114 年 國立臺灣大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題考察「偏好是否能由消費選擇資料辨識」。即使兩個效用函數形式不同，只要在所有正的價格與所得下，所產生的最適消費選擇都相同，便無法僅靠觀察需求加以區分。

消費者在預算限制

$$p_xx+p_yy\le I$$

下選擇效用最大的消費組合。判斷兩種偏好是否可辨識，重點是比較兩者在所有可能的 $(p_x,p_y,I)$ 下，是否存在不同的最適選擇。

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(A) $u_{A1}$ 與 $u_{A2}$

$A1$ 的最適選擇

$$u_{A1}(x,y)=x^\alpha y^\beta$$

其中 $\alpha,\beta>0$。因為效用對兩種商品皆嚴格遞增，消費者會花完全部所得：

$$p_xx+p_yy=I$$

利用邊際替代率等於價格比：

$$\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{\alpha x^{\alpha-1}y^\beta} {\beta x^\alpha y^{\beta-1}} = \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x} = \frac{p_x}{p_y}$$

因此

$$\frac{x}{y}=\frac{\alpha p_y}{\beta p_x}$$

只要選擇價格使

$$\frac{\alpha p_y}{\beta p_x}\ne 1$$

則 $A1$ 的最適點就不在 $x=y$ 的對角線上。

$A2$ 的影響

$A2$ 在所有 $x=y$ 的消費組合上額外增加 7：

$$u_{A2}(x,y)=x^\alpha y^\beta+7 \quad\text{若 }x=y$$

選擇所得 $I$ 足夠小時，對角線上的額外 7 可能大於偏離對角線所能增加的 Cobb-Douglas 效用，因此 $A2$ 會選擇預算線上的對角線點。

例如，令價格滿足 $A1$ 的最適點不在對角線上。預算線與 $x=y$ 的交點為

$$x=y=\frac{I}{p_x+p_y}$$

當 $I$ 足夠小時，該點的效用為

$$\left(\frac{I}{p_x+p_y}\right)^{\alpha+\beta}+7$$

其中的 7 會使其超過所有非對角線消費組合的效用。

因此存在一組價格與所得，使 $A1$ 選擇非對角線點，而 $A2$ 選擇對角線點。

結論：$A1$ 與 $A2$ 可辨識。

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(B) $u_{B1}$ 與 $B2$

$B1$ 的偏好由

$$u_{B1}(x,y)=x^\alpha y^\beta$$

決定。

$B2$ 的規則是：

1. Cobb-Douglas 乘積較大者較受偏好；
2. 若乘積相同，且一個組合位於 $x=y$、另一個不在 $x=y$，則偏好對角線上的組合；
3. 若兩者乘積相同且皆不在對角線上，則無差異。

然而，在標準正價格、正所得的預算問題中，$x^\alpha y^\beta$ 的最適點是唯一的。其需求為

$$x^*=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_x}, \qquad y^*=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_y}$$

