112 年 國立中山大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

納許均衡是指：在其他玩家策略固定時，沒有玩家能藉由單方面改變策略提高自己的報酬。此題的報酬順序為「玩家 1、玩家 2」。

在策略組合 $(T,L)$，檢查兩項偏離條件：

• 玩家 1 改選 $D$：比較 $e$ 與 $a$。
• 玩家 2 改選 $R$：比較 $d$ 與 $b$。

因此，$(T,L)$ 為納許均衡的條件是 $a \geq e$ 且 $b \geq d$。

在策略組合 $(D,R)$，檢查兩項偏離條件：

• 玩家 1 改選 $T$：比較 $c$ 與 $g$。
• 玩家 2 改選 $L$：比較 $f$ 與 $h$。

因此，$(D,R)$ 為納許均衡的條件是 $g \geq c$ 且 $h \geq f$。

解題方法

逐一檢查每個選項提供的報酬比較，是否剛好涉及該策略組合下的單方面偏離。只有偏離後、且對應玩家自己的報酬，才能直接判斷該玩家是否有誘因改變策略。

選項分析

(A) 錯誤。 在 $(T,L)$，玩家 1 偏離至 $D$ 時比較的是 $e$ 與 $a$。條件 $c>a$ 比較的是玩家 1 在選擇 $T$、玩家 2 選擇 $R$ 時的報酬，不能判定玩家在 $(T,L)$ 是否願意偏離。

核心觀念：逆向選擇與市場均衡

這題考的是二手車市場的「檸檬問題」：賣方知道車子的品質，買方看不出個別車子的品質，只能依照市場上待售車輛的品質比例估算價值。

買方對待售車輛的平均估值為：

$$\text{平均估值} = \frac{\text{高品質車數}\times 3500+\text{低品質車數}\times 1500} {\text{待售車總數}}$$

賣方只有在成交價格不低於自己對車子的估值時才願意出售：高品質車的保留價格是 3000 美元，低品質車是 1000 美元。

解題方法：先判斷哪些車會進入市場

若高、低品質車都待售，買方估值為：

$$\frac{100\times3500+100\times1500}{200}=2500$$

但 2500 美元低於高品質車賣方的保留價格 3000 美元，因此高品質車賣方不願出售。高品質車退出市場後，待售車只剩低品質車，買方對車子的估值便降為 1500 美元。

本題考驗個體經濟學中的消費者理論，包含效用最大化問題、需求函數推導、史拉茨基替代效果與所得效果的計算，以及稅賦對消費選擇的影響。

核心觀念：
消費者在預算限制下，追求效用最大化。

基本模型：
最大化 $u(x_1, x_2)$
受限於 $p_1 x_1 + p_2 x_2 \le m$

Part (A): 劣等替代品 (Perfect Substitutes)

效用函數：$u(x_1, x_2) = x_1 + x_2$
預算限制：$p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$
假設：$p_1 < p_2$

此效用函數代表兩種商品是完全替代品，邊際替代率 (MRS) 為常數：
$MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} = \frac{1}{1} = 1$

消費者會在兩種極端情況下做選擇：

1. 購買商品 1： 如果商品 1 相對於商品 2 更便宜，消費者會將所有預算花在商品 1 上。
   比較相對價格與 MRS：若 $\frac{p_1}{p_2} < MRS_{12}$，即 $\frac{p_1}{p_2} < 1$ (或 $p_1 < p_2$)，則消費者認為商品 1 更划算，會選擇只購買商品 1。
   此時，需求函數為：
   $x_1 = \frac{m}{p_1}$
   $x_2 = 0$

2. 購買商品 2： 如果商品 2 相對於商品 1 更便宜，消費者會將所有預算花在商品 2 上。
   比較相對價格與 MRS：若 $\frac{p_1}{p_2} > MRS_{12}$，即 $\frac{p_1}{p_2} > 1$ (或 $p_1 > p_2$)，則消費者認為商品 2 更划算，會選擇只購買商品 2。
   此時，需求函數為：
   $x_1 = 0$
   $x_2 = \frac{m}{p_2}$

3. 兩者皆購買： 如果相對價格等於 MRS，即 $\frac{p_1}{p_2} = MRS_{12}$ (或 $p_1 = p_2$)，則消費者對這兩種商品沒有偏好差異，任何組合都能達到相同的效用。在這種情況下，預算線上的任何組合 $(x_1, x_2)$ 都是最佳選擇，只要 $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$。

題目假設 $p_1 < p_2$。
由於 $p_1 < p_2$，且 $MRS_{12} = 1$，所以 $\frac{p_1}{p_2} < 1 = MRS_{12}$。
這表示商品 1 相對於商品 2 是更划算的。消費者會將所有預算花費在商品 1 上。

