108 年 國立臺灣大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

本題考驗消費者剩餘與利潤最大化在個別銷售下的應用。廠商需針對每一種商品設定價格，以最大化總利潤。

首先，我們計算每一種商品分別銷售時，廠商可能設定的價格及其對應的利潤。廠商設定價格的原則是，價格不能低於邊際成本 (MC = 15)，且要考量消費者的支付意願。

商品：Table

• 學生願意支付 $50。
• 工人願意支付 $10。
• 玩家願意支付 $25。

若將 Table 的價格設定為 $p_T$：

• 若 $p_T > 25$，只有學生會購買。利潤 = $(p_T - 15) \times 1$。最大化時，價格趨近於學生支付的最高意願。
• 若 $10 < p_T \le 25$，學生和玩家會購買。利潤 = $(p_T - 15) \times 2$。最大化時，價格趨近於 $25$。
• 若 $p_T \le 10$，三人皆會購買。利潤 = $(p_T - 15) \times 3$。此時 $p_T$ 必須大於 $15$ 才能獲利。

為了最大化利潤，廠商會選擇能獲取最高利潤的價格。
若設定 $p_T = 50$ (學生最高支付意願)，利潤 = $(50-15) \times 1 = 35$。
若設定 $p_T = 25$ (最高能吸引到學生和玩家的價格)，利潤 = $(25-15) \times 2 = 20$。
若設定 $p_T = 15$ (最低價格)，利潤 = $(15-15) \times 3 = 0$。
因此，Table 的最佳定價策略是將價格設為 $50$，獲利 $35$。

商品：Bed

• 學生願意支付 $10$。
• 工人願意支付 $60$。
• 玩家願意支付 $25$。

若將 Bed 的價格設定為 $p_B$：

• 若 $p_B > 60$，只有工人會購買。利潤 = $(p_B - 15) \times 1$。
• 若 $25 < p_B \le 60$，工人會購買。利潤 = $(p_B - 15) \times 1$。最大化時，價格趨近於 $60$。
• 若 $10 < p_B \le 25$，工人與玩家會購買。利潤 = $(p_B - 15) \times 2$。最大化時，價格趨近於 $25$。
• 若 $p_B \le 10$，三人皆會購買。利潤 = $(p_B - 15) \times 3$。

為了最大化利潤：
若設定 $p_B = 60$ (工人最高支付意願)，利潤 = $(60-15) \times 1 = 45$。
若設定 $p_B = 25$ (最高能吸引到工人與玩家的價格)，利潤 = $(25-15) \times 2 = 20$。
因此，Bed 的最佳定價策略是將價格設為 $60$，獲利 $45$。

商品：Sofa

• 學生願意支付 $30$。
• 工人願意支付 $20$。
• 玩家願意支付 $25

題目資訊與合理假設

本題標示為第 1 題的延續，但未附上第 1 題的消費者資料。以下依本題選項所對應的設定：兩位消費者對家具組合的願付價格分別為 $75$ 與 $90$，且邊際成本為 $0$。

核心觀念

單一價格的純綑綁銷售，是將多項商品組合成一個 bundle，並以同一價格 $P_B$ 出售。廠商的利潤為：

$$\pi(P_B)=\left(P_B-MC\right)Q(P_B)$$

由於 $MC=0$，因此：

$$\pi(P_B)=P_BQ(P_B)$$

消費者是否購買組合，取決於其對組合的願付價格是否至少等於綑綁價格。

解題方法

兩位消費者的組合願付價格為：

• 消費者 1：$90$
• 消費者 2：$75$

因此，綑綁價格可分成三個區間。

1. 當 $P_B\leq 75$ 時，兩位消費者都購買：

$$Q=2,\qquad \pi=2P_B$$

利潤隨價格上升，因此此區間的最大利潤出現在 $P_B=75$：

$$\pi=2(75)=150$$

2. 當 $75<P_B\leq 90$ 時，只有願付價格為 $90$ 的消費者購買：

$$Q=1,\qquad \pi=P_B$$

此區間的最大利潤出現在 $P_B=90$：

$$\pi=90$$

3. 當 $P_B>90$ 時，沒有消費者購買：

$$Q=0,\qquad \pi=0$$

比較三種情況：

$$\pi_{\max}=\max\{150,90,0\}=150$$

因此，最適綑綁價格為：

$$P_B^*=75$$

最大利潤為：

$$\pi^*=150$$

選項分析

核心觀念

本題考查：

1. 保險費與理賠金額的關係。
2. 透過效用函數判斷是否願意投保。
3. 風險態度與效用函數的曲率。
4. 多選題的逐項判斷。

設：

• $W_I$：受傷後財富；
• $W_H$：未受傷時財富；
• 題目已知 $W_H>W_I$；
• 購買 $M$ 元保險，保費為 $aM$，受傷時獲得理賠 $M$。

