1^*(m) = \frac{1}{4}$, $x_2^*(m) = m - \frac{1}{2}$。

【答案】當 $0 \le m < \frac{1}{2}$ 時，Good 1 的需求為 $\frac{m}{2}$，Good 2 的需求為 $0$。當 $\frac{1}{2} \le m < 2$ 時，Good 1 的需求為 $\frac{1}{4}$，Good 2 的需求為 $m - \frac{1}{2}$。

(c) 繪製 $p_1 = 2$, $p_2 = 1$ 時的恩格爾曲線（Engel curve）。
恩格爾曲線描繪的是在商品價格固定時，某商品的需求量與所得之間的關係。

核心觀念

本題考察：

• 最佳回應（best response）
• 純策略 Nash equilibrium
• 混合策略 Nash equilibrium
• 支配策略的判斷

支付矩陣中，每一格格式為「玩家 A 的支付，玩家 B 的支付」。

（a）玩家 B 選擇 $R$ 時，玩家 A 的最佳回應

當玩家 B 選擇 $R$：

• 玩家 A 選 $T$，支付為 $0$
• 玩家 A 選 $D$，支付為 $0$

因此兩種策略帶來相同支付，玩家 A 的最佳回應為：

$$BR_A(R)=\{T,D\}$$

（b）純策略 Nash 均衡

第一步：找出玩家 A 的最佳回應

逐欄比較玩家 A 的支付：

• 若 B 選 $L$：$5>2$，所以 A 選 $T$
• 若 B 選 $M$：$6>3$，所以 A 選 $D$
• 若 B 選 $R$：$0=0$，所以 A 可選 $T$ 或 $D$

因此：

$$BR_A(L)=T,\qquad BR_A(M)=D,\qquad BR_A(R)=\{T,D\}$$

第二步：找出玩家 B 的最佳回應

逐列比較玩家 B 的支付：

• 若 A 選 $T$：$5>2>1$，所以 B 選 $L$
• 若 A 選 $D$：$6>3>0$，所以 B 選 $M$

因此：

$$BR_B(T)=L,\qquad BR_B(D)=M$$

第三步：找最佳回應交集

• $(T,L)$：A 對 $L$ 的最佳回應是 $T$，B 對 $T$ 的最佳回應是 $L$
• $(D,M)$：A 對 $M$ 的最佳回應是 $D$，B 對 $D$ 的最佳回應是 $M$

所以純策略 Nash 均衡為：

$$\boxed{(T,L)\text{ 與 }(D,M)}$$

（c）混合策略 Nash 均衡

先排除策略 $R$

對玩家 B 而言：

• A 選 $T$ 時，選 $L$ 得 $5$，選 $R$ 得 $1$
• A 選 $D$ 時，選 $L$ 得 $3$，選 $R$ 得 $0$

因此 $L$ 嚴格支配 $R$，玩家 B 在均衡中不會使用 $R$：

$$\Pr(R)=0$$

設：

核心觀念

本題考查「價格領導模型」：

• Firm 1 為價格領導者，先決定市場價格 $p$。

• Firm 2 為價格追隨者，在給定價格 $p$ 下選擇產量 $q_2$ 以極大化利潤。

• 兩家廠商販售同質產品且價格相同，因此市場總需求為兩家產量總和：

  $q_1+q_2=D(p)=10-p.$

解題順序為：

1. 先求 Firm 2 的最適產量反應。
2. 由市場總需求扣除 $q_2$，求 Firm 1 的剩餘需求。
3. 建立 Firm 1 的利潤函數。
4. 極大化 Firm 1 利潤以決定價格。

