112 年 國立臺灣大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

核心觀念

本題考查廠商的利潤極大化，以及線性生產函數下的勞動需求。

廠商利潤為

$$\pi^f=F(n)-wn$$

其中 $F(n)=zn$，因此勞動的邊際產量為

$$MPN=F'(n)=z.$$

由於題目未另外給定產品價格，可視為產品價格標準化為 $1$。廠商僱用勞動的基本判斷是比較：

• 勞動的邊際收益：$MPN=z$
• 勞動的邊際成本：工資 $w$

解題方法與利潤極大化

廠商選擇勞動投入 $n\geq 0$，使利潤最大：

$$\max_{n\geq 0}\ \pi^f=zn-wn$$

整理得

$$\max_{n\geq 0}\ \pi^f=(z-w)n.$$

因為利潤對 $n$ 是線性的，必須依照 $z-w$ 的正負判斷：

1. 當 $w>z$ 時，

$$z-w<0.$$

每增加一單位勞動都會使利潤減少，因此廠商選擇

$$n^*=0.$$

此時最大利潤為

$$\pi^{f*}=0.$$

2. 當 $w<z$ 時，

$$z-w>0.$$

每增加一單位勞動都會增加利潤。若廠商可僱用的勞動量沒有上限，利潤會隨 $n$ 增加而無限上升，因此不存在有限的最適勞動需求；可表示為

$$N^d(w)=+\infty.$$

3. 當 $w=z$ 時，

$$z-w=0.$$

因此

$$\pi^f=(z-w)n=0$$

對所有 $n\geq 0$ 都成立。廠商僱用任何數量的勞動，利潤均相同，故最適勞動需求不是單一數值，而是

$$N^d(z)\in[0,+\infty).$$

綜合而言，廠商的勞動需求可寫為

$$N^d(w)= \begin{cases} +\infty, & w<z,\\ [0,+\infty), & w=z,\\ 0, & w>z. \end{cases}$$

