114 年 國立暨南國際大學財務金融學系碩士班《統計學》

本題考查離散型隨機變數的期望值（平均數）與標準差的計算。

核心觀念：
離散型隨機變數 $X$ 的期望值 $E(X)$ 為 $\sum x f(x)$，變異數 $Var(X)$ 為 $E(X^2) - [E(X)]^2$，而標準差 $\sigma_X$ 為 $\sqrt{Var(X)}$。

解題步驟：

1. 計算期望值 $E(X)$ (Mean)
   $E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X=x)$
   $E(X) = (0 \times 0.80) + (1 \times 0.15) + (2 \times 0.04) + (3 \times 0.01)$
   $E(X) = 0 + 0.15 + 0.08 + 0.03$
   $E(X) = 0.26$

2. 計算 $E(X^2)$
   $E(X^2) = \sum_{x} x^2 \cdot P(X=x)$

本題考查機率的基本概念，包含聯合機率、聯集機率、互斥事件、獨立事件以及條件機率。

核心觀念：

• 聯集機率公式：$P(A \cup M) = P(A) + P(M) - P(A \cap M)$
• 互斥事件定義：若 $P(A \cap M) = 0$，則 A 與 M 互斥。
• 獨立事件定義：若 $P(A \cap M) = P(A)P(M)$，則 A 與 M 獨立。
• 條件機率公式：$P(M|A) = \frac{P(A \cap M)}{P(A)}$

解題步驟：

(a) What is the probability that you will receive a Merit scholarship?
我們已知 $P(A \cup M) = 0.3$, $P(A) = 0.18$, $P(A \cap M) = 0.11$。
利用聯集機率公式：$P(A \cup M) = P(A) + P(M) - P(A \cap M)$
將已知數值代入：$0.3 = 0.18 + P(M) - 0.11$
$0.3 = 0.07 + P(M)$
$P(M) = 0.3 - 0.07$
$P(M) = 0.23$

【答案】The probability that you will receive a Merit scholarship is 0.23.

(b) Are events A and M mutually exclusive? Why or why not? Explain.
兩個事件 A 和 M 如果是互斥事件，則它們不可能同時發生，也就是說它們的交集機率為 0，即 $P(A \cap M) = 0$。
在本題中，我們已知 $P(A \cap M) = 0.11$。
因為 $P(A \cap M) = 0.11 \neq 0$，所以事件 A 和 M 並非互斥事件。

【答案】No, events A and M are not mutually exclusive because their intersection probability $P(A \cap M)$ is 0.11, which is not zero. This means it is possible to receive both scholarships.

本題考查指數分佈的機率計算。指數分佈常用來描述事件發生之間的時間間隔。

核心觀念：
指數分佈的機率密度函數 (PDF) 為 $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$，累積分布函數 (CDF) 為 $F(t) = P(T \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$，且 $P(T > t) = e^{-\lambda t}$。
其中 $\lambda$ 是平均發生率。

解題步驟：

首先，我們需要從題目資訊計算出指數分佈的參數 $\lambda$。
題目說「平均 6 個訂單在 20 天內」，這表示：
平均發生率 $\lambda = \frac{\text{平均訂單數}}{\text{平均時間}} = \frac{6 \text{ orders}}{20 \text{ days}} = 0.3 \text{ orders/day}$。

(a) What is the probability of receiving the next order within 3 days?
這要求計算 $P(T \le 3)$，其中 $T$ 是接收下一個訂單所需的時間。
使用指數分佈的 CDF：
$P(T \le 3) = 1 - e^{-\lambda \times 3}$
$P(T \le 3) = 1 - e^{-0.3 \times 3}$

本題考查常態分佈的機率計算與分位數（百分位數）問題。

核心觀念：
常態分佈的機率計算通常需要將變數標準化為標準常態分佈 (Z 分佈)，然後利用 Z 表或計算機求解。

• 標準化公式：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
• 分位數問題：找到一個值 $x$，使得 $P(X \le x)$ 或 $P(X \ge x)$ 等於給定的機率。

解題步驟：

Instagram 數據：
平均數 $\mu_{Insta} = 9.25$ 小時
標準差 $\sigma_{Insta} = 15.14$ 小時
假設服從常態分佈 $N(9.25, 15.14^2)$。

檔案傳輸數據：
平均數 $\mu_{File} = 6.56$ 小時
標準差 $\sigma_{File} = 16.27$ 小時
假設服從常態分佈 $N(6.56, 16.27^2)$。

(a) What is the probability that a randomly selected university student spends more than 10 hours per day on Instagram?
我們要求 $P(X_{Insta} > 10)$。
首先，將 $X_{Insta} = 10$ 標準化：
$Z = \frac{10 - \mu_{Insta}}{\sigma_{Insta}} = \frac{10 - 9.25}{15.14} = \frac{0.75}{15.14} \approx 0.0495$
現在我們需要計算 $P(Z > 0.0495)$。
由標準常態分佈的對稱性，這等於 $1 - P(Z \le 0.0495)$。
查標準常態分佈表 (Z-table) 或使用計算機：
$P(Z \le 0.0495) \approx P(Z \le 0.05) \approx 0.5199$ (從 page 5 的 Z table 查得，Z=0.05對應0.5199)
所以，$P(X_{Insta} > 10) = P(Z > 0.0495) \approx 1 - 0.5199 = 0.4801$。

本題考查簡單線性迴歸分析，包含 ANOVA 表的填寫、迴歸模型的預測、假設檢定以及 $R^2$ 的計算與解釋。

核心觀念：

• ANOVA 表關係：$SST = SSR + SSE$ (總平方和 = 迴歸平方和 + 誤差平方和)，$MST = SSR/DFR$, $MSE = SSE/DFE$, $F = MST/MSE$。
• 迴歸方程式：$\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$
• $t$ 檢定：$t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1,0}}{SE(\hat{\beta}_1)}$
• $R^2$：決定係數，衡量自變數對應變數的解釋能力。$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$。

