111 年 國立臺灣大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

此題為一標準的跨期消費與儲蓄模型，涵蓋了預算限制式、歐拉方程、無借貸限制、不同借貸利率下的消費決策，以及完全互補效用函數下的消費行為。

核心觀念：

1. 跨期預算限制式： 將現期與未來收入折現至同一時點，或將現期與未來消費折現至同一時點，兩者相等。
2. 歐拉方程 (Euler Equation)： 透過邊際效用相等原則，連結現期與未來消費的邊際替代率與相對價格（即實質利率）。
3. 無借貸限制 (No-borrowing Constraint)： 限制現期消費不得超過現期收入，若有剩餘可儲蓄，但不能負債。
4. 異質性利率 (Asymmetric Interest Rates)： 儲蓄與借款適用不同利率，需分別處理。
5. 完全互補效用函數： 邊際效用為零或無限大，無法用微分求極值，需透過其他條件判斷。
6. 邊際消費傾向 (MPC)： 衡量當可支配所得變動一單位時，消費變動的量。

解題過程：

基本參數：
現期收入 $Y_t = 100$
未來收入 $Y_{t+1} = 121$
實質利率 $r = 10\% = 0.1$
折現因子 $\beta$ (在不同小題中給定)
效用函數 (分段給定)

a) 跨期預算限制式與終身所得

跨期預算限制式可以將現期與未來消費及收入連結起來。將未來收入折現至現期：
$Y_t + \frac{Y_{t+1}}{1+r} = C_t + \frac{C_{t+1}}{1+r}$
將現期與未來消費折現至未來：
$(1+r)Y_t + Y_{t+1} = (1+r)C_t + C_{t+1}$

將給定數值代入：
$100 + \frac{121}{1+0.1} = C_t + \frac{C_{t+1}}{1+0.1}$
$100 + \frac{121}{1.1} = C_t + \frac{C_{t+1}}{1.1}$
$100 + 110 = C_t + \frac{C_{t+1}}{1.1}$
$210 = C_t + \frac{C_{t+1}}{1.1}$

這就是跨期預算限制式。

終身所得 (Lifetime Income) 是指將所有時期的收入折現到同一時點的總和。在此為兩時期，我們可以將兩期收入都折現到現期：
終身所得 $= Y_t + \frac{Y_{t+1}}{1+r} = 100 + \frac{121}{1.1} = 100 + 110 = 210$。
或者折現到未來：
終身所得 $= (1+r)Y_t + Y_{t+1} = (1.1)(100) + 121 = 110 + 121 = 231$。
通常我們使用將所有收入折現到現期的值。

繪製預算限制式：
預算線方程式為 $C_{t+1} = (1+r) \left( Y_t + \frac{Y_{t+1}}{1+r} \right) - (1+r) C_t$
$C_{t+1} = 210(1.1) - 1.1 C_t$
$C_{t+1} = 231 - 1.1 C_t$

• 縱軸截距 ($C_t=0$)： $C_{t+1} = 231$。此點代表消費者將所有現期收入都儲蓄起來，並在下一期消費。
• 橫軸截距 ($C_{t+1}=0$)： $0 = 231 - 1.1 C_t \implies C_t = \frac{231}{1.1} = 210$。此點代表消費者將所有終身所得（折現到現期）都用於現期消費。
• 斜率： $\frac{dC_{t+1}}{dC_t} = -(1+r) = -1.1$。斜率為負，代表為了增加現期消費，必須減少未來消費。

b) $\beta = 1$ 時的歐拉方程、最適消費與儲蓄

效用函數為 $U = \log C_t + \log C_{t+1}$。
跨期預算限制式（無借貸限制）：$C_t + \frac{C_{t+1}}{1.1} = 210$

歐拉方程：
歐拉方程是透過最大化效用得到的，其一般形式為：
$\frac{\partial U / \partial C_t}{\partial U / \partial C_{t+1}} = 1+r$
或
$\frac{U'(C_t)}{U'(C_{t+1})} \times \frac{1}{1+r} = \beta$ （更常見的寫法，但在此我們用兩種方式推導）

