112 年 國立臺灣大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

本題考驗消費者理論中的效用極大化問題，假設為兩財貨的Cobb-Douglas效用函數，且價格相等。

消費者面臨的效用極大化問題為：
Maximize $U(x,y) = xy$
Subject to $P_x x + P_y y = I$

已知 $I=200$, $P_x=3$, $P_y=3$。
效用函數為 $U(x,y) = xy$，此為Cobb-Douglas型式，其邊際效用分別為：
$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = y$
$MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = x$

核心觀念

本題考察「交叉價格效果」與商品間的關係。

若商品 $Y$ 的價格上升，使商品 $X$ 的需求量下降，表示兩者具有互補關係。以交叉價格效果表示：

$$\frac{\partial Q_X}{\partial P_Y}<0$$

也可用交叉價格彈性表示：

$$E_{XY} = \frac{\%\Delta Q_X}{\%\Delta P_Y}$$

當 $E_{XY}<0$ 時，兩商品為互補品；當 $E_{XY}>0$ 時，兩商品為替代品。

解題方法

題目指出：

• $P_Y$ 上升；
• $Q_X$ 下降。

因此，商品 $Y$ 價格與商品 $X$ 需求量呈反向變動：

$$\frac{\Delta Q_X}{\Delta P_Y}<0$$

這正是互補品的定義。例如，咖啡與奶精具有互補性。奶精價格上升，可能降低奶精的購買量，也使搭配奶精使用的咖啡需求下降。

因此正確選項為 (A) complements。

選項分析

(A) complements

正確。互補品是指兩種商品通常搭配使用。當商品 $Y$ 的價格上升時，消費者對商品 $Y$ 的需求下降，也會降低對商品 $X$ 的需求，因此：

$$\frac{\partial Q_X}{\partial P_Y}<0$$

(B) substitutes

錯誤。替代品可以互相取代，例如茶與咖啡。當商品 $Y$ 的價格上升時，消費者會轉向購買商品 $X$，使 $X$ 的需求增加：

本題考驗無異曲線 (Indifference Curves) 的基本性質。題目特別指出 X 和 Y 都是正常財 (normal goods)，但這對無異曲線的性質影響不大，主要影響的是所得效果。無異曲線的性質主要與偏好有關。

無異曲線的幾個基本性質如下：

1. 負斜率 (Downward sloping)：為了維持相同的效用水平，當一種財貨的消費量增加時，另一種財貨的消費量必須減少。這意味著無異曲線是向下傾斜的。
2. 凸向原點 (Convex to the origin)：邊際替代率遞減 (Diminishing Marginal Rate of Substitution, MRS)。這表示隨著 X 的消費量增加，消費者願意放棄的 Y 的數量越來越少。
3. 不相交 (Never intersect)：不同效用水平的無異曲線不會相交。若相交，則會違反理性選擇的假設。
4. 右上角為更高效用 (Further from the origin represents higher utility)：對於同一消費者，離原點越遠的無異曲線代表著更高的總效用水平。

現在我們來分析選項：
(A) They all have the same slopes. (它們都有相同的斜率。)
這是不正確的。無異曲線的斜率是邊際替代率 (MRS)，MRS 通常是變動的（隨著消費組合的改變而改變）。MRS 的絕對值在無異曲線的每一點都不同，所以斜率也不同。

(B) They will never intersect. (它們永遠不會相交。)
這是無異曲線的標準性質之一。假設有兩條無異曲線 $IC_1$ 和 $IC_2$ 相交於點 E。設點 A 在 $IC_1$ 上，點 B 在 $IC_2$ 上。如果 A 在 E 的左上方，B 在 E 的右下方，則：

• 由於 A 和 E 在同一條無異曲線 $IC_1$ 上，所以 $U(A) = U(E)$。
• 由於 B 和 E 在同一條無異曲線 $IC_2$ 上，所以 $U(B) = U(E)$。
  因此，$U(A) = U(B)$。
  但是，如果 A 在 $IC_1$ 上，B 在 $IC_2$ 上，且 $IC_1$ 和 $IC_2$ 相交，我們還需要考慮另一條無異曲線。
  假設 A 在 $IC_1$ 上，$U(A) = U_1$。B 在 $IC_2$ 上，$U(B) = U_2$。E 是交點，$U(E) = U_1 = U_2$。
  假設點 C 在 $IC_1$ 上且在 E 的上方，則 $U(C) > U(E) = U_1$。
  假設點 D 在 $IC_2$ 上且在 E 的下方，則 $U(D) < U(E) = U_2$。
  如果存在一個點 P，它同時在 $IC_1$ 和 $IC_2$ 上，那麼 $U(P)$ 既等於 $U_1$ 又等於 $U_2$。
  這本身沒問題。