由於最適點唯一，預算集合中不存在另一個具有相同 Cobb-Douglas 乘積的不同最適點。因此，$B2$ 的「同效用時偏好對角線」規則沒有機會改變實際選擇。

換言之，$B2$ 雖然改變了某些無差異曲線上的排序，但不會改變每一組價格與所得下的最適消費選擇。

結論：$B1$ 與 $B2$ 不可辨識。

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(C) $u_{C1}$ 與 $u_{C2}$

考慮一般形式：

$$u_r(x,y)=x^r+y^r, \qquad 0<r<1$$

由於 $0<r<1$，效用函數嚴格凹，最適解為內部解。

邊際效用為

$$MU_x=rx^{r-1}, \qquad MU_y=ry^{r-1}$$

一階條件為

核心觀念

1. 里昂提夫生產函數（Leontief Production Function）之成本極小化：
   對於固定比例型生產函數 $q_i = \min\{L_i^{\frac{1}{2}}, K_i^{\frac{1}{2}}\}$，廠商最適要素投射比例滿足 $L_i^{\frac{1}{2}} = K_i^{\frac{1}{2}} = q_i$，即 $L_i = q_i^2$ 且 $K_i = q_i^2$。投射比例完全由技術決定，不受要素相對價格 $(w, r)$ 影響。
2. 異質固定成本與完全競爭市場之長期均衡：
   廠商 $i$ 的總成本函數包含可變成本與異質固定成本：
   $TC_i(q_i) = w L_i + r K_i + F_i = (w + r) q_i^2 + i^2$
   在價格接受的市場中，廠商依據 $P = MC_i(q_i)$ 決定產量。由於各廠商的固定成本 $F_i = i^2$ 隨 $i$ 遞增，邊際成本 $MC_i$ 相同，但平均成本 $AC_i$ 隨 $i$ 增加而上升。
3. 廠商進退場決策與均衡廠商數：
   在長期，廠商維持在市場上的條件為利潤 $\pi_i \ge 0$，即價格 $P \ge \min AC_i$。均衡時，在場內營運的最高編號廠商 $k$ 其利潤必須非負（$\pi_k \ge 0$），而下一家廠商 $k+1$ 進場利潤為負（$\pi_{k+1} < 0$）。

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解題方法

1. 成本函數推導

由生產函數 $q_i = \min\{L_i^{\frac{1}{2}}, K_i^{\frac{1}{2}}\}$，可得最適要素需求為：
$L_i^*(q_i) = q_i^2, \quad K_i^*(q_i) = q_i^2$
因此，相對要素投入比例為：
$\frac{L_i^*}{K_i^*} = \frac{q_i^2}{q_i^2} = 1$
廠商 $i$ 的長期總成本函數（TC）、邊際成本函數（MC）與平均成本函數（AC）分別為：
$TC_i(q_i) = (w + r) q_i^2 + i^2$
$MC_i(q_i) = \frac{d TC_i}{d q_i} = 2(w + r) q_i$
$AC_i(q_i) = \frac{TC_i(q_i)}{q_i} = (w + r) q_i + \frac{i^2}{q_i}$

2. 個別廠商的最適產量與利潤

當市場價格為 $P$ 時，廠商由 $P = MC_i(q_i) = 2(w + r) q_i$ 決定產量：
$q_i^* = \frac{P}{2(w + r)}$
注意：最適產量 $q_i^*$ 僅取決於價格與要素價格，與廠商編號 $i$ 無關，因此所有在場內的廠商生產相同的產量 $q^*$。

廠商 $i$ 的最大利潤為：
$\pi_i(P) = P q^* - TC_i(q^*) = P \cdot \frac{P}{2(w + r)} - (w + r) \left(\frac{P}{2(w + r)}\right)^2 - i^2$
$\pi_i(P) = \frac{P^2}{4(w + r)} - i^2$

3. 當 $w = r = \frac{1}{2}$ 時的具體數值代入

代入 $w + r = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$：

• $MC(q_i) = 2 q_i$
• $q^* = \frac{P}{2}$
• $\pi_i(P) = \frac{P^2}{4} - i^2$

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選項分析

• (A) 錯誤
  里昂提夫生產函數的要素投入比例完全由技術決定（固定為 $1:1$），滿足 $\frac{L_i^*}{K_i^*} = 1$。即便 $r$ 上升而 $w$ 不變，兩要素之間完全不可替代，要素比例保持為 $1$，不會使用相對較多的勞動。

本題考查外部性（Externality）與柏拉圖效率（Pareto Efficiency）。題目設定 $N$ 個吸菸者與 $N$ 個非吸菸者，吸菸會對非吸菸者產生負外部性（二手菸）。

核心觀念

1. 競爭均衡／極私利結果（Selfish / Market Outcome）：
   在沒有交易或談判（no transfer or bargaining）的私利條件下，個體 $i$ 僅極大化自身效用：
   $\max_{s_i} U_i = u(s_i) + m - p \cdot s_i$
   一階條件（FOC）為：
   $u'(s_i^m) = p$
   私利下的個體消費量為 $s_i^m$，忽略了對非吸菸者造成的外部成本。