使用 $U = \log C_t + \beta \log C_{t+1}$：
$\frac{\partial U}{\partial C_t} = \frac{1}{C_t}$
$\frac{\partial U}{\partial C_{t+1}} = \frac{\beta}{C_{t+1}}$
歐拉方程為：$\frac{1/C_t}{\beta/C_{t+1}} = 1+r \implies \frac{C_{t+1}}{\beta C_t} = 1+r \implies C_{t+1} = \beta(1+r)C_t$

在此小題中，$\beta = 1$ 且 $r = 0.1$，所以：
$C_{t+1} = 1 \times (1+0.1) C_t = 1.1 C_t$

最適消費：
將歐拉方程 $C_{t+1} = 1.1 C_t$ 代入跨期預算限制式 $C_t + \frac{C_{t+1}}{1.1} = 210$：
$C_t + \frac{1.1 C_t}{1.1} = 210$
$C_t + C_t = 210$
$2 C_t = 210 \implies C_t = 105$

則 $C_{t+1} = 1.1 C_t = 1.1 \times 105 = 115.5$。

儲蓄 (Saving)：
儲蓄 $S_t = Y_t - C_t$
$S_t = 100 - 105 = -5$

此結果表示消費者是借款人 (borrower)，借了 5 元。

繪製最適點與無異曲線：
預算線為 $C_{t+1} = 231 - 1.1 C_t$。
最適點為 $(C_t, C_{t+1}) = (105, 115.5)$。
無異曲線是 $U = \log C_t + \log C_{t+1}$ 的等高線。在最適點，無異曲線的斜率 $\frac{dC_{t+1}}{dC_t} = -\frac{U'(C_t)}{U'(C_{t+1})} = -\frac{1/C_t}{1/C_{t+1}} = -\frac{C_{t+1}}{C_t}$ 應等於預算線的斜率 $-1.1$。
$-\frac{115.5}{105} = -1.1$，符合預算線斜率。
最適點在預算線上，且無異曲線與預算線相切。

c) 無借貸限制下的歐拉方程、最適消費

無借貸限制表示 $C_t \le Y_t$ (儲蓄 $S_t = Y_t - C_t \ge 0$)。
若最適解落在 $C_t \le Y_t$ 範圍內，則與有借貸限制的結果相同。
若最適解落在 $C_t > Y_t$ 範圍，則消費者無法達到該點，必須在 $C_t = Y_t$ 處消費。

在 b) 小題中，我們計算出最適消費為 $C_t = 105$。
然而，在無借貸限制下，消費者只能儲蓄，不能借款，所以 $C_t \le Y_t$。
由於 $Y_t = 100$，而計算出的 $C_t = 105$，這表示原來的最適解 $C_t=105$ 在無借貸限制下是不可行的。

因此，消費者的消費將被限制在 $C_t = Y_t = 100$。

新的預算限制式：
由於 $C_t = 100$，消費者將其現期收入消費後，剩餘 $Y_t - C_t = 100 - 100 = 0$。
因此，他不能儲蓄，也不能借款。
他下一期的消費完全由下一期收入決定，即 $C_{t+1} = Y_{t+1} = 121$。

歐拉方程的修正：
在這種情況下，由於 $C_t = Y_t$ 且 $C_{t+1} = Y_{t+1}$，我們需要檢查邊際效用是否滿足歐拉方程或其邊界條件。
歐拉方程的條件是 $C_{t+1} = \beta(1+r)C_t$。
代入 $C_t = 100$ 和 $C_{t+1} = 121$ (假設他能達到這個點，但實際上他只能消費 $Y_{t+1}$)，以及 $\beta=1, r=0.1$。
$121$ vs $1 \times (1+0.1) \times 100 = 1.1 \times 100 = 110$。
$121 > 110$。
這表示，在 $C_t=100$ 的點，下一期的預期消費 $C_{t+1}=121$ 相對於現期消費 $C_t=100$ 來說，是「過多」的，或者說，他可以透過減少現期消費來增加未來消費，從而提高總效用。
然而，由於 $C_t = Y_t$ 且 $S_t = 0$，他無法再減少現期消費以增加儲蓄。
因此，他的行為被約束在 $C_t = 100$。