若考慮本經濟體中每戶時間禀賦為 $1$，且總勞動供給最多為 $1$，則可將上述結果限制在可行範圍內：

核心觀念

本題考查競爭均衡下的勞動市場均衡，以及家庭勞動供給不會落在兩個角點 $n=0$ 或 $n=1$。

關鍵條件有三個：

1. 廠商的邊際生產力為
   $F'(n)=z.$

2. 競爭均衡工資等於勞動的邊際生產力，因此
   $w^*=z.$

3. 家庭的休閒為
   $\ell=1-n.$

在標準參數假設 $\rho>1$、$\alpha>0$ 下，效用函數中的指數

$q=1-\frac{1}{\rho}=\frac{\rho-1}{\rho}$

滿足 $0<q<1$。因此，休閒在 $\ell=0$ 附近的邊際效用為無限大，家庭不會選擇完全不休閒的 $n=1$。

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解題方法一：先求競爭均衡工資

廠商利潤為

$\pi_f=F(n)-wn=(z-w)n.$

若 $w<z$，廠商增加勞動投入可以提高利潤；若勞動投入上限為一單位，廠商會要求最大勞動量 $n=1$。

若 $w>z$，廠商不會雇用勞工，勞動需求為 $n=0$。

在競爭均衡中，勞動供給必須等於勞動需求。由於家庭不會選擇 $n=1$ 或 $n=0$，唯一能使勞動市場達成均衡的工資為邊際生產力：

$w^*=z.$

此時廠商利潤為零，因此家庭收到的股利為

$\pi=0.$

政府預算限制為 $G=\tau$，所以家庭預算限制變成

$c=z n-G.$

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為何家庭不會選擇 $n=0$

當家庭選擇 $n=0$ 時，休閒為

$\ell=1.$

但由家庭預算限制，

$c=w^*\cdot 0+\pi-\tau=0+0-G=-G<0.$

因為 $G>0$，此時消費為負，不符合消費的定義域，也不具備可行性。因此，$n=0$ 不可能是家庭的最適選擇。

直觀上，政府支出由正額定額稅融通；若家庭完全不工作，沒有工資收入，而廠商又沒有利潤可分配，家庭無法支付稅負並維持非負消費。

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為何家庭不會選擇 $n=1$

當家庭選擇 $n=1$ 時，

$\ell=0.$

設此時的消費為

$c_1=z-G>0.$

考慮家庭將極小部分工作時間轉為休閒。令 $\varepsilon>0$ 很小，改選

$n=1-\varepsilon,\qquad \ell=\varepsilon.$

由於工資為 $z$，消費變為

$$c_\varepsilon=z(1-\varepsilon)-G =c_1-z\varepsilon.$$

原本在 $n=1$ 時的效用為

$u_1=c_1^q+\alpha\cdot 0^q=c_1^q.$

改變後的效用為

$u_\varepsilon=(c_1-z\varepsilon)^q+\alpha\varepsilon^q.$

核心觀念

本題考查兩項重點：

1. 家戶在消費 $c$ 與休閒 $\ell$ 之間的最適選擇條件。
2. 以邊際替代率定義消費與休閒的替代彈性，並判斷其是否為常數。

消費與休閒的邊際替代率為

$$\operatorname{MRS}_{\ell,c} = \frac{u_{\ell}}{u_c}.$$

替代彈性定義為

$$\sigma_{c,\ell} = \frac{d\ln(c/\ell)} {d\ln(\operatorname{MRS}_{\ell,c})}.$$

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解題方法：家戶最適化問題

家戶將工資 $w$、股利 $\pi$ 與稅負 $\tau$ 視為給定，選擇 $c$、$\ell$ 與 $n$，解下列問題：

$$\max_{c,\ell,n} \quad c^{1-\frac{1}{\rho}} + \alpha \ell^{1-\frac{1}{\rho}}$$

subject to

$$c=wn+\pi-\tau,$$ $$n+\ell=1,$$

以及

$$c\geq 0,\qquad n\geq 0,\qquad \ell\geq 0.$$

題目已知最適工作時數為內點解 $n^*\in(0,1)$，因此

$$\ell^*=1-n^*\in(0,1),$$

且非負限制不會束縛最適解。

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家戶的一階條件

令 $\lambda$ 為商品預算限制的乘數，$\mu$ 為時間限制的乘數，拉格朗日函數為

$$\mathcal{L} = c^{1-\frac{1}{\rho}} + \alpha \ell^{1-\frac{1}{\rho}} + \lambda(wn+\pi-\tau-c) + \mu(1-n-\ell).$$

分別對 $c$、$\ell$ 與 $n$ 微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c} = \left(1-\frac{1}{\rho}\right)c^{-\frac{1}{\rho}} -\lambda =0,$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \ell} = \alpha\left(1-\frac{1}{\rho}\right)\ell^{-\frac{1}{\rho}} -\mu =0,$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial n} = \lambda w-\mu =0.$$

另須滿足兩項限制式：

$$c=wn+\pi-\tau,$$ $$n+\ell=1.$$

由 $\lambda w=\mu$，以及前兩個一階條件，可得

$$w = \frac{\mu}{\lambda} = \frac{u_{\ell}}{u_c}.$$

計算邊際效用：

$$u_c = \left(1-\frac{1}{\rho}\right)c^{-\frac{1}{\rho}},$$ $$u_{\ell} = \alpha\left(1-\frac{1}{\rho}\right)\ell^{-\frac{1}{\rho}}.$$

因此，最適條件為

$$w = \alpha \frac{\ell^{-\frac{1}{\rho}}} {c^{-\frac{1}{\rho}}} = \alpha\left(\frac{c}{\ell}\right)^{\frac{1}{\rho}}.$$

整理後得到

$$\frac{c}{\ell} = \left(\frac{w}{\alpha}\right)^{\rho}.$$

這表示工資提高時，休閒的機會成本提高，家戶會調整消費與休閒的最適比例。

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二階條件與內點解條件

在標準參數假設下，例如 $\alpha>0$、$\rho>1$，效用函數對 $c$ 與 $\ell$ 具有凹性：

核心觀念

本題考查家庭的勞動供給決策，以及「工資上升時，勞動供給是否增加」的判斷。關鍵在於：

1. 工資提高會提高休閒的機會成本，產生替代效果，使勞動供給增加。
2. 工資提高也會增加家庭所得，產生所得效果，使家庭購買更多休閒，勞動供給減少。
3. 參數 $\rho$ 決定替代效果的強弱，因此影響勞動供給曲線的斜率。

