113 年 國立臺灣大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

核心觀念

本題考查家庭規劃者的最適化問題，重點包括：

• 以拉格朗日法推導消費與工時的一階條件。
• 消費的邊際效用等於財富的邊際價值。
• 稅後勞動所得函數

$$\theta_0(wh)^{1-\theta_1}$$

對工時的邊際報酬為

$$\theta_0(1-\theta_1)w^{1-\theta_1}h^{-\theta_1}.$$

• 生產力越高者，其稅前工資越高；累進所得稅會壓低高生產力者的相對稅後邊際報酬。

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解題方法

令第 $t$ 期預算限制的拉格朗日乘數為 $\lambda_t$，拉格朗日函數為

$$\mathcal{L} = \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t \left[ \theta_L\log(c_{t,L}) + \theta_H\log(c_{t,H}) + \lambda_t \left( \theta_0(w_Lh_{t,L})^{1-\theta_1} + \theta_0(w_Hh_{t,H})^{1-\theta_1} + (1+r)k_t+T -c_{t,L}-c_{t,H}-k_{t+1} \right) \right].$$

其中

$$w_L=e^{-a},\qquad w_H=e^a.$$

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a）對 $c_{t,L}$ 與 $c_{t,H}$ 的一階條件

對低生產力成員的消費 $c_{t,L}$ 微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_{t,L}} = \beta^t \left( \frac{\theta_L}{c_{t,L}}-\lambda_t \right) =0.$$

因此

$$\boxed{\lambda_t=\frac{\theta_L}{c_{t,L}}}.$$

對高生產力成員的消費 $c_{t,H}$ 微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_{t,H}} = \beta^t \left( \frac{\theta_H}{c_{t,H}}-\lambda_t \right) =0.$$

因此

$$\boxed{\lambda_t=\frac{\theta_H}{c_{t,H}}}.$$

兩式合併可得家庭內部的消費配置關係：

$$\frac{\theta_L}{c_{t,L}} = \frac{\theta_H}{c_{t,H}},$$

所以

$$\boxed{ \frac{c_{t,H}}{c_{t,L}} = \frac{\theta_H}{\theta_L} }.$$

若兩類成員的權重相同，即 $\theta_L=\theta_H$，則

$$c_{t,H}=c_{t,L}.$$

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b）對 $h_{t,L}$ 與 $h_{t,H}$ 的一階條件

低生產力成員的稅後勞動所得為

$$\theta_0(w_Lh_{t,L})^{1-\theta_1}.$$

其對工時的偏導數為

$$\frac{\partial}{\partial h_{t,L}} \left[ \theta_0(w_Lh_{t,L})^{1-\theta_1} \right] = \theta_0(1-\theta_1) w_L^{1-\theta_1} h_{t,L}^{-\theta_1}.$$

因此，對 $h_{t,L}$ 的一階條件為

$$\boxed{ \lambda_t\theta_0(1-\theta_1) w_L^{1-\theta_1} h_{t,L}^{-\theta_1}=0 }.$$

同理，對高生產力成員：

$$\frac{\partial}{\partial h_{t,H}} \left[ \theta_0(w_Hh_{t,H})^{1-\theta_1} \right] = \theta_0(1-\theta_1) w_H^{1-\theta_1} h_{t,H}^{-\theta_1}.$$

因此

$$\boxed{ \lambda_t\theta_0(1-\theta_1) w_H^{1-\theta_1} h_{t,H}^{-\theta_1}=0 }.$$

題目設定的必要說明

題目所給的效用函數只有消費效用，沒有包含工時的負效用，例如

$$-\frac{h^{1+1/\nu}}{1+1/\nu}$$

或休閒效用。因此，在通常的 $0<\theta_1<1$、$\lambda_t>0$ 且 $\theta_0>0$ 下，上述一階條件不可能在正的有限工時下成立。

原因是：

• 工時增加會增加稅後所得；
• 工時本身沒有任何效用成本；
• 因此家庭會希望無限增加工時。

換言之，嚴格按照題目原式，工時選擇不存在正常的有限內部解，故第 c、d 小題的工時比率並未由原模型完整決定。

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c）推導 $\frac{h_{t,H}}{h_{t,L}}$