最適消費：
$C_t = 100$
$C_{t+1} = Y_{t+1} = 121$ (因為儲蓄為零，下一期消費就是下一期收入)

繪製：
預算線現在變成了兩段：

1. 從 $(0, 231)$ 到 $(100, 131)$，斜率為 $-1.1$。 (這段是潛在的消費組合，但受限於 $C_t \le 100$)
2. 從 $(100, 131)$ 到 $(210, 0)$，這段線的斜率為 $-1.1$。
   然而，由於無借貸限制，預算線實際為：
   從 $(0, 231)$ 到 $(100, 131)$ (斜率 $-1.1$)，然後從 $(100, 131)$ 點開始，由於 $C_t=100$ 且 $S_t=0$，下一期消費 $C_{t+1}$ 只能等於 $Y_{t+1}=121$。
   所以，預算線的實際可及範圍是：
   從 $(0, 231)$ 到 $(100, 131)$ (斜率 $-1.1$)，然後在 $C_t=100$ 的垂直線上，往上最多到 $C_{t+1}=131$。
   但考慮到他只能儲蓄，所以他的消費組合 $(C_t, C_{t+1})$ 必須滿足：
   $C_t \le Y_t = 100$
   $C_{t+1} \le Y_{t+1} + (1+r)(Y_t - C_t)$
   將 $C_t \le 100$ 代入：
   $C_{t+1} \le 121 + 1.1(100 - C_t)$
   這就是新的預算限制式。
   若 $C_t = 100$，則 $C_{t+1} \le 121 + 1.1(100-100) = 121$。
   若 $C_t < 100$，則 $C_{t+1}$ 可以高於 $Y_{t+1}$。

實際的預算線 (無借貸限制)：
從 $(0, 231)$ 到 $(100, 131)$ (斜率 $-1.1$)，然後從 $(100, 131)$ 點開始，在 $C_t=100$ 的垂直線上，最高只能到 $C_{t+1} = 121$。
因此，實際可及的預算線是由 $(0, 231)$ 連接到 $(100, 131)$，再由 $(100, 131)$ 垂直向上延伸到 $(100, 121)$ 嗎？ 不對。
實際可及的預算線是：
從 $(0, 231)$ 到 $(100, 131)$ (斜率 $-1.1$)，然後再從 $(100, 131)$ 點，由於 $C_t=100$ 且 $S_t=0$，所以 $C_{t+1}$ 只能是 $Y_{t+1}=121$。
所以，實際預算線是從 $(0, 231)$ 連接到 $(100, 131)$，然後再從 $(100, 131)$ 點，由於 $C_t=100$ 且 $S_t=0$，下一期的最大消費就是 $Y_{t+1}=121$。
因此，實際預算線是：從 $(0, 231)$ 到 $(100, 131)$，然後在 $C_t=100$ 的點，實際消費組合是 $(100, 121)$。
這表示，消費者在 $C_t=100$ 時，下一期的消費被限制在 $C_{t+1}=121$。
所以，最適點是 $(C_t, C_{t+1}) = (100, 121)$。
在這個點，無異曲線與預算線的「拐點」接觸。

繪製圖形：
預算線：
縱截距： $C_{t+1} = 231$
橫截距： $C_t = 210$
斜率： $-1.1$
無借貸限制： $C_t \le 100$
實際預算線： 從 $(0, 231)$ 連接到 $(100, 131)$，然後在 $C_t=100$ 的點，只考慮 $(100, 121)$ 這個點。
因此，預算線是從 $(0, 231)$ 到 $(100, 131)$，然後在 $C_t=100$ 時，消費組合只能是 $(100, 121)$。
所以，實際可及的預算線是從 $(0, 231)$ 到 $(100, 131)$，然後再從 $(100, 131)$ 點，由於 $C_t=100$ 且 $S_t=0$，所以 $C_{t+1}$ 必須為 $Y_{t+1}=121$。
因此，預算線是從 $(0, 231)$ 連接到 $(100, 131)$，然後在 $C_t=100$ 的點，消費組合是 $(100, 121)$。
最適點是 $(100, 121)$。
在此點，無異曲線與預算線的斜率不一定相等，但這是最優選擇。