本題考驗的是 Arrow 不可能性定理 (Arrow's Impossibility Theorem) 的內容。Arrow 不可能性定理是社會選擇理論中的一個重要結果，它指出，在某些看似合理且溫和的社會選擇規則下，無法設計出一種能夠在三個或三個以上選項之間進行排序的決策機制，以滿足所有社會成員的偏好。

Arrow 定理的結論是，不存在一個「完美的」社會選擇規則。他提出了五個社會選擇規則應滿足的條件（公理）：

1. 帕累托原則 (Pareto Principle)：如果社會上的每一個人都偏好選項 A 勝於選項 B，那麼社會選擇規則也應該偏好 A 勝於 B。
2. 非獨裁原則 (Non-dictatorship)：不存在一個個體，其偏好總是決定社會的偏好，而無視其他所有人的偏好。
3. 傳遞性 (Transitivity) / 社會偏好的排序 (Social Preference Ordering)：如果社會偏好 A 勝於 B，且偏好 B 勝於 C，那麼社會也應該偏好 A 勝於 C。
4. 獨立於無關選項 (Independence from Irrelevant Alternatives, IIA)：社會對兩個選項 A 和 B 的偏好排序，只應取決於個體對 A 和 B 的偏好，而不應受到其他選項（無論是可選項還是不可選項）的存在與否或個體對這些選項的偏好的影響。
5. 非循環性 (Non-cyclicalness) / 無投票循環 (No Voting Cycles)：社會選擇規則不應導致循環的偏好（例如 A > B, B > C, C > A）。

現在我們來核對選項：
(A) non-dictatorship (非獨裁)：這是 Arrow 的公理之一。
(B) no voting cycles (無投票循環)：這是 Arrow 公理的另一種表述方式，與傳遞性或獨立性等共同作用，是定理的結果之一，但也可以看作是定理所要避免的現象。

核心觀念

本題考查個體經濟學中「顯示性偏好理論」（Revealed Preference Theory）與「消費者理性」（Consumer Rationality）之邏輯關係：

1. 消費者理性（Consumer Rationality）：
   在個體經濟學的偏好公理體系中，理性消費者擁有具備「完備性」（Completeness）與「遞移性」（Transitivity）的理性偏好關係（Rational Preference Relation $\succsim$）。當此偏好最大化時所產生的需求行為，必然滿足顯示性偏好弱公理（Weak Axiom of Revealed Preference, WARP）。
2. 顯示性偏好弱公理（WARP）：
   若消費組合 $x$ 在價格 $p$ 下被選擇，而消費組合 $y$ 亦買得起（即 $p \cdot y \le p \cdot x$ 且 $y \ne x$），則在使 $y$ 被選擇的價格 $p'$ 下，$x$ 必定買不起（即 $p' \cdot x > p' \cdot y$）。
3. 理性與 WARP 的邏輯關係：
   • 「理性偏好極大化」 $\implies$ 「滿足 WARP」：若消費者的選擇是由一個具備完備性與遞移性的理性偏好最大化產生，則其需求行為必然符合 WARP。因此，滿足 WARP 是消費者理性的必要條件（Necessary Condition）。
   • 「滿足 WARP」 $\centernot\implies$ 「理性偏好極大化」：若僅有 WARP，當商品種類在三種以上（$N \ge 3$）時，可能出現循環偏好的情況（違反遞移性），無法保證存在一個能將該選擇行為完全理性化的偏好關係。欲作為理性化的充分條件，必須滿足「顯示性偏好強公理」（Strong Axiom of Revealed Preference, SARP）或引進可積性條件（Integrability Conditions）。

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解題方法

判定兩經濟概念的邏輯條件關係：

• 設命題 $P$ 為「消費者具備理性（其需求行為由理性偏好極大化產生）」。
• 設命題 $Q$ 為「消費者的需求行為滿足 WARP」。

根據 Mas-Colell, Whinston, and Green (MWG)《Microeconomic Theory》第二章與第三章之基本定理：

$$P \implies Q$$

但當財貨數量 $N \ge 3$ 時：

$$Q \centernot\implies P$$

本題考驗消費者理論中的效用極大化問題，假設為兩財貨的雷氏 (Leontief) 或固定比例 (Perfect Complements) 效用函數。

消費者面臨的效用極大化問題為：
Maximize $U(x,y) = \min\{x, y\}$
Subject to $P_x x + P_y y = I$

已知 $I=200$, $P_x=2$, $P_y=2$。
效用函數為 $U(x,y) = \min\{x, y\}$。這種效用函數的特點是，消費者會將兩種財貨以固定的比例消費，以達到最高的效用。在這種情況下，最佳消費點總是在 $x=y$ 的線上。因為如果 $x > y$，則增加 $x$ 並不能提高效用，因為 $y$ 是限制因素；