2. 柏拉圖效率條件（Social Planner's Problem / Samuelson Condition）：
   極大化社會福利總和 $\sum_{i=1}^N U_i + \sum_{j=1}^N V_j$：
   $\max_{\{s_i\}} \sum_{i=1}^N [u(s_i) + m - p \cdot s_i] + N \cdot \left[ m - h\left(\sum_{i=1}^N s_i\right) \right]$
   對特定吸菸者 $i$ 的消費量 $s_i$ 求導（若為內角解 $s_i^* > 0$）：
   $u'(s_i^*) - p - N \cdot h'\left(\sum_{k=1}^N s_k^*\right) = 0$
   即邊際效益等於社會邊際成本：
   $u'(s_i^*) = p + N \cdot h'\left(\sum_{k=1}^N s_k^*\right)$

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解題方法與選項分析

(A) 錯誤

• 推導與說明：
  當 $N = 1$ 時（1 個吸菸者，1 個非吸菸者）：
  • 私利均衡條件：$u'(s_1^m) = p$。
  • 效率條件：$u'(s_1^*) = p + 1 \cdot h'(s_1^*)$。
    由於 $h'(s_1) > 0$（只要 $s_1 > 0$），且 $\lim_{S \to 0} h'(S) = 0$，只要效率解 $s_1^* > 0$，私利均衡消費量 $s_1^m$ 會高於效率消費量 $s_1^*$。因此私利結果存在過度消費（Over-consumption），競爭均衡不具效率。

(B) 正確

• 推導與說明：
  • 效用函數對財富 $m$ 為準線性（Quasi-linear），轉移支付（Lump-sum Transfer）不影響香菸的效率消費量 $s_i^*$。
  • 若存在某種財富轉移方案，吸菸者 $i$ 與 $i'$ 均消費效率數量 $s_i^* > 0$，且獲得足夠多的財富補償轉移 $t_i, t_{i'} > 0$，則其最終效用為：
    $U_i = u(s_i^*) + m - p \cdot s_i^* + t_i > u(s_i^*)$
    （因為 $m - p \cdot s_i^* + t_i > 0$ 在財富 $m$ 足夠大時顯然成立）。
  • 此外，效率解並不要求對稱的香菸消費（例如總效率消費量 $S^*$ 可在吸菸者間任意配置，只要邊際效用相等），故存在 $s_i^* \neq s_{i'}^*$ 且 $U_i > u(s_i^*)$ 的柏拉圖有效結果。

(C) 錯誤

• 推導與說明：
  在對稱內角解下，$s_i^* = s^*$，總消費量 $S^* = N s^*$。效率一階條件為：
  $u'(s^*) = p + N \cdot h'(N s^*)$
  對 $N$ 進行隱函數微分（Implicit Differentiation）：
  對兩邊關於 $N$ 求導：
  $u''(s^*) \cdot \frac{ds^*}{dN} = h'(N s^*) + N \cdot h''(N s^*) \cdot \left( s^* + N \frac{ds^*}{dN} \right)$
  整理可得：

這是一道關於**一般均衡理論（General Equilibrium Theory）與福利經濟學基本定理（Welfare Theorems）**的經典多選題。以下為詳細解析：

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核心觀念

1. 契約曲線（Contract Curve）與帕雷托效率（Pareto Efficiency）：

   • 帕雷托效率條件要求兩人的邊際替代率（MRS）相等，即 $MRS^1_{xy} = MRS^2_{xy}$（若均為內生解/可導）。
   • 個人 1 的效用函數為 Cobb-Douglas 形式：$u_1(x_1, y_1) = x_1^\alpha y_1^\beta$（其中 $\alpha, \beta > 0$），其邊際替代率為：
     $MRS^1_{xy} = \frac{\partial u_1 / \partial x_1}{\partial u_1 / \partial y_1} = \frac{\alpha y_1}{\beta x_1}$
   • 個人 2 的效用函數為線性形式：$u_2(x_2, y_2) = x_2$，對商品 $y$ 的邊際效用為 0（$\partial u_2/\partial y_2 = 0$）。因此個人 2 的邊際替代率 $MRS^2_{xy} = \frac{\partial u_2/\partial x_2}{\partial u_2/\partial y_2} = \frac{1}{0} \to \infty$。
   • 由於個人 2 完全不在意商品 $y$（$y_2$ 無法帶來任何效用），只要將經濟體中所有的商品 $y$ 全部分配給個人 1（即 $y_1 = b$，$y_2 = 0$），就能在不損害個人 2 的情況下，使個人 1 的效用達到極大。因此，所有的帕雷托效率配置均滿足 $y_1 = b$。