因此，投保後兩種狀態的財富為：

$$W_I'=W_I+(1-a)M$$ $$W_H'=W_H-aM$$

其中，受傷時獲得淨補償 $(1-a)M$，健康時支付保費 $aM$。

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解題方法

直接將投保後的財富代入兩人的效用函數，再觀察投保金額 $M$ 增加時效用如何變化。

一、Paul 的效用

Paul 的效用為：

$$U_P=W_IW_H$$

投保後：

$$U_P(M)=\bigl[W_I+(1-a)M\bigr]\bigl[W_H-aM\bigr]$$

展開並對 $M$ 微分：

$$\frac{dU_P}{dM} =(1-a)(W_H-aM)-a\bigl[W_I+(1-a)M\bigr]$$

整理得：

$$\frac{dU_P}{dM} =(1-a)W_H-aW_I-2a(1-a)M$$

二階導數為：

$$\frac{d^2U_P}{dM^2}=-2a(1-a)<0$$

因此，Paul 的效用在保險金額 $M$ 上呈現凹函數，表示其對這項風險具有風險趨避特性。

當 $a=\frac12$ 且尚未投保時：

$$\left.\frac{dU_P}{dM}\right|_{M=0} =\frac12W_H-\frac12W_I =\frac12(W_H-W_I)>0$$

所以購買少量保險會提高 Paul 的效用，Paul 必定願意投保。

在沒有其他投保限制下，Paul 的最適保險金額滿足：

$$\frac{dU_P}{dM}=0$$

代入 $a=\frac12$：

$$\frac12(W_H-W_I)-\frac12M=0$$

因此：

$$M^*=W_H-W_I>0$$

這正好使投保後兩狀態財富相等：

$$W_I+\frac12M^* = W_H-\frac12M^* = \frac{W_I+W_H}{2}$$

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二、Emily 的效用

Emily 的效用為：

$$U_E=\frac{W_I}{W_H}$$

投保後：

$$U_E(M)= \frac{W_I+(1-a)M}{W_H-aM}$$

對 $M$ 微分：

$$\frac{dU_E}{dM} = \frac{(1-a)(W_H-aM)+a[W_I+(1-a)M]} {(W_H-aM)^2}$$

整理得：

$$\frac{dU_E}{dM} = \frac{(1-a)W_H+aW_I}{(W_H-aM)^2}>0$$

核心觀念

本題考查投資決策中的：

• 期望報酬；
• 風險偏好與 Bernoulli utility function 的曲率；
• 風險性資產的最適投資；
• 以邊際分析判斷是否值得投入一個足夠小的正投資額。

若投入 $t$ 元購買資產，需先支付 $t$ 元，因此期末財富為：

$$W= 5-t+t(1+Z)=5+tZ.$$

由於 $Z$ 以各 $1/2$ 的機率取 $-2$ 與 $3$，故：

$$W= \begin{cases} 5-2t, & \text{機率 }1/2,\\ 5+3t, & \text{機率 }1/2. \end{cases}$$

資產 $Z$ 的期望值為：

$$E[Z]=\frac12(-2)+\frac12(3)=\frac12>0.$$

因此，這是一項具有正期望報酬、但同時具有風險的資產。

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解題方法

Ernest 不投資時，效用為：

$$u(5).$$

投資 $t>0$ 元時，期望效用為：

$$EU(t)=\frac12u(5-2t)+\frac12u(5+3t).$$

判斷是否願意投資，可觀察 $t=0$ 附近的期望效用變化。對 $EU(t)$ 微分：

$$EU'(t) = \frac12u'(5-2t)(-2) + \frac12u'(5+3t)(3).$$

在 $t=0$ 時：

$$EU'(0) = -u'(5)+\frac32u'(5) = \frac12u'(5)>0.$$

因為 Bernoulli utility function 遞增，所以 $u'(5)>0$。因此，只要投資一個足夠小的正數 $t$，就有：

$$EU(t)>EU(0)=u(5).$$

也就是說，不論 Ernest 是風險趨避、風險中立或風險愛好者，只要可以選擇足夠小的正投資額，都會願意投資此資產。

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選項分析

(A) Ernest will invest on Z if he is risk averse.