令家庭的非勞動所得為

$$A\equiv \pi-\tau.$$

由於時間禀賦為 $1$，有

$$\ell=1-n.$$

家庭預算限制式可寫為

$$c=wn+A.$$

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解題方法：由家庭最適條件推導勞動供給

家庭選擇 $c$ 與 $\ell$ 以最大化

$$u(c,\ell)=c^{1-\frac{1}{\rho}}+\alpha\ell^{1-\frac{1}{\rho}}.$$

內點解的邊際替代率條件為

$$\frac{u_\ell}{u_c}=w.$$

計算邊際效用：

$$u_c=\left(1-\frac{1}{\rho}\right)c^{-\frac{1}{\rho}},$$ $$u_\ell=\alpha\left(1-\frac{1}{\rho}\right)\ell^{-\frac{1}{\rho}}.$$

因此

$$\frac{u_\ell}{u_c} =\alpha\left(\frac{c}{\ell}\right)^{\frac{1}{\rho}} =w.$$

整理得

$$\frac{c}{\ell}=\left(\frac{w}{\alpha}\right)^\rho.$$

令

$$k(w)\equiv \left(\frac{w}{\alpha}\right)^\rho,$$

則

$$c=k(w)\ell.$$

另一方面，由於 $n=1-\ell$，預算限制式為

$$c=w(1-\ell)+A.$$

代入 $c=k(w)\ell$：

$$k(w)\ell=w(1-\ell)+A.$$

整理後得到

$$\ell=\frac{w+A}{w+k(w)}.$$

因此勞動供給為

$$N^s(w)=n=1-\ell =\frac{k(w)-A}{w+k(w)}.$$

也就是

$$N^s(w) = \frac{\left(\frac{w}{\alpha}\right)^\rho-(\pi-\tau)} {w+\left(\frac{w}{\alpha}\right)^\rho}.$$

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勞動供給曲線的斜率

對 $w$ 微分。由

$$k'(w)=\frac{\rho k(w)}{w},$$

可得

$$\frac{dN^s}{dw} = \frac{(\rho-1)k(w)+A\left(1+\frac{\rho k(w)}{w}\right)} {\left[w+k(w)\right]^2}.$$

因此，一般而言，勞動供給曲線的斜率不只取決於 $\rho$，也取決於家庭的非勞動所得 $A=\pi-\tau$。

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標準情況：非勞動所得為零

若考題所指的勞動供給曲線，是在固定且為零的非勞動所得下分析，即

$$\pi-\tau=0,$$

核心觀念

本題考查政府支出、定額稅與勞動供給之間的關係。關鍵機制是：

• 政府支出由定額稅融通，因此 $G=\tau$。
• 定額稅提高會降低家庭的可支配所得。
• 在休閒為正常財的情況下，家庭因所得下降而減少休閒、增加工作。
• 勞動投入增加，使生產量 $Y=F(n)=zn$ 增加。

解題方法

先求廠商的均衡工資，再由家庭的最適勞動供給推導政府支出增加時 $n$ 的變化。

廠商利潤為

$$\pi=F(n)-wn=(z-w)n.$$

在競爭均衡下，工資等於勞動的邊際產量，因此

$$w=F'(n)=z.$$

此時廠商利潤為零，所以

$$\pi=0.$$

家庭的預算限制為

$$c=wn+\pi-\tau.$$

利用 $n=1-\ell$、$\tau=G$、$w=z$ 與 $\pi=0$，可得

$$c=z(1-\ell)-G.$$

家庭最大化

$$u(c,\ell)=c^{1-\frac{1}{\rho}}+\alpha\ell^{1-\frac{1}{\rho}}.$$

其邊際效用為

$$u_c=\left(1-\frac{1}{\rho}\right)c^{-\frac{1}{\rho}},$$ $$u_\ell=\alpha\left(1-\frac{1}{\rho}\right)\ell^{-\frac{1}{\rho}}.$$

休閒的邊際成本是放棄一小時工作的工資 $w$，因此內部解的一階條件為

$$u_\ell=w u_c.$$

代入邊際效用：

$$\alpha\left(1-\frac{1}{\rho}\right)\ell^{-\frac{1}{\rho}} = w\left(1-\frac{1}{\rho}\right)c^{-\frac{1}{\rho}}.$$