---

(a) 給定 $p$，Firm 2 的最適產量

Firm 2 的收益為 $pq_2$，成本為：

$C_2(q_2)=\frac{1}{2}q_2^2.$

因此利潤函數為：

$\pi_2=pq_2-\frac{1}{2}q_2^2.$

對 $q_2$ 微分：

$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2}=p-q_2.$

令一階條件等於零：

$p-q_2=0,$

因此：

$q_2=p.$

二階導數為：

$\frac{\partial^2\pi_2}{\partial q_2^2}=-1<0,$

故此產量確實使 Firm 2 的利潤達到極大。

因此，Firm 2 的供給反應函數為：

$\boxed{q_2(p)=p}.$

若考慮產量不可為負，完整寫法為 $q_2(p)=\max\{p,0\}$；本題均衡價格為正，故直接使用 $q_2=p$。

---

(b) 給定 $q_2$，Firm 1 的需求

市場總需求為：

$D(p)=10-p.$

由於兩家廠商的總銷售量必須等於市場需求：

$q_1+q_2=10-p.$

移項可得 Firm 1 的剩餘需求：

$q_1=10-p-q_2.$

再代入 Firm 2 在 (a) 的最適反應 $q_2=p$：

$q_1(p)=10-p-p=10-2p.$

因此，Firm 1 的需求函數為：

$\boxed{q_1(p)=10-2p}.$

這表示 Firm 2 的產量越高，Firm 1 能銷售的剩餘需求越少。

---

(c) Firm 1 的利潤函數

Firm 1 的收益為：

$pq_1.$

其成本為：

$C_1(q_1)=2q_1.$

因此利潤為：

這題考驗空間經濟學中的霍特林模型（Hotelling model）變形，結合了消費者剩餘、運輸成本和企業定價策略。假設消費者均勻分佈在長度為 1 的線上，且每位消費者購買一件商品。

Firm 1 位於 $x=0$，價格為 $p_1$。
Firm 2 位於 $x=1$，價格為 $p_2$。
生產單位商品的成本為 $c=2$。
消費者位於位置 $x \in [0, 1]$。
消費者從 Firm 1 購買的效用為 $U_1(x) = v - x^2 - p_1$。
消費者從 Firm 2 購買的效用為 $U_2(x) = v - (1-x)^2 - p_2$。
題目假設所有消費者都會購買商品，這意味著對於任何 $x \in [0, 1]$， $\max(U_1(x), U_2(x)) \ge 0$。

(a) 尋找在 Firm 1 和 Firm 2 之間無差異的消費者位置 $x^*$。
這位消費者對兩家公司的效用是相同的：$U_1(x^*) = U_2(x^*)$。
$v - (x^*)^2 - p_1 = v - (1-x^*)^2 - p_2$
$-(x^*)^2 - p_1 = -(1-x^*)^2 - p_2$
$(1-x^*)^2 - (x^*)^2 = p_1 - p_2$
$(1 - 2x^* + (x^*)^2) - (x^*)^2 = p_1 - p_2$
$1 - 2x^* = p_1 - p_2$
$2x^* = 1 - (p_1 - p_2) = 1 - p_1 + p_2$
$x^* = \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。

這個 $x^*$ 是介於 0 和 1 之間的點。
如果 $x^* < 0$，表示所有消費者都偏好 Firm 2。
如果 $x^* > 1$，表示所有消費者都偏好 Firm 1。
通常，在均衡價格下，$x^*$ 應該在 $(0,1)$ 之間。

【答案】$x^* = \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。

(b) 寫出 Firm 1 和 Firm 2 的需求函數 (作為 $p_1, p_2$ 的函數)。
消費者的密度是 1。
Firm 1 的客戶來自位於 $x=0$ 到 $x=x^*$ 的消費者。
Firm 1 的需求量 $D_1$ 是這段區間的消費者數量。
$D_1 = \int_0^{x^*} 1 dx = x^* = \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。

Firm 2 的客戶來自位於 $x=x^*$ 到 $x=1$ 的消費者。
Firm 2 的需求量 $D_2$ 是這段區間的消費者數量。
$D_2 = \int_{x^*}^1 1 dx = 1 - x^* = 1 - \frac{1 - p_1 + p_2}{2} = \frac{2 - (1 - p_1 + p_2)}{2} = \frac{1 + p_1 - p_2}{2}$。