正確。

風險趨避代表：

$$u''(w)<0,$$

但這只表示他不喜歡風險，並不代表他拒絕所有風險性資產。由於此資產具有正期望報酬：

$$E[Z]=\frac12>0,$$

在 $t=0$ 附近，期望效用的邊際變化為：

$$EU'(0)=\frac12u'(5)>0.$$

因此，風險趨避者仍會投資一個足夠小的正數 $t$。

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核心觀念

本題考的是獨占廠商採取單一價格時，如何加總不同類型消費者的需求，並比較各價格區間的利潤。

題目未交代兩類消費者的人數，以下採兩類人數相同、每類各一名代表性消費者的假設；若兩類各有相同的多名消費者，利潤等比例增加，最適價格不變。

將反需求函數改寫為需求函數，並注意購買量不能為負：

$$Q_H(P)=\max\left\{\frac{100-P}{4},0\right\}, \qquad Q_L(P)=\max\left\{\frac{60-P}{4},0\right\}.$$

因此：

• 當 $0\leq P<60$ 時，兩類消費者的購買量都大於零。
• 當 $60\leq P<100$ 時，只有 H 型消費者購買；在 $P=60$ 時，L 型需求已等於零。
• 當 $P\geq100$ 時，兩類消費者都不購買。

同一價格下，總需求是兩類需求的水平加總。邊際成本固定為每杯 20 元，故利潤為

$$\pi(P)=(P-20)\bigl[Q_H(P)+Q_L(P)\bigr].$$

解題方法

由於總需求在 $P=60$ 處改變形式，必須分段求最適價格，再比較各段利潤。

一、兩類都購買：$0\leq P<60$

總需求為

$$Q(P)=\frac{100-P}{4}+\frac{60-P}{4} =40-\frac{P}{2}.$$

利潤函數為

$$\pi_1(P) =(P-20)\left(40-\frac{P}{2}\right) =-\frac{P^2}{2}+50P-800.$$

對價格微分：

$$\pi_1'(P)=50-P=0 \quad\Rightarrow\quad P^*=50.$$

由於 $\pi_1''(P)=-1<0$，且 $50$ 位於此價格區間內，因此是此段的利潤最大點。此時：

$$Q_H=\frac{100-50}{4}=12.5, \qquad Q_L=\frac{60-50}{4}=2.5.$$

總銷售量與利潤為

$$Q=15, \qquad \pi_1(50)=(50-20)\times15=450.$$

二、只有 H 型購買：$60\leq P<100$

此時 L 型需求為零，總需求為

$$Q(P)=\frac{100-P}{4}.$$

本題考驗在廠商能夠區分消費者類型，並實施二級差別定價 (price discrimination) 的情況下，如何最大化利潤。

廠商可以對 H 類和 L 類消費者分別設定不同的價格。
邊際成本 (MC) 為 $20$。
H 類消費者的逆需求函數為 $P_H = 100 - 4Q_H$。
L 類消費者的逆需求函數為 $P_L = 60 - 4Q_L$。

為了最大化利潤，廠商會分別對每一類消費者設定價格，使其邊際收益等於邊際成本。

1. 對 H 類消費者的定價：
H 類消費者的需求函數為 $Q_H = (100 - P_H)/4$。
廠商的邊際收益 (MR) 函數：
總收益 $TR_H = P_H Q_H = P_H \frac{100 - P_H}{4}$。
為了找到 MR，我們需要將需求函數反轉為 $P_H$ 關於 $Q_H$ 的函數：$P_H = 100 - 4Q_H$。
$TR_H = (100 - 4Q_H) Q_H = 100Q_H - 4Q_H^2$。
$MR_H = \frac{dTR_H}{dQ_H} = 100 - 8Q_H$。
令 $MR_H = MC$：
$100 - 8Q_H = 20$
$80 = 8Q_H$
$Q_H = 10$ (杯)。

對應的價格 $P_H$：
$P_H = 100 - 4Q_H = 100 - 4(10) = 100 - 40 = 60$ (美元)。
H 類消費者會購買 $10$ 杯，價格為 $60$ 美元。
利潤來自 H 類：$\Pi_H = (P_H - MC) Q_H = (60 - 20) \times 10 = 40 \times 10 = 400$。

2. 對 L 類消費者的定價：
L 類消費者的需求函數為 $Q_L = (60 - P_L)/4$。
廠商的邊際收益 (MR) 函數：
總收益 $TR_L = P_L Q_L = P_L \frac{60 - P_L}{4}$。
反轉需求函數：$P_L = 60 - 4Q_L$。
$TR_L = (60 - 4Q_L) Q_L = 60Q_L - 4Q_L^2$。

核心觀念

本題考查外部性、財產權配置與強科斯定理（strong Coase theorem）。

強科斯定理指出：在沒有交易成本的情況下，不論河川污染權屬於化學公司或釣客，只要雙方能自由協商，財產權的初始分配不會影響資源配置結果；但可能影響所得分配。

本題的關鍵是比較雙方對「停止污染」與「繼續生產 PCB」的最高願付價格與最低願受價格：

• 化學公司：
  • 停止污染至少要獲得 800 美元。
  • 為取得繼續生產的權利，最多願意支付 600 美元。
• 釣客：
  • 為停止污染，最多願意支付 500 美元。
  • 若要接受繼續生產，至少要求 700 美元。