2. 瓦爾拉斯均衡（Walrasian Equilibrium / General Equilibrium）：

   • 均衡價格 $(p_x, p_y)$ 與配置 $(x_1^*, y_1^*, x_2^*, y_2^*)$ 須滿足：
     1. 個人效用極大化（在預算限制下）。
     2. 市場清算條件（Market Clearing）：$x_1 + x_2 = a$ 且 $y_1 + y_2 = b$。
   • 若 $p_y = 0$ 且 $p_x > 0$，由於個人 1 對商品 $y$ 有嚴格正偏好（Cobb-Douglas），面對免費的商品 $y$，個人 1 對 $y_1$ 的需求量將會趨近於無窮大（$\infty$），導致商品 $y$ 市場無法清算。
   • 若 $p_x = 0$ 且 $p_y > 0$，個人 2 面對免費的商品 $x$（且 $u_2 = x_2$），對 $x_2$ 的需求量將會趨近於無窮大（$\infty$），導致商品 $x$ 市場無法清算。

3. 福利經濟學定理（Welfare Theorems）：

   • 福利第一定理（First Welfare Theorem）：若偏好滿足**局部非飽和性（Local Non-Satiation, LNS）**且無外部性、完全競爭，則競爭均衡必為帕雷托效率配置。
   • 福利第二定理（Second Welfare Theorem）：若偏好為凸性（Convex）、滿足局部非飽和性，且存在適當的重分配，則任何帕雷托效率配置均可透過競爭均衡實現。
   • 本題中，個人 1 的偏好為嚴格凸且嚴格單調（滿足 LNS）；個人 2 的偏好 $u_2(x_2, y_2) = x_2$ 雖然對 $y_2$ 不敏感，但只要 $x_2$ 增加效用就增加，故亦滿足局部非飽和性與凸性。

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解題方法與推導

1. 契約曲線（Contract Curve）的推導

在艾吉沃斯盒（Edgeworth Box）中，總資源為 $(a, b)$。

• 個人 2 的無差異曲線在 $(x_2, y_2)$ 平面上是一組垂直線（因為 $u_2 = x_2$，效用僅取決於 $x_2$）。
• 個人 1 的無差異曲線為標準的凸向原點曲線。
• 若 $y_1 < b$（即 $y_2 > 0$），由於個人 2 拿著 $y_2$ 無法產生任何效用，若將 $y_2$ 全部無償轉移給個人 1，個人 1 的效用嚴格上升（$u_1$ 增加），而個人 2 的效用保持不變（$u_2$ 不變）。這代表任何 $y_2 > 0$ 的配置都存在帕雷托改善（Pareto Improvement）。
• 因此，所有的帕雷托效率配置（Pareto Efficient Allocations）必須滿足：
  $y_1 = b, \quad y_2 = 0, \quad x_1 \in [0, a], \quad x_2 = a - x_1$

核心觀念

本題考查不確定性下的抉擇（Choice under Uncertainty）、期望效用極大化（Expected Utility Maximization）以及公平保險（Actuarially Fair Insurance）。

1. 事件機率與狀態空間（State Space）：

   • 狀態 1 ($S_1$)：孩子健康（Healthy），機率 $\pi_1 = \frac{1}{2}$。
   • 狀態 2 ($S_2$)：孩子生病但存活（Sick & Alive），機率 $\pi_2 = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$。
   • 狀態 3 ($S_3$)：孩子生病且離世（Sick & Dead），機率 $\pi_3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。