約去共同項後，

$$\alpha\ell^{-\frac{1}{\rho}} = w c^{-\frac{1}{\rho}}.$$

整理得

核心觀念

本題考查：

• 家戶的勞動供給與休閒選擇；
• 廠商利潤極大化下的勞動需求；
• 政府支出以定額稅融通時，所得效果對勞動供給的影響；
• 生產函數由固定報酬改為遞減報酬後，對產出反應的影響。

令生產函數為 $F(n)$。競爭均衡下，廠商的一階條件為

$$w=F'(n).$$

由於廠商利潤會以股利分配給家戶，市場資源限制可寫成

$$c+G=F(n),$$

亦即

$$c=F(n)-G.$$

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線性生產函數下的結果

家戶效用函數為

$$u(c,\ell)=c^{1-\frac{1}{\rho}}+\alpha \ell^{1-\frac{1}{\rho}},$$

且 $\ell=1-n$。

家戶的一階條件為

$$u_c w=u_\ell.$$

計算邊際效用：

$$u_c=\left(1-\frac{1}{\rho}\right)c^{-\frac{1}{\rho}},$$ $$u_\ell=\alpha\left(1-\frac{1}{\rho}\right)\ell^{-\frac{1}{\rho}}.$$

因此

$$w c^{-\frac{1}{\rho}} = \alpha \ell^{-\frac{1}{\rho}}.$$

整理得

$$c=\left(\frac{w}{\alpha}\right)^\rho \ell = \left(\frac{w}{\alpha}\right)^\rho(1-n).$$

若 $F(n)=zn$，則

$$w=z, \qquad \pi=F(n)-wn=zn-zn=0.$$

因此

$$c=zn-G.$$

代入家戶一階條件：

$$zn-G = \left(\frac{z}{\alpha}\right)^\rho(1-n).$$

令

$$A=\left(\frac{z}{\alpha}\right)^\rho,$$

則

$$zn-G=A(1-n),$$

所以

$$n=\frac{A+G}{z+A}.$$

因此

$$\frac{dn}{dG}=\frac{1}{z+A}>0.$$

線性生產下，政府支出增加會使定額稅增加，家戶可支配所得下降，家戶為維持消費而增加工作時數，故產出

$$Y=zn$$

也會增加：

$$\frac{dY}{dG} = \frac{z}{z+A}>0.$$

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改為遞減報酬生產函數

現在令

$$F(n)=zn^{0.7}.$$

廠商利潤為

$$\pi=zn^{0.7}-wn.$$

廠商極大化利潤的一階條件為

$$w=F'(n)=0.7zn^{-0.3}.$$

此時股利為

$$\pi = zn^{0.7}-0.7zn^{-0.3}n = 0.3zn^{0.7}.$$

核心觀念

本題考查兩期重疊世代模型中的家庭最適儲蓄決策。家庭在年輕時取得工資 $w_t$，將所得分配為：

• 年輕期消費 $c_{yt}$
• 儲蓄 $a_{t+1}$

儲蓄於老年期連同利息轉化為消費：

$$c_{ot+1}=(1+r_{t+1})a_{t+1}$$

效用函數為 Cobb-Douglas 型：

$$u_t=c_{yt}^{\alpha}c_{ot+1}^{1-\alpha}$$

其中 $0<\alpha<1$，代表年輕期消費在效用中的相對重要性。

解題方法

將兩條預算關係代入效用函數，使效用只剩下儲蓄 $a_{t+1}$ 一個選擇變數：

$$c_{yt}=w_t-a_{t+1}$$

因此：

$$u_t=(w_t-a_{t+1})^{\alpha} \left[(1+r_{t+1})a_{t+1}\right]^{1-\alpha}$$

在 $w_t>0$ 且 $1+r_{t+1}>0$ 下，取對數不會改變最適解：

$$\ln u_t = \alpha\ln(w_t-a_{t+1}) + (1-\alpha)\ln(1+r_{t+1}) + (1-\alpha)\ln a_{t+1}$$

對 $a_{t+1}$ 微分並令其等於零：

$$-\frac{\alpha}{w_t-a_{t+1}} + \frac{1-\alpha}{a_{t+1}} =0$$

整理得：

$$\frac{1-\alpha}{a_{t+1}} = \frac{\alpha}{w_t-a_{t+1}}$$

交叉相乘：

$$(1-\alpha)(w_t-a_{t+1}) = \alpha a_{t+1}$$

核心觀念

本題考查兩個關鍵關係：

1. 家戶最適儲蓄決策：由 Cobb-Douglas 偏好求出年輕時的儲蓄。
2. 資本累積與人口成長：下一期每位年輕工作者所對應的資本，等於本期總儲蓄除以成長後的年輕人口。

