113 年 國立暨南國際大學財務金融學系碩士班《統計學》

本題考驗兩個獨立樣本比例的比較檢定。

核心觀念：
比較兩個獨立群體比例的 Z 檢定。

步驟：

1. 建立假設：

   • 虛無假設 ($H_0$)：女性認為性騷擾是職場重大問題的比例不小於男性。
     $H_0: p_W \le p_M$
   • 對立假設 ($H_1$)：女性認為性騷擾是職場重大問題的比例大於男性。
     $H_1: p_W > p_M$

2. 計算樣本比例：

   • 女性樣本比例 ($\hat{p}_W$)：62%
   • 男性樣本比例 ($\hat{p}_M$)：24%

3. 計算合併比例（在 $H_0$ 為真時）：

   • 總樣本數 ($n_W + n_M$) = 150 + 200 = 350
   • 合併樣本比例 ($\hat{p}_c$) = $\frac{x_W + x_M}{n_W + n_M}$
     其中 $x_W = n_W \times \hat{p}_W = 150 \times 0.62 = 93$
     $x_M = n_M \times \hat{p}_M = 200 \times 0.24 = 48$
     $\hat{p}_c = \frac{93 + 48}{150 + 200} = \frac{141}{350} \approx 0.4029$

4. 計算檢定統計量 Z：
   $Z = \frac{(\hat{p}_W - \hat{p}_M) - (p_W - p_M)_0}{\sqrt{\hat{p}_c (1-\hat{p}_c) (\frac{1}{n_W} + \frac{1}{n_M})}}$
   在 $H_0$ 下，我們假設 $(p_W - p_M)_0 = 0$。

本題考驗配對樣本的平均數差值檢定。由於資料是同一種材料在兩個不同供應商的價格，因此屬於配對樣本。

核心觀念：
配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)。

步驟：

1. 建立假設：

   • 買家懷疑主要供應商（Primary Supplier）在「超額收費」，這意味著主要供應商的價格應該高於次要供應商（Secondary Supplier）。
   • 我們定義差值 $d = \text{Primary Supplier Price} - \text{Secondary Supplier Price}$。
   • 如果主要供應商超額收費，則 $d$ 應該是正數。
   • 虛無假設 ($H_0$)：平均差值 $\mu_d \le 0$（主要供應商沒有超額收費，或與次要供應商相同）。
   • 對立假設 ($H_1$)：平均差值 $\mu_d > 0$（主要供應商超額收費）。
   • 這是右尾檢定。

2. 計算差值 $d$：

   Material	Primary Supplier	Secondary Supplier	$d = P - S$
   1	$55	$45	10
   2	$48	$47	1
   3	$31	$32	-1
   4	$83	$77	6
   5	$37	$37	0
   6	$55	$54	1

3. 計算差值的樣本平均數 ($\bar{d}$) 和樣本標準差 ($s_d$)：

   • 樣本數 $n = 6$。
   • 差值列表：10, 1, -1, 6, 0, 1
   • $\bar{d} = \frac{10 + 1 + (-1) + 6 + 0 + 1}{6} = \frac{17}{6} \approx 2.833$
   • 計算差值的變異數 $s_d^2$：

本題考驗單一樣本平均數的假設檢定與信賴區間估計。

核心觀念：
單一樣本 t 檢定與單一樣本平均數的信賴區間。

部分 (a): 假設檢定

1. 建立假設：

   • 虛無假設 ($H_0$)：電影的平均運行時間等於 140 分鐘。
     $H_0: \mu = 140$
   • 對立假設 ($H_1$)：電影的平均運行時間不等於 140 分鐘。
     $H_1: \mu \ne 140$
   • 這是雙尾檢定。

2. 計算樣本統計量：

   • 樣本數 $n = 4$。
   • 樣本數據：150, 150, 180, 170
   • 樣本平均數 ($\bar{x}$) = $\frac{150 + 150 + 180 + 170}{4} = \frac{650}{4} = 162.5$
   • 樣本標準差 ($s$)：
     變異數 $s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
     $(150-162.5)^2 = (-12.5)^2 = 156.25$
     $(150-162.5)^2 = (-12.5)^2 = 156.25$
     $(180-162.5)^2 = (17.5)^2 = 306.25$
     $(170-162.5)^2 = (7.5)^2 = 56.25$
     $\sum(x_i - \bar{x})^2 = 156.25 + 156.25 + 306.25 + 56.25 = 675$
     $s^2 = \frac{675}{4-1} = \frac{675}{3} = 225$
     $s = \sqrt{225} = 15$

3. 計算檢定統計量 t：

   • 由於母體標準差未知且樣本數小，我們使用 t 分配。
   • 自由度 $df = n-1 = 4-1 = 3$。
   • $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{162.5 - 140}{15 / \sqrt{4}} = \frac{22.5}{15 / 2} = \frac{22.5}{7.5} = 3$

4. 決定檢定區域與做決策：

   • 顯著水準 $\alpha = 0.10$。

本題考驗對常態分配的理解，包含辨識參數、計算機率以及進行標準化轉換。

核心觀念：
常態分配的機率密度函數 (PDF)、標準化 (Z-score) 及相關參數的判斷。

給定的機率密度函數 (PDF) 是：
$f(x) = \frac{1}{6\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x+3)^2}{2 \cdot 36}}$

