112 年 國立中山大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

本題考驗通貨膨脹率的計算。物價指數的變動率即為通貨膨脹率。

解題步驟如下：

1. 計算2020年至2021年的通貨膨脹率：
   通貨膨脹率 = $\frac{\text{物價指數}_{2021} - \text{物價指數}_{2020}}{\text{物價指數}_{2020}} \times 100\% = \frac{110 - 100}{100} \times 100\% = 10\%$。
   這表示2021年的物價指數比2020年上漲了10%。

本題考驗對總體經濟學中不同類型失業的理解。

首先，我們需要定義各種失業的類型：

• 自然失業率 (Natural Rate of Unemployment)：指在沒有週期性波動的情況下，經濟體系中存在的最低失業率。它是由結構性和摩擦性失業所組成。
• 摩擦性失業 (Frictional Unemployment)：指勞動者在尋找新工作或在不同工作之間轉換時所產生的失業。這是勞動市場正常運作的一部分。

核心觀念

本題考「存款創造」與「存款乘數」。

在人民不持有通貨、銀行不保留超額準備的條件下，銀行收到存款後，會將法定準備以外的資金全部貸出。貸款資金又會重新存回銀行，形成一連串存款創造。

存款乘數公式為：

$$\text{存款乘數}=\frac{1}{\text{法定存款準備率}}$$

法定存款準備率為 $10\%=0.1$，因此：

$$\text{存款乘數}=\frac{1}{0.1}=10$$

解題方法

最初存入銀行的金額為 5000 元，銀行必須保留：

$$5000\times 10\%=500$$

其餘金額可貸出：

$$5000-500=4500$$

這 4500 元貸出後，會被借款人存回銀行。銀行再保留其中的 10%，並貸出剩餘金額，形成後續存款：

$$5000+4500+4050+3645+\cdots$$

這是一個首項為 5000、公共比為 $0.9$ 的無窮等比級數，因此總存款增加額為：

$$\text{總存款增加額} =\frac{5000}{1-0.9} =\frac{5000}{0.1} =50000$$

也可直接利用存款乘數計算：

本題考驗貨幣政策與財政政策同時變動時，對利率與所得的影響。我們可以使用 IS-LM 模型來分析。

模型設定：

• IS 曲線：代表產品市場的均衡，表示利率 (R) 與所得 (Y) 之間的關係。IS 曲線向下傾斜。
  $Y = C(Y-T) + I(R) + G$
• LM 曲線：代表貨幣市場的均衡，表示利率 (R) 與所得 (Y) 之間的關係。LM 曲線向上傾斜。
  $\frac{M}{P} = L(Y, R)$

題目給定的政策變動：

1. 中央銀行增加貨幣供給 ($M \uparrow$)：這會使 LM 曲線向右移動。在任何給定的所得水平下，利率會下降。
2. 政府減少支出 ($G \downarrow$)：這會使 IS 曲線向左移動。在任何給定的利率水平下，所得會下降。

現在我們分析這兩個變動同時發生時，對均衡利率 (R*) 和均衡所得 (Y*) 的影響：

本題考驗對國際收支帳中經常帳和資本帳的理解，以及匯率管制對其的影響。

首先，我們需要定義經常帳和資本帳：

• 經常帳 (Current Account)：記錄一國與外國在商品、服務、所得轉移和單方面移轉等交易的收支。

  • 商品貿易 (Merchandise Trade)
  • 服務貿易 (Services Trade)
  • 所得 (Income)
  • 經常移轉 (Current Transfers)
    經常帳赤字意味著進口>出口，或支付給外國的所得/移轉>從外國收到的。

• 資本帳 (Capital Account)：記錄資產（如股票、債券、不動產）所有權的轉移，以及其他非生產性實體資產（如專利權、版權）的交易。在現代國際收支帳統計中，資本帳通常與金融帳 (Financial Account) 合併討論，統稱為資本與金融帳。這裡題目可能指的是傳統意義上的資本帳，或是更廣泛的資本與金融帳。我們假設是指廣義的資本與金融帳，它記錄了資產的買賣。
  資本帳赤字（或金融帳順差）意味著該國購買的外國資產多於外國購買該國資產。