定義資本每位年輕工作者為

$$k_t=\frac{K_t}{N_t}.$$

由於生產函數具有固定規模報酬，工資可寫成資本勞動比的函數。

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一、求家戶儲蓄

年輕世代的預算限制為

$$c_{yt}+a_{t+1}=w_t,$$

且老年消費為

$$c_{ot+1}=(1+r_{t+1})a_{t+1}.$$

將兩式代入效用函數：

$$u_t=(w_t-a_{t+1})^\alpha \left[(1+r_{t+1})a_{t+1}\right]^{1-\alpha}.$$

因為 $(1+r_{t+1})^{1-\alpha}$ 是固定項，最大化問題等價於最大化

$$(w_t-a_{t+1})^\alpha a_{t+1}^{1-\alpha}.$$

取對數後，一階條件為

$$\frac{\alpha}{w_t-a_{t+1}} = \frac{1-\alpha}{a_{t+1}}.$$

整理得

$$\alpha a_{t+1} = (1-\alpha)(w_t-a_{t+1}),$$

因此

$$a_{t+1}=(1-\alpha)w_t.$$

也就是說，家戶將工資所得的 $1-\alpha$ 儲蓄，並且此結果與利率無關。

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二、求競爭均衡下的工資

廠商的生產函數為

$$F(K_t,L_t)=AK_t^\beta L_t^{1-\beta}.$$

完全競爭下，工資等於勞動的邊際產量：

$$w_t=F_L(K_t,L_t).$$

計算得

$$w_t = A(1-\beta)K_t^\beta L_t^{-\beta}.$$

由於本題中

$$L_t=N_t,$$

且

$$k_t=\frac{K_t}{N_t},$$

所以

$$w_t = A(1-\beta) \left(\frac{K_t}{N_t}\right)^\beta.$$

因此工資可以表示為

$$w_t=A(1-\beta)k_t^\beta.$$

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三、推導資本每位工作者的動態方程式

下一期總資本由本期年輕世代的總儲蓄形成：

$$K_{t+1}=N_ta_{t+1}.$$

人口成長條件為

$$N_{t+1}=(1+n)N_t.$$

因此

$$k_{t+1} = \frac{K_{t+1}}{N_{t+1}} = \frac{N_ta_{t+1}}{(1+n)N_t} = \frac{a_{t+1}}{1+n}.$$

代入家戶儲蓄函數：

$$k_{t+1} = \frac{(1-\alpha)w_t}{1+n}.$$

再代入工資函數 $w_t=A(1-\beta)k_t^\beta$，得到資本每位工作者的法則：

$$k_{t+1} = \frac{A(1-\beta)(1-\alpha)}{1+n}k_t^\beta.$$

令

$$B=\frac{A(1-\beta)(1-\alpha)}{1+n},$$

則動態方程式可簡寫為

$$k_{t+1}=Bk_t^\beta.$$

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四、穩態資本每位工作者

穩態時，資本每位工作者不再變動，因此

$$k_{t+1}=k_t=k^*.$$

代入動態方程式：

核心觀念

本題考查世代交疊模型中的：

1. 廠商利潤極大化與要素價格；
2. 家戶最適儲蓄；
3. 資本—勞動比率的動態調整；
4. 暫時性生產力衝擊對利率、工資、消費與資本存量的影響。

令每位年輕人的資本為

$$k_t=\frac{K_t}{L_t}=\frac{K_t}{N_t}.$$

生產函數除以勞動人口後，得到每位勞工的生產函數：

$$f(k_t)=A_t k_t^\beta.$$

其中 $A_5>A$，而 $A_t=A$ 對所有 $t\geq 6$ 成立。

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解題方法

一、先求廠商的要素價格

廠商利潤極大化的一階條件為：

$$r_t=F_K(K_t,L_t),$$ $$w_t=F_L(K_t,L_t).$$

由

$$F(K_t,L_t)=A_tK_t^\beta L_t^{1-\beta}$$

可得：

$$r_t=\beta A_t\left(\frac{K_t}{L_t}\right)^{\beta-1} =\beta A_t k_t^{\beta-1},$$ $$w_t=(1-\beta)A_t\left(\frac{K_t}{L_t}\right)^\beta =(1-\beta)A_t k_t^\beta.$$