解題方法

分別考慮兩種財產權配置，檢查雙方是否存在可接受的交易區間。

一、河川權利屬於化學公司

化學公司擁有污染權，因此預設結果是繼續生產 PCB。

釣客若想要求公司停止污染，最多願意支付 500 美元；但公司停止污染至少要求 800 美元：

$$500 < 800$$

雙方沒有交易空間，因此釣客無法透過支付補償使公司停止污染，PCB 將繼續生產。

二、河川權利屬於釣客

釣客擁有清潔河川的權利，因此化學公司若想繼續生產 PCB，必須向釣客購買污染權。

公司最多願意支付 600 美元；釣客接受污染至少要求 700 美元：

$$600 < 700$$

雙方同樣沒有交易空間，因此公司無法買得污染權，依此權利配置，PCB 不會生產。

但本題的文字需依「公司是否願意生產」與雙方協商條件整體判斷：公司停止污染需至少 800 美元，而釣客最多願支付 500 美元；公司購買污染權最多支付 600 美元，而釣客至少要求 700 美元。兩種協商方向都無法成立，故財產權改變時，結果取決於原始權利配置：

• 公司有污染權：PCB 生產。
• 釣客有清潔權：PCB 不生產。

因此，財產權配置會影響資源配置，強科斯定理在此並不成立。題目給出的各項支付意願存在明確的協商價格落差，不能直接宣稱權利配置不影響結果。

選項分析

(A) The strong Coase theorem holds in the above scenario.

錯誤。強科斯定理要求在沒有交易成本時，財產權配置不影響資源配置。本題中：

本題考驗外部性問題下的社會福利最大化，以及皮古稅 (Pigouvian tax) 的應用。Firm Alpha 的產量 $x$ 會影響 Firm Beta 的利潤函數，這表明存在負外部性。

首先，我們需要確定社會福利 (Social Welfare, SW) 的函數，並找到最大化社會福利的產量 $x^*$ 和 $y^*$。
社會福利是兩家公司利潤的總和：
$SW(x, y) = \pi_A(x) + \pi_B(y)$
$SW(x, y) = (100x - 0.5x^2) + (100y - 0.5(x + y)^2)$

為了最大化社會福利，我們對 $x$ 和 $y$ 分別求偏導數，並令其等於零。
$\frac{\partial SW}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (100x - 0.5x^2 + 100y - 0.5(x^2 + 2xy + y^2))$
$\frac{\partial SW}{\partial x} = 100 - x - 0.5(2x + 2y) = 100 - x - x - y = 100 - 2x - y$

$\frac{\partial SW}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (100x - 0.5x^2 + 100y - 0.5(x^2 + 2xy + y^2))$
$\frac{\partial SW}{\partial y} = 100 - 0.5(2y + 2x) = 100 - y - x$

令偏導數等於零，以找到最大值點：

1. $100 - 2x^* - y^* = 0 \Rightarrow 2x^* + y^* = 100$
2. $100 - x^* - y^* = 0 \Rightarrow x^* + y^* = 100$

解這個聯立方程組：
從 (2) 式， $y^* = 100 - x^*$。
代入 (1) 式：$2x^* + (100 - x^*) = 100$
$x^* + 100 = 100$
$x^* = 0$。

將 $x^* = 0$ 代入 (2) 式：$0 + y^* = 100 \Rightarrow y^* = 100$。

所以，最大化社會福利的產量是 $x^* = 0$ 和 $y^* = 100$。

分析外部性：
Firm Alpha 的產量 $x$ 會影響 Firm Beta 的利潤函數，具體體現在 $\pi_B(y) = 100y - 0.5(x + y)^2$ 中。
Firm Beta 的利潤函數中的 $-0.5(x + y)^2$ 部分表明，Alpha 的產量 $x$ 越高，Beta 的利潤就越低 (假設 $y>0$)。這是一個負外部性。
Firm Alpha 的利潤函數 $\pi_A(x) = 100x - 0.5x^2$ 是獨立於 $y$ 的。
Firm Alpha 的利潤最大化條件：

本題考驗公共財 (public good) 的生產與消費，以及納許均衡 (Nash Equilibrium) 下的產量與社會福利。這裡的公共財 $s$ 可以由兩位玩家 $1$ 和 $2$ 同時生產和消費。

玩家 1 的利潤函數：$\pi_1(s_1, s_2) = \ln(1 + s_1 + s_2) - cs_1$
玩家 2 的利潤函數：$\pi_2(s_1, s_2) = \ln(1 + s_1 + s_2) - cs_2$
總產量 $s = s_1 + s_2$。
邊際成本 $c$，其中 $0 < c < 1$。
社會福利 $SW = \pi_1 + \pi_2 = 2\ln(1 + s_1 + s_2) - c(s_1 + s_2)$。