題目中的限制措施：

1. 禁止國人出國觀光：旅遊屬於服務貿易。禁止出國觀光意味著減少了國人在外國的消費，這會減少服務貿易的逆差（或增加順差）。
2. 留學生出國唸書最多只能結匯3000美金：這限制了個人將本國貨幣兌換成外國貨幣用於留學的金額。留學支出（學費、生活費）屬於服務貿易的一部分，結匯的限制也影響了資本的流出。

我們來分析這些措施對經常帳和資本帳的影響：

本題考驗對經濟成長模型中「收斂假說」(Convergence Hypothesis) 的理解，特別是 Solow-Swan 模型中的穩態分析。

收斂假說認為，在其他條件相同的情況下，較貧窮的國家（即人均資本量較低的國家）的成長速度會比較富裕的國家快，最終會趨於相同的穩態人均所得水平。

在 Solow-Swan 模型中，人均資本 ($k$) 的穩態水平 ($k^*$) 決定了穩態人均產出 ($y^*$)，進而決定了穩態人均所得。穩態的條件是人均資本的變動為零：
$\Delta k = sf(k) - (n+d)k = 0$
其中：

• $s$ 是儲蓄率
• $f(k)$ 是人均生產函數 (例如 $f(k) = k^\alpha$)
• $n$ 是人口成長率（或勞動力成長率）
• $d$ 是折舊率

穩態人均資本 $k^*$ 取決於 $s, n, d$ 以及生產函數的形式。穩態人均產出 $y^* = f(k^*)$。

我們來分析各選項：

(A) 假若各國的人口成長率和期初資本量相同,就算儲蓄率不同,最終收斂的每人所得仍相同
- 人口成長率 ($n$) 和期初資本量 ($k_0$) 相同。
- 儲蓄率 ($s$) 不同。
- 穩態的 $k^*$ 由 $sf(k^*) = (n+d)k^*$ 決定。如果 $s$ 不同，那麼 $k^*$ 也會不同。
- 因為 $y^* = f(k^*)$，如果 $k^*$ 不同，那麼 $y^*$ 也會不同。
- 所以，這個說法是錯誤的。

核心觀念

本題考查固定匯率制度下，官方匯率與均衡匯率的比較，以及中央銀行為維持固定匯率所進行的外匯市場干預。

令匯率 $E$ 表示「1 美元可兌換的新台幣數量」：

$$E=\frac{\text{新台幣}}{\text{美元}}$$

題目設定：

• 固定匯率：$E_f=40$
• 均衡匯率：$E^*=25$

因此，固定匯率下美元價格為每美元 40 元，高於市場均衡價格每美元 25 元。這代表美元被官方定價得較昂貴，新台幣相對被低估。

在外匯市場中，新台幣被低估會使：

• 台灣出口品相對便宜，出口增加；
• 外國人購買台灣商品時，需要提供美元；
• 台灣進口品相對昂貴，進口減少；
• 美元流入增加，外匯市場出現美元超額供給。

為維持 $1$ 美元兌 $40$ 元新台幣的固定匯率，中央銀行必須買進市場上的超額美元，並支付新台幣。

$$\text{中央銀行買進美元} \Rightarrow \text{新台幣投放增加} \Rightarrow \text{貨幣供給增加}$$

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解題方法

先比較官方匯率與均衡匯率：

$$40>25$$

因為匯率的單位是「新台幣／美元」，$E$ 越高代表美元越貴、新台幣越便宜。因此固定匯率 $40$ 高於均衡匯率 $25$，表示新台幣被低估。

接著判斷外匯市場的供需：

1. 新台幣被低估，台灣商品相對便宜，出口增加。
2. 出口商收到美元後，會在外匯市場供給美元、換回新台幣。
3. 進口因新台幣低估而相對昂貴，進口減少，美元需求下降。
4. 因此市場上出現美元超額供給。
5. 中央銀行買進超額供給的美元，以支撐美元價格、維持固定匯率。
6. 中央銀行買美元時釋出新台幣，使貨幣供給增加。

