核心觀念

本題結合「兩期消費與儲蓄選擇」、「競爭市場的要素定價」及「社會規劃者配置」。設 $z>0$、$k_0>0$、$\beta>0$，且 $0<\alpha<1$；以代表性消費者為單位，兩期勞動供給皆為 $1$。

依題目給定的預算限制，資本投入生產後不另返還本金，對應資本完全折舊。因此，第 $0$ 期每儲蓄一單位，到第 $1$ 期取得 $r_1$ 單位消費財：儲蓄的毛報酬率為 $r_1$，淨報酬率為 $r_1-1$。

解題關鍵是先在價格給定下求出消費者的最適條件，再代入企業定價與市場結清條件。

（a）競爭均衡的推導

1. 企業最適決策與要素價格

第 $t$ 期企業的利潤為

$$\pi_t=zk_t^\alpha n_t^{1-\alpha}-r_tk_t-w_tn_t.$$

完全競爭下，要素價格等於邊際產量。勞動市場結清要求 $n_t=1$，故

$$r_t=\alpha zk_t^{\alpha-1}, \qquad w_t=(1-\alpha)zk_t^\alpha.$$

因此，資本與勞動所得合計為

$$r_tk_t+w_t=zk_t^\alpha=y_t.$$

生產函數具有規模報酬不變，均衡利潤為零，全部產出恰好分配為要素所得。

2. 消費者的最適儲蓄條件

消費者將 $r_0,w_0,r_1,w_1$ 視為給定，選擇 $k_1$：

$$\max_{k_1} \left\{ \log(r_0k_0+w_0-k_1) +\beta\log(r_1k_1+w_1) \right\}.$$

內點解的一階條件為

$$-\frac{1}{c_0}+\frac{\beta r_1}{c_1}=0,$$

即消費的 Euler 方程式：

$$\frac{c_1}{c_0}=\beta r_1.$$

其經濟意義是：少消費一單位當期所得所犧牲的邊際效用，等於將該單位儲蓄後取得的折現未來邊際效用。

3. 市場結清與均衡資本存量

由要素所得等於產出，以及商品市場結清，兩期資源限制為

$$c_0+k_1=zk_0^\alpha, \qquad c_1=zk_1^\alpha.$$

將資源限制及 $r_1=\alpha zk_1^{\alpha-1}$ 代入 Euler 方程式：

$$\frac{zk_1^\alpha}{zk_0^\alpha-k_1} =\beta\alpha zk_1^{\alpha-1}.$$

約去共同因子，得到

$$k_1=\beta\alpha(zk_0^\alpha-k_1).$$

因此，第 $1$ 期的競爭均衡資本存量為

$$\boxed{ k_1^*=\frac{\beta\alpha}{1+\beta\alpha}zk_0^\alpha }.$$

也就是說，第 $0$ 期產出的固定比例 $\beta\alpha/(1+\beta\alpha)$ 被用於儲蓄。

4. 均衡消費與儲蓄報酬

兩期消費分別為

$$\boxed{ c_0^*=\frac{zk_0^\alpha}{1+\beta\alpha} }$$

以及

$$\boxed{ c_1^* =z\left( \frac{\beta\alpha}{1+\beta\alpha}zk_0^\alpha \right)^\alpha }.$$

儲蓄的毛報酬率為

$$\boxed{ r_1^* =\alpha z \left( \frac{\beta\alpha}{1+\beta\alpha}zk_0^\alpha \right)^{\alpha-1} =\alpha \left(\frac{\beta\alpha}{1+\beta\alpha}\right)^{\alpha-1} z^\alpha k_0^{\alpha(\alpha-1)} }.$$

若以淨報酬率表示，則

$$\boxed{ R_{\mathrm{net}}^*=r_1^*-1 }.$$

5. 生產力 $z$ 的比較靜態

固定其他原始參數，均衡公式給出

$$k_1^*\propto z, \qquad c_0^*\propto z, \qquad c_1^*\propto z^{1+\alpha}, \qquad r_1^*\propto z^\alpha.$$