因此，需求函數為：
$x_1^*(p_1, p_2, m) = \frac{m}{p_1}$
$x_2^*(p_1, p_2, m) = 0$

【答案】
需求函數為：$x_1 = \frac{m}{p_1}$, $x_2 = 0$。

Part (C): 柯布-道格拉斯效用函數 (Cobb-Douglas Utility Function)

效用函數：$u(x_1, x_2) = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$
預算限制：$p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$
參數：$p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $m = 10$

對於柯布-道格拉斯效用函數 $u(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b$，其需求函數為：
$x_1^*(p_1, p_2, m) = \frac{a}{a+b} \frac{m}{p_1}$
$x_2^*(p_1, p_2, m) = \frac{b}{a+b} \frac{m}{p_2}$

在此題中，$a = 1/2$, $b = 1/2$。所以 $a+b = 1$。
$x_1^*(p_1, p_2, m) = \frac{1/2}{1/2+1/2} \frac{m}{p_1} = \frac{1}{2} \frac{m}{p_1}$
$x_2^*(p_1, p_2, m) = \frac{1/2}{1/2+1/2} \frac{m}{p_2} = \frac{1}{2} \frac{m}{p_2}$

將參數代入：
$p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $m = 10$
$x_1^*(2, 3, 10) = \frac{1}{2} \frac{10}{2} = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5$
$x_2^*(2, 3, 10) = \frac{1}{2} \frac{10}{3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.667$

【答案】
需求函數為：$x_1 = \frac{m}{2p_1}$, $x_2 = \frac{m}{2p_2}$。

核心觀念

本題考查獨占廠商在兩個分離市場中的利潤極大化。由於兩市場的需求不同，但生產成本取決於總產量 $y_1+y_2$，因此兩市場共用同一個邊際成本。

利潤函數為：

$$\pi(y_1,y_2)=p(y_1)y_1+p(y_2)y_2-c(y_1,y_2)$$

各市場的邊際收益分別為：

$$MR_1=\frac{d}{dy_1}\left[(2-y_1)y_1\right]=2-2y_1$$ $$MR_2=\frac{d}{dy_2}\left[(3-y_2)y_2\right]=3-2y_2$$

總成本為：

$$c(y_1,y_2)=(y_1+y_2)^2$$

因此，兩市場增加一單位產量所增加的邊際成本相同：

$$MC_1=MC_2=\frac{\partial c}{\partial y_1} =\frac{\partial c}{\partial y_2} =2(y_1+y_2)$$

利潤極大化的條件是各市場的邊際收益均等於共同的邊際成本：

$$MR_1=MC,\qquad MR_2=MC$$

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解題方法與計算

利潤函數可直接寫成：

$$\pi(y_1,y_2) =(2-y_1)y_1+(3-y_2)y_2-(y_1+y_2)^2$$

分別對 $y_1$ 與 $y_2$ 微分。

對 $y_1$：

$$\frac{\partial \pi}{\partial y_1} =2-2y_1-2(y_1+y_2)=0$$

整理得：

$$4y_1+2y_2=2$$

亦即：

$$2y_1+y_2=1 \tag{1}$$

對 $y_2$：

$$\frac{\partial \pi}{\partial y_2} =3-2y_2-2(y_1+y_2)=0$$

整理得：

$$2y_1+4y_2=3 \tag{2}$$

由式 $(1)$ 得：

$$y_2=1-2y_1$$

代入式 $(2)$：

本題考驗產業組織理論中的進入賽局（Entry Game）與動態賽局（Dynamic Game），包含史特克伯賽局（Stackelberg Game）、納許均衡（Nash Equilibrium）的應用，以及訊息不對稱下的策略選擇。

基本設定：

• 廠商 1 (Firm 1)：現存廠商（Incumbent）。
• 廠商 2 (Firm 2)：潛在進入者（Potential Entrant）。
• 產品：同質性產品。
• 成本：兩家廠商的生產成本均為零 ($c(y_1)=0$, $c(y_2)=0$)。
• 市場需求：反向需求函數 $p(Y) = 10 - Y$，其中 $Y = y_1 + y_2$。
• 進入成本：Firm 2 進入市場需支付固定成本 $E = 3$。