注意：這裡假設 $x^*$ 落在 $(0,1)$ 之間。
如果 $p_1$ 很高，Firm 1 的需求可能為 0。如果 $p_2$ 很高，Firm 2 的需求可能為 0。
例如，如果 $1 - p_1 + p_2 < 0$ (即 $p_1 > 1+p_2$)，則 $x^* < 0$，所有消費者都偏好 Firm 2。 Firm 1 的需求為 0。
如果 $1 - p_1 + p_2 > 2$ (即 $p_2 - p_1 > 1$)，則 $x^* > 1$，所有消費者都偏好 Firm 1。 Firm 2 的需求為 0。
然而，題目說 "Suppose p₁ and p₂ are such that every consumer would purchase one unit of the goods from one of the firms." 這意味著 $x^*$ 應該在 $[0, 1]$ 之間。

【答案】Firm 1 的需求 $D_1(p_1, p_2) = \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。 Firm 2 的需求 $D_2(p_1, p_2) = \frac{1 + p_1 - p_2}{2}$。

(c) 寫出 Firm 1 和 Firm 2 的利潤函數 (作為 $p_1, p_2$ 的函數)。
邊際成本 $c=2$。
Firm 1 的利潤 $\pi_1 = (p_1 - c) \cdot D_1 = (p_1 - 2) \cdot \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。

這題考驗消費者理論中的效用最大化問題，包含處理具有固定邊際替代率（MRS）或角解（corner solution）的效用函數，以及價格變動下的替代效果與所得效果的分解。

核心觀念：消費者在預算限制下，透過最大化效用函數來決定商品的需求量。對於此題的效用函數 $u(x_1, x_2) = 2\sqrt{x_1} + x_2$，其邊際替代率為 $MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x_1}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{x_1}}$。

(a) 求解 $p_1 = 2$, $p_2 = 1$, $m \ge 2$ 時的 $x_1$ 和 $x_2$ 的需求函數。
此時的預算限制式為 $2x_1 + x_2 = m$。
我們比較 $MRS_{12}$ 與價格比 $\frac{p_1}{p_2}$。
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{1} = 2$。
若要達到內部解（interior solution），需滿足 $MRS_{12} = \frac{p_1}{p_2}$，即 $\frac{1}{\sqrt{x_1}} = 2$，解得 $\sqrt{x_1} = \frac{1}{2}$，故 $x_1 = \frac{1}{4}$。
此時 $x_2 = m - 2x_1 = m - 2(\frac{1}{4}) = m - \frac{1}{2}$。
此解有效的前提是 $x_1 > 0$ 且 $x_2 > 0$。
$x_1 = \frac{1}{4}$ 恆大於 0。
$x_2 = m - \frac{1}{2} > 0$ 意味著 $m > \frac{1}{2}$。
題目給定的條件是 $m \ge 2$，這遠大於 $\frac{1}{2}$，因此消費者會選擇內部解。
所以，當 $p_1 = 2, p_2 = 1, m \ge 2$ 時：
Good 1 的需求函數為 $x_1^*(m) = \frac{1}{4}$。
Good 2 的需求函數為 $x_2^*(m) = m - \frac{1}{2}$。