2. 公平保險定價（Zero-Profit Insurance Premium）：

   • 保險公司的期望利潤為 0，意味著保險單位費率 $p$ 等於損害發生之客觀機率 $\pi$。

3. 期望效用函數：

   • 孩子存活時（$S_1, S_2$），效用函數為 $\ln(w)$；孩子離世時（$S_3$），效用函數為 $\alpha \ln(w)$，其中 $0 < \alpha < 1$。

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解題方法與完整推導

一、零利潤（公平保險）單位價格 $p_s$ 與 $p_d$ 之推導

保險公司精算公平（Actuarially Fair）條件下，單位保費等於給付機率：

• Case 1（針對生病投保）：孩子生病的機率為 $\frac{1}{2}$。保險公司期望給付為 $\frac{1}{2} \cdot q_s$，保費收入為 $p_s \cdot q_s$。零利潤條件：
  $p_s \cdot q_s = \frac{1}{2} \cdot q_s \implies p_s = \frac{1}{2}$
• Case 2（針對死亡投保）：孩子死亡的機率為 $\frac{1}{4}$。保險公司期望給付為 $\frac{1}{4} \cdot q_d$，保費收入為 $p_d \cdot q_d$。零利潤條件：
  $p_d \cdot q_d = \frac{1}{4} \cdot q_d \implies p_d = \frac{1}{4}$

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二、Case 1（生病保險）的最佳保險購買量 $q_s^*$

在 Case 1 下，購買 $q_s$ 單位保費支出為 $p_s q_s = \frac{1}{2} q_s$。各狀態下父母的最終財富與效用為：

• 狀態 1（健康）：機率 $\frac{1}{2}$，財富 $w_1 = w_0 - \frac{1}{2}q_s$，孩子存活，效用 $\ln(w_1)$。
• 狀態 2（生病且存活）：機率 $\frac{1}{4}$，財富 $w_2 = w_0 - c + q_s - \frac{1}{2}q_s = w_0 - c + \frac{1}{2}q_s$，孩子存活，效用 $\ln(w_2)$。
• 狀態 3（生病且離世）：機率 $\frac{1}{4}$，財富 $w_3 = w_0 - c + q_s - \frac{1}{2}q_s = w_0 - c + \frac{1}{2}q_s$，孩子離世，效用 $\alpha \ln(w_3)$。

父母的期望效用函數：
$EU(q_s) = \frac{1}{2}\ln\left(w_0 - \frac{1}{2}q_s\right) + \frac{1}{4}\ln\left(w_0 - c + \frac{1}{2}q_s\right) + \frac{1}{4}\alpha\ln\left(w_0 - c + \frac{1}{2}q_s\right)$
化簡得：
$EU(q_s) = \frac{1}{2}\ln\left(w_0 - \frac{1}{2}q_s\right) + \frac{1+\alpha}{4}\ln\left(w_0 - c + \frac{1}{2}q_s\right)$

求解極大化一階條件（FOC）：
$\frac{dEU}{dq_s} = \frac{1}{2} \cdot \frac{-\frac{1}{2}}{w_0 - \frac{1}{2}q_s} + \frac{1+\alpha}{4} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{w_0 - c + \frac{1}{2}q_s} = 0$
$\frac{1}{4\left(w_0 - \frac{1}{2}q_s\right)} = \frac{1+\alpha}{8\left(w_0 - c + \frac{1}{2}q_s\right)}$
$2\left(w_0 - c + \frac{1}{2}q_s\right) = (1+\alpha)\left(w_0 - \frac{1}{2}q_s\right)$
解得：
$q_s^* = \frac{2\left[(\alpha - 1)w_0 + 2c\right]}{3 + \alpha}$