1. 尋找納許均衡 (Nash Equilibrium)：
納許均衡是指在對方策略不變的情況下，每個玩家都選擇了其自身利潤最大化的策略。
玩家 1 追求利潤最大化，將 $s_2$ 視為給定：
$\frac{\partial \pi_1}{\partial s_1} = \frac{1}{1 + s_1 + s_2} - c = 0$
$\frac{1}{1 + s_1 + s_2} = c$
$1 + s_1 + s_2 = \frac{1}{c}$
$s_1 = \frac{1}{c} - 1 - s_2$

玩家 2 追求利潤最大化，將 $s_1$ 視為給定：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial s_2} = \frac{1}{1 + s_1 + s_2} - c = 0$
$\frac{1}{1 + s_1 + s_2} = c$
$1 + s_1 + s_2 = \frac{1}{c}$
$s_2 = \frac{1}{c} - 1 - s_1$

在納許均衡下，兩式必須同時滿足。
聯立兩方程：
$s_1 = \frac{1}{c} - 1 - (\frac{1}{c} - 1 - s_1)$
$s_1 = \frac{1}{c} - 1 - \frac{1}{c} + 1 + s_1$
$s_1 = s_1$
這表示任何滿足 $s_1 + s_2 = \frac{1}{c} - 1$ 的 $(s_1, s_2)$ 組合都可能是納許均衡，只要 $s_1 \ge 0$ 和 $s_2 \ge 0$。
令 $S = s_1 + s_2 = \frac{1}{c} - 1$。
由於 $0 < c < 1$，所以 $1/c > 1$，因此 $S = \frac{1}{c} - 1 > 0$。
所以，納許均衡是任何 $s_1 \ge 0, s_2 \ge 0$ 且 $s_1 + s_2 = \frac{1}{c} - 1$ 的組合。

2. 尋找社會福利最大化：
社會福利函數 $SW(s_1, s_2) = 2\ln(1 + s_1 + s_2) - c(s_1 + s_2)$。
令 $S = s_1 + s_2$。
$SW(S) = 2\ln(1 + S) - cS$。
為了最大化社會福利，對 $S$ 微分：
$\frac{dSW}{dS} = 2 \cdot \frac{1}{1 + S} - c = 0$
$\frac{2}{1 + S} = c$
$2 = c(1 + S)$
$1 + S = \frac{2}{c}$
$S = \frac{2}{c} - 1$。
社會福利最大化時的總產量為 $S^* = \frac{2}{c} - 1$。

3. 比較納許均衡與社會福利最大化：
納許均衡總產量 $S_{NE} = \frac{1}{c} - 1$。
社會福利最大化總產量 $S_{SW} = \frac{2}{c} - 1$。
由於 $0 < c < 1$，我們有 $\frac{2}{c} > \frac{1}{c}$。
因此，$S_{SW} = \frac{2}{c} - 1 > \frac{1}{c} - 1 = S_{NE}$。
這意味著，在納許均衡下，公共財的總產量低於社會福利最大化時的產量。這是一種典型的公共財生產不足的現象。

4. 檢視選項：
(A) In any Nash equilibrium, player 1 and player 2 produce the same amounts o

核心觀念

本題考查古諾競爭與無謂損失。古諾競爭中，廠商同時選擇產量，並把對手的產量視為既定，再各自極大化利潤。

市場反需求為 $P=20-Q$，其中總產量 $Q=q_G+q_S$。兩家店的每單位成本均為 2，因此邊際成本 $MC=2$。廠商的利潤等於銷售收入減成本；古諾均衡則是兩家廠商的產量都符合各自的利潤極大化條件。

解題方法

令 Godiva 的產量為 $q_G$，See's 的產量為 $q_S$。Godiva 的利潤為：

$$\pi_G=(P-2)q_G=(20-q_G-q_S-2)q_G$$

對 $q_G$ 求一階導數，並令其等於零：

$$\frac{\partial \pi_G}{\partial q_G}=18-2q_G-q_S=0$$

因此 Godiva 的反應函數為：

$$q_G=\frac{18-q_S}{2}$$

同理，See's 的利潤極大化條件為：

$$18-q_G-2q_S=0$$

所以其反應函數為：

$$q_S=\frac{18-q_G}{2}$$

兩家店的成本與面對的市場需求相同，均衡產量相同。令 $q_G=q_S=q$，代入反應函數：

$$q=\frac{18-q}{2}$$ $$3q=18,\qquad q=6$$

核心觀念

本題考查：

• 預算限制：$px_1+x_2\le 20$
• 邊際替代率：
  $MRS_{1,2}=\left|\frac{dx_2}{dx_1}\right|=\frac{MU_1}{MU_2}$
• 分段效用函數的最適消費
• 內角解、邊界解與比較靜態分析