核心觀念

本題考查：

• 線性效用函數下的消費者最適選擇。
• 邊際效用對價格的比較。
• 預算限制下，消費者會將所得配置於「每一元支出所帶來效用較高」的商品。

效用函數為：

$$U(x,y)=x+y$$

因此兩種商品的邊際效用皆為：

$$MU_x=1,\qquad MU_y=1$$

題目給定：

$$2P_x=P_y=2$$

所以：

$$P_x=1,\qquad P_y=2$$

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解題方法：比較每一元所得帶來的效用

消費者應比較兩種商品的「邊際效用／價格」：

$$\frac{MU_x}{P_x}=\frac{1}{1}=1$$ $$\frac{MU_y}{P_y}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

因為：

$$\frac{MU_x}{P_x}>\frac{MU_y}{P_y}$$

購買商品 $x$ 每花費一元所增加的效用，高於購買商品 $y$。因此 Stacy 會將全部所得用於購買商品 $x$。

預算限制為：

$$P_xx+P_yy=I$$

代入 $P_x=1$、$P_y=2$、$I=200$：

$$x+2y=200$$

最適消費組合為：

$$x^*=200,\qquad y^*=0$$

因此必定有：

$$y^*=0$$

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選項分析

(A) $x^*=0$：錯誤。

核心觀念

本題的核心考點為顯示性偏好理論（Revealed Preference Theory）與消費者福利變動分析。

1. 直接顯示偏好（Directly Revealed Preferred）：
   若在價格向量 $P^0$ 與所得 $I^0$ 下，消費者選擇了組合 $X^0$，而另一個組合 $X^1$ 同樣落在預算集合內（即 $P^0 \cdot X^1 \le I^0 = P^0 \cdot X^0$），且 $X^0 \ne X^1$，則表示 $X^0$ 直接顯示偏好於 $X^1$（記作 $X^0 R^D X^1$）。
2. 嚴格擬凹效用函數（Strictly Quasi-concave Utility Function）：
   效用函數具嚴格擬凹性，代表消費者的偏好滿足嚴格凸性（Strict Convexity），其無異曲線嚴格凸向原點。在滿足局部無厭足（Local Nonsatiation）與預算線為線性的情況下，效用極大化解具有唯一性（Uniqueness）。
   因此，只要 $X^1$ 在基期預算內可負擔且 $X^0 \ne X^1$，即可確定： $$U(X^0) > U(X^1)$$

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解題方法

我們將三年前設為「基期」（以符號 $0$ 表示），現在設為「本期」（以符號 $1$ 表示）。

步驟一：整理各期數據與消費組合

• 基期（三年前）：

  • 價格向量：$P^0 = (P_x^0, P_y^0, P_z^0) = (5, 5, 5)$
  • 實質選擇：$X^0 = (x^0, y^0, z^0) = (10, 20, 10)$
  • 基期總支出： $$P^0 \cdot X^0 = 5 \times 10 + 5 \times 20 + 5 \times 10 = 50 + 100 + 50 = 200$$
  • 基期所得 $I^0 = 200$，所得全數用盡。

• 本期（現在）：

  • 價格向量：$P^1 = (P_x^1, P_y^1, P_z^1) = (10, 6, 3)$
  • 實質選擇：$X^1 = (x^1, y^1, z^1) = (5, 15, 20)$
  • 本期總支出： $$P^1 \cdot X^1 = 10 \times 5 + 6 \times 15 + 3 \times 20 = 50 + 90 + 60 = 200$$
  • 本期所得 $I^1 = 200$，所得全數用盡。

步驟二：交叉檢驗購買力與顯示偏好關係

1. 以本期價格購買基期組合 $X^0$ 所需支出： $$P^1 \cdot X^0 = 10 \times 10 + 6 \times 20 + 3 \times 10 = 100 + 120 + 30 = 250$$ 因為 $P^1 \cdot X^0 = 250 > I^1 = 200$，說明在現在的物價下，Mary 買不起三年前的組合 $X^0$。因此，現在選擇 $X^1$ 無法判定 $X^1$ 是否顯示偏好於 $X^0$。

本題考驗公共財 (Public Goods) 的供給與效率問題，特別是自願供給的市場失靈。

公共財具有非敵對性 (non-rivalrous) 和非排他性 (non-excludable) 的特徵。

• 非敵對性：一個人消費該財貨不會減少其他人對該財貨的消費。
• 非排他性：無法阻止不付費的人消費該財貨。

由於非排他性，個人沒有足夠的動機去支付公共財的費用，因為即使他不支付，他仍然可以享受到該公共財。這種現象稱為「搭便車問題」(free-rider problem)。