因此：

• 資本增加會使 $r_t$ 下降、$w_t$ 上升；
• 生產力 $A_t$ 增加會同時使 $r_t$ 與 $w_t$ 上升。

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二、求家戶儲蓄與消費

家戶的生命週期預算限制為：

$$c_{yt}+a_{t+1}=w_t,$$ $$c_{ot+1}=(1+r_{t+1})a_{t+1}.$$

將第二式代入效用函數：

$$u_t=c_{yt}^{\alpha} \left[(1+r_{t+1})a_{t+1}\right]^{1-\alpha}.$$

由 Cobb-Douglas 偏好，年輕時消費為工資的 $\alpha$ 比例，因此：

$$c_{yt}=\alpha w_t,$$ $$a_{t+1}=(1-\alpha)w_t.$$

老年時消費為：

$$c_{ot+1}=(1+r_{t+1})(1-\alpha)w_t.$$

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三、推導資本動態方程式

下一期總資本為本期年輕世代的總儲蓄：

$$K_{t+1}=N_ta_{t+1}.$$

又因為

$$L_{t+1}=N_{t+1}=N_t(1+n),$$

所以：

$$k_{t+1} =\frac{K_{t+1}}{L_{t+1}} =\frac{N_t(1-\alpha)w_t}{N_t(1+n)}.$$

代入工資函數：

$$k_{t+1} = \frac{(1-\alpha)(1-\beta)}{1+n} A_t k_t^\beta.$$

令

$$B=\frac{(1-\alpha)(1-\beta)}{1+n},$$

則資本動態為：

$$k_{t+1}=BA_tk_t^\beta.$$

原本的穩態資本為 $k^*$，因此：

$$k^*=BA(k^*)^\beta.$$

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暫時性油價下降的影響

油價下降使第 5 期生產力提高。令：

$$A_5=A'>A, \qquad A_t=A \quad (t\geq 6).$$

假設衝擊發生前經濟處於穩態，因此：

$$k_5=k^*.$$

第 5 期：資本存量尚未調整

第 5 期的 $k_5$ 是前一期儲蓄所決定，屬於預定變數，因此仍為：

$$k_5=k^*.$$

但生產力突然上升，所以：

$$r_5=\beta A'(k^*)^{\beta-1}>r^*,$$ $$w_5=(1-\beta)A'(k^*)^\beta>w^*.$$

年輕人消費為：

$$c_{y5}=\alpha w_5>c_y^*.$$

第 5 期的老年人是在第 4 期儲蓄，其儲蓄仍為穩態水準：

$$a_5=(1-\alpha)w^*.$$

因此第 5 期老年消費為：

$$c_{o5}=(1+r_5)a_5 =(1+r_5)(1-\alpha)w^* >c_o^*.$$

也就是說，第 5 期的生產力衝擊會立即提高利率，進而提高當期老年人的退休消費。

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第 6 期：資本存量上升，生產力恢復正常

第 5 期工資上升，使第 5 期儲蓄增加：

$$a_6=(1-\alpha)w_5>(1-\alpha)w^*.$$

因此第 6 期資本增加：

$$k_6 =BA'(k^*)^\beta.$$

利用穩態條件 $k^*=BA(k^*)^\beta$，可得：

$$k_6=\frac{A'}{A}k^*>k^*.$$

核心觀念

本題考查重疊世代模型中的：

• 家戶最適儲蓄；
• 企業利潤極大化與要素價格；
• 資本—勞動比率的動態方程式；
• 永久性技術衝擊下，資本為預定變數、工資與利率當期調整的特性。

題目敘述「油的減少」但同時明確指出 $A$ 在 $t=5$ 增加，因此以下依題目給定的數學條件，將其視為永久性的正向生產力衝擊：

$$A_t= \begin{cases} A_0, & t<5,\\ A_1, & t\geq 5, \end{cases} \qquad A_1>A_0.$$

令每位年輕人的資本為

$$k_t\equiv \frac{K_t}{N_t}=\frac{K_t}{L_t}.$$

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解題方法一：先求家戶儲蓄