本題通常預期的解法，是比較兩類成員的稅後勞動所得邊際報酬，並假設兩類成員面對相同的工時邊際成本。因此，最適工時條件可寫成：

本題考驗動態優化模型，特別是消費者在面對隨機的資產回報時的跨期消費決策。

核心觀念：

1. 動態規劃與歐拉方程 (Euler Equation)。
2. 整合性預算約束 (Consolidated Budget Constraint)。
3. 跨期彈性 (Intertemporal Elasticity of Substitution, IES)。

a) 導出歐拉方程。

問題模型為：
$\max_{\{c_t, k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^t \ln(c_t)$
$c_t + k_{t+1} = R_t k_t$
其中 $k_0 > 0$ 已知。

此為一個離散時間、有限期間 (T) 的動態優化問題。我們可以利用拉格朗日乘數法來求解。
Lagrangian:
$L = \sum_{t=0}^T \beta^t \ln(c_t) - \sum_{t=0}^T \lambda_t (c_t + k_{t+1} - R_t k_t)$
其中 $\lambda_t$ 是第 t 期預算約束的影子價格。

對 $c_t$ 的一階條件 (FOC):
$\frac{\partial L}{\partial c_t} = \beta^t \frac{1}{c_t} - \lambda_t = 0 \quad \forall t = 0, \dots, T$
$\implies \beta^t \frac{1}{c_t} = \lambda_t \quad (*)$

對 $k_{t+1}$ 的一階條件 (FOC):
$\frac{\partial L}{\partial k_{t+1}} = -\lambda_t + \beta^{t+1} \frac{\partial \ln(c_{t+1})}{\partial k_{t+1}} - \lambda_{t+1} \frac{\partial (c_{t+1} + k_{t+2} - R_{t+1} k_{t+1})}{\partial k_{t+1}} = 0$
$-\lambda_t + \beta^{t+1} \frac{\partial \ln(c_{t+1})}{\partial k_{t+1}} - \lambda_{t+1} (-R_{t+1}) = 0$
由於 $c_{t+1}$ 並不直接依賴於 $k_{t+1}$，而是透過預算約束間接依賴。
從預算約束 $c_t + k_{t+1} = R_t k_t$，我們有 $k_{t+1} = R_t k_t - c_t$。
對 $k_{t+1}$ 的 FOC 來自於跨期連結：
$\frac{\partial L}{\partial k_{t+1}} = -\lambda_t + \lambda_{t+1} R_{t+1} = 0 \quad \forall t = 0, \dots, T-1$
$\implies \lambda_t = \lambda_{t+1} R_{t+1}$
注意：這裡的 $\lambda_t$ 是當期預算約束的影子價格。如果我們將 $\beta^t$ 包含在影子價格中，則形式會不同。
使用上面的(*)式：
$\lambda_t = \beta^t / c_t$
$\lambda_{t+1} = \beta^{t+1} / c_{t+1}$
代入 $\lambda_t = \lambda_{t+1} R_{t+1}$：
$\frac{\beta^t}{c_t} = \frac{\beta^{t+1}}{c_{t+1}} R_{t+1}$
$\frac{1}{c_t} = \beta \frac{R_{t+1}}{c_{t+1}}$
$c_{t+1} = \beta R_{t+1} c_t$
這就是歐拉方程。

