109 年 國立暨南國際大學財務金融學系碩士班《微積分》

此題組主要測試數列極限、泰勒級數近似積分、黎曼和求極限，以及極限的四則運算性質。

(a) 題目要求計算一個幾何級數的和。
此幾何級數為 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^n$。
這是一個首項 $a = \frac{1}{3}$，公比 $r = \frac{2}{3}$ 的無窮幾何級數。
因為 $|r| = |\frac{2}{3}| < 1$，此級數收斂。
級數的和為 $\frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = 1$。
【答案】1

(b) 題目要求使用 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 在 $x=0$ 的四階泰勒多項式來近似 $\int_0^{1/2} \frac{1}{1+x^2} dx$ 的值。
我們知道 $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n = 1+u+u^2+u^3+u^4+\cdots$ 對於 $|u|<1$。
令 $u = -x^2$，則 $\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \cdots$。
函數 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 在 $x=0$ 的四階泰勒多項式為 $P_4(x) = 1 - x^2 + x^4$。
我們用 $P_4(x)$ 來近似積分：
$\int_0^{1/2} \frac{1}{1+x^2} dx \approx \int_0^{1/2} (1 - x^2 + x^4) dx$
$= \left[ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_0^{1/2}$
$= \left( \frac{1}{2} - \frac{(1/2)^3}{3} + \frac{(1/2)^5}{5} \right) - (0 - 0 + 0)$
$= \frac{1}{2} - \frac{1/8}{3} + \frac{1/32}{5}$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{24} + \frac{1}{160}$
$= \frac{240 - 20 + 3}{480} = \frac{223}{480}$。
【答案】$\frac{223}{480}$

(c) 題目要求計算極限 $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$。
這個形式看起來像黎曼和。

此題組主要測試不定積分、定積分的計算，以及兩函數圖形所圍區域的面積計算，還有多重積分。

(a) 題目要求計算不定積分 $\int \frac{e^{-2/x}}{x^2} dx$。
令 $u = -\frac{2}{x}$。則 $du = \frac{2}{x^2} dx$，所以 $\frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{2} du$。
原積分變為 $\int e^u \left(\frac{1}{2} du\right) = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C$。
將 $u = -\frac{2}{x}$ 代回，得到 $\frac{1}{2} e^{-2/x} + C$。
【答案】$\frac{1}{2} e^{-2/x} + C$

(b) 題目要求計算不定積分 $\int \frac{(\ln x)^2}{x} dx$。
令 $u = \ln x$。則 $du = \frac{1}{x} dx$。
原積分變為 $\int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C$。
將 $u = \ln x$ 代回，得到 $\frac{(\ln x)^3}{3} + C$。
【答案】$\frac{(\ln x)^3}{3} + C$

(c) 題目要求計算定積分 $\int_0^1 (2x+1)\sqrt{x^2+x} dx$。
令 $u = x^2+x$。則 $du = (2x+1) dx$。
當 $x=0$ 時，$u = 0^2+0 = 0$。
當 $x=1$ 時，$u = 1^2+1 = 2$。
原積分變為 $\int_0^2 \sqrt{u} du = \int_0^2 u^{1/2} du$。
$= \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^2$
$= \frac{2}{3} (2^{3/2}) - \frac{2}{3} (0^{3/2})$
$= \frac{2}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$。
【答案】$\frac{4\sqrt{2}}{3}$

(d) 題目要求計算由函數 $f(x)=-x^2+4x$ 和 $g(x)=2x-8$ 所圍區域的面積。
首先，我們需要找到兩個函數的交點。令 $f(x) = g(x)$:
$-x^2+4x = 2x-8$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
$(x-4)(x+2) = 0$
所以交點的 $x$ 座標為 $x=4$ 和 $x=-2$。
接下來，我們需要確定在區間 $[-2, 4]$ 內哪個函數的值較大。
我們可以測試一個點，例如 $x=0$：
$f(0) = -0^2+4(0) = 0$
$g(0) = 2(0)-8 = -8$