所以，$z$ 上升會提高儲蓄、當期消費、未來消費及儲蓄報酬。其中：

核心觀念

本題考查「污染外部性」下的競爭均衡、社會最適配置，以及兩種內部化外部性的制度：

1. 沒有污染市場時，廠商只考慮私人成本，忽略污染造成的社會損害。
2. 對產出課稅，可使廠商面對污染的邊際社會成本。
3. 建立污染權市場，可透過污染權價格反映污染的邊際損害。

假設勞動與休閒的時間禀賦為 $1$，因此

$$n+l=1,\qquad x=an,\qquad y=zn.$$

代表性消費者擁有廠商，且內點解下進行分析。

---

社會規劃者的最適條件

社會規劃者選擇 $n$ 與 $c$，最大化

$$U=u(c,l)-v(x)$$

並受限於

$$c=zn,\qquad l=1-n,\qquad x=an.$$

將限制式代入效用函數：

$$\max_n u(zn,1-n)-v(an).$$

對 $n$ 微分，得到社會最適的一階條件：

$$z u_c-u_l-a v'(an)=0.$$

因此

$$\boxed{z u_c=u_l+a v'(x)}$$

或寫成

$$\boxed{\frac{u_l}{u_c}=z-\frac{a v'(x)}{u_c}}.$$

其中：

• $z u_c$：增加勞動與產出所帶來的邊際效益；
• $u_l$：增加勞動所犧牲的邊際休閒效用；
• $a v'(x)$：增加勞動所造成的邊際污染損害。

---

(a) 沒有污染市場時

競爭均衡

廠商只在勞動市場與消費品市場交易，其利潤為

$$\pi=zy-wn=(z-w)n.$$

在完全競爭下，若 $n>0$，廠商的一階條件為

$$\boxed{w=z}.$$

消費者的預算限制為

$$c=wn,$$

且 $l=1-n$。消費者最大化

$$u(wn,1-n)-v(x),$$

但在沒有污染權市場時，消費者無法透過市場影響污染，也不會把自己增加勞動所造成的污染損害納入勞動決策。其勞動選擇的一階條件為

$$w u_c-u_l=0.$$

因為競爭均衡中 $w=z$，所以

$$\boxed{z u_c=u_l}.$$

為何不是 Pareto optimal？

社會最適條件為

$$z u_c=u_l+a v'(x),$$

而競爭均衡條件為

$$z u_c=u_l.$$

由於 $a>0$ 且 $v'(x)>0$，社會最適條件比競爭均衡多出正的污染邊際損害項：

$$a v'(x)>0.$$

因此競爭均衡沒有考慮污染造成的損失，並非 Pareto 最適。

污染是過多還是過少？

在競爭均衡中，增加勞動的私人代價只有失去休閒：

$$u_l.$$

但社會上增加勞動的真正代價為

$$u_l+a v'(x).$$

由於競爭者忽略了正的污染外部成本，因此會選擇過多的勞動與產出：

$$n^{CE}>n^*.$$

因為污染為 $x=an$，所以

$$\boxed{x^{CE}>x^*}.$$

也就是競爭均衡下污染過多。

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(b) 對產出課比例稅

令政府對產出課徵比例稅 $\tau$，並將稅收以定額移轉 $T$ 返還給消費者。政府預算限制為

$$T=\tau y.$$

為避免與移轉支付混淆，以下以 $\tau$ 表示稅率，以 $T$ 表示定額移轉。

廠商的決策

廠商稅後收入為 $(1-\tau)y$，利潤為

$$\pi=(1-\tau)zn-wn.$$

廠商的一階條件為

$$\boxed{w=(1-\tau)z}.$$

消費者的決策

消費者的收入為工資收入加上移轉支付：

$$c=wn+T.$$

在均衡時，

$$y=zn,$$

所以

$$T=\tau zn.$$

因此均衡資源限制仍為

$$c=wn+\tau zn =[(1-\tau)z+\tau z]n =zn.$$

換言之，稅收全部返還後，消費者可支配的總消費資源仍等於產出；稅制主要改變的是廠商支付給勞動的工資，也就是消費者面對的私人勞動報酬。

消費者的一階條件為

$$\boxed{\frac{u_l}{u_c}=w=(1-\tau)z}.$$

選擇適當的稅率

社會最適要求

$$\frac{u_l}{u_c} =z-\frac{a v'(x)}{u_c}.$$

競爭均衡在課稅後要求