當公共財由個人自願供給時，每個人會基於自身的私人利益來決定支付多少。然而，由於搭便車問題，每個人傾向於少付或不付，期望他人支付。結果是，個人自願支付的總額會低於社會認為有效率的供給水平。

社會效率的供給水平通常由所有消費者的邊際效益加總等於邊際成本來決定。
對於公共財，社會的邊際效益是所有消費者的邊際效益之和：$\sum_{i=1}^{n} MB_i = MSB$。
有效率的供給條件是 $MSB = MC$ (邊際成本)。

然而，在自願供給的情況下，每個人只會考慮自己的邊際效益 $MB_i$。如果他們決定支付，他們會支付到 $MB_i = MC_i'$，其中 $MC_i'$ 是他們分攤到的邊際成本。但實際上，由於搭便車，他們可能只支付到 $MB_i$ 低於 $MC_i'$ 的水平。
更重要的是，由於搭便車，每個人都希望別人多付，所以他們會根據自己「分攤到的」邊際成本來決定支付，但他們不會考慮對他人產生的外部性。
最簡單的理解是，由於搭便車，人們傾向於少貢獻。

本題考驗消費者理論中，關於正常財 (Normal Goods)、劣等財 (Inferior Goods) 和普通財 (Ordinary Goods) 的定義與關係。

我們逐一分析每個選項：

定義回顧：

• 正常財 (Normal Good)：所得增加時，需求量增加。即 $\frac{\partial x}{\partial I} > 0$。
• 劣等財 (Inferior Good)：所得增加時，需求量減少。即 $\frac{\partial x}{\partial I} < 0$。
• 普通財 (Ordinary Good)：價格上漲時，需求量減少。即 $\frac{\partial x}{\partial P} < 0$。這是由價格效果分解為所得效果和替代效果得到的。替代效果永遠是負的（價格上升，替代效果導致需求量減少）。
• 季芬財 (Giffen Good)：一種特殊的劣等財，其價格上漲時，需求量反而增加。即 $\frac{\partial x}{\partial P} > 0$。這發生在所得效果的負向影響大於替代效果的負向影響時。

選項分析：

(A) Normal goods must be ordinary (正常財必須是普通財)
正常財的定義是 $\frac{\partial x}{\partial I} > 0$。
普通財的定義是 $\frac{\partial x}{\partial P} < 0$。
價格效果 $\frac{\partial x}{\partial P} = \frac{\partial x}{\partial P}|_{s.e.} + \frac{\partial x}{\partial P}|_{i.e.}$。
替代效果 $\frac{\partial x}{\partial P}|_{s.e.} < 0$ (價格上升，替代效果導致需求減少)。
所得效果 $\frac{\partial x}{\partial P}|_{i.e.} = \frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{\partial I}{\partial P}$。
對於普通財，總價格效果為負 ($\frac{\partial x}{\partial P} < 0$)。
對於正常財，$\frac{\partial x}{\partial I} > 0$。
如果所得效果是正的（即財貨是正常財），那麼 $\frac{\partial x}{\partial P}|_{i.e.} = (\text{正}) \cdot (\text{某數})$。
$\frac{\partial I}{\partial P}$ 的符號取決於我們如何定義所得效果。Slutsky 方程中，$\frac{\partial I}{\partial P} = -x$。
所以，對於 Slutsky 分解，所得效果為 $\frac{\partial x}{\partial I} (-x)$。
如果 $\frac{\partial x}{\partial I} > 0$ (正常財)，則所得效果為負。
總價格效果 = 替代效果 (負) + 所得效果 (負)。
因此，正常財的總價格效果必然是負的。
所以，正常財必然是普通財。這個敘述是正確的。

本題考驗稅賦歸宿 (Tax Incidence) 的概念，特別是當政府對賣方徵收從量稅 (quantity tax) 時。

當政府對賣方徵收每單位 $t$ 的從量稅時，這會導致賣方的供給曲線向上移動 $t$ 個單位（或從買方的角度看，需求曲線向下移動 $t$ 個單位）。
新的市場均衡價格將會上升，但上升的幅度通常會小於 $t$。

稅賦的負擔（稅賦歸宿）取決於買賣雙方的需求彈性和供給彈性。

• 需求彈性 (Elasticity of Demand, $E_d$)：衡量價格變動對需求量變動的敏感度。
• 供給彈性 (Elasticity of Supply, $E_s$)：衡量價格變動對供給量變動的敏感度。

稅賦的負擔會由對價格變動較不敏感的一方承擔較多。

• 如果需求彈性較小（較無彈性），買方對價格變動的反應較小，因此會承擔較多的稅賦。
• 如果供給彈性較小（較無彈性），賣方對價格變動的反應較小，因此會承擔較多的稅賦。