核心觀念

本題為典型的**獨占市場（Monopoly）與價格歧視（Price Discrimination）**題型，測驗考生以下核心觀念：

1. 單一價格獨占（Uniform Pricing Monopoly）：獨占廠商在無法實施價格歧視時，透過比較總收益與總成本（或邊際收益與邊際成本）尋求利潤極大化的單一價格與產量。注意題目設定產品具不可分割性（Discrete/Integer Units）。
2. 邊際收益（Marginal Revenue, MR）：在離散單位下，增加一單位產品所帶來的總收益變動量，即 $MR(Q) = TR(Q) - TR(Q-1)$。
3. 帕累托效率（Pareto Efficiency）：市場總剩餘達到極大化，且邊際效益等於邊際成本（$MB = MC$）的配置狀態。
4. 第三級價格歧視（Third-Degree Price Discrimination）：獨占廠商能識別不同消費者族群，並對各族群單獨設定利潤極大化價格。
5. 聯合生產成本與定價（Joint Cost Function）：當廠商面臨非常數邊際成本（如邊際成本遞增）時，對某一市場的銷售量會透過總產量改變邊際成本，進而影響對另一市場的定價。

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解題方法與基礎數據計算

根據題目給定之表格，需求函數係以離散數量呈現。廠商邊際成本為常數 $MC = 1.5$，無固定成本（$FC = 0$）。

1. 單一價格下（均一定價）之總收益與邊際收益表格

當廠商只能收取單一價格時，面對的是「總需求數量」（Total Quantity Demanded, $Q$）：

價格 ($P$)	總需求量 ($Q$)	總收益 ($TR = P \times Q$)	邊際收益 ($MR$)	總成本 ($TC = 1.5 \times Q$)	利潤 ($\pi = TR - TC$)
7	1	7	7	1.5	5.5
6	2	12	5	3.0	9.0
5	3	15	3	4.5	10.5
4	5	20	-	7.5	12.5
3	7	21	-	10.5	10.5
2	9	18	-	13.5	4.5
1	11	11	-	16.5	-5.5

註：在 $P=4$ 時，總需求量跳至 $Q=5$。

2. 第三級價格歧視下之個別市場分析（當 $MC = 1.5$ 時）

若廠商能區分「熱狂者」（Enthusiasts, E）與「一般人」（Normies, N）：

• 狂熱者市場（Enthusiasts, E）：
  需求點為 $(P, Q_E) = (7, 1), (6, 2), (5, 3), (4, 4), (3, 5), (2, 6), (1, 7), (0, 8)$。

  • $P_E = 7 \Rightarrow TR_E = 7, \pi_E = 7 - 1.5 = 5.5$
  • $P_E = 6 \Rightarrow TR_E = 12, \pi_E = 12 - 3 = 9$
  • $P_E = 5 \Rightarrow TR_E = 15, \pi_E = 15 - 4.5 = 10.5$
  • $P_E = 4 \Rightarrow TR_E = 16, \pi_E = 16 - 6 = 10.0$
    由此可知，對狂熱者定價 $P_E^* = 5$（或 $P_E^* = 6$ 時利潤 9，定價 5 時極大），最佳銷售量 $Q_E^* = 3$，極大利潤為 $10.5。

• 一般人市場（Normies, N）：
  需求點為 $(P, Q_N) = (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (0, 5)$。

  • $P_N = 4 \Rightarrow TR_N = 4, \pi_N = 4 - 1.5 = 2.5$
  • $P_N = 3 \Rightarrow TR_N = 6, \pi_N = 6 - 3 = 3.0$
  • $P_N = 2 \Rightarrow TR_N = 6, \pi_N = 6 - 4.5 = 1.5$
    由此可知，對一般人定價 $P_N^* = 3$，最佳銷售量 $Q_N^* = 2$，極大利潤為 $3.0。

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選項分析

(A) 錯誤

• 理由：
  在均一定價下，比較各價格對應的總利潤：
  • 當 $P = 5$ 時，$Q = 3$，總收益 $TR = 15$，總成本 $TC = 1.5 \times 3 = 4.5$，利潤 $\pi = 15 - 4.5 = 10.5$。