$$\frac{u_l}{u_c}=(1-\tau)z.$$

令兩者相等：

$$(1-\tau)z =z-\frac{a v'(x)}{u_c}.$$

整理得

核心觀念

本題考查開放經濟下的 Mundell–Fleming 模型，重點是分析美國衰退透過兩條管道影響中國：

1. 所得管道：美國所得下降，對中國商品的進口需求減少，使中國淨出口下降。
2. 利率管道：美國衰退的成因不同，可能使美國利率上升或下降，進而影響中國的資本流動與貨幣政策。

假設中國是小型開放經濟、資本高度流動，則有：

$$r=r^*$$

其中 $r^*$ 為世界利率，主要受美國金融情勢影響。

中國的商品市場與貨幣市場可表示為：

$$Y=C(Y-T)+I(r^*)+G+NX(e,Y,Y^*)$$ $$\frac{M}{P}=L(Y,r^*)$$

令 $e$ 表示人民幣對美元的匯率，$e$ 上升代表人民幣貶值。

• 固定匯率：中國央行必須調整貨幣供給 $M$，以維持匯率不變。
• 浮動匯率：貨幣供給 $M$ 固定，透過匯率 $e$ 的變動調整淨出口。

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解題方法

先分析美國衰退造成的：

• 美國所得 $Y^*$ 如何變動；
• 美國利率，也就是世界利率 $r^*$，如何變動。

再分別比較中國採取固定匯率與浮動匯率時的調整結果。

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情況一：美國因財政緊縮而衰退

例如美國政府減少支出，使美國 IS 曲線左移：

$$Y^*\downarrow,\qquad r^*\downarrow$$

對中國的直接影響

美國所得下降，使美國對中國商品的需求減少，因此中國淨出口下降：

$$Y^*\downarrow \Rightarrow NX\downarrow \Rightarrow IS_{\text{中國}}\text{ 左移}$$

單看貿易管道，中國經濟會衰退。

固定匯率下

由於美國利率下降，世界利率 $r^*$ 下降。中國必須維持：

$$r=r^*$$

因此中國利率也必須下降。為使利率下降，中國央行須增加貨幣供給：

$$r^*\downarrow \Rightarrow M\uparrow \Rightarrow LM_{\text{中國}}\text{ 右移}$$

貨幣擴張會刺激投資與總需求，抵銷美國所得下降所造成的出口衝擊。

此外，固定匯率使人民幣不會因市場調整而升值，避免中國出口競爭力進一步惡化。

浮動匯率下

中國貨幣供給固定。美國所得下降造成中國出口減少，人民幣有貶值壓力；但美國利率下降也會使中國利率下降，並透過資本流動造成升值壓力。

在標準模型中，較低的世界利率使中國投資增加，但匯率會調整以恢復商品市場均衡。由於美國所得下降與匯率調整的效果方向不同，最終中國產出變化取決於各項衝擊的相對大小。

判斷

在財政緊縮造成的美國衰退中，固定匯率會自動引發中國貨幣擴張，對中國較有利。因此在標準考試分析下，固定匯率通常優於浮動匯率。

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情況二：美國因貨幣緊縮而衰退

例如美國聯準會減少貨幣供給，使美國 LM 曲線左移：

$$Y^*\downarrow,\qquad r^*\uparrow$$

對中國的直接影響

美國所得下降，使中國出口減少：

$$Y^*\downarrow \Rightarrow NX\downarrow \Rightarrow IS_{\text{中國}}\text{ 左移}$$

本題是一個新古典成長模型，但加入多部門生產、資本在部門間移動的限制與延遲，以及家庭生產等複雜元素，用以考察資源配置與社會福利最大化問題。

核心觀念：

1. 新古典成長模型： 資本累積、勞動供給、技術進步與經濟成長的關係。
2. 部門間資源配置： 勞動和資本在不同生產部門間的配置決策。
3. 社會規劃者問題： 最大化社會總效用，同時滿足資源約束（勞動、資本、時間）。
4. 競爭性均衡： 市場機制（價格、利潤）如何引導資源配置。
5. 資本累積延遲： 投資到資本可用之間的時間延遲對決策的影響。
6. 家庭生產 (Home Production)： 家庭內部生產消費品，與市場生產形成互補或替代關係。