假設 $p>0$，且 $x_1,x_2\ge 0$。

第一步：判斷最適消費必須滿足 $x_2\ge 10$

當 $x_2<10$ 時，

$u(x_1,x_2)=2x_2<20$

因為此時購買衣服不增加效用。

但選擇 $(x_1,x_2)=(0,20)$ 時，

$u(0,20)=\sqrt{0}+2(20)=40$

因此，任何 $x_2<10$ 的消費組合都不可能是最適解，最適解必定位於 $x_2\ge 10$ 的區域。

在此區域內，效用為

$u(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}+2x_2$

且兩種商品皆具有正邊際效用，因此最適解會用盡全部所得：

$px_1+x_2=20$

所以

$x_2=20-px_1$

代入效用函數：

$$u(x_1)=\sqrt{x_1}+2(20-px_1) =\sqrt{x_1}+40-2px_1$$

第二步：求最適消費組合

對 $x_1$ 微分：

$\frac{du}{dx_1}=\frac{1}{2\sqrt{x_1}}-2p$

內角解滿足

$\frac{1}{2\sqrt{x_1}}=2p$

因此

$\sqrt{x_1}=\frac{1}{4p}$

$x_1^*=\frac{1}{16p^2}$

相應的食物消費為

$$x_2^*=20-px_1^* =20-\frac{1}{16p}$$

此內角解必須滿足 $x_2^*\ge 10$：

$20-\frac{1}{16p}\ge 10$

$\frac{1}{16p}\le 10$

$p\ge \frac{1}{160}$

因此：

• 當 $p\ge \frac{1}{160}$：

$$x_1^*=\frac{1}{16p^2},\qquad x_2^*=20-\frac{1}{16p}$$

• 當 $p<\frac{1}{160}$ 時，內角解會使 $x_2<10$，故最適解落在邊界 $x_2=10$：

  $px_1+10=20$

  $x_1^*=\frac{10}{p},\qquad x_2^*=10$

選項分析

(A) 正確

在 $x_2\ge 10$ 的區域，

本題考驗生產理論，包含固定比例生產函數 (Leontief production function)、短期與長期成本分析。

生產函數：$Q = f(L, K) = \min[L, K]$。這表示勞動和資本是完全互補的，必須以 1:1 的比例投入才能增加產出。

1. 短期分析 (Short Run)：
短期內，資本 $K$ 是固定要素。題目假設短期內只有一台機器，所以 $K=1$。
生產函數變為 $Q = \min[L, 1]$。
由於 $L$ (勞動) 是可變要素，而 $K=1$ 是固定的。

• 如果 $L \le 1$，則 $Q = L$。
• 如果 $L > 1$，則 $Q = 1$。
  產出 $Q$ 的最大值是 $1$ (當 $L \ge 1$ 時)。

短期總成本 (STC)：
短期總成本是固定成本 (與固定要素 $K$ 相關) 加上變動成本 (與變動要素 $L$ 相關)。
固定成本 (FC)：與 $K$ 相關的成本。假設資本的租金率是 $r$。FC = $r \times K = r \times 1 = r$。
變動成本 (VC)：與 $L$ 相關的成本。假設勞動的工資率是 $w$。VC = $w \times L$。
$STC(L) = r + wL$。

短期邊際成本 (SMC)：
SMC 是 STC 對 $Q$ 的導數。
由於 $Q = L$ 當 $L \le 1$ 時，則 $L=Q$。
$STC(Q) = r + wQ$ (當 $Q \le 1$)。
$SMC = \frac{d(STC)}{dQ} = w$ (當 $Q \le 1$)。
當 $L > 1$ 時，$Q=1$ (固定)。此時 SMC 無法定義，或者說，在 $Q > 1$ 之後， SMC 趨近於無限大，因為無法再增加產出。
所以，短期邊際成本是 $w$，但只適用於產量 $Q \le 1$。

短期平均成本 (SAC)：
$SAC = \frac{STC}{Q} = \frac{r + wL}{Q}$。
當 $Q \le 1$ 時，$L=Q$。
$SAC = \frac{r + wQ}{Q} = \frac{r}{Q} + w$ (當 $Q \le 1$)。

2. 長期分析 (Long Run)：
長期內，所有要素都是可變的。
$Q = \min[L, K]$。
為了達到某個產量 $Q$，廠商需要投入 $L=Q$ 和 $K=Q$。
長期總成本 (LTC)：
$LTC = wL + rK = wQ + rQ = (w + r)Q$。