具體來說，賣方實際承擔的稅賦比例為 $\frac{E_d}{E_d - E_s}$，買方實際承擔的稅賦比例為 $\frac{-E_s}{E_d - E_s}$。
（注意：這裡的彈性是絕對值，或者在公式中考慮符號。）
更常見的說法是：

本題考驗公共財的決策機制與效率問題，特別是簡單多數決投票 (simple majority voting) 在公共財供給決策中的應用。

簡單多數決是指，在對一個公共財的供給水平進行投票時，獲得超過一半票數的選項即為最終決定。
在公共財的供給決策中，每個個體都會根據自己的偏好來投票。對於公共財，供給水平越高，對某些人越有利，對另一些人可能越不利（因為供給越多，分攤的成本也可能越高）。

假設存在一個「社會最適」的公共財供給水平，這個水平通常是通過加總所有個體的邊際效益（MSB）並使其等於邊際成本（MC）來確定的。
然而，簡單多數決的決策過程與社會最適決策過程有很大的不同。

考慮一個公共財的供給水平 $Q$。假設該公共財的邊際效益曲線向下傾斜（因為邊際替代率遞減），邊際成本曲線向上傾斜（因為邊際成本遞增）。社會最適的 $Q^*$ 是 $MSB(Q^*) = MC(Q^*)$ 的地方。

現在考慮簡單多數決。假設有 $N$ 個投票者。對於一個給定的供給水平 $Q$，每個投票者都有一個「臨界點」（或稱「中位選民」的偏好）。
投票者會選擇他們認為最有利的供給水平。

核心觀念

本題測驗生產者理論中**短期總成本函數（$SRTC$）與長期總成本函數（$LRTC$）**之求解與數值計算：

1. 短期成本最小化：固定要素為資本（$\bar{k}=1$），由生產函數直接反解出勞動需求 $l(y)$，短期總成本為可變成本與固定成本之和：
   $SRTC(y) = w \cdot l(y) + r \cdot \bar{k}$
2. 長期成本最小化：所有要素皆可自由調整，廠商在產量限制下追求成本極小化。內生最適要素比例滿足邊際技術替代率等於要素價格比（$MRTS_{lk} = \frac{w}{r}$），解出條件要素需求函數（Conditional Factor Demand Functions）$l(y)$ 與 $k(y)$，進而推導出長期總成本函數：
   $LRTC(y) = w \cdot l(y) + r \cdot k(y)$

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解題方法

已知生產函數為 $y = (lk)^{1/3} = l^{1/3} k^{1/3}$，要素價格為 $w = 1$、$r = 2$。

1. 短期總成本函數 $SRTC(y)$ 推導

在短期內，資本固定於 $\bar{k} = 1$：
$y = (l \cdot 1)^{1/3} = l^{1/3} \implies l = y^3$
因此短期要素需求為 $l(y) = y^3$，短期總成本函數為：
$SRTC(y) = w \cdot l(y) + r \cdot \bar{k} = 1 \cdot y^3 + 2 \cdot 1 = y^3 + 2$
將產量 $y = 2$ 代入：
$SRTC(2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$
即短期總成本為 $10。

2. 長期總成本函數 $LRTC(y)$ 推導

長期成本最小化問題為：
$\min_{l, k} \; l + 2k \quad \text{s.t.} \quad l^{1/3}k^{1/3} = y$

由內點解之一階條件（成本極小化條件）：
$MRTS_{lk} = \frac{MP_l}{MP_k} = \frac{\frac{1}{3}l^{-2/3}k^{1/3}}{\frac{1}{3}l^{1/3}k^{-2/3}} = \frac{k}{l} = \frac{w}{r} = \frac{1}{2}$
可得最適擴張路徑之要素配置比例：
$l = 2k \quad \left(\text{或 } k = \frac{l}{2}\right)$

將 $l = 2k$ 代回生產函數：
$y = (2k \cdot k)^{1/3} = (2k^2)^{1/3}$
兩邊取 3 次方：

核心觀念

本題考查二人二策略賽局的混合策略 Nash equilibrium。

在內點混合均衡中：

• 行玩家混合 $S1$、$S2$ 時，欄玩家必須在 $T1$、$T2$ 之間無差異。
• 欄玩家混合 $T1$、$T2$ 時，行玩家必須在 $S1$、$S2$ 之間無差異。

