109 年 國立暨南國際大學財務金融學系碩士班《統計學》

此題考驗對二項分配進行常態近似的應用。當樣本數 $n$ 夠大，且 $np$ 與 $n(1-p)$ 都大於某個常數（通常是 5 或 10）時，二項分配可以使用常態分配來近似。

給定條件：
樣本數 $n = 80$
學生不升學的機率 $p = 0.20$
則學生升學的機率 $1-p = 0.80$

二項分配的參數：
平均數 $\mu = np = 80 \times 0.20 = 16$
標準差 $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{80 \times 0.20 \times 0.80} = \sqrt{12.8} \approx 3.5777$

由於 $np = 16 > 10$ 且 $n(1-p) = 80 \times 0.80 = 64 > 10$，我們可以使用常態近似。

(a) 計算「恰好 10 位學生不升學」的機率。
使用常態近似時，需要進行連續性修正 (continuity correction)。對於「恰好 $k$」的事件，我們將其範圍視為 $[k-0.5, k+0.5]$。
因此，我們要計算的機率為 $P(9.5 \le X \le 10.5)$，其中 $X$ 服從近似的常態分配 $N(16, 12.8)$。
將 $9.5$ 和 $10.5$ 轉換為標準常態分數 $z$：
$z_1 = \frac{9.5 - \mu}{\sigma} = \frac{9.5 - 16}{3.5777} \approx \frac{-6.5}{3.5777} \approx -1.8168$

此題考驗對比例檢定與比例信賴區間的應用。我們需要比較兩個不同時期的旅館入住率，並進行假設檢定與信賴區間估計。

首先，計算兩個時期的入住率（樣本比例）：
目前年度入住率：$\hat{p}_1 = \frac{1470}{1750} = 0.84$
前一年度入住率：$\hat{p}_2 = \frac{1458}{1800} = 0.81$

(a) 比例檢定
我們想檢定的是「目前年度的入住率是否高於前一年度」。

1. 虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)
   令 $p_1$ 為目前年度的真實入住率，令 $p_2$ 為前一年度的真實入住率。
   $H_0: p_1 \le p_2$ （入住率沒有增加，或下降）
   $H_1: p_1 > p_2$ （入住率有所增加）

2. 顯著水準
   $\alpha = 0.05$

3. 檢定統計量
   由於我們要檢定兩個獨立樣本比例的差異，且樣本數足夠大（可透過檢查 $n\hat{p}$ 和 $n(1-\hat{p})$ 的值來判斷，在此處 $n_1\hat{p}_1 = 1470 > 10$, $n_1(1-\hat{p}_1) = 280 > 10$, $n_2\hat{p}_2 = 1458 > 10$, $n_2(1-\hat{p}_2) = 342 > 10$），我們可以使用 $z$-檢定。
   在虛無假設為真時，我們假設兩個比例相等，因此使用合併比例 $\hat{p}_{pool}$ 來計算標準誤。
   合併樣本比例：$\hat{p}_{pool} = \frac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2} = \frac{1470 + 1458}{1750 + 1800} = \frac{2928}{3550} \approx 0.8248$
   標準誤：$SE_{pool} = \sqrt{\hat{p}_{pool}(1-\hat{p}_{pool})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})} = \sqrt{0.8248(1-0.8248)(\frac{1}{1750} + \frac{1}{1800})}$
   $SE_{pool} = \sqrt{0.8248 \times 0.1752 \times (\frac{1}{1750} + \frac{1}{1800})} \approx \sqrt{0.1444 \times (0.0005714 + 0.0005556)} \approx \sqrt{0.1444 \times 0.001127} \approx \sqrt{0.0001627} \approx 0.012756$
   檢定統計量：$z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{SE_{pool}} = \frac{0.84 - 0.81}{0.012756} = \frac{0.03}{0.012756} \approx 2.3518$

4. 臨界值與決策規則
   由於是對立假設 $H_1: p_1 > p_2$ 進行右尾檢定，在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，臨界值 $z_{\alpha}$ 為

此題考驗對條件機率與全機率公式的應用。題目提供了關於 PGA 選手推桿的總體數據，並要求計算不同情境下的機率。

我們定義以下事件：
$M$: 推桿成功 (Made)
$Miss$: 推桿失敗 (Missed)
$Par$: 嘗試推 Par 推桿 (Attempting Par putt)
$Birdie$: 嘗試推 Birdie 推桿 (Attempting Birdie putt)

給定數據：
總推桿數 (Total putts) = 1,613,234
成功推桿數 (Made putts) = 983,764
失敗推桿數 (Missed putts) = 629,470

注意：983,764 + 629,470 = 1,613,234，數據吻合。

另外，題目給了推桿結果（成功/失敗）與推桿目標（Par/Birdie）之間的條件機率。
對於成功的推桿：
$P(Par | M) = 0.640$
$P(Birdie | M) = 0.188$
注意：$0.640 + 0.188 = 0.828$。這表示還有 $1 - 0.828 = 0.172$ 的成功推桿是嘗試其他目標（例如 Bogey 或 Chip-in 等），或者題目只關注這兩種情況。我們暫時假設這兩種情況是主要的，但要留意此處的機率和不為 1。