賽局流程：

1. Firm 2 決定是否進入市場 (Enter / No Entry)。
2. 若 Firm 2 選擇進入 (Enter)：
   • Firm 1 決定是否抵抗 (Fight / Not Fight)。
   • 若 Firm 1 不抵抗 (Not Fight)：進入者 (Firm 2) 是追隨者，現存者 (Firm 1) 是領導者。此為史特克伯賽局。
   • 若 Firm 1 抵抗 (Fight)：Firm 1 固定產量 $y_1 = 7$。Firm 2 則在此情況下，選擇利潤最大化的產量 $y_2$。
3. 若 Firm 2 選擇不進入 (No Entry)：Firm 1 單獨生產，並選擇利潤最大化的產量 $y_1^*$。

Part (A): Firm 1 Leader, Firm 2 Follower (Stackelberg Model)

此情況為 Firm 2 進入，Firm 1 不抵抗。

• 廠商 1 是領導者 (Leader)，決定 $y_1$ 以最大化其利潤。
• 廠商 2 是追隨者 (Follower)，在觀察到 $y_1$ 後，決定 $y_2$ 以最大化其利潤。

步驟 1：找到追隨者 (Firm 2) 的反應函數 (Reaction Function)。
Firm 2 的利潤為 $\pi_2 = p(Y) y_2 - c(y_2) - E$ (考慮進入成本 E)。
由於 $c(y_2) = 0$，且 $p(Y) = 10 - (y_1 + y_2)$：
$\pi_2 = (10 - y_1 - y_2) y_2 - 3$
Firm 2 的目標是最大化 $\pi_2$ 對於 $y_2$ 的函數，將 $y_1$ 視為固定。
$\frac{\partial \pi_2}{\partial y_2} = \frac{\partial}{\partial y_2} (10y_2 - y_1 y_2 - y_2^2 - 3)$
$\frac{\partial \pi_2}{\partial y_2} = 10 - y_1 - 2y_2$
令一階導數為零：
$10 - y_1 - 2y_2 = 0$
$2y_2 = 10 - y_1$
$y_2^R(y_1) = \frac{10 - y_1}{2}$ 這是 Firm 2 的反應函數。
注意，這個反應函數只在 $\pi_2 > 0$ 時有意義，即 $(10 - y_1) y_2 - 3 > 0$。
代入 $y_2 = (10-y_1)/2$: $(10-y_1) \frac{10-y_1}{2} - 3 > 0 \implies \frac{(10-y_1)^2}{2} > 3 \implies (10-y_1)^2 > 6$。
這意味著 $10-y_1 > \sqrt{6}$ (因為 $y_1 < 10$)，所以 $y_1 < 10 - \sqrt{6} \approx 10 - 2.45 = 7.55$。

步驟 2：找到領導者 (Firm 1) 的最佳產量。
Firm 1 知道 Firm 2 的反應函數 $y_2^R(y_1)$，因此將其代入自己的利潤函數。
Firm 1 的利潤為 $\pi_1 = p(Y) y_1 - c(y_1)$。
$Y = y_1 + y_2^R(y_1) = y_1 + \frac{10 - y_1}{2} = \frac{2y_1 + 10 - y_1}{2} = \frac{10 + y_1}{2}$
$\pi_1 = (10 - Y) y_1 = (10 - \frac{10 + y_1}{2}) y_1 = (\frac{20 - 10 - y_1}{2}) y_1 = (\frac{10 - y_1}{2}) y_1 = \frac{10y_1 - y_1^2}{2}$
Firm 1 的目標是最大化 $\pi_1$ 對於 $y_1$ 的函數。
$\frac{d \pi_1}{dy_1} = \frac{10 - 2y_1}{2} = 5 - y_1$
令一階導數為零：
$5 - y_1 = 0 \implies y_1 = 5$。

步驟 3：計算兩家公司的產量和利潤。
Firm 1 的領導者產量：$y_1 = 5$。
Firm 2 的追隨者產量（根據 Firm 1 的產量）：
$y_2 = \frac{10 - y_1}{2} = \frac{10 - 5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$。
總產量：$Y = y_1 + y_2 = 5 + 2.5 = 7.5$。
市場價格：$p = 10 - Y = 10 - 7.5 = 2.5$。

Firm 1 的利潤：
$\pi_1 = p \times y_1 - c(y_1) = 2.5 \times 5 - 0 = 12.5$。

Firm 2 的利潤：
$\pi_2 = p \times y_2 - c(y_2) - E = 2.5 \times 2.5 - 0 - 3 = 6.25 - 3 = 3.25$。
請注意，此處計算的 $y_2$ 是 Firm 2 的反應函數，它假設 Firm 2 能夠獲利。由於 $\pi_2 = 3.25 > 0$，所以 Firm 2 確實會進入。

【答案】
Firm 1 的利潤為 $12.5$，Firm 2 的利潤為 $3.25$。

Part (B): Firm 1 Fights, Firm 2 Responds