故正確敘述是「中央銀行吸收外匯市場上的超額供給」，但貨幣供給的結果是增加，不是減少。

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選項分析

(A) 若均衡匯率比為 25:1，本國貨幣被低估

正確。

本題考驗對總體經濟學中「排擠效果」(Crowding-out Effect) 的理解。

排擠效果是指政府增加支出（例如擴張性財政政策）時，可能會導致民間部門的某些經濟活動受到抑制或減少。

我們來分析各選項：

• 乘數效果 (Multiplier Effect)：指初始的支出增加（如政府支出增加）通過連鎖反應，導致總所得增加的倍數效應。這通常是擴張性財政政策的正面效應。
• 替代效果 (Substitution Effect)：在微觀經濟學中，指當某商品價格上漲時，消費者會轉向購買相對價格較低的替代品。在總體經濟學中，也可以指某些政策導致一種經濟活動被另一種經濟活動所替代。

本題考驗對「勞動力」(Labor Force) 定義的理解。

在總體經濟學中，勞動力通常被定義為：
勞動力 = 就業人數 (Employed) + 失業人數 (Unemployed)

• 就業人數：指年滿一定年齡（通常是15歲或16歲以上），在統計期間內（例如一週）有從事有給薪工作，或正在休假、因故暫時離開工作但預期會回去工作的人。
• 失業人數：指年滿一定年齡，沒有工作，但積極尋找工作，並且在統計期間內可立即上班的人。

現在我們逐一分析選項：
(A) 正在就讀經濟研究所的學生：
- 如果這些學生沒有積極尋找工作，並且沒有工作，他們就不屬於勞動力。
- 如果他們是全職學生，通常不被計入勞動力。
- 除非他們同時在找工作，或者有兼職工作。
- 一般情況下，全職學生不屬於勞動力。

本題考驗對總體經濟學中不同乘數（包括財政乘數、消費乘數、投資乘數等）的理解，特別是封閉經濟與開放經濟、是否考慮政府部門、以及稅率對乘數的影響。

我們需要找出描述錯誤的選項。

首先，回顧乘數的原理：乘數的大小通常與漏出項（如儲蓄、稅收、進口）的邊際傾向成反比。漏出項越多，乘數越小。

我們逐一分析各選項：

(A) 在封閉體系下政府財政政策會比開放體系下的財政政策來的有效
- 封閉經濟 (Closed Economy)：財政政策（如政府支出增加）的乘數較大，因為漏出項只有儲蓄。
- 開放經濟 (Open Economy)：財政政策除了考慮儲蓄漏出，還會考慮進口（即邊際進口傾向）。進口是額外的漏出項。
- 因此，在開放經濟體系下，由於存在進口漏出，財政政策的乘數通常會比封閉經濟體系下（只考慮儲蓄漏出）來得小。
- 所以，封閉體系下的財政政策「比開放體系下的財政政策來的有效」（指乘數較大，對所得影響較大），這個說法是正確的。

(B) 在封閉體系且不考慮政府部門下,自發性消費乘數等於邊際儲蓄傾向的倒數
- 在一個最簡單的封閉經濟模型，沒有政府（無稅收）且無對外貿易，只有消費和投資。
- 消費函數：$C = a + bY$，其中 $b$ 是邊際消費傾向 (MPC)。
- 儲蓄函數：$S = Y - C = Y - (a + bY) = -a + (1-b)Y$。
- 邊際儲蓄傾向 (MPS) = $1-b$。
- 自發性消費（如 $a$）的乘數是指，自發性消費變動 1 單位，對總所得 $Y$ 的變動。
- 在這種簡單模型中，所得 $Y$ 的均衡由 $Y = C + I = a + bY + I_0$ 決定（其中 $I_0$ 是自發性投資）。
- $Y(1-b) = a + I_0$
- $Y = \frac{1}{1-b}(a+I_0)$
- 自發性消費 $a$ 的乘數是 $\frac{1}{1-b}$。
- 邊際儲蓄傾向 (MPS) 是 $1-b$。
- 因此，自發性消費乘數等於邊際儲蓄傾向的倒數。
- 這個說法是正確的。