對於失敗的推桿：
$P(Par | Miss) = 0.203$
$P(Birdie | Miss) = 0.734$
注意：$0.203 + 0.734 = 0.937$。這表示還有 $1 - 0.937 = 0.063$ 的失敗推桿是嘗試其他目標。

(a) 計算 PGA 選手成功推桿的機率。
這是直接從總體數據中可以計算出來的。
$P(M) = \frac{\text{成功推桿數}}{\text{總推桿數}} = \frac{983,764}{1,613,234}$
$P(M) \approx 0.6098$

(b) 計算 PGA 選手有 Par 推桿時，成功推桿的機率。
這需要用到貝氏定理或全機率公式。我們已知 $P(Par | M) = 0.640$ 和 $P(Birdie | M) = 0.188$。
題目問的是「Suppose that a PGA Tour player has a putt for par. What is the probability that the player will make the putt?」，這實際上是在問 $P(M | Par)$。

此題考驗獨立樣本 $t$-檢定的應用。我們需要比較兩個不同年份的商務旅行機票平均價格，並進行假設檢定。

我們有兩組獨立樣本：今年 (Current Year) 和去年 (Previous Year) 的商務旅行機票價格。

樣本數據：
今年 (Current Year): $n_1 = 12$, 數據為 {345, 526, 420, 216, 285, 405, 635, 710, 605, 517, 570, 610}
去年 (Previous Year): $n_2 = 12$, 數據為 {315, 463, 462, 206, 275, 432, 585, 650, 545, 547, 508, 580}

我們假設兩組樣本的變異數相等（可以進行 $F$-檢定來驗證，但在此處題目未要求，我們暫時假設相等）。

1. 虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)
   令 $\mu_1$ 為今年商務旅行的平均機票價格，$\mu_2$ 為去年商務旅行的平均機票價格。
   題目要求檢定「是否有差異」，這意味著是雙尾檢定。
   $H_0: \mu_1 = \mu_2$ （平均機票價格沒有差異）
   $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ （平均機票價格有差異）

2. 顯著水準
   $\alpha = 0.05$

3. 計算樣本平均數與樣本變異數

   今年 (Current Year):
   $\sum x_1 = 345+526+420+216+285+405+635+710+605+517+570+610 = 5844$
   $\bar{x}_1 = \frac{5844}{12} = 487$
   計算平方和：$\sum x_1^2 = 345^2 + 526^2 + ... + 610^2 = 3,435,564$
   $s_1^2 = \frac{\sum x_1^2 - n_1\bar{x}_1^2}{n_1-1} = \frac{3435564 - 12 \times 487^2}{11} = \frac{3435564 - 12 \times 237169}{11} = \frac{3435564 - 2846028}{11} = \frac{589536}{11} \approx 53594.18$

   去年 (Previous Year):
   $\sum x_2 = 315+463+462+206+275+432+585+650+545+547+508+580 = 5568$
   $\bar{x}_2 = \frac{5568}{12} = 464$
   計算平方和：$\sum x_2^2 = 315^2 + 463^2 + ... + 580^2 = 3,147,190$

此題考驗對複迴歸分析結果的判讀，包含 ANOVA 表的填寫、判定係數計算、個別迴歸係數的 $t$-檢定，以及整體迴歸模型的 $F$-檢定。

基本資訊：
樣本數 $n = 20$
自變數個數 $k = 3$ ($X_1, X_2, X_3$)

迴歸係數與標準誤：
$\hat{\beta}_0 = 20.00$, $SE(\hat{\beta}_0) = 5.00$
$\hat{\beta}_1 = 15.00$, $SE(\hat{\beta}_1) = 3.00$
$\hat{\beta}_2 = 8.00$, $SE(\hat{\beta}_2) = 5.00$
$\hat{\beta}_3 = -18.00$, $SE(\hat{\beta}_3) = 0.00$

ANOVA 表：

Source	DF	SS	MS	F
Regression	$k$	$SSR$	$MSR$	$F_{calc}$
Error	$n-k-1$	$SSE$	$MSE$
Total	$n-1$	$SST$

(a) 填寫 ANOVA 表的空格

• Regression DF: 自變數的個數 $k = 3$。
• Error DF: $n - k - 1 = 20 - 3 - 1 = 16$。
• Regression SS ($SSR$): 已知 $MSR = 80$ 且 $DF_{Regression} = 3$。$MSR = \frac{SSR}{DF_{Regression}}$，所以 $SSR = MSR \times DF_{Regression} = 80 \times 3 = 240$。
• Error SS ($SSE$): 已知 $SSE = 320$。
• Total SS ($SST$): $SST = SSR + SSE = 240 + 320 = 560$。
• MSE: $MSE = \frac{SSE}{DF_{Error}} = \frac{320}{16} = 20$。
• F-statistic ($F_{calc}$): $F_{calc} = \frac{MSR}{MSE} = \frac{80}{20} = 4$。