家戶的效用為

$$u_t=c_{yt}^{\alpha}c_{ot+1}^{1-\alpha},$$

預算限制為

$$c_{yt}+a_{t+1}=w_t,$$

以及

$$c_{ot+1}=(1+r_{t+1})a_{t+1}.$$

將第二式代入效用函數：

$$u_t=(w_t-a_{t+1})^\alpha \left[(1+r_{t+1})a_{t+1}\right]^{1-\alpha}.$$

由 Cobb-Douglas 效用函數的最適消費分配，年輕時消費所得的比例為 $\alpha$，儲蓄比例為 $1-\alpha$，因此

$$c_{yt}=\alpha w_t,$$ $$a_{t+1}=(1-\alpha)w_t.$$

老年時消費為

$$c_{ot+1}=(1+r_{t+1})(1-\alpha)w_t.$$

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解題方法二：求企業的要素價格

生產函數為

$$F(K_t,L_t)=A_tK_t^\beta L_t^{1-\beta}.$$

完全競爭下，企業依邊際生產力支付要素報酬：

$$r_t=F_K(K_t,L_t) =\beta A_tK_t^{\beta-1}L_t^{1-\beta},$$

因此

$$r_t=\beta A_t k_t^{\beta-1}.$$

工資為勞動邊際產值：

$$w_t=F_L(K_t,L_t) =(1-\beta)A_tK_t^\beta L_t^{-\beta},$$

因此

$$w_t=(1-\beta)A_t k_t^\beta.$$

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解題方法三：建立資本動態方程式

由家戶儲蓄與人口成長：

$$K_{t+1}=N_ta_{t+1} =N_t(1-\alpha)w_t.$$

又因為

$$N_{t+1}=(1+n)N_t,$$

所以

$$k_{t+1} =\frac{K_{t+1}}{N_{t+1}} =\frac{(1-\alpha)w_t}{1+n}.$$

代入工資函數：

$$k_{t+1} = \frac{(1-\alpha)(1-\beta)}{1+n} A_tk_t^\beta.$$

令

$$C\equiv \frac{(1-\alpha)(1-\beta)}{1+n},$$

則資本動態為

$$k_{t+1}=CA_tk_t^\beta.$$

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衝擊發生前的穩態

在 $t<5$ 時，經濟處於原穩態 $k^*$：

$$k^*=CA_0(k^*)^\beta.$$

因此

$$(k^*)^{1-\beta}=CA_0,$$ $$k^*=(CA_0)^{\frac{1}{1-\beta}}.$$

在 $t=5$ 發生衝擊時，$K_5$ 是前期儲蓄所決定的，因此資本存量無法立即改變：

$$k_5=k^*.$$

這是本題最重要的時間順序：資本是預定變數，生產力、工資與利率則可在當期調整。

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$t=5$ 的立即效果

由於 $A$ 在 $t=5$ 由 $A_0$ 增加至 $A_1$，且 $k_5=k^*$ 不變：

$$r_5=\beta A_1(k^*)^{\beta-1} =r^*\frac{A_1}{A_0}>r^*,$$

其中

$$r^*=\beta A_0(k^*)^{\beta-1}.$$

因此，利率在 $t=5$ 立即上升。

工資為

$$w_5=(1-\beta)A_1(k^*)^\beta =w^*\frac{A_1}{A_0}>w^*,$$

其中

$$w^*=(1-\beta)A_0(k^*)^\beta.$$

因此，工資也在 $t=5$ 立即上升。

年輕人消費為

$$c_{y5}=\alpha w_5 =\alpha(1-\beta)A_1(k^*)^\beta,$$

所以 $c_{y5}$ 立即上升。

老年人在 $t=5$ 的消費，是第 $4$ 期所作儲蓄加上第 $5$ 期利息：

$$c_{o5}=(1+r_5)a_5.$$

由於 $a_5=(1-\alpha)w_4$，且 $w_4=w^*$，因此