長期邊際成本 (LMC)：
$LMC = \frac{d(LTC)}{dQ} = w + r$。
長期平均成本 (LAC)：
$LAC = \frac{LTC}{Q} = \frac{(w + r)Q}{Q} = w + r$。

3. 檢視選項：
(A) In the short run, this company can always increase the output by hiring more labor.
短期內，$Q = \min[L, 1]$。
當 $L$ 從 $0$ 增加時，產出 $Q$ 會增加 (因為 $Q=L$)，直到 $L=1$。
當 $L$ 達到 $1$ 或超過 $1$ 時，$Q$ 就固定為 $1$ 了。
所以，產出不能「總是」透過增加勞動來增加。一旦 $L \ge 1$，產出就不再增加。
此選項錯誤。

本題考驗完全競爭市場的均衡分析，以及市場進入對價格、產量、利潤和市場份額的影響。

第一階段：外國公司進入前 (僅有 50 家國內廠商)

1. 國內廠商的短期邊際成本 (SMC)：
   $TC_i(q_i) = 20 + 6q_i + 5q_i^2$
   $SMC_i = \frac{dTC_i}{dq_i} = 6 + 10q_i$。
   在完全競爭市場中，廠商的短期供給曲線是其 SMC 曲線在平均變動成本 (AVC) 之上。
   $AVC_i = \frac{VC_i}{q_i} = \frac{6q_i + 5q_i^2}{q_i} = 6 + 5q_i$。
   SMC 總是高於 AVC (因為 $10q_i > 5q_i$ 對於 $q_i > 0$)。
   所以，廠商的短期供給曲線是 $P = 6 + 10q_i$。

2. 市場短期供給函數 (S)：
   總共有 50 家相同的國內廠商。
   市場供給函數是所有廠商供給函數的水平加總。
   對於一個給定的價格 $P$，單一廠商的產量 $q_i = (P - 6)/10$ (前提是 $P \ge 6$)。
   市場總供給 $Q_S = 50 \times q_i = 50 \times \frac{P - 6}{10} = 5(P - 6) = 5P - 30$。
   這個供給函數只對 $P \ge 6$ 有效。

3. 市場均衡價格與產量 (進入前)：
   市場需求 $Q_D = 180 - 2p$。
   市場供給 $Q_S = 5P - 30$。
   均衡時 $Q_D = Q_S$：
   $180 - 2P = 5P - 30$
   $210 = 7P$
   $P = 30$。
   均衡產量 $Q = 5(30) - 30 = 150 - 30 = 120$。
   或者 $Q = 180 - 2(30) = 180 - 60 = 120$。
   均衡價格 $P = 30$。

第二階段：外國公司進入後 (共有 50 家國內廠商 + 1 家外國廠商)

1. 外國廠商的邊際成本 (MCf)：
   $TC_f(q_f) = 69 + 0.5q_f^2$
   $MC_f = \frac{dTC_f}{dq_f} = q_f$。
   外國廠商的平均變動成本 (AVCf)：$AVC_f = \frac{0.5q_f^2}{q_f} = 0.5q_f$。
   外國廠商的供給曲線是 $P = q_f$ (當 $P \ge MC_f$ 的最低點，即 $P \ge 0$)。

2. 新的市場供給函數 (S')：
   市場總供給是國內廠商總供給與外國廠商供給的水平加總。
   國內廠商總供給：$Q_{domestic} = 5P - 30$ (假設 $P \ge 6$)。
   外國廠商供給：$Q_f = P$ (假設 $P \ge 0$)。
   總供給 $Q'_S = Q_{domestic} + Q_f = (5P - 30) + P = 6P - 30$。
   這個供給函數對 $P \ge 6$ 成立。

3. 新的市場均衡價格與產量 (進入後)：
   市場需求 $Q_D = 180 - 2P$。
   新的市場供給 $Q'_S = 6P - 30$。
   均衡時 $Q_D = Q'_S$：
   $180 - 2P = 6P - 30$
   $210 = 8P$
   $P = 210 / 8 = 105 / 4 = 26.25$。
   新的均衡價格 $P' = 26.25$。
   新的均衡產量 $Q' = 180 - 2(26.25) = 180 - 52.5 = 127.5$。

本題考驗不同市場結構的特徵比較，包含完全競爭、獨占、寡占和獨占性競爭。

(A) Every firm earns zero profit in a perfectly competitive market, while a monopolist can generally earn a positive profit.
完全競爭市場 (Perfect Competition)： 在長期均衡下，由於自由進入與退出，廠商的經濟利潤為零。短期內可能為正、負或零。
獨占市場 (Monopoly)： 獨占廠商面臨整個市場需求曲線，若其需求曲線向下傾斜且邊際收益等於邊際成本時，通常可以設定高於邊際成本的價格，從而獲得正的經濟利潤。
此陳述正確。