【答案】
歐拉方程為：$c_{t+1} = \beta R_{t+1} c_t$。

b) 證明整合性預算約束。

整合性預算約束是將所有時期的預算約束疊加並消除資本變數的結果。
我們有 $c_t + k_{t+1} = R_t k_t$。
重新整理為 $k_{t+1} = R_t k_t - c_t$。
從這一期開始：
$t=0$: $c_0 + k_1 = R_0 k_0$
$t=1$: $c_1 + k_2 = R_1 k_1$
$t=2$: $c_2 + k_3 = R_2 k_2$
...
$t=T$: $c_T + k_{T+1} = R_T k_T$ (這裡假設 $k_{T+1}=0$ 或視為終值)。
題目中給定的預算約束是 $c_t + k_{t+1} = R_t k_t$。
但對於 $t=0$, $c_0 + k_1 = R_0 k_0$.
對於 $t=1$, $c_1 + k_2 = R_1 k_1$.
從 $t=1$ 的約束，我們有 $k_1 = \frac{c_1 + k_2}{R_1}$。
代入 $t=0$ 的約束：
$c_0 + \frac{c_1 + k_2}{R_1} = R_0 k_0$
$c_0 + \frac{c_1}{R_1} + \frac{k_2}{R_1} = R_0 k_0$

從 $t=2$ 的約束，我們有 $k_2 = \frac{c_2 + k_3}{R_2}$。
代入上式：
$c_0 + \frac{c_1}{R_1} + \frac{1}{R_1} \left( \frac{c_2 + k_3}{R_2} \right) = R_0 k_0$
$c_0 + \frac{c_1}{R_1} + \frac{c_2}{R_1 R_2} + \frac{k_3}{R_1 R_2} = R_0 k_0$

重複此過程直到 $t=T$:
$c_0 + \frac{c_1}{R_1} + \frac{c_2}{R_1 R_2} + \dots + \frac{c_T}{R_1 R_2 \dots R_T} + \frac{k_{T+1}}{R_1 R_2 \dots R_T} = R_0 k_0$

通常在這種動態模型中，我們假設終端條件是 $k_{T+1}=0$ (沒有繼承) 或 $k_{T+1}$ 的現值為零。
如果假設 $k_{T+1}=0$，則：
$c_0 + \frac{c_1}{R_1} + \frac{c_2}{R_1 R_2} + \dots + \frac{c_T}{R_1 R_2 \dots R_T} = R_0 k_0$
這與題目給定的形式一致。

【答案】
透過遞歸代入，可得整合性預算約束為：
$c_0 + \frac{c_1}{R_1} + \frac{c_2}{R_1 R_2} + \dots + \frac{c_T}{R_1 R_2 \dots R_T} = k_0 R_0$

c) 解出 $c_0, c_1$。

從 a) 的歐拉方程：$c_{t+1} = \beta R_{t+1} c_t$。
$t=0$: $c_1 = \beta R_1 c_0$。
從 b) 的整合性預算約束：
$c_0 + \frac{c_1}{R_1} + \frac{c_2}{R_1 R_2} + \dots + \frac{c_T}{R_1 R_2 \dots R_T} = k_0 R_0$

我們需要將 $c_1, c_2, \dots, c_T$ 表示為 $c_0$ 的函數。
$c_1 = \beta R_1 c_0$
$c_2 = \beta R_2 c_1 = \beta R_2 (\beta R_1 c_0) = \beta^2 R_1 R_2 c_0$

核心觀念

本題考查兩期禀賦經濟中的：

1. 個別家庭的跨期預算限制
2. 對數效用下的最適消費配置
3. 異質禀賦的加總與市場清算
4. 一般均衡利率與 IS 曲線
5. 代表性家庭與異質家庭在相同偏好下的比較