核心觀念

本題考查「流動性陷阱」下，延伸凱因斯模型的貨幣市場與 IS–LM 分析。

流動性陷阱是指利率已降至極低水準時，大眾預期利率未來上升、債券價格下跌，因此寧願持有貨幣，不願增加債券持有量。此時貨幣需求對利率極為敏感，貨幣需求曲線呈水平線。

貨幣市場均衡條件為：

$$\frac{M}{P}=L(Y,i)$$

其中：

• $\frac{M}{P}$：實質貨幣供給
• $L(Y,i)$：實質貨幣需求
• $Y$：所得或產出
• $i$：利率

在流動性陷阱區域，貨幣需求對利率的敏感度趨近無限大，因此利率固定在極低水準，LM 線呈水平線。

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解題方法

判斷本題可分成兩個步驟：

1. 判斷流動性陷阱下 LM 線與貨幣需求線的形狀。
2. 分析貨幣政策與財政政策對產出的效果，以及財政政策是否產生投資排擠。

在一般 IS–LM 模型中：

• 貨幣政策：增加貨幣供給，使 LM 線右移，通常造成利率下降、產出增加。
• 財政政策：增加政府支出，使 IS 線右移，通常造成利率上升、產出增加，並可能排擠民間投資。

但在流動性陷阱中，LM 線為水平線。此時貨幣供給增加只會被大眾吸收為閒置現金，利率與產出均不變；政府支出增加則能直接擴大總需求，而且利率不會上升，因此不會產生投資排擠效果。

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選項分析

(A) 貨幣政策對於產出完全無效

正確。

流動性陷阱時，利率已處於極低水準，貨幣需求對利率具有無限大的敏感度。中央銀行增加貨幣供給後，大眾會增加現金餘額，新增貨幣無法進一步壓低利率。

由於利率不下降，投資不增加，IS 曲線上的產出也不會擴張。因此，貨幣政策對產出的效果為零：

$$\frac{\Delta Y}{\Delta M}=0$$

須注意，「完全無效」是指對產出無效，並非指貨幣供給增加後完全沒有任何貨幣市場效果；增加的貨幣仍會被吸收為閒置貨幣餘額。

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(B) 財政政策對於產出完全無效

錯誤。

流動性陷阱時，財政政策反而特別有效。政府支出增加會使 IS 曲線右移；由於 LM 曲線為水平線，利率維持在極低水準，產出便會增加。

本題考驗對國際收支與匯率變動的關係。台幣升值意味著新台幣相對於外國貨幣（例如美元）價值上升，即需要較少的新台幣可以兌換相同數量的外國貨幣。

匯率的變動主要受外匯市場供需關係影響。

• 外匯的超額需求 (Excess Demand for Foreign Currency) 會導致本國貨幣貶值，外國貨幣升值。
• 外匯的超額供給 (Excess Supply of Foreign Currency) 會導致本國貨幣升值，外國貨幣貶值。

國際收支帳的各項餘額會影響外匯市場的供需。

• 經常帳順差 (Current Account Surplus)：表示本國出口大於進口，或從國外獲得的所得/移轉大於支付給國外的。出口會帶來外匯收入（外匯供給增加），進口會導致外匯支出（外匯需求增加）。經常帳順差意味著外匯的淨流入，即外匯供給大於需求。
• 資本帳順差 (Capital Account Surplus)：表示本國從國外獲得的資產（如外國投資者購買本國股票、債券、不動產）大於本國對國外資產的投資。外國投資者購買本國資產，需要將外幣換成本幣，這會增加本國貨幣的需求，同時增加外匯的供給。資本帳順差意味著外匯的淨流入。
• 國際收支盈餘 (Balance of Payments Surplus)：通常指經常帳和資本帳（或金融帳）的總和為正。這意味著整體上外匯的淨流入大於淨流出。