模型設定：

• 時間： 離散時間 $t = 0, 1, 2, \ldots$。
• 代表性家庭： 效用函數 $\sum \beta^t U(C_{mt}, l_t)$ (部分 a, b, c, d) 或 $\sum \beta^t U(C_{mt}, C_{ht}, l_t)$ (部分 e, f)。
  • $C_{mt}$: 市場生產的消費品。
  • $l_t$: 休閒時間。
  • $C_{ht}$: 家庭生產的消費品（部分 e, f）。
• 時間分配： 總時間為 1。家庭將時間分配給部門 1 的勞動 $h_{1t}$，部門 2 的勞動 $h_{2t}$（及部門 3 的勞動 $h_{3t}$，部分 e, f），以及休閒 $l_t$。$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1$ (或 $h_{1t} + h_{2t} + h_{3t} + l_t = 1$)。
• 資本：
  • 部門 1：生產 $C_{mt}$，使用資本 $k_{1t}$ 和勞動 $h_{1t}$。生產函數 $F^1(k_{1t}, h_{1t})$，規模報酬固定 (CRS)。
  • 部門 2：生產投資品 $i_t$，使用資本 $k_{2t}$ 和勞動 $h_{2t}$。生產函數 $F^2(k_{2t}, h_{2t})$，CRS。
  • 總資本存量 $k_t$。
  • 資本折舊率 $\delta$。
  • 資本累積：$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t$。
  • 資本在部門間移動：
    • (a), (c), (e), (f) 假設資本可自由移動。
    • (b) 假設資本不可移動。
  • 資本生產延遲：
    • (a), (b), (d), (e), (f) 假設投資 $i_t$ 在下一期 ($t+1$) 即可用於生產。
    • (c) 假設投資 $i_t$ 需要兩期才能變得可用（在 $t+2$ 期）。
• 家庭生產 (部分 e, f)：
  • 生產 $C_{ht}$，使用經驗 $a_t$ 和勞動 $h_{3t}$。生產函數 $F^3(a_t, h_{3t})$。
  • 經驗累積：$a_{t+1} = (1-p)a_t + h_{3t}$。

(a) 資本可自由移動，生產延遲一期，社會規劃者問題

社會規劃者 (SP) 的目標是最大化代表性家庭的總效用，同時滿足所有資源約束。

• 決策變數： SP 需要決定每個時期的資源配置，包括：

  • 勞動在部門 1 和 2 的分配：$h_{1t}, h_{2t}$。
  • 資本在部門 1 和 2 的分配：$k_{1t}, k_{2t}$。
  • 投資品的生產：$i_t$。
  • 消費品的生產：$C_{mt}$。
  • 休閒時間：$l_t$。

• 約束條件：

  1. 時間約束： $h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1$ (由於只有兩個市場部門)。
  2. 資本累積約束： $k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t$。
  3. 資本在部門間配置： 由於資本可自由移動，SP 需要決定總資本 $k_t$ 如何分配給兩個部門：$k_{1t} + k_{2t} = k_t$。
  4. 生產函數：
     • 市場消費品生產：$C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t})$。
     • 投資品生產：$i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t})$。
  5. 初始條件： $k_0$ 是給定的。

• 社會規劃者問題的表述：
  $\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t, k_{1t}, k_{2t}, i_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
  受限於：
  $h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
  $k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t, \quad \forall t \ge 0$
  $k_{1t} + k_{2t} = k_t, \quad \forall t \ge 0$
  $C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t}), \quad \forall t \ge 0$
  $i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
  $k_0 \text{ given}$
  所有變數非負。