【答案】Good 1 的需求為 $\frac{1}{4}$；Good 2 的需求為 $m - \frac{1}{2}$。

(b) 求解 $p_1 = 2$, $p_2 = 1$, $0 \le m < 2$ 時的 $x_1$ 和 $x_2$ 的需求函數。
此時價格比 $\frac{p_1}{p_2} = 2$。
我們觀察 $MRS_{12} = \frac{1}{\sqrt{x_1}}$。
若 $x_1$ 越大，則 $MRS_{12}$ 越小。
若 $x_1$ 越小，則 $MRS_{12}$ 越大。
比較 $\frac{p_1}{p_2} = 2$ 與 $MRS_{12}$。
如果我們假設消費者購買 $x_1 > \frac{1}{4}$，則 $MRS_{12} < 2$。此時，消費者會希望減少 $x_1$ 以提高效用，因為他願意支付的 $x_1$ 的邊際價值（MRS）低於市場價格比。
如果我們假設消費者購買 $x_1 < \frac{1}{4}$，則 $MRS_{12} > 2$。此時，消費者會希望增加 $x_1$ 以提高效用，因為他願意支付的 $x_1$ 的邊際價值（MRS）高於市場價格比。
這意味著，如果存在內部解，它必定在 $x_1 = \frac{1}{4}$ 處。
然而，在 $m < 2$ 的情況下，如果我們計算出 $x_1 = \frac{1}{4}$，則 $x_2 = m - 2(\frac{1}{4}) = m - \frac{1}{2}$。
如果 $m < \frac{1}{2}$，則 $x_2$ 會是負數，這是不可行的。
如果 $\frac{1}{2} \le m < 2$，則 $x_2 = m - \frac{1}{2} \ge 0$。
我們需要考慮角解（corner solution）。
比較 $MRS_{12}$ 與 $\frac{p_1}{p_2}$。
當 $x_1$ 趨近於 0 時，$MRS_{12}$ 趨近於無限大。此時 $MRS_{12} > \frac{p_1}{p_2}$。
當 $x_1$ 趨近於 $\frac{m}{p_1} = \frac{m}{2}$ (此時 $x_2=0$) 時，$MRS_{12} = \frac{1}{\sqrt{m/2}} = \sqrt{\frac{2}{m}}$。
我們比較 $\frac{1}{\sqrt{x_1}}$ 與 $2$。
如果 $MRS_{12} > \frac{p_1}{p_2}$，消費者會傾向於多消費 $x_1$。
如果 $MRS_{12} < \frac{p_1}{p_2}$，消費者會傾向於少消費 $x_1$。

我們來檢視 $x_1 = 0$ 的情況。此時 $x_2 = m$。效用為 $u(0, m) = m$。
我們來檢視 $x_2 = 0$ 的情況。此時 $x_1 = \frac{m}{2}$。效用為 $u(\frac{m}{2}, 0) = 2\sqrt{\frac{m}{2}} = \sqrt{2m}$。
比較 $m$ 與 $\sqrt{2m}$。
若 $m > 2$，則 $m > \sqrt{2m}$。例如 $m=4$， $4 > \sqrt{8} \approx 2.82$。
若 $0 < m < 2$，則 $m < \sqrt{2m}$。例如 $m=1$， $1 < \sqrt{2} \approx 1.41$。
若 $m=2$，則 $m = \sqrt{2m} = 2$。

在 $m < 2$ 的情況下：
如果 $m < \frac{1}{2}$ (這包含了 $m=0$ 的情況)，則 $x_1 = \frac{m}{2}$ 且 $x_2 = 0$。這是因為如果消費者消費任何 $x_2 > 0$，則 $x_1$ 必須減少，這會導致效用下降。
$x_1 = \frac{m}{2}$, $x_2 = 0$。
效用為 $u(\frac{m}{2}, 0) = 2\sqrt{\frac{m}{2}} = \sqrt{2m}$。
若在此情況下消費 $x_2 > 0$，則 $x_1$ 必須減少，例如消費 $x_1 = \frac{m}{2} - \delta$。
此時 $MRS_{12}$ 在 $x_1 = \frac{m}{2}$ 時是多少？ $MRS_{12} = \frac{1}{\sqrt{m/2}} = \sqrt{\frac{2}{m}}$。
當 $m < \frac{1}{2}$ 時，$\sqrt{\frac{2}{m}} > \sqrt{\frac{2}{1/2}} = \sqrt{4} = 2$。
因為 $MRS_{12} > \frac{p_1}{p_2} = 2$，消費者會願意用 $x_2$ 來交換 $x_1$。
所以，當 $m < \frac{1}{2}$ 時，解是 $x_1 = \frac{m}{2}$ 且 $x_2 = 0$。