現在分析各選項：

(A) 國際收支盈餘
- 國際收支盈餘意味著整體外匯的淨流入大於淨流出。
- 這會導致外匯市場上出現超額供給。
- 外匯超額供給會導致本國貨幣（台幣）升值。
- 這個說法是正確的。

(B) 經常帳與資本帳皆發生赤字
- 經常帳赤字：外匯需求大於供給，導致外匯淨流出。
- 資本帳赤字：外匯需求大於供給，導致外匯淨流出。
- 兩者皆赤字意味著整體上外匯的淨流出。
- 這會導致外匯市場上出現超額需求。
- 外匯超額需求會導致本國貨幣（台幣）貶值。
- 這個說法是錯誤的。

(C) 經常帳與資本帳皆發生盈餘
- 經常帳盈餘：外匯淨流入。
- 資本帳盈餘：外匯淨流入。
- 兩者皆盈餘意味著整體上外匯的淨流入。
- 這會導致外匯市場上出現超額供給。
- 外匯超額供給會導致本國貨幣（台幣）升值。
- 這個說法是正確的。

本題考驗對總合供給曲線 (Aggregate Supply Curve, AS) 的斜率的理解，特別是短期總合供給曲線 (Short-Run Aggregate Supply, SRAS) 的正斜率與長期總合供給曲線 (Long-Run Aggregate Supply, LRAS) 的垂直性。

• 長期總合供給曲線 (LRAS)：通常被認為是垂直的，代表潛在產出水平（或充分就業產出水平），不受物價水平影響。這假設所有價格和工資都是完全彈性的，能夠快速調整以反映供需變化。
• 短期總合供給曲線 (SRAS)：通常具有正斜率，表示物價水平上升時，企業傾向於增加產出，反之亦然。這是因為在短期內，某些價格（尤其是工資）可能不是完全彈性的，或者存在資訊不對稱。

我們需要找出使 SRAS 曲線具有正斜率的原因。

分析各選項：
(A) 發生古典不一致
- 「古典不一致」(Classical Dichotomy) 指名目變數（如物價）與實質變數（如產出、就業）在長期是分離的。這通常與古典學派的觀點相關，認為經濟會自動趨向充分就業，且 LRAS 是垂直的。這個概念本身並不能解釋 SRAS 的正斜率。

(B) 發生停滯性通貨膨脹 (Stagflation)
- 停滯性通貨膨脹是指經濟同時出現高失業率（停滯）和高通貨膨脹（通貨膨脹）。
- 這通常是由於負面的供給衝擊（如油價飆升）引起的，導致總合供給曲線向左移動。
- 這會使物價上漲，產出下降。這是一個經濟現象，而不是 SRAS 斜率的原因。

(C) 廠商與勞工簽訂契約工資
- 在短期內，工資合同 (Wage Contracts) 常常是預先設定的，並且不能根據當前的物價水平立即調整。
- 當物價水平 (P) 上升時，企業的產品售價提高，但名目工資 (W) 在短期內保持不變（或調整緩慢）。
- 這意味著實質工資 ($W/P$) 下降。
- 實質工資下降會降低企業的生產成本，從而提高企業的利潤，鼓勵企業增加產出。

核心觀念

本題考查「引進預期的 Phillips 曲線」。在失業率為橫軸、通貨膨脹率為縱軸時，短期 Phillips 曲線可表示為：

$$\pi=\pi^e-\alpha(u-u_n),\qquad \alpha>0$$

其中：

• $\pi$：實際通貨膨脹率
• $\pi^e$：預期通貨膨脹率
• $u$：實際失業率
• $u_n$：自然失業率

整理得：

$$\pi=\left(\pi^e+\alpha u_n\right)-\alpha u$$

因此：

1. $\pi^e$ 增加，短期 Phillips 曲線整條向上平移。
2. 貨幣供給改變若不影響 $\pi^e$，只會造成曲線上的移動。
3. 長期中，預期會調整至正確，即 $\pi^e=\pi$，此時：