填寫後的 ANOVA 表：

Source	DF	SS	MS	F
Regression	3	240	80	4
Error	16	320	20
Total	19	560

(b) 計算判定係數 ($R^2$)
判定係數 $R^2$ 定義為 $R^2 = \frac{SSR}{SST}$ 或 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$。
使用已填寫的 ANOVA 表數據：
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{240}{560} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$

(c) $t$-檢定個別迴歸係數
對於每個迴歸係數 $\hat{\beta}_i$，我們進行檢定 $H_0: \beta_i = 0$ vs $H_1: \beta_i \neq 0$。檢定統計量為 $t = \frac{\hat{\beta}_i}{SE(\hat{\beta}_i)}$。自由度為 Error DF，即 16。顯著水準 $\alpha = 0.05$。

• 對於 $\beta_1$:
  $t_1 = \frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{15.00}{3.00} = 5.00$
  臨界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 16} \approx 2.120$。
  因為 $|t_1| = 5.00 > 2.120$，所以拒絕 $H_0$。$\beta_1$ 顯著異於零。

• 對於 $\beta_2$:

此題考驗對比例的信賴區間估計與樣本數需求的計算。

給定數據：
總樣本數 $n = 162$
成功（擊敗預期）的公司數 $x = 104$
匹配預期的公司數 = 29
未達預期的公司數 = 29

(a) 計算 95% 信賴區間與誤差範圍
我們要估計的是「擊敗預期的公司比例」($p$)。
樣本比例 $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{104}{162} \approx 0.641975$

對於 95% 信賴區間，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
查標準常態分配表，對應的 $z$ 值為 $z_{0.025} \approx 1.96$。

信賴區間的公式為：$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
誤差範圍 (Margin of Error, MOE) $= z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

計算標準誤：
$1 - \hat{p} = 1 - 0.641975 = 0.358025$
$\hat{p}(1-\hat{p}) = 0.641975 \times 0.358025 \approx 0.22986$
$\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} = \frac{0.22986}{162} \approx 0.0014189$
$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \approx \sqrt{0.0014189} \approx 0.037668$

計算誤差範圍：
MOE $= 1.96 \times 0.037668 \approx 0.07383$

計算 95% 信賴區間：
信賴區間 $= \hat{p} \pm MOE = 0.641975 \pm 0.07383$
信賴區間 $= [0.641975 - 0.07383, 0.641975 + 0.07383]$

此題考驗對離散隨機變數期望值、變異數（進而計算標準差）的計算，以及相關係數的概念。

我們有兩個設計 (Design A, Design B)，其利潤（以千美元為單位）取決於三種可能的消費者品味 (Taste)。三種品味的機率是獨立於設計的。

令 $X_A$ 為選擇 Design A 時的利潤，令 $X_B$ 為選擇 Design B 時的利潤。
令 $P_1 = 0.2$, $P_2 = 0.5$, $P_3 = 0.3$ 為三種品味的機率。
Let $A_1 = 180, A_2 = 230, A_3 = 350$ be the profits for Design A under tastes 1, 2, 3 respectively.
Let $B_1 = 520, B_2 = 310, B_3 = 270$ be the profits for Design B under tastes 1, 2, 3 respectively.

(a) Design A 的期望值與標準差
期望值 $E(X_A)$：
$E(X_A) = \sum_{i=1}^{3} P_i \times A_i$
$E(X_A) = (0.2 \times 180) + (0.5 \times 230) + (0.3 \times 350)$
$E(X_A) = 36 + 115 + 105 = 256$

變異數 $Var(X_A)$：
$Var(X_A) = E(X_A^2) - [E(X_A)]^2$
首先計算 $E(X_A^2)$:
$E(X_A^2) = \sum_{i=1}^{3} P_i \times A_i^2$
$E(X_A^2) = (0.2 \times 180^2) + (0.5 \times 230^2) + (0.3 \times 350^2)$
$E(X_A^2) = (0.2 \times 32400) + (0.5 \times 52900) + (0.3 \times 122500)$
$E(X_A^2) = 6480 + 26450 + 36750 = 69680$

$Var(X_A) = 69680 - (256)^2 = 69680 - 65536 = 4144$

標準差 $\sigma_{X_A}$：
$\sigma_{X_A} = \sqrt{Var(X_A)} = \sqrt{4144} \approx 64.374$

(b) Design B 的期望值與標準差
期望值 $E(X_B)$：
$E(X_B) = \sum_{i=1}^{3} P_i \times B_i$
$E(X_B) = (0.2 \times 520) + (0.5 \times 310) + (0.3 \times 270)$
$E(X_B) = 104 + 155 + 81 = 340$

變異數 $Var(X_B)$：
$Var(X_B) = E(X_B^2) - [E(X_B)]^2$
首先計算 $E(X_B^2)$:
$E(X_B^2) = \sum_{i=1}^{3} P_i \times B_i^2$
$E(X_B^2) = (0.2 \times 520^2) + (0.5 \times 310^2) + (0.3 \times 270^2)$
$E(X_B^2) = (0.2 \times 270400) + (0.5 \times 96100) + (0.3 \times 72900)$