如果 $\frac{1}{2} \le m < 2$，則 $x_1 = \frac{1}{4}$ 且 $x_2 = m - \frac{1}{2}$。
這是因為在 $x_1 = \frac{1}{4}$ 時， MRS = 2。
如果 $x_1 < \frac{1}{4}$，則 $MRS > 2$。
如果 $x_1 > \frac{1}{4}$，則 $MRS < 2$。
在 $\frac{1}{2} \le m < 2$ 的情況下，如果我們設定 $x_1 = \frac{1}{4}$，則 $x_2 = m - \frac{1}{2} \ge 0$。
此時 $MRS_{12} = \frac{1}{\sqrt{1/4}} = \frac{1}{1/2} = 2 = \frac{p_1}{p_2}$。
這是內部解。
所以，當 $\frac{1}{2} \le m < 2$ 時：
Good 1 的需求函數為 $x_1^*(m) = \frac{1}{4}$。
Good 2 的需求函數為 $x_2^*(m) = m - \frac{1}{2}$。

總結 (b) 小題：
當 $0 \le m < \frac{1}{2}$ 時： $x_1^*(m) = \frac{m}{2}$, $x_2^*(m) = 0$。
當 $\frac{1}{2} \le m < 2$ 時： $x_1^*(m) = \frac{1}{4}$, $x_2^*(m) = m - \frac{1}{2}$。

核心觀念

本題考查「價格領導模型」：

• Firm 1 為價格領導者，先決定市場價格 $p$。

• Firm 2 為價格追隨者，在給定價格 $p$ 下選擇產量 $q_2$ 以極大化利潤。

• 兩家廠商販售同質產品且價格相同，因此市場總需求為兩家產量總和：

  $q_1+q_2=D(p)=10-p.$

解題順序為：

1. 先求 Firm 2 的最適產量反應。
2. 由市場總需求扣除 $q_2$，求 Firm 1 的剩餘需求。
3. 建立 Firm 1 的利潤函數。
4. 極大化 Firm 1 利潤以決定價格。

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(a) 給定 $p$，Firm 2 的最適產量

Firm 2 的收益為 $pq_2$，成本為：

$C_2(q_2)=\frac{1}{2}q_2^2.$

因此利潤函數為：

$\pi_2=pq_2-\frac{1}{2}q_2^2.$

對 $q_2$ 微分：

$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2}=p-q_2.$

令一階條件等於零：

$p-q_2=0,$

因此：

$q_2=p.$

二階導數為：

$\frac{\partial^2\pi_2}{\partial q_2^2}=-1<0,$

故此產量確實使 Firm 2 的利潤達到極大。

因此，Firm 2 的供給反應函數為：

$\boxed{q_2(p)=p}.$

若考慮產量不可為負，完整寫法為 $q_2(p)=\max\{p,0\}$；本題均衡價格為正，故直接使用 $q_2=p$。

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(b) 給定 $q_2$，Firm 1 的需求

市場總需求為：

$D(p)=10-p.$

由於兩家廠商的總銷售量必須等於市場需求：

$q_1+q_2=10-p.$

移項可得 Firm 1 的剩餘需求：

$q_1=10-p-q_2.$

再代入 Firm 2 在 (a) 的最適反應 $q_2=p$：

$q_1(p)=10-p-p=10-2p.$

因此，Firm 1 的需求函數為：

$\boxed{q_1(p)=10-2p}.$

這表示 Firm 2 的產量越高，Firm 1 能銷售的剩餘需求越少。

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(c) Firm 1 的利潤函數

Firm 1 的收益為：

$pq_1.$

其成本為：

$C_1(q_1)=2q_1.$

因此利潤為：

這題考驗空間經濟學中的霍特林模型（Hotelling model）變形，結合了消費者剩餘、運輸成本和企業定價策略。假設消費者均勻分佈在長度為 1 的線上，且每位消費者購買一件商品。