確認歐拉方程的邊界條件：
歐拉方程的條件是 $C_{t+1} = \beta(1+r)C_t = 1.1 C_t$。
如果最適點是 $(100, 121)$，那麼 $C_{t+1} = 121$ 而 $1.1 C_t = 1.1 \times 100 = 110$。
所以 $C_{t+1} > 1.1 C_t$。
這表示，在 $C_t = 100$ 的點，消費者「寧願」增加未來消費。
由於他已經是 $C_t=Y_t$ 且 $S_t=0$，他無法再減少現期消費來增加儲蓄。
因此，他的最佳選擇就是 $(100, 121)$。

繪製圖形：
預算線：從 $(0, 231)$ 到 $(100, 131)$ (斜率 $-1.1$)，然後從 $(100, 131)$ 點，由於 $C_t=100$ 且 $S_t=0$，下一期消費 $C_{t+1}$ 只能是 $Y_{t+1}=121$。
所以，實際預算線是從 $(0, 231)$ 連接到 $(100, 131)$，然後在 $C_t=100$ 的點，消費組合是 $(100, 121)$。
圖形上，預算線在 $(100, 131)$ 處有一個「轉折」，然後在 $C_t=100$ 的垂直線上，最高點是 $(100, 121)$。
無異曲線通過 $(100, 121)$。
最適點是 $(C_t, C_{t+1}) = (100, 121)$。

歐拉方程 (無借貸限制)：
如果 $C_t < Y_t$ 且 $C_{t+1} < Y_{t+1} + (1+r)(Y_t-C_t)$，則歐拉方程為 $C_{t+1} = \beta(1+r)C_t$。
如果 $C_t = Y_t$ (即 $S_t=0$)，則需要看 $C_{t+1}$ 相對於 $Y_{t+1}$ 的情況。
如果 $Y_{t+1} + (1+r)(Y_t-C_t) \ge \beta(1+r)C_t$ (考慮到 $S_t=0$ 時，下一期最大消費是 $Y_{t+1}$)，則最適解是 $C_t=Y_t$。
在這個例子中，當 $C_t = 100$ 時， $C_{t+1}$ 最大值是 $121$。
而歐拉方程預測的 $C_{t+1} = 1.1 C_t = 1.1 \times 100 = 110$。
由於 $121 > 110$，意味著在 $C_t=100$ 的點，消費者「願意」讓 $C_{t+1}$ 比歐拉方程預測的還高。
因此，最適解是 $C_t=100$。
由於 $C_t=100$ 且 $Y_t=100$, 儲蓄 $S_t = Y_t - C_t = 0$。
下一期消費 $C_{t+1} = Y_{t+1} + S_t(1+r) = 121 + 0 = 121$。
所以，無借貸限制下的歐拉方程變為：
如果 $C_{t+1} = \beta(1+r)C_t$ 且 $C_t < Y_t$，則用歐拉方程。
如果 $C_t = Y_t$ 且 $Y_{t+1} \ge \beta(1+r)Y_t$，則 $C_t=Y_t, C_{t+1}=Y_{t+1}$。
在這個例子中，$Y_t=100$, $Y_{t+1}=121$, $\beta=1, r=0.1$。
$\beta(1+r)Y_t = 1 \times 1.1 \times 100 = 110$。
$Y_{t+1} = 121$。
由於 $121 > 110$，所以 $C_t = Y_t = 100$。

最適消費：
$C_t = 100$
$C_{t+1} = 121$

d) 異質性利率 (儲蓄 $r_s = 10\%$, 借款 $r_b = 50\%$)