此題組主要測試微分法則，包括乘法定律、連鎖律、商法定律、偏微分。

(a) 題目要求計算函數 $f(x)=(x^2+1)(2x^2-1)$ 的導數。
我們可以使用乘法定律，令 $u(x) = x^2+1$ 和 $v(x) = 2x^2-1$。
則 $u'(x) = 2x$ 且 $v'(x) = 4x$。
根據乘法定律，$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$。
$f'(x) = (2x)(2x^2-1) + (x^2+1)(4x)$
$f'(x) = 4x^3 - 2x + 4x^3 + 4x$
$f'(x) = 8x^3 + 2x$。
或者，我們可以先展開函數再微分：
$f(x) = (x^2+1)(2x^2-1) = 2x^4 - x^2 + 2x^2 - 1 = 2x^4 + x^2 - 1$。
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 + x^2 - 1) = 8x^3 + 2x$。
【答案】$8x^3 + 2x$

(b) 題目要求計算函數 $f(x)=\ln(e^{x^2}+4x-10)$ 的導數。
這需要使用連鎖律。令 $u = e^{x^2}+4x-10$。則 $f(x) = \ln(u)$。
$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \frac{du}{dx}$。
$\frac{df}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{e^{x^2}+4x-10}$。
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x^2}+4x-10)$。
對 $e^{x^2}$ 微分，需要再次使用連鎖律。令 $v = x^2$，則 $\frac{d}{dx}(e^v) = e^v \frac{dv}{dx} = e^{x^2} (2x)$。
所以 $\frac{du}{dx} = 2xe^{x^2} + 4$。
因此，$f'(x) = \frac{1}{e^{x^2}+4x-10} \cdot (2xe^{x^2} + 4)$。
$f'(x) = \frac{2xe^{x^2}+4}{e^{x^2}+4x-10}$。
【答案】$\frac{2xe^{x^2}+4}{e^{x^2}+4x-10}$

(c) 題目要求計算 $H'(2)$，其中 $H(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$，且已知 $f(2)=4$, $f'(2)=3$, $g(2)=-2$, $g'(2)=5$。
這需要使用商法定律。
$H'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$。
將 $x=2$ 代入：
$H'(2) = \frac{f'(2)g(2) - f(2)g'(2)}{[g(2)]^2}$。
代入已知的值：

此題組主要測試多變數函數的極值問題，包括利潤函數的定義、最大值點的尋找（使用一階偏導數）以及最大利潤的計算。

(a) 題目要求找出利潤函數 $P(x, y)$。
利潤函數定義為收入函數減去成本函數，即 $P(x, y) = R(x, y) - C(x, y)$。
$P(x, y) = (3x^2 + 4y^2 + 6x + 12y + 300) - (4x^2 + 5y^2 + 100)$
$P(x, y) = 3x^2 + 4y^2 + 6x + 12y + 300 - 4x^2 - 5y^2 - 100$
$P(x, y) = (3x^2 - 4x^2) + (4y^2 - 5y^2) + 6x + 12y + (300 - 100)$
$P(x, y) = -x^2 - y^2 + 6x + 12y + 200$。
【答案】$P(x, y) = -x^2 - y^2 + 6x + 12y + 200$

(b) 題目要求找出使利潤函數 $P(x, y)$ 達到最大值的 $x$ 和 $y$ 的值。
為了找到最大值，我們需要計算一階偏導數並令它們等於零。
$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x^2 - y^2 + 6x + 12y + 200) = -2x + 6$。
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-x^2 - y^2 + 6x + 12y + 200) = -2y + 12$。
令偏導數等於零：
$-2x + 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$。

此題組主要測試函數的凹性與反曲點的判斷。

首先，我們需要計算函數的二階導數。
給定函數 $f(x) = \sqrt{x+1} = (x+1)^{1/2}$。
一階導數：
$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$。
為了使 $f'(x)$ 有定義，我們需要 $x+1 > 0$，即 $x > -1$。

二階導數：
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2}(x+1)^{-3/2} \cdot 1 \right)$
$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4(x+1)^{3/2}}$。
同樣地，為了使 $f''(x)$ 有定義，我們需要 $x+1 > 0$，即 $x > -1$。

(a) 函數在何處凹向上 (concave upward)？
函數在 $f''(x) > 0$ 的區間上凹向上。