$$\pi=\pi-\alpha(u-u_n)$$

所以：

$$u=u_n$$

長期 Phillips 曲線為通過自然失業率的垂直線。

解題方法

判斷各選項時，先區分「曲線平移」與「沿著曲線移動」：

• 預期通貨膨脹率改變：短期 Phillips 曲線平移。
• 貨幣供給增加但預期不變：實際通貨膨脹率上升、失業率下降，沿著既有短期 Phillips 曲線移動。
• 長期預期正確：實際通膨率與預期通膨率相同，失業率固定為自然失業率。

選項分析

(A) 正確

由短期 Phillips 曲線：

$$\pi=\pi^e-\alpha(u-u_n)$$

當民眾的預期通貨膨脹率 $\pi^e$ 增加時，在每一個失業率 $u$ 下，實際通貨膨脹率 $\pi$ 都會提高。因此短期 Phillips 曲線向上平移。

(B) 錯誤

本題考驗總合供需 (Aggregate Demand, AD) 與總合供給 (Aggregate Supply, AS) 模型，以及貨幣政策和財政政策對均衡物價水平和均衡產出的影響。

均衡物價水平 (P) 和均衡產出 (Y) 是由 AD 和 AS 曲線的交點決定的。

• 總合需求曲線 (AD)：描述了經濟體對商品和服務的總需求量與物價水平之間的關係。AD 曲線向下傾斜。AD 的變動（移動）會影響均衡物價和產出。
  AD = C + I + G + NX
• 總合供給曲線 (AS)：
  • 短期總合供給曲線 (SRAS)：向上傾斜，表示物價上漲時，企業傾向於增加產出。
  • 長期總合供給曲線 (LRAS)：垂直於潛在產出水平。

要使均衡物價上漲，需要：

1. AD 曲線右移（其他條件不變）。
2. SRAS 曲線左移（其他條件不變）。
3. AD 右移與 SRAS 左移同時發生，且 AD 右移的影響大於 SRAS 左移的影響（或 AD 右移，SRAS 不變）。

我們逐一分析各選項對 AD 和 AS 的影響：

(A) 政府支出增加
- 政府支出 (G) 是總合需求 (AD) 的組成部分。
- $G \uparrow$ → $AD \uparrow$ (AD 曲線右移)。
- AD 右移會導致均衡物價水平 P 上漲，均衡產出 Y 上漲。
- 這個選項會導致均衡物價上漲。

(B) 央行進行公開市場操作,買進公債
- 公開市場操作買進公債是擴張性貨幣政策。
- 央行買進公債 → 釋放基礎貨幣 → 貨幣供給增加 ($M \uparrow$)。

本題的核心觀念為**連續時間索羅模型（Continuous-Time Solow Growth Model）搭配固定替代彈性生產函數（CES Production Function）**的動態演變與穩態分析。解題關鍵在於利用人口成長率與資本折舊率導出平均每人資本的動態方程式（微分方程式），並利用穩態下平均每人資本變化率為零（$\dot{k}=0$）的條件，對 CES 生產函數進行代數運算以解出穩態平均每人資本 $k^*$。

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(1) 求解人均資本動態方程式 $\frac{dk}{dt} = \dot{k}$

步驟一：將總體 CES 生產函數轉換為人均生產函數（Per-worker Production Function）

題目給定的總體生產函數為 CES 型態：
$Y=[\alpha K^\sigma + (1-\alpha) N^\sigma]^{\frac{1}{\sigma}}$

定義人均資本為 $k=\frac{K}{N}$，人均產出為 $y=\frac{Y}{N}$。將總體生產函數同除以 worker 數量 $N$：
$y=\frac{Y}{N}=\frac{[\alpha K^\sigma + (1-\alpha) N^\sigma]^{\frac{1}{\sigma}}}{N}=\left[\frac{\alpha K^\sigma + (1-\alpha) N^\sigma}{N^\sigma}\right]^{\frac{1}{\sigma}}=\left[\alpha \left(\frac{K}{N}\right)^\sigma + (1-\alpha)\right]^{\frac{1}{\sigma}}$
因此，人均生產函數為：
$y=[\alpha k^\sigma + (1-\alpha)]^{\frac{1}{\sigma}}$