否則，某一方會偏好其中一個純策略，不會採用真正的混合策略。

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解題方法

設行玩家以機率 $p$ 選擇 $S1$，欄玩家以機率 $q$ 選擇 $T1$。

一、求欄玩家的混合機率 $q$

行玩家選擇 $S1$ 的期望報酬為：

$$EU_R(S1)=2q+0(1-q)=2q$$

行玩家選擇 $S2$ 的期望報酬為：

$$EU_R(S2)=1q+2(1-q)=2-q$$

混合均衡要求行玩家對 $S1$ 與 $S2$ 無差異，因此：

$$2q=2-q$$ $$3q=2$$ $$q=\frac{2}{3}$$

二、求行玩家的混合機率 $p$

欄玩家選擇 $T1$ 的期望報酬為：

$$EU_C(T1)=3p+5(1-p)=5-2p$$

欄玩家選擇 $T2$ 的期望報酬為：

$$EU_C(T2)=4p+1(1-p)=1+3p$$

混合均衡要求欄玩家對 $T1$ 與 $T2$ 無差異，因此：

$$5-2p=1+3p$$ $$4=5p$$ $$p=\frac{4}{5}$$

所以混合策略均衡為：

$$\left(p,q\right)=\left(\frac45,\frac23\right)$$

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選項分析

核心觀念

1. 完全競爭市場的長期均衡（Long-Run Equilibrium in Perfect Competition）：
   在自由進出（Free Entry and Exit）的假設下，若市場存在超額利潤，新廠商將會進入；若面臨虧損，既有廠商將會退出。因此，長期均衡時廠商的經濟利潤為零（Zero Economic Profit）。
2. 零經濟利潤與最適規模（Minimum Efficient Scale, MES）：
   個別廠商必定在長期平均成本的最低點進行生產，此時市場均衡價格等於最低長期平均成本與長期邊際成本： $$P^* = \min LRAC = LRMC(q_i^*)$$
3. 潛在生產者約束檢驗：
   若均衡所需的營運廠商家數小於或等於市場上的潛在生產者總數（$n^* \le 1,000$），則長期供給曲線在 $P = \min LRAC$ 處完全有彈性，市場價格直接由成本結構的最低點決定。

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解題方法

步驟一：求個別廠商的長期平均成本函數（$LRAC$）與邊際成本函數（$LRMC$）

由題意，$LRTC(q_i) = q_i^2 + q_i + 100$（當 $q_i > 0$）：

$$LRAC(q_i) = \frac{LRTC(q_i)}{q_i} = q_i + 1 + \frac{100}{q_i}$$ $$LRMC(q_i) = \frac{d LRTC(q_i)}{d q_i} = 2q_i + 1$$

步驟二：求解個別廠商的最適產量（$q_i^*$）與長期均衡價格（$P^*$）

廠商達長期均衡時，$LRMC = LRAC$（亦即 $LRAC$ 處於最低點）：

$$2q_i + 1 = q_i + 1 + \frac{100}{q_i}$$ $$q_i = \frac{100}{q_i} \implies q_i^2 = 100$$

由於產量 $q_i > 0$，可得個別廠商的長期最適產量為：

$$q_i^* = 10$$

將 $q_i^* = 10$ 代入 $LRAC$ 函數，求得長期均衡價格：

$$P^* = \min LRAC = 10 + 1 + \frac{100}{10} = 21$$

步驟三：檢驗市場需求與廠商家數

本題延續前一題，探討完全競爭市場的長期均衡中的廠商數量和個別廠商產量。

根據前一題的分析，我們已經計算出：

• 長期均衡價格 $p = 21$。
• 在長期均衡價格 $p=21$ 下，每個廠商為了最小化平均總成本，其產量 $q_i$ 應該使得 $LRATC$ 達到最小值，這個點發生在 $q_i = 10$。
• 同時，在長期均衡時，廠商的邊際成本 (MC) 也等於價格 (p)。我們計算 $LRMC(q_i) = 2q_i + 1$。當 $q_i = 10$ 時，$LRMC(10) = 2(10) + 1 = 21$，這與價格 $p=21$ 相符。
• 在 $p=21$ 時，市場需求量 $q_d = 410 - 10(21) = 410 - 210 = 200$。