Firm 1 位於 $x=0$，價格為 $p_1$。
Firm 2 位於 $x=1$，價格為 $p_2$。
生產單位商品的成本為 $c=2$。
消費者位於位置 $x \in [0, 1]$。
消費者從 Firm 1 購買的效用為 $U_1(x) = v - x^2 - p_1$。
消費者從 Firm 2 購買的效用為 $U_2(x) = v - (1-x)^2 - p_2$。
題目假設所有消費者都會購買商品，這意味著對於任何 $x \in [0, 1]$， $\max(U_1(x), U_2(x)) \ge 0$。

(a) 尋找在 Firm 1 和 Firm 2 之間無差異的消費者位置 $x^*$。
這位消費者對兩家公司的效用是相同的：$U_1(x^*) = U_2(x^*)$。
$v - (x^*)^2 - p_1 = v - (1-x^*)^2 - p_2$
$-(x^*)^2 - p_1 = -(1-x^*)^2 - p_2$
$(1-x^*)^2 - (x^*)^2 = p_1 - p_2$
$(1 - 2x^* + (x^*)^2) - (x^*)^2 = p_1 - p_2$
$1 - 2x^* = p_1 - p_2$
$2x^* = 1 - (p_1 - p_2) = 1 - p_1 + p_2$
$x^* = \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。

這個 $x^*$ 是介於 0 和 1 之間的點。
如果 $x^* < 0$，表示所有消費者都偏好 Firm 2。
如果 $x^* > 1$，表示所有消費者都偏好 Firm 1。
通常，在均衡價格下，$x^*$ 應該在 $(0,1)$ 之間。

【答案】$x^* = \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。

(b) 寫出 Firm 1 和 Firm 2 的需求函數 (作為 $p_1, p_2$ 的函數)。
消費者的密度是 1。
Firm 1 的客戶來自位於 $x=0$ 到 $x=x^*$ 的消費者。
Firm 1 的需求量 $D_1$ 是這段區間的消費者數量。
$D_1 = \int_0^{x^*} 1 dx = x^* = \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。

Firm 2 的客戶來自位於 $x=x^*$ 到 $x=1$ 的消費者。
Firm 2 的需求量 $D_2$ 是這段區間的消費者數量。
$D_2 = \int_{x^*}^1 1 dx = 1 - x^* = 1 - \frac{1 - p_1 + p_2}{2} = \frac{2 - (1 - p_1 + p_2)}{2} = \frac{1 + p_1 - p_2}{2}$。

注意：這裡假設 $x^*$ 落在 $(0,1)$ 之間。
如果 $p_1$ 很高，Firm 1 的需求可能為 0。如果 $p_2$ 很高，Firm 2 的需求可能為 0。
例如，如果 $1 - p_1 + p_2 < 0$ (即 $p_1 > 1+p_2$)，則 $x^* < 0$，所有消費者都偏好 Firm 2。 Firm 1 的需求為 0。
如果 $1 - p_1 + p_2 > 2$ (即 $p_2 - p_1 > 1$)，則 $x^* > 1$，所有消費者都偏好 Firm 1。 Firm 2 的需求為 0。
然而，題目說 "Suppose p₁ and p₂ are such that every consumer would purchase one unit of the goods from one of the firms." 這意味著 $x^*$ 應該在 $[0, 1]$ 之間。

【答案】Firm 1 的需求 $D_1(p_1, p_2) = \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。 Firm 2 的需求 $D_2(p_1, p_2) = \frac{1 + p_1 - p_2}{2}$。

(c) 寫出 Firm 1 和 Firm 2 的利潤函數 (作為 $p_1, p_2$ 的函數)。
邊際成本 $c=2$。
Firm 1 的利潤 $\pi_1 = (p_1 - c) \cdot D_1 = (p_1 - 2) \cdot \frac{1 - p_1 + p_2}{2}$。