效用函數 $U = \log C_t + \beta \log C_{t+1}$，且 $\beta=1$。
現期收入 $Y_t = 100$，未來收入 $Y_{t+1} = 121$。
儲蓄利率 $r_s = 0.1$，借款利率 $r_b = 0.5$。

分析預算限制式：
情況一：消費者是儲蓄者 ($S_t = Y_t - C_t \ge 0 \implies C_t \le Y_t$)
此時，儲蓄 $(Y_t - C_t)$ 獲得 $r_s$ 的利率。
未來消費為 $C_{t+1} = Y_{t+1} + (1+r_s)(Y_t - C_t)$
$C_{t+1} = 121 + (1+0.1)(100 - C_t)$
$C_{t+1} = 121 + 1.1(100 - C_t) = 121 + 110 - 1.1 C_t = 231 - 1.1 C_t$
此預算線斜率為 $-(1+r_s) = -1.1$。

情況二：消費者是借款者 ($S_t = Y_t - C_t < 0 \implies C_t > Y_t$)
此時，借款 $(C_t - Y_t)$ 的成本是 $r_b$ 的利率。
未來消費為 $C_{t+1} = Y_{t+1} - (1+r_b)(C_t - Y_t)$
$C_{t+1} = 121 - (1+0.5)(C_t - 100)$
$C_{t+1} = 121 - 1.5(C_t - 100) = 121 - 1.5 C_t + 150 = 271 - 1.5 C_t$
此預算線斜率為 $-(1+r_b) = -1.5$。

預算線的轉折點：
轉折點在 $C_t = Y_t = 100$。
當 $C_t = 100$ 時：
從儲蓄者角度： $C_{t+1} = 231 - 1.1(100) = 231 - 110 = 121$。
從借款者角度： $C_{t+1} = 271 - 1.5(100) = 271 - 150 = 121$。
所以，兩條預算線在 $(C_t, C_{t+1}) = (100, 121)$ 處連接。

歐拉方程：
由於 $\beta=1$, 歐拉方程為 $C_{t+1} = (1+r)C_t$。
但是，這裡的 $r$ 取決於消費者是儲蓄者還是借款者。

尋找最適解：
我們需要比較在不同利率下的邊際效用。
假設最適解在儲蓄區間 ($C_t \le 100$)。
則歐拉方程為 $C_{t+1} = (1+r_s)C_t = 1.1 C_t$。
將此代入儲蓄區間的預算線 $C_{t+1} = 231 - 1.1 C_t$：
$1.1 C_t = 231 - 1.1 C_t$

核心觀念

本題考查索洛模型中，儲蓄率調整後的資本動態，以及產出、消費、投資在轉型期間的變化。無人口成長與技術進步時，資本累積式為

$$\dot{k}=s f(k)-\delta k,$$

其中 $f(k)$ 是每人產出，$\delta$ 是折舊率；每人消費與投資分別為

$$c=(1-s)f(k),\qquad i=s f(k).$$

黃金律資本 $k^{*gold}$ 使穩態消費最大化，滿足 $f'(k^{*gold})=\delta$。

解題方法

原卷題目給定初始穩態資本 $k^*>k^{*gold}$，並要求政策在 $t_0$ 調整儲蓄率，使經濟轉向黃金律穩態。關鍵是：政策改變會立刻改變消費與投資，但資本存量無法瞬間調整，所以產出在 $t_0$ 保持連續。

設初始儲蓄率為 $s_0$，調整後、能達成黃金律穩態的儲蓄率為 $s_G$。由於初始資本高於黃金律資本，初始儲蓄率高於黃金律所需儲蓄率，因此 $s_G<s_0$。

在 $t_0$ 當下，資本仍是 $k^*$，故產出仍是 $f(k^*)$。儲蓄率下降使消費占產出的比率上升、投資占產出的比率下降：

$$y(t_0^+)=y(t_0^-)=f(k^*),$$ $$c(t_0^+)=(1-s_G)f(k^*)>(1-s_0)f(k^*)=c^*,$$ $$i(t_0^+)=s_G f(k^*)<s_0 f(k^*)=i^*.$$