核心觀念

本題考察「單位稅對完全競爭市場均衡的影響」。

政府向廠商每銷售一單位課徵 4 元單位稅，因此：

• 消費者支付的價格為 $p_c$；
• 廠商實際收到、扣除稅額後的價格為 $p_f$；
• 兩者關係為

$$p_f=p_c-4$$

供給函數應以廠商實際收到的價格 $p_f$ 為基礎。

解題方法

市場需求為

$$q_d=100-p_c$$

原供給函數為

$$q_s=3p_f$$

課稅後，因為廠商每單位需繳交 4 元，故

$$p_f=p_c-4$$

代入供給函數：

$$q_s=3(p_c-4)$$

市場均衡要求需求量等於供給量：

$$100-p_c=3(p_c-4)$$

展開並整理：

$$100-p_c=3p_c-12$$ $$112=4p_c$$ $$p_c=28$$

因此，課稅後消費者支付的均衡價格為 28 元。此時廠商扣除稅額後實際收到的價格為

$$p_f=28-4=24$$

核心觀念

本題考「課稅造成的無謂損失」（deadweight loss, DWL）。

課稅會使市場交易量由課稅前的有效率數量下降至課稅後數量。原本可以產生的部分交易剩餘因交易消失而損失，形成無謂損失。

在線性供需曲線下，無謂損失為三角形面積：

$$DWL=\frac{1}{2}\times \text{每單位稅額}\times \text{交易量減少量}$$

其中：

• 每單位稅額為買方支付價格與賣方實收價格的差額；
• 交易量減少量為課稅前數量減課稅後數量。

解題方法

依前題設定，課稅使每單位商品形成 4 元的稅負，且交易量由 8 單位下降至 6 單位，因此交易量減少：

$$\Delta Q=8-6=2$$

課稅造成的無謂損失為：

$$DWL=\frac{1}{2}\times 4\times 2=4$$

因此，稅收造成的無謂損失為 4 元。

選項分析

• (A) $2：錯誤。
  這不是無謂損失三角形的正確面積，少算了稅額與交易量減少所形成的完整損失。

• (B) $4：正確。
  由

本題考驗壟斷廠商的第三級差別訂價 (Third-degree price discrimination)。在這種情況下，壟斷者將市場分成兩個或多個子市場，並在每個市場設定不同的價格，但其總成本取決於所有市場的總產量。

壟斷者的利潤極大化條件：
壟斷者會選擇使總收益對總產量的邊際收益 (MR) 等於總成本對總產量的邊際成本 (MC)。同時，在每個市場，邊際收益必須等於邊際成本。

1. 總成本函數：
$TC(q) = \frac{q^2}{6}$，其中 $q = q_1 + q_2$。

2. 邊際成本 (MC)：
$MC = \frac{dTC}{dq} = \frac{d}{dq}(\frac{q^2}{6}) = \frac{2q}{6} = \frac{q}{3}$。
將 $q = q_1 + q_2$ 代入：
$MC = \frac{q_1 + q_2}{3}$。

3. 各市場的需求函數與邊際收益 (MR)：
市場 1：
需求函數：$q_1 = 100 - p_1$
反需求函數：$p_1 = 100 - q_1$
總收益 $TR_1 = p_1 q_1 = (100 - q_1)q_1 = 100q_1 - q_1^2$
邊際收益 $MR_1 = \frac{dTR_1}{dq_1} = 100 - 2q_1$

市場 2：
需求函數：$q_2 = 80 - 2p_2$
反需求函數：$2p_2 = 80 - q_2 \implies p_2 = 40 - \frac{1}{2}q_2$
總收益 $TR_2 = p_2 q_2 = (40 - \frac{1}{2}q_2)q_2 = 40q_2 - \frac{1}{2}q_2^2$
邊際收益 $MR_2 = \frac{dTR_2}{dq_2} = 40 - q_2$

4. 利潤極大化條件：
在第三級差別訂價下，壟斷者會在每個市場設定 $MR_i = MC$。
然而，這裡的 MC 是總產量 q 的函數，而不是 q1 或 q2 的函數。
所以，我們應該將 $MR_1$ 和 $MR_2$ 中的 $q_1$ 和 $q_2$ 轉換為與 MC 相關的形式。
更正確的做法是，將總收益 $TR = TR_1 + TR_2$ 對總產量 $q$ 求導，得到總邊際收益 $MR_{total}$，然後令 $MR_{total} = MC$。
但是，這樣無法保證 $MR_1$ 和 $MR_2$ 相等。

正確的做法是：在每個市場，壟斷者會選擇 $q_i$ 使得 $MR_i = MC(q_1+q_2)$。
這是因為，雖然成本函數是總產量的函數，但每個市場的邊際收益是獨立的。

本題延續上一題，要求判斷在最佳定價方案下，各市場的產量關係以及總產量。

根據上一題的計算，我們得到：

• 市場 1 的最佳產量 $q_1 = 40$。
• 市場 2 的最佳產量 $q_2 = 20$。
• 總產量 $q = q_1 + q_2 = 40 + 20 = 60$。

現在我們來檢查選項：
(A) $q_1 > q_2$：由於 $q_1 = 40$ 且 $q_2 = 20$，所以 $40 > 20$。這個敘述是正確的。
(B) $q_1 < q_2$：由於 $40 > 20$，這個敘述是錯誤的。

核心觀念

本題考查擁擠性外部性（Congestion Externality）、**公共資源悲劇（Tragedy of the Commons / Open-Access Resource）以及庇古稅／擁擠通行費（Pigouvian Tax / Congestion Toll）**的應用。