$$c_{o5}=(1+r_5)(1-\alpha)w^*>c_o^*.$$

老年人已在前一期決定儲蓄，無法調整資產數量，但能享有較高的利率，所以老年消費在 $t=5$ 也立即上升。

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$t\geq 6$ 的資本調整

第 $5$ 期較高的工資提高年輕人的儲蓄，故資本存量從第 $6$ 期開始增加：

核心觀念

本題考查小型開放經濟在「浮動匯率、完全資本移動」下的 Mundell–Fleming 模型，並加入對未來財政政策的預期效果。

主要條件如下：

• 小型開放經濟：無法影響世界利率。
• 完全資本移動：國內利率被套利機制固定在世界利率。
• 浮動匯率：匯率由外匯市場供需決定。
• 匯率定義為「外國貨幣／本國貨幣」：
  • 匯率上升：本國貨幣升值。
  • 匯率下降：本國貨幣貶值。
• 不考慮 Ricardian equivalence：今年退稅會提高家戶可支配所得與消費。

國民所得恆等式為

$$Y=C(Y-T)+I(i)+G+NX(e,Y)$$

其中，$NX$ 為貿易餘額。由於本國貨幣升值會使出口減少、進口增加，因此

$$\frac{\partial NX}{\partial e}<0$$

完全資本移動下，利率均衡條件為

$$i=i^*$$

其中 $i^*$ 為世界利率。

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解題方法

本題分成兩個衝擊分析：

1. 今年退稅造成的當期擴張性財政效果。
2. 政府宣布未來增加軍備採購所造成的預期效果。

最後將兩個效果合併。

在匯率—產出圖中，縱軸為匯率 $e$，橫軸為產出 $Y$：

• $IS$ 曲線向右下方傾斜。
• 由於 $i=i^*$，貨幣市場決定的產出固定在 $Y_0$，因此 $LM^*$ 為垂直線。
• 浮動匯率下，財政擴張會透過本國貨幣升值，使淨出口下降，抵銷財政政策對產出的推升效果。

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一、今年退稅的效果

1. 退稅提高消費，$IS$ 曲線右移

政府將超出預期的稅收退還給家戶，等同於降低今年的有效稅負：

$$T\downarrow$$

因此可支配所得上升：

$$Y-T\uparrow$$

在不考慮 Ricardian equivalence 的條件下，家戶消費增加：

$$C\uparrow$$

於是商品市場在每一個匯率水準下都需要更高的產出才能達成均衡，$IS$ 曲線向右移。

2. 利率的效果

$IS$ 右移的初始效果是產出增加，進而提高貨幣需求。若利率可以自由調整，利率會有上升壓力。

但是本題具有完全資本移動：

$$i=i^*$$

一旦國內利率有高於世界利率的壓力，資本便流入本國，使本國貨幣升值，直到淨出口下降、商品市場重新均衡。因此，最終利率不變，仍等於世界利率。

3. 匯率的效果

資本流入增加外匯市場上對本國貨幣的需求，使本國貨幣升值。

由於匯率是外國貨幣／本國貨幣，本國貨幣升值表示

$$e\uparrow$$

也就是匯率上升。

在圖形上，$IS$ 向右移，而 $LM^*$ 為垂直線，因此新均衡點位於同一個產出水準 $Y_0$，但匯率較高。

4. 貿易帳的效果

本國貨幣升值會使本國商品相對變貴：

• 出口下降；
• 進口增加；
• 淨出口下降。

因此貿易帳惡化：

$$NX\downarrow$$

退稅所增加的消費也有一部分用於購買進口品，進一步壓低淨出口。

5. 資本帳的效果

資本流入是匯率升值的重要調整機制。因此資本帳出現順差，即淨資本流入增加：

$$KA\uparrow$$

在國際收支帳的概念下，貿易帳惡化所形成的經常帳逆差，需要由資本帳順差加以融通。

6. 產出的效果

退稅原本會使 $IS$ 右移並推升產出，但匯率升值使 $NX$ 下降，抵銷退稅對總需求的刺激。

由於貨幣市場在 $i=i^*$ 下決定產出，最終產出不變：

$$Y=Y_0$$

這就是浮動匯率下擴張性財政政策的完全排擠效果：財政支出或減稅的擴張效果被貨幣升值與淨出口下降完全抵銷。

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二、未來增加軍備採購的宣布效果

題目指出政府是在「未來」增加軍備採購，因此這不是今年政府支出的直接增加，而是對未來財政政策的宣布。

1. 未來財政擴張與預期匯率

未來政府購買更多武器，代表未來政府支出增加：