步驟二：對人均資本 $k$ 對時間 $t$ 求微分（動態累積鏈鎖律）

根據定義 $k=\frac{K}{N}$，對時間 $t$ 微分可得：
$\dot{k}=\frac{d}{dt}\left(\frac{K}{N}\right)=\frac{\dot{K}N - K\dot{N}}{N^2}=\frac{\dot{K}}{N} - \frac{K}{N}\frac{\dot{N}}{N}$

根據題目設定：

1. 資本累積累積動態：$\dot{K}=I - dK = sY - dK$（其中 $s$ 為儲蓄率，$d$ 為折舊率）。
2. 人口成長率：$\frac{\dot{N}}{N}=n$。

將上述關係式代入 $\dot{k}$：
$\dot{k}=\frac{sY - dK}{N} - n k = s\left(\frac{Y}{N}\right) - d k - n k = s y - (n+d)k$

步驟三：代入人均生產函數

將人均生產函數 $y=[\alpha k^\sigma + (1-\alpha)]^{\frac{1}{\sigma}}$ 代入上式：

本題考查的核心觀念為**跨期消費選擇模型（Two-period Intertemporal Consumption Model）與歐拉方程式（Euler Equation）**的推導。題目給定個體具備常數相對風險趨避（CRRA）特性的跨期效用函數以及平滑的期別所得，要求求解最適消費決策的一階條件，並進一步導出個體在第一期成為淨儲蓄者（Saver）時，市場實質利率與主觀時間偏好折現因子之間的相應不等式關係。

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解題過程

1. 推導跨期消費最適化條件 (3)

個體追求兩期總效用極大化，其限制條件為兩期消費現值等於兩期所得現值。最適化問題設定如下：

$\max_{C_0, C_1} U(C_0, C_1) = \frac{C_0^{1-\sigma}-1}{1-\sigma} + \beta \frac{C_1^{1-\sigma}-1}{1-\sigma}$
$\text{s.t. } C_0 + \frac{C_1}{1+r} = Y \left( 1 + \frac{1}{1+r} \right)$

建立拉格朗日函數（Lagrangian）：

$\mathcal{L}(C_0, C_1, \lambda) = \frac{C_0^{1-\sigma}-1}{1-\sigma} + \beta \frac{C_1^{1-\sigma}-1}{1-\sigma} + \lambda \left[ Y \left( 1 + \frac{1}{1+r} \right) - C_0 - \frac{C_1}{1+r} \right]$

分別對當期消費 $C_0$ 與未來消費 $C_1$ 一階偏微分，並設其等於零：

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_0} = C_0^{-\sigma} - \lambda = 0 \implies C_0^{-\sigma} = \lambda$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_1} = \beta C_1^{-\sigma} - \frac{\lambda}{1+r} = 0 \implies \beta (1+r) C_1^{-\sigma} = \lambda$

本題考查開放經濟 IS-LM 模型的總體經濟比較靜態分析（Comparative Statics）與全微分法（Total Differentiation）。核心觀念包含：透過商品市場均衡條件進行全微分以求解 IS 曲線在 $(Y, R)$ 平面上的斜率，以及結合商品市場與貨幣市場均衡式，運用克萊姆法則（Cramer's Rule）推導貨幣供給量變動對總產出 $Y$ 的擴張效果（貨幣政策乘數）。

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(5) IS 曲線斜率的推導

解題步驟：

1. 建立商品市場均衡條件：
   將稅收函數 $T = T_0 + tY$ 代入總需求式中，商品市場均衡條件可寫為：
   $Y = C(Y - T_0 - tY) + I(R) + G + X - IM(Y)$