調整後，資本動態為 $\dot{k}=s_G f(k)-\delta k$。由於目前 $k^*>k^{*gold}$，資本逐步下降至 $k^{*gold}$。因此，產出 $f(k)$ 隨資本下降而逐步下降；在 $s_G$ 固定下，投資 $s_Gf(k)$ 與消費 $(1-s_G)f(k)$ 也逐步下降。

黃金律穩態消費高於原穩態消費，因為黃金律資本使穩態消費最大化；而政策剛調整後的消費又高於黃金律消費，因為此時資本仍高於黃金律資本，且消費為 $(1-s_G)f(k)$。因此：

$$c(t_0^+)>c^{G}>c^*.$$

核心觀念

本題考查兩期消費者選擇、跨期預算限制，以及孩子數量是否為正常財。孩子的成本除了每位孩子的食物支出 $p$，還包括照顧時間的機會成本 $w\psi$，所以每位孩子的總成本為 $p+w\psi$。

以下假設 $1+r>0$，且消費者可選擇正的儲蓄，使兩期消費均為正。

(a) 消費者的最大化問題

第一期的時間配置為：

$$l_1+\psi n+\text{工作時間}=1$$

因此工作時間為 $1-l_1-\psi n$，第一期勞動所得為 $w(1-l_1-\psi n)$。消費者支付第一期消費 $c_1$、儲蓄 $s$ 與孩子的食物成本 $pn$，故兩期預算限制為：

$$c_1+s+pn=w(1-l_1-\psi n)$$ $$c_2=(1+r)s$$

將時間限制代入，消費者的最大化問題可寫為：

$$\max_{c_1,c_2,l_1,n,s} \quad \log(c_1)+\log(l_1)+\log(n)+\beta\log(c_2)$$ $$\text{使得}\quad c_1+s+pn=w(1-l_1-\psi n),\qquad c_2=(1+r)s$$

並要求 $c_1,c_2,l_1,n,s>0$，且 $l_1+\psi n\leq 1$。

(b) 終身預算限制

將第一期預算限制整理為：

$$c_1+s+(p+w\psi)n+wl_1=w$$

由第二期預算限制得 $s=c_2/(1+r)$。代入上式，可得終身預算限制：

$$c_1+\frac{c_2}{1+r}+(p+w\psi)n+wl_1=w$$

每位孩子的總成本 $p+w\psi$ 包含食物支出與照顧時間的機會成本。

(c) 最適儲蓄與孩子數量

以 $c_2=(1+r)s$ 代入效用函數，並使用整理後的第一期預算限制，可將問題寫成：

$$\max_{c_1,l_1,n,s} \quad \log(c_1)+\log(l_1)+\log(n)+\beta\log\big((1+r)s\big)$$ $$\text{使得}\quad c_1+wl_1+(p+w\psi)n+s=w$$

令 $q=p+w\psi$，拉格朗日函數為：

$$\mathcal{L} = \log(c_1)+\log(l_1)+\log(n)+\beta\log\big((1+r)s\big) +\lambda\big[w-c_1-wl_1-qn-s\big]$$

核心觀念

本題考查索洛模型中，勞動增進型技術進步與「穩態」的定義。技術水準以 $A$ 表示，且以固定成長率 $g$ 成長；勞動人口以成長率 $n$ 成長。若生產函數具規模報酬不變，可寫成：

$$Y=F(K,AL)=ALf(k),\qquad k\equiv\frac{K}{AL}$$

其中 $k$ 是每單位有效勞動的資本。每位勞工產出則為：

$$\frac{Y}{L}=A f(k)$$

索洛模型的穩態，是指每單位有效勞動的資本與產出不再變動，不代表每位勞工的產出或總產出都停止成長。

解題方法

判斷題目推論是否成立，先將變數換成每單位有效勞動的形式。令儲蓄率為 $s$、折舊率為 $\delta$，資本累積方程為：

$$\dot{k}=s f(k)-(n+g+\delta)k$$

穩態資本 $k^*$ 滿足：

$$s f(k^*)=(n+g+\delta)k^*$$

核心觀念

本題考查索洛成長模型中的「資本深化」與人口成長率對穩態人均所得的影響。人口成長會使資本被更多新加入的勞動者分攤，因此人口成長率越高，維持每位勞工資本存量所需的投資越多；在其他條件相同時，這會降低穩態人均資本與人均所得。