解題步驟：

首先，我們需要定義變數：
令 $y$ 為 Profits (%), $x$ 為 Expenses (%)。
樣本數 $n = 6$。
自變數 $x$ 的數據：1.5, 1.0, 2.8, 0.4, 1.3, 2.0
應變數 $y$ 的數據：3.6, 2.8, 5.4, 1.9, 2.9, 4.3

由題目提供的迴歸輸出，我們知道：
$SSR = 7.5610$
$SST = 7.6683$
$SE(\hat{\beta}_0) = 0.1484$, $t_{Const} = 8.49$
$SE(\hat{\beta}_1) = 0.0883$, $t_X = 16.79$
$\hat{\beta}_0 = 1.2595$ (Constant 的係數)
$\hat{\beta}_1 = 1.48256$ (X 的係數)

(a) Complete the ANOVA table.
我們需要計算 D.F. (自由度)、S.S. (平方和)、M.S. (均方) 和 F 值。

• D.F. (自由度):

  • Regression D.F. (A) = 1 (因為只有一個自變數 X)
  • Total D.F. = n - 1 = 6 - 1 = 5 (題目已給)
  • Error D.F. (C) = Total D.F. - Regression D.F. = 5 - 1 = 4

• S.S. (平方和):

  • Regression S.S. = SSR = 7.5610 (題目已給)
  • Total S.S. = SST = 7.6683 (題目已給)
  • Error S.S. = SSE = SST - SSR = 7.6683 - 7.5610 = 0.1073

• M.S. (均方):

  • Regression M.S. (B) = SSR / DFR = 7.5610 / 1 = 7.5610
  • Error M.S. (D) = SSE / DFE = 0.1073 / 4 = 0.026825 (題目給的 0.0268 非常接近)

• F 統計量 (E):

  • F = MSR / MSE = 7.5610 / 0.026825 $\approx 281.85$
  • (注意：題目提供的 F 值 E 欄位是空的，但 p 值是 0.000，表示 F 值應該很大。如果用 MSE=0.0268，則 F=7.5610/0.0268 = 2821.27，這個數字非常大，與 p=0.000一致。我們使用題目給的 MSE=0.0268 來計算 F)
  • F = MSR / MSE = 7.5610 / 0.0268 $\approx 2821.27$

填寫完成的 ANOVA 表：

Source	D.F	S.S	M.S	F	p
Regression	1	7.5610	7.5610	2821.27	0.000
Error	4	0.1073	0.0268
Total	5	7.6683

【答案】(a) ANOVA table completed as above.

*(b) Use the estimated regression equation to predict the net operating profits for advertising expense that is 2.5%.

核心觀念

本題考驗「單一母體比例的左尾檢定」。

令 $p$ 表示裝有安全氣囊且乘客繫安全帶時，車禍中的死亡率。已知僅繫安全帶時死亡率為 $0.35$，研究機構主張安裝安全氣囊能降低死亡率，因此假設為：

$$H_0:p=0.35$$ $$H_1:p<0.35$$

這是顯著水準 $\alpha=0.05$ 的左尾檢定。

當樣本數夠大時，樣本比例 $\hat p$ 可用常態分配近似，其檢定統計量為：

$$Z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

其中 $p_0=0.35$。

解題方法與計算

去年共有 $n=150$ 位乘客繫安全帶且車輛裝有安全氣囊，其中死亡 $x=45$ 人，因此樣本死亡率為：

$$\hat p=\frac{x}{n}=\frac{45}{150}=0.30$$

在虛無假設成立時，檢定統計量為：

$$Z=\frac{0.30-0.35}{\sqrt{\frac{0.35(1-0.35)}{150}}}$$ $$=\frac{-0.05}{\sqrt{\frac{0.35(0.65)}{150}}} =\frac{-0.05}{0.03894} \approx -1.28$$

左尾檢定在 $\alpha=0.05$ 下的臨界值為：

$$z_{0.05}=-1.645$$

拒絕域為：

$$Z<-1.645$$

核心觀念

本題比較同一批 16 位患者服用飲食前後的體重，屬於「成對樣本」資料，應使用成對樣本 $t$ 檢定（paired-sample $t$ test）。

令第 $i$ 位患者的體重減少量為

$$D_i=\text{服用前體重}-\text{4週後體重}$$

因此：

• $D_i>0$ 表示體重減少；
• $D_i<0$ 表示體重增加；
• 母體平均減少量記為 $\mu_D$。

題目假設差值母體服從常態分布，符合成對樣本 $t$ 檢定的使用條件。

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解題方法

題目要判斷 4 週後的平均體重是否「減少」，因此採用右尾檢定：

$$H_0:\mu_D=0$$ $$H_1:\mu_D>0$$

其中：

• 樣本數 $n=16$；
• 樣本平均減少量 $\bar D=3.0$ 磅；
• 差值的樣本標準差 $s_D=6.0$ 磅；
• 顯著水準 $\alpha=0.05$。

成對樣本 $t$ 統計量為

$$t=\frac{\bar D-\mu_{D,0}}{s_D/\sqrt n}$$

在虛無假設下 $\mu_{D,0}=0$，所以

$$t=\frac{3.0-0}{6.0/\sqrt{16}} =\frac{3.0}{6.0/4} =\frac{3.0}{1.5} =2.00$$

自由度為

$$df=n-1=16-1=15$$

右尾檢定在 $\alpha=0.05$、$df=15$ 下的臨界值為

$$t_{0.95,15}\approx 1.753$$

比較可得