簡化：
由於 $F^1$ 和 $F^2$ 都是 CRS，且資本和勞動可以自由配置，SP 會傾向於將資源配置到邊際產量更高的部門。
SP 可以直接決定總資本 $k_t$ 和總勞動 $H_t = h_{1t} + h_{2t} = 1 - l_t$ 的配置。
SP 會選擇一個有效率的組合 $(k_t, H_t)$ 來生產總產出 $Y_t$ 和總投資 $I_t$。
在 SP 的視角，可以將兩部門合併為一個總產出部門。
SP 需要決定總勞動 $H_t$ 和總資本 $k_t$ 的配置，以及其中多少用於生產消費品 $C_{mt}$，多少用於生產投資品 $i_t$。
SP 的問題可以重寫為：
$\max_{ \{H_t, l_t, k_t, i_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$H_t + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t, \quad \forall t \ge 0$
$Y_t = \text{Max } F^1(k_{1t}, h_{1t}) + F^2(k_{2t}, h_{2t}) \text{ s.t. } k_{1t}+k_{2t}=k_t, h_{1t}+h_{2t}=H_t$
$Y_t = C_{mt} + i_t$
這裡 $Y_t$ 是總產出。由於 $F^1, F^2$ 是 CRS，SP 會將資本和勞動在兩個部門之間進行有效率的配置，使得在給定的總資本 $k_t$ 和總勞動 $H_t$ 下，最大化總產出 $Y_t$，並同時最大化消費 $C_{mt}$ 和投資 $i_t$ 的組合。
更精確地，SP 的決策可以看作是：在每個時期 $t$，給定總資本 $k_t$ 和總勞動 $H_t = 1-l_t$，SP 決定如何分配 $k_t$ 和 $H_t$ 到兩個部門，以生產 $C_{mt}$ 和 $i_t$。
由於資本和勞動在部門間自由移動，SP 會選擇使得邊際產量相等的配置。
例如，如果 $F^1(k,h) = A_1 k^{\alpha_1} h^{1-\alpha_1}$ 和 $F^2(k,h) = A_2 k^{\alpha_2} h^{1-\alpha_2}$。
SP 的問題等價於：
$\max_{ \{l_t, k_t, i_t\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$C_{mt} + i_t = Y(k_t, 1-l_t; \text{sectoral allocation}), \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t, \quad \forall t \ge 0$
其中 $Y(k, H)$ 是在總資本 $k$ 和總勞動 $H$ 下，通過最佳部門間配置所能實現的最大總產出。
由於 SP 總是會進行最佳的部門間資源配置，我們可以將 SP 的問題簡化為：
$\max_{ \{l_t, k_t, i_t\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$C_{mt} + i_t = \text{Effective Production Possibility Frontier}$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t$
最簡化的表述是：
$\max_{ \{l_t, k_t, i_t\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$C_{mt} + i_t = Y(k_t, 1-l_t)$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t$
其中 $Y(k_t, H_t)$ 代表在給定總資本 $k_t$ 和總勞動 $H_t$ 下，通過部門間的有效配置所能實現的總產出。SP 會確保 $k_{1t}, h_{1t}, k_{2t}, h_{2t}$ 的配置是有效的。

【答案】
社會規劃者問題為：
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t, k_{1t}, k_{2t}, i_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t, \quad \forall t \ge 0$
$k_{1t} + k_{2t} = k_t, \quad \forall t \ge 0$
$C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t}), \quad \forall t \ge 0$
$i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
$k_0 \text{ given}$
所有變數非負。

(b) 資本不可在部門間移動，社會規劃者問題

現在，部門 1 的資本 $k_1$ 和部門 2 的資本 $k_2$ 是固定不變的，且 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 是外生給定的（或者說，SP 無法在部門間轉移資本）。

• 約束條件變化：
  • 資本在部門間配置約束 $k_{1t} + k_{2t} = k_t$ 被移除，或者說 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 是獨立的。
  • 資本累積約束仍然是總資本 $k_t$ 的累計。但 SP 無法控制 $k_1$ 和 $k_2$ 的具體分配。
  • SP 實際上可以控制的是：總勞動 $H_t = h_{1t} + h_{2t}$ 如何分配給兩個部門，以及總產出 $Y_t = C_{mt} + i_t$ 如何分配。
  • SP 需要決定：每個部門使用的資本 $k_{1t}, k_{2t}$（如果 SP 可以控制的話），勞動 $h_{1t}, h_{2t}$，以及總消費 $C_{mt}$ 和總投資 $i_t$。