1. 社會最適（Social Optimum）：社會規劃者追求全體 200 人的總休閒價值極大化，決策時須同時考慮每多一位遊客帶來的邊際私人效益，以及對其他遊客造成的負向擁擠外部性（使其他人的休閒價值下降）。
2. 市場自由進入均衡（Open-Access Equilibrium）：在沒有價格管制或給定票價 $p$ 下，同質的理性市民會比較「去動物園的淨休閒價值」與「在家玩電玩的保留價值」，直到兩者無異（平均效益等於機會成本），產生過度進入（Over-entry）。
3. 最適定價：政府可藉由收取門票價格 $p^*$ 內生化擁擠外部性，使自由進入的人數恰好等於社會最適人數 $n^*$。

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解題方法

步驟一：求社會最適參觀人數 $n^*$

城市共有 200 人，每人每天的替代方案為玩電玩，休閒價值固定為 $20。若當天有 $n$ 人參觀動物園，則有 $200 - n$ 人在家玩電玩。

全體 200 人的總休閒價值函數 $W(n)$ 為：

$$W(n) = n \cdot V(n) + (200 - n) \times 20$$

將 $V(n) = 200 - n$ 代入：

$$W(n) = n(200 - n) + 20(200 - n) = 200n - n^2 + 4000 - 20n = 4000 + 180n - n^2$$

為求總休閒價值極大，對 $n$ 進行一階微分並令其為 0（F.O.C.）：

$$\frac{dW(n)}{dn} = 180 - 2n = 0 \implies n^* = 90$$

檢查二階充分條件（S.O.C.）：

$$\frac{d^2W(n)}{dn^2} = -2 < 0$$

滿足極大值條件，故社會最適的動物園參觀人數為 $n^* = 90$ 人（此時有 $200 - 90 = 110$ 人玩電玩）。

步驟二：分析市民的決策與市場均衡條件

設每張門票售價為 $p$：

• 參觀動物園的淨休閒價值為：$V(n) - p = (200 - n) - p$
• 玩電玩的休閒價值為：$20

由於 200 位市民完全同質，在自由選擇且存在內部均衡（$0 < n < 200$）時，兩項活動的效益必定相等（無異條件）：

$$200 - n - p = 20$$

由此可導出給定票價 $p$ 下的均衡參觀人數：

核心觀念

本題的核心觀念為獨占定價與總收益極大化（Total Revenue Maximization），主要涉及以下經濟學原理：

1. 總收益函數（Total Revenue, $TR$）與一階條件：
   總收益定義為票價乘上銷售數量：
   $TR(Q) = P(Q) \times Q$
   或以價格為自變數：
   $TR(P) = P \times Q(P)$
   總收益極大化的一階條件（First-Order Condition, FOC）為邊際收益等於零：
   $\frac{dTR}{dQ} = MR = 0 \quad \text{或} \quad \frac{dTR}{dP} = 0$

2. 邊際收益與需求價格彈性之關係（Amoroso-Robinson 公式）：
   邊際收益與需求價格點彈性（$\epsilon_d = -\frac{dQ}{dP}\frac{P}{Q}$）的關係為：
   $MR = P \left( 1 - \frac{1}{\epsilon_d} \right)$

   • 當 $MR > 0$ 時，需求彈性 $\epsilon_d > 1$（富有彈性），降價可使總收益增加。
   • 當 $MR < 0$ 時，需求彈性 $\epsilon_d < 1$（缺乏彈性），漲價可使總收益增加。
   • 當 $MR = 0$ 時，需求彈性 $\epsilon_d = 1$（單一彈性），此時總收益達到最大值。

3. 線性需求曲線的中點法則：
   對於任意線性反需求函數 $P = a - bQ$（其中 $a$ 為垂直截距／願付價格上限）：
   $MR = a - 2bQ$
   令 $MR = 0$，解得最適銷售數量為 $Q^* = \frac{a}{2b}$，代入反需求函數可得最適定價恰為需求曲線垂直截距的一半：
   $P^* = \frac{a}{2}$

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解題方法

承接前題（第 21 題）所給定的市場需求結構，門票需求函數之最高願付價格（價格截距）為 $a = 160$（即反需求函數為 $P = 160 - bQ$，或總需求函數在 $P \le 160$ 時成立）。

步驟一：建立總收益目標函數

市政府的目標為極大化每日門票總收益（$TR$）：
$TR(Q) = P(Q) \cdot Q = (160 - bQ)Q = 160Q - bQ^2$

步驟二：求取邊際收益並設定極值條件

對總收益函數對數量 $Q$ 微分求邊際收益（$MR$），並令其等於 0：
$\frac{dTR}{dQ} = 160 - 2bQ = 0$
解得收益極大化時的每日門票銷售量：