令 $r_t$ 為 $t$ 期至 $t+1$ 期的實質利率，則一單位 $t$ 期資源可在下一期變成 $1+r_t$。

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a) aggregate endowments

總人口標準化為 $1$，因此兩類家庭的人口權重分別為 $0.6$ 與 $0.4$。

$t$ 期 aggregate endowment 為

$$Y_t=0.6Y_1^t+0.4Y_2^t$$ $$Y_t=0.6(7)+0.4(3)=4.2+1.2=5.40$$

$t+1$ 期 aggregate endowment 為

$$Y_{t+1}=0.6Y_1^{t+1}+0.4Y_2^{t+1}$$ $$Y_{t+1}=0.6(4)+0.4(10)=2.4+4=6.40$$

因此，

$$\boxed{Y_t=5.40,\qquad Y_{t+1}=6.40}$$

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b) 各類家庭在 $t$ 期的最適消費函數

解題方法

家庭可以透過借貸在兩期之間移轉資源。第 $i$ 類家庭的跨期預算限制為

$$c_t^i+\frac{c_{t+1}^i}{1+r_t} = Y_i^t+\frac{Y_i^{t+1}}{1+r_t}$$

其中右側為家庭的終身財富。

家庭的效用函數為

$$\max_{c_t^i,c_{t+1}^i} \ln(c_t^i)+\beta\ln(c_{t+1}^i)$$

Euler equation

由一階條件可得

$$\frac{1}{c_t^i} = \beta(1+r_t)\frac{1}{c_{t+1}^i}$$

因此

$$c_{t+1}^i=\beta(1+r_t)c_t^i$$

代回預算限制：

$$c_t^i+\frac{\beta(1+r_t)c_t^i}{1+r_t} = Y_i^t+\frac{Y_i^{t+1}}{1+r_t}$$ $$(1+\beta)c_t^i = Y_i^t+\frac{Y_i^{t+1}}{1+r_t}$$

故一般最適消費函數為

$$\boxed{ c_t^i= \frac{1}{1+\beta} \left( Y_i^t+\frac{Y_i^{t+1}}{1+r_t} \right) }$$

本題 $\beta=1$，所以

$$c_t^i= \frac{1}{2} \left( Y_i^t+\frac{Y_i^{t+1}}{1+r_t} \right)$$

Type 1

$$c_t^1 = \frac{1}{2} \left( 7+\frac{4}{1+r_t} \right)$$ $$\boxed{ c_t^1=3.50+\frac{2}{1+r_t} }$$

Type 2

$$c_t^2 = \frac{1}{2} \left( 3+\frac{10}{1+r_t} \right)$$ $$\boxed{ c_t^2=1.50+\frac{5}{1+r_t} }$$

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c) aggregate consumption at time $t$

加總兩類家庭的最適消費，並以人口權重加權：

$$C_t=0.6c_t^1+0.4c_t^2$$

代入個別消費函數：

$$C_t = 0.6\left[ \frac{1}{2} \left( 7+\frac{4}{1+r_t} \right) \right] + 0.4\left[ \frac{1}{2} \left( 3+\frac{10}{1+r_t} \right) \right]$$

整理得

$$C_t = \frac{1}{2} \left[ 0.6(7)+0.4(3) + \frac{0.6(4)+0.4(10)}{1+r_t} \right]$$

因此

$$\boxed{ C_t= \frac{1}{2} \left( 5.40+\frac{6.40}{1+r_t} \right) }$$

或寫成

$$\boxed{ C_t=2.70+\frac{3.20}{1+r_t} }$$

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d) 市場清算條件

禀賦經濟中沒有生產，市場上的資源總量就是家庭持有的總禀賦。因此兩期市場清算條件分別為

$$\boxed{C_t=Y_t}$$

以及

$$\boxed{C_{t+1}=Y_{t+1}}$$

本題中為

$$C_t=5.40$$ $$C_{t+1}=6.40$$

由於每個家庭都滿足其跨期預算限制，若 $t$ 期市場清算且資產市場均衡，$t+1$ 期市場清算條件也會同時成立。因此通常使用其中一個市場清算條件求均衡利率。

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e) equilibrium interest rate

使用 $t$ 期市場清算條件：

$$C_t=Y_t$$

代入 c) 的 aggregate consumption：

$$\frac{1}{2} \left( 5.40+\frac{6.40}{1+r_t} \right) = 5.40$$

兩邊乘以 $2$：

$$5.40+\frac{6.40}{1+r_t}=10.80$$ $$\frac{6.40}{1+r_t}=5.40$$

因此

$$1+r_t=\frac{6.40}{5.40}$$ $$r_t=\frac{6.40}{5.40}-1$$ $$r_t=0.185185\cdots$$

所以均衡實質利率為