更精確的理解：
如果資本不可移動，那麼 $k_1$ 和 $k_2$ 的存量在每個時期 $t$ 是固定的。 SP 只能決定勞動的分配 $h_{1t}$ 和 $h_{2t}$。
然而，題目說「資本在每個部門的存量...」。這意味著 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 雖然是固定的，但 SP 可能無法直接控制它們的初始值。
假設 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 是給定的（例如，在前一期就已決定並固定）。
那麼 SP 的問題是：
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t, i_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t}), \quad \forall t \ge 0$
$i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t, \quad \forall t \ge 0$
$k_0 \text{ given}$
但這裡的 $k_t = k_{1t} + k_{2t}$，而 $k_{1t}, k_{2t}$ 是固定的。這意味著 $k_t$ 的變化僅由 $i_t$ 決定，而 $i_t$ 的生產依賴於固定的 $k_{2t}$。
這似乎有點矛盾。一個更合理的解釋是：SP 可以決定總投資 $i_t$ 的水平，但 $i_t$ 的生產函數 $F^2$ 依賴於部門 2 的資本 $k_{2t}$，而 $C_{mt}$ 的生產函數 $F^1$ 依賴於部門 1 的資本 $k_{1t}$。 SP 無法將資本從部門 1 轉移到部門 2，反之亦然。
那麼，SP 應該做的是：在每個時期 $t$，最大化總產出 $Y_t = C_{mt} + i_t = F^1(k_{1t}, h_{1t}) + F^2(k_{2t}, h_{2t})$，同時滿足時間約束 $h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1$。
一旦 $Y_t$ 被最大化，SP 再決定如何將 $Y_t$ 分配給 $C_{mt}$ 和 $i_t$。
然而，SP 是最大化效用，而不是總產出。
SP 的問題應該是：
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t, i_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t}), \quad \forall t \ge 0$
$i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t, \quad \forall t \ge 0$
$k_{1t}, k_{2t} \text{ are fixed and given for all } t$
$k_0 = k_{10} + k_{20} \text{ given}$
這裡假設 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 在所有時期都是固定的。這意味著 $k_t = k_{1t} + k_{2t}$ 也是固定的。
那麼 $k_{t+1} = k_t + i_t$。由於 $k_t$ 固定，這要求 $i_t = 0$。這似乎不合理。

重新解讀「資本不可移動」
更常見的理解是，部門 1 擁有其資本存量 $k_{1t}$，部門 2 擁有其資本存量 $k_{2t}$。這些存量在時間上是獨立演化的（例如，它們可能以不同的折舊率折舊，或者有各自的投資決策）。 SP 無法控制將總資本 $k_t$ 分配給兩個部門。
然而，模型中給的是 $k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t$，這表明總資本 $k_t$ 是如何演化的。
如果 $k_1$ 和 $k_2$ 是固定的，那麼 $k_t = k_1 + k_2$ 也是固定的。
那麼 $i_t = k_{t+1} - (1-\delta)k_t = k_t - (1-\delta)k_t = \delta k_t$。
這意味著投資 $i_t$ 是固定的，由總資本存量和折舊率決定。
如果 $i_t$ 是固定的，那麼 SP 的決策僅限於勞動分配 $h_{1t}, h_{2t}, l_t$ 和消費 $C_{mt}$。
SP 的問題變為：
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t}), \quad \forall t \ge 0$
$i_t = \delta k_t \text{ (fixed)}, \quad \forall t \ge 0$
$k_{1t}, k_{2t} \text{ are fixed and given for all } t$
$k_t = k_{1t} + k_{2t} \text{ is fixed}$
這裡的 $i_t$ 的生產函數 $F^2(k_{2t}, h_{2t})$ 似乎與 $i_t = \delta k_t$ 發生衝突，除非 $F^2(k_{2t}, h_{2t})$ 恰好等於 $\delta k_t$。
最合理的解釋是：SP 決定勞動分配 $h_{1t}, h_{2t}, l_t$。部門 1 產生消費 $C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t})$。部門 2 產生投資 $i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t})$。總產出 $Y_t = C_{mt} + i_t$。 SP 需要決定 $C_{mt}$ 和 $i_t$ 的組合，並將其與效用函數結合。