令每位勞工資本為 $k=K/L$、每位勞工產出為 $y=Y/L=f(k)$，其中 $f'(k)>0$、$f''(k)<0$。在沒有技術進步的索洛模型中，每位勞工資本的動態為：

$$\dot{k}=s f(k)-(n+\delta)k$$

其中 $s$ 是儲蓄率，$n$ 是人口成長率，$\delta$ 是折舊率。穩態資本 $k^*$ 滿足：

$$s f(k^*)=(n+\delta)k^*$$

左側是每位勞工的實際投資，右側是維持穩態所需的投資，包括折舊補償與新勞工所需的資本。

解題方法

比較人口成長率變動對穩態的影響。人口成長率 $n$ 上升時，每位勞工的穩態投資需求 $(n+\delta)k$ 增加；在儲蓄率與生產函數不變下，穩態交點移向較低的 $k^*$。反過來說，人口成長率下降會降低維持既有人均資本所需的投資，穩態資本因而提高。

因為每位勞工產出是 $y=f(k)$，且 $f'(k)>0$，所以穩態人均資本提高也會使穩態人均所得提高。

核心觀念

本題考查 Solow 成長模型中「儲蓄率提高」對每位勞工產出與長期成長率的影響。關鍵在於區分：

• 產出水準提高：每位勞工的產出到達較高的穩態水準。
• 產出持續成長：每位勞工的產出長期維持正的成長率。

儲蓄率提高會增加投資、促進資本深化，但在資本報酬遞減下，這種效果不能單獨維持每位勞工產出的永久成長。

解題方法

令每位勞工資本為 $k$，每位勞工產出為 $y=f(k)$，儲蓄率為 $s$，人口成長率為 $n$，折舊率為 $\delta$。沒有技術進步時，資本動態為：

$$\Delta k=s f(k)-(n+\delta)k$$

穩態資本滿足：

$$s f(k^*)=(n+\delta)k^*$$

當儲蓄率由 $s_1$ 永久提高至 $s_2$，且 $s_2>s_1$，投資曲線 $s f(k)$ 上移，新的穩態資本 $k^*$ 較高，因此穩態每位勞工產出 $y^*=f(k^*)$ 也較高。

核心觀念

本題考「貨幣市場如何達成均衡」，以及貨幣市場中的利率與實質利率的區別。

在一般總體經濟模型中，實質貨幣需求取決於所得與名目利率：名目利率是持有貨幣所放棄的利息報酬，因此會影響人們持有貨幣的意願。貨幣市場均衡條件可寫為：

$$\frac{M}{P}=L(Y,i)$$

其中，$M/P$ 是實質貨幣供給，$L(Y,i)$ 是實質貨幣需求，$Y$ 是所得，$i$ 是名目利率。貨幣市場失衡時，名目利率會調整，使貨幣需求等於貨幣供給。

實質利率則是扣除預期通膨後的利率，符合費雪關係：

$$r \approx i-\pi^e$$

其中，$r$ 是實質利率，$\pi^e$ 是預期通膨率。兩者概念不同；貨幣市場均衡的標準敘述是由名目利率調整。

解題方法與推導

直接檢查題目所說的「調整變數」是否正確。貨幣供給固定時，若實質貨幣供給大於實質貨幣需求，經濟體持有的貨幣超過意願持有量，便會用多餘貨幣購買債券。債券需求增加，使債券價格上升、名目利率下降。