核心觀念

本題考查異質產品/價格競爭之賽局理論（Price Competition with Differentiated Products / Hotelling-like Bertrand Model）以及靜態賽局（Simultaneous Game）與動態賽局（Sequential Game / Stackelberg Model）的求解與比較。

1. 最適反應函數（Best Response Function）與策略互補（Strategic Complements）：
   • 廠商的利潤函數為 $\pi_i(p_i, p_j) = p_i \cdot D_i(p_i, p_j)$。
   • 透過一階條件（First-Order Condition, FOC）可求出最適反應函數 $p_i^*(p_j)$。
   • 若 $\frac{\partial p_i^*}{\partial p_j} > 0$，代表對手的價格提高時，本廠商的最適價格亦隨之提高，稱為策略互補（Strategic Complements）。
2. 納許均衡（Nash Equilibrium, NE）：
   • 同時選擇價格時，納許均衡點為兩廠商最適反應函數之交點 $(p_A^*, p_B^*)$。
3. 子賽局完美納許均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE）：
   • 先動者（Ace Coffee）預測後動者（Better Coffee）的反應函數 $p_B^*(p_A)$，將其代入自身的利潤函數中極大化，採用逆向歸納法（Backward Induction）求解。

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解題方法與推導過程

1. 市場需求與利潤函數定義

兩家咖啡店邊際成本 $MC = 0$。
已知當 $0 \le p_A - p_B \le 4$ 時：

• Ace Coffee 的市場佔有率（需求量）：$D_A(p_A, p_B) = 1 - \frac{p_A - p_B}{4}$
• Better Coffee 的市場佔有率（需求量）：$D_B(p_A, p_B) = \frac{p_A - p_B}{4}$

兩廠商的利潤函數分別為：
$\pi_A(p_A, p_B) = p_A \left(1 - \frac{p_A - p_B}{4}\right)$
$\pi_B(p_A, p_B) = p_B \left(\frac{p_A - p_B}{4}\right)$

2. 最適反應函數（Best Response Functions）推導

• Ace Coffee 的極大化問題：
  $\max_{p_A} \pi_A = p_A - \frac{p_A^2}{4} + \frac{p_A p_B}{4}$
  一階條件（FOC）：
  $\frac{\partial \pi_A}{\partial p_A} = 1 - \frac{p_A}{2} + \frac{p_B}{4} = 0 \implies p_A^*(p_B) = 2 + \frac{1}{2}p_B$

• Better Coffee 的極大化問題：
  $\max_{p_B} \pi_B = \frac{p_A p_B}{4} - \frac{p_B^2}{4}$
  一階條件（FOC）：
  $\frac{\partial \pi_B}{\partial p_B} = \frac{p_A}{4} - \frac{p_B}{2} = 0 \implies p_B^*(p_A) = \frac{1}{2}p_A$

由上述反應函數可知：

• $\frac{\partial p_A^*}{\partial p_B} = \frac{1}{2} > 0$
• $\frac{\partial p_B^*}{\partial p_A} = \frac{1}{2} > 0$
  兩廠商的策略彼此為策略互補（Strategic Complements）。

3. 同時賽局之納許均衡（Simultaneous Move NE）

聯立解反應函數：
$\begin{cases} p_A = 2 + \frac{1}{2}p_B \\ p_B = \frac{1}{2}p_A \end{cases}$

將 $p_B = \frac{1}{2}p_A$ 代入 $p_A$：
$p_A = 2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}p_A\right) = 2 + \frac{1}{4}p_A \implies \frac{3}{4}p_A = 2 \implies p_A^{NE} = \frac{8}{3}$
$p_B^{NE} = \frac{1}{2} \left(\frac{8}{3}\right) = \frac{4}{3}$

驗證價格差：
$p_A^{NE} - p_B^{NE} = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \in [0, 4]$
符合內設解條件，且聯立方程有唯一解。

在此均衡下，兩廠商的利潤分別為：
$D_A^{NE} = 1 - \frac{4/3}{4} = \frac{2}{3} \implies \pi_A^{NE} = \frac{8}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{16}{9}$