假設 SP 可以控制 $i_t$ 的水平，但 $F^2$ 的參數是固定的。
SP 的問題：
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t, i_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t}), \quad \forall t \ge 0$
$i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t, \quad \forall t \ge 0$
$k_{1t}, k_{2t} \text{ are fixed and given for all } t$
$k_0 = k_{10} + k_{20} \text{ given}$
由於 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 是固定的，SP 的決策變數是 $h_{1t}, h_{2t}, l_t, i_t, C_{mt}$。
SP 需要在 $F^1$ 和 $F^2$ 的約束下，最大化效用。
SP 可以通過選擇 $h_{1t}$ 來決定 $C_{mt}$，通過選擇 $h_{2t}$ 來決定 $i_t$。
SP 的決策空間是：選擇 $h_{1t}, h_{2t}, l_t$ 使得 $h_{1t}+h_{2t}+l_t=1$。
然後 $C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t})$ 和 $i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t})$。
SP 還需要確保資本累積約束 $k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t$ 能夠被滿足，但如果 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 是固定的，那麼 $k_t = k_{1t} + k_{2t}$ 也是固定的。
這要求 $i_t = \delta k_t$。
所以，SP 的問題實際上是：
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(F^1(k_{1t}, h_{1t}), l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$F^2(k_{2t}, h_{2t}) = \delta k_t, \quad \forall t \ge 0$
$k_{1t}, k_{2t} \text{ are fixed and given for all } t$
$k_t = k_{1t} + k_{2t} \text{ is fixed}$
這裡的約束 $F^2(k_{2t}, h_{2t}) = \delta k_t$ 決定了 $h_{2t}$ 的值（如果 $k_{2t}$ 和 $\delta k_t$ 是給定的）。
然後 SP 只需要在 $h_{1t} + l_t = 1 - h_{2t}$ 的約束下，最大化 $U(F^1(k_{1t}, h_{1t}), l_t)$。
這相當於一個單部門的成長模型，只是勞動總供給被 $1-h_{2t}$ 限制了。

另一種解釋： SP 可以決定總投資 $i_t$ 的水平。部門 2 使用其資本 $k_{2t}$ 和勞動 $h_{2t}$ 來生產 $i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t})$。 SP 需要確保 $k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t$ 成立，並且 SP 可以通過決定 $h_{2t}$ 來影響 $i_t$。
同時，SP 也要決定 $h_{1t}$ 來影響 $C_{mt}$。
SP 的問題可以看作是：
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t, i_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t}), \quad \forall t \ge 0$
$i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + i_t, \quad \forall t \ge 0$
$k_{1t}, k_{2t} \text{ are fixed and given for all } t$
$k_0 \text{ given}$
這裡的關鍵是 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 是固定的。 SP 仍然可以選擇 $h_{1t}$ 和 $h_{2t}$。
SP 的決策變數是 $h_{1t}, h_{2t}, l_t$。
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(F^1(k_{1t}, h_{1t}), l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
$k_{1t}, k_{2t} \text{ are fixed and given for all } t$
$k_0 \text{ given}$
這看起來是比較合理的表述。SP 需要在勞動分配上做出決策，同時確保資本累積路徑是可行的，其中 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 是固定的參數。

【答案】
假設 $k_{1t}$ 和 $k_{2t}$ 是給定的固定值，且 $k_t = k_{1t} + k_{2t}$。SP 的問題是：
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(F^1(k_{1t}, h_{1t}), l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+1} = (1-\delta)k_t + F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
$k_{1t}, k_{2t} \text{ are fixed and given for all } t$
$k_0 \text{ given}$
所有變數非負。