(B) The deadweight loss caused by a monopoly is always positive, while it is zero under perfect competition.
完全競爭市場： 在效率點 (價格等於邊際成本)，沒有死重損失 (DWL)。
獨占市場： 獨占者將產量設定在邊際收益等於邊際成本處，但價格高於邊際成本，導致產量低於社會效率點，因此會產生正的死重損失。
此陳述正確。

(C) The equilibrium price in an oligopolistic market will always be higher than that determined in a perfectly competitive market.
寡占市場 (Oligopoly)： 寡占市場的價格水平取決於廠商之間的競爭程度 (例如，勾結的程度、競爭模型如 Cournot 或 Bertrand)。
- 在完全競爭市場，價格等於邊際成本 (P = MC)。
- 在寡占市場，若廠商勾結形成卡特爾，價格可能接近獨占價格，高於完全競爭價格。
- 若廠商進行 Bertrand 競爭 (價格競爭)，且產品同質且邊際成本相同，則價格會降至邊際成本，等於完全競爭價格。
- 若廠商進行 Cournot 競爭 (產量競爭)，產量會低於完全競爭，價格會高於邊際成本，但通常低於獨占價格。
因此，寡占市場的價格「不一定」總是高於完全競爭市場。例如，Bertrand 競爭下的價格可能等於完全競爭價格。
此陳述錯誤。

(D) In an oligopolistic market with a given demand, where firms produce homogeneous produc

本題考驗消費者勞動供給決策，包含效用最大化、預算限制與時間約束。Andy 的效用函數是 $u(c, l) = a\sqrt{c} + \sqrt{l}$。

總可用時間 (扣除睡眠後)：$T$ 小時。
時間分配：$L_1$ (Job 1), $L_2$ (Job 2), $l$ (Leisure)。
$T = L_1 + L_2 + l$。

總收入：$Income = w_1 L_1 + w_2 L_2$。
消費 $c$ 的價格是 $p$。
預算約束：$pc = w_1 L_1 + w_2 L_2$。

效用最大化目標：最大化 $u(c, l) = a\sqrt{c} + \sqrt{l}$。

1. 尋找最佳決策：
Andy 需要決定 $L_1, L_2, l$ (以及 $c$)。
由於 $T = L_1 + L_2 + l$，所以 $l = T - L_1 - L_2$。
將 $c$ 和 $l$ 代入效用函數：
$u(L_1, L_2) = a\sqrt{\frac{w_1 L_1 + w_2 L_2}{p}} + \sqrt{T - L_1 - L_2}$。
Andy 需要選擇 $L_1 \ge 0, L_2 \ge 0$ 使得 $L_1 + L_2 \le T$ 來最大化此效用函數。

2. 分析選項：

(A) If w₁ > w₂, Andy will only work for Job 1 and give up Job 2.
這個說法不一定正確。雖然 Job 1 的時薪較高，但 Job 2 也可能提供其他好處，或者 Andy 可能因為其他原因選擇 Job 2。
此外，Andy 的效用函數是 $a\sqrt{c} + \sqrt{l}$。他同時看重消費 $c$ 和休閒 $l$。
若 $w_1 > w_2$，Andy 傾向於將更多時間投入到 Job 1 以獲得更多收入。
但是，如果 Job 2 的時間投入 $(L_2)$ 能夠顯著增加休閒時間 $(l)$，或者 Job 1 的工資 $w_1$ 已經很高，導致他對金錢的需求降低，他仍可能選擇 Job 2。
更重要的是，他可以同時做兩份工作。
如果他只選擇一份工作，他會選擇時薪較高的。但是，他可以同時工作。
所以，僅憑 $w_1 > w_2$ 不能斷定他「只」工作 Job 1。
此選項錯誤。

(B) Other things being equal, when w₁ becomes higher, Andy will work more hours.
當 $w_1$ 提高時，Andy 的總收入潛力增加。
這會產生替代效果和所得效果。
- 替代效果 (Substitution Effect)： 勞動變得相對更具吸引力 (相對於休閒)，因為每小時的收入增加。這會導致 Andy 選擇工作更多小時。
- 所得效果 (Income Effect)： 由於收入潛力增加，Andy 可以負擔得起更多的休閒時間，這會導致他選擇工作更少小時。
Andy 的效用函數 $u(c, l) = a\sqrt{c} + \sqrt{l}$。
他同時看重消費 $c$ 和休閒 $l$。
當 $w_1$ 提高時，從理論上講，勞動供給的總效果 (替代效果和所得效果的總和) 是不確定的，取決於替代效果和所得效果的相對大小。
然而，對於許多標準的效用函數，如果勞動是正常品 (normal good)，則工資上升會導致勞動供給增加。
在這個效用函數下，消費 $c$ 是正常品。