2. 對均衡式進行全微分（Total Differentiation）：
   為了求得 IS 曲線的斜率，假設外生變數（政府支出 $G$、外生稅收 $T_0$、出口 $X$）維持不變（即 $dG = 0, dT_0 = 0, dX = 0$），對內生變數 $Y$ 與 $R$ 進行全微分：
   $dY = C_{Y-T} \cdot (1 - t) dY + I_R dR - IM_Y dY$
   其中：

   • $C_{Y-T} = \frac{dC}{d(Y-T)} \in (0, 1)$ 為可支配所得的邊際消費傾向（MPC）。
   • $I_R = \frac{dI}{dR} < 0$ 為投資對利率的敏感度。
   • $IM_Y = \frac{dIM}{dY} > 0$ 為邊際進口傾向（MPI）。

3. 移項整理求取斜率 $\frac{dR}{dY}\Big|_{IS}$：
   將包含 $dY$ 的項移至等號左邊：
   $[1 - C_{Y-T}(1 - t) + IM_Y] dY = I_R dR$
   因此，IS 曲線在以 $Y$ 為橫軸、$R$ 為縱軸的平面上，其斜率為：
   $\frac{dR}{dY}\Big|_{IS} = \frac{1 - C_{Y-T}(1 - t) + IM_Y}{I_R}$

理論符號判斷：
由於 $0 < C_{Y-T} < 1$ 且 $0 < t < 1$，故 $0 < C_{Y-T}(1-t) < 1$，分子 $1 - C_{Y-T}(1 - t) + IM_Y > 0$；而分母 $I_R < 0$，故 IS 曲線斜率小於零（負斜率）。

【答案】
(5) 的填空答案為：$\frac{1 - C_{Y-T}(1 - t) + IM_Y}{I_R}$

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(6) 貨幣供給增加對產出的效果（貨幣政策乘數）

解題步驟：

1. 建立 IS-LM 線性微分方程組：
   • 商品市場（IS 曲線微分式）：
     $[1 - C_{Y-T}(1 - t) + IM_Y] dY - I_R dR = 0$
   • 貨幣市場（LM 曲線微分式）：
     貨幣市場均衡條件為 $\frac{M}{P} = L(Y, R)$。在價格水準 $P$ 固定下（$dP = 0$），對內生變數進行全微分：

核心觀念

本題要用貨幣流通速度與數量方程式，判讀疫情前後的通膨變化，並區分貨幣因素與短期供需衝擊。

貨幣流通速度定義為名目 GDP 除以貨幣供給：

$$V=\frac{PY}{M}$$

數量方程式為：

$$MV=PY$$

取成長率後，可近似寫成：

$$\pi \approx \mu_M+g_V-g_Y$$

其中 $\pi$ 是物價通膨率，$\mu_M$ 是貨幣供給成長率，$g_V$ 是貨幣流通速度成長率，$g_Y$ 是實質產出成長率。此關係說明，貨幣供給、貨幣流通速度與實質產出都會影響物價；不能只看貨幣供給一項。

解題方法

圖的橫軸是 2018 年第 1 季至 2022 年第 3 季；上圖縱軸為 CPI 年成長率（百分比），下圖縱軸為以名目 GDP 除以 M1 衡量的流通速度。CPI 在 2020 年第 2 季降至約 0.5%，之後上升，2022 年約達 8% 至 9%；M1 流通速度則從疫情前約 5.5，於 2020 年第 2 季降至約 1.5，此後大致維持在 1.1 至 1.3。

解讀 M1 流通速度的驟降時，必須先注意統計口徑變動。聯準會自 2020 年 5 月起將儲蓄存款納入 M1，造成 M1 統計序列出現斷點，並使 M1 增加約 11.2 兆美元；M2 則不因此改變。聯準會 H.6 技術問答 因此，2020 年第 2 季以後 $GDP/M1$ 的大幅下跌，包含分母因統計分類擴大而機械性增加的效果，不能全解釋為民眾突然減少消費或貨幣流通變慢。