(c) 資本可自由移動，生產延遲兩期，社會規劃者問題

現在投資 $i_t$ 需要兩期才能變成可用的資本。即，在 $t$ 期生產的投資 $i_t$ 要到 $t+2$ 期才能成為部門 1 或部門 2 的資本。

• 資本累積約束更新：
  總資本 $k_t$ 的演化。
  在 $t$ 期，可用的總資本是 $k_t$。
  SP 決定如何分配 $k_t$ 給部門 1 ($k_{1t}$) 和部門 2 ($k_{2t}$)，滿足 $k_{1t} + k_{2t} = k_t$。
  SP 決定勞動分配 $h_{1t}, h_{2t}, l_t$。
  部門 1 生產消費 $C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t})$。
  部門 2 生產投資 $i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t})$。
  投資 $i_t$ 在 $t+2$ 期才可用，所以 $k_{t+2} = (1-\delta)k_{t+1} + i_t$。

• 社會規劃者問題的表述：
  $\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t, k_{1t}, k_{2t}, i_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
  受限於：
  $h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
  $k_{1t} + k_{2t} = k_t, \quad \forall t \ge 0$
  $C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t}), \quad \forall t \ge 0$
  $i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
  $k_{t+2} = (1-\delta)k_{t+1} + i_t, \quad \forall t \ge 0$
  $k_0, k_1 \text{ given}$
  所有變數非負。

關鍵點： 資本累積約束現在是跨越兩期的。這意味著 SP 在做當期決策時，需要考慮到對未來兩期資本存量的影響。
例如，在 $t=0$ 時， SP 決定 $i_0$。這個 $i_0$ 會影響 $k_2$ ($k_2 = (1-\delta)k_1 + i_0$)。
在 $t=1$ 時， SP 決定 $i_1$。這個 $i_1$ 會影響 $k_3$ ($k_3 = (1-\delta)k_2 + i_1$)。

SP 需要同時優化 $C_{mt}$ 和 $i_t$ 的配置。
可以將問題重寫為：
$\max_{ \{l_t, k_t, i_t\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$C_{mt} + i_t = Y(k_t, 1-l_t; \text{sectoral allocation}), \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+2} = (1-\delta)k_{t+1} + i_t, \quad \forall t \ge 0$
$k_0, k_1 \text{ given}$
這裡 $Y(k_t, H_t)$ 同樣代表在總資本 $k_t$ 和總勞動 $H_t$ 下，通過最佳部門間配置所能實現的最大總產出。
SP 的決策變數是 $l_t$ (決定 $H_t$ 和 $C_{mt}$) 和 $i_t$ (決定未來的資本)。

【答案】
社會規劃者問題為：
$\max_{ \{h_{1t}, h_{2t}, l_t, k_{1t}, k_{2t}, i_t, C_{mt}\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
受限於：
$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1, \quad \forall t \ge 0$
$k_{1t} + k_{2t} = k_t, \quad \forall t \ge 0$
$C_{mt} = F^1(k_{1t}, h_{1t}), \quad \forall t \ge 0$
$i_t = F^2(k_{2t}, h_{2t}), \quad \forall t \ge 0$
$k_{t+2} = (1-\delta)k_{t+1} + i_t, \quad \forall t \ge 0$
$k_0, k_1 \text{ given}$
所有變數非負。

(d) 資本可自由移動 (延遲一期)，寫出家庭、廠商問題及市場均衡條件

此部分回到 (a) 的假設：資本可自由移動，投資延遲一期。

• 家庭（消費者）最大化問題：
  家庭目標：最大化總效用 $\sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$。
  家庭擁有時間，可以分配給勞動 $h_{1t}, h_{2t}$ 和休閒 $l_t$：$h_{1t} + h_{2t} + l_t = 1$。
  家庭從勞動中獲得收入。假設勞動市場是競爭性的，家庭獲得勞動的市場價格（工資）。
  但是，模型沒有明確給出工資率。在成長模型中，家庭的決策通常是同時決策消費、投資和勞動供給。
  家庭的決策通常是：
  $\max_{ \{C_{mt}, l_t, i_t\}_{t=0}^\infty } \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_{mt}, l_t)$
  受限於：