我們知道一般常態分配 $N(\mu, \sigma^2)$ 的 PDF 為：
$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

將給定函數與標準形式比較：
$\sigma\sqrt{2\pi} = 6\sqrt{2\pi} \implies \sigma = 6$
$2\sigma^2 = 2 \cdot 36 \implies \sigma^2 = 36 \implies \sigma = 6$
$(x-\mu)^2 = (x+3)^2 \implies x-\mu = x+3 \implies -\mu = 3 \implies \mu = -3$

部分 (a): 找出 X 的分配
根據上述比較，我們確定 X 服從一個平均數為 $\mu = -3$、標準差為 $\sigma = 6$ 的常態分配。
因此，X 的分配為 $N(-3, 6^2)$ 或 $N(-3, 36)$。

部分 (b): 計算 $P(0 < X < 10)$
為了計算這個機率，我們需要將 X 轉換為標準常態分配 Z。
標準化公式為 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
在這個問題中，$\mu = -3$ 且 $\sigma = 6$。

轉換 $X=0$：
$Z_1 = \frac{0 - (-3)}{6} = \frac{3}{6} = 0.5$

轉換 $X=10$：
$Z_2 = \frac{10 - (-3)}{6} = \frac{13}{6} \approx 2.1667$

所以，$P(0 < X < 10) = P(0.5 < Z < 2.1667)$。
我們需要查詢標準常態分配表來找到這個機率。
$P(0.5 < Z < 2.1667) = P(Z < 2.1667) - P(Z < 0.5)$

查表：

• $P(Z < 2.17)$ (近似 $2.1667$) $\approx 0.9846$
• $P(Z < 0.50)$ $\approx 0.6915$

所以，$P(0 < X < 10) \approx 0.9846 - 0.6915 = 0.2931$。

部分 (c): 找出 $a$ 和 $b$ 使 $aX+b$ 為標準常態分配
標準常態分配是指平均數為 0、標準差為 1 的常態分配，通常用 Z 表示。
令 $Y = aX+b$。我們希望 $Y \sim N(0, 1)$。

本題考驗常態分配的機率計算與百分位數的應用。

核心觀念：
常態分配的機率計算、Z 分數轉換、以及利用信賴區間的概念找尋值的範圍。

已知條件：

• 平均數 $\mu =$$21
• 標準差 $\sigma =$$5
• 分配為常態分配。

部分 (a): $P(X > 25)$

1. 標準化 (計算 Z 分數)：
   $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{25 - 21}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$

2. 計算機率：
   $P(X > 25) = P(Z > 0.8)$
   我們需要查詢標準常態分配表。
   $P(Z > 0.8) = 1 - P(Z \le 0.8)$
   查表，$P(Z \le 0.8) \approx 0.7881$
   $P(X > 25) \approx 1 - 0.7881 = 0.2119$

部分 (b): $P(10 < X < 20)$

1. 標準化 (計算 Z 分數)：

   • 對於 $X=10$：
     $Z_1 = \frac{10 - 21}{5} = \frac{-11}{5} = -2.2$
   • 對於 $X=20$：
     $Z_2 = \frac{20 - 21}{5} = \frac{-1}{5} = -0.2$

2. 計算機率：
   $P(10 < X < 20) = P(-2.2 < Z < -0.2)$
   $P(-2.2 < Z < -0.2) = P(Z < -0.2) - P(Z < -2.2)$
   利用對稱性，$P(Z < -0.2) = P(Z > 0.2) = 1 - P(Z \le 0.2)$

核心觀念

本題考查**雙向列聯表（Two-Way Contingency Table / Cross-Tabulation）**的基礎機率計算，主要涵蓋三大機率概念：

1. 邊際機率（Marginal Probability）：單一變數某特定類別發生的機率。計算方式為該類別的邊際總次數除以全體總人數 $N$：

$$P(A) = \frac{n(A)}{N}$$

2. 聯合機率（Joint Probability）：兩個事件同時發生的機率（即兩分類之交集）。計算方式為該儲存格次數除以全體總人數 $N$：

$$P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{N}$$

3. 條件機率（Conditional Probability）：在已知事件 $B$ 發生的前提下，事件 $A$ 發生的機率。此時樣本空間縮減為事件 $B$，公式為：

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$

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解題方法

先定義事件代號：

• 學生身分：$U$（大學部學生，Undergraduate）、$G$（研究生，Graduate）。
• 學院主修：$B$（商學院，Business）、$E$（工學院，Engineering）、$A$（文理學院，Arts & Sci.）。
• 全體學生總數：$N = 500$。

(a) 計算隨機抽取一名學生為大學部學生的機率 $P(U)$

• 大學部學生總人數 $n(U) = 400$。
• 此為邊際機率問題：

$$P(U) = \frac{n(U)}{N} = \frac{400}{500} = \frac{4}{5} = 0.8$$

(b) 計算主修工學院的學生百分比

• 主修工學院的學生總人數 $n(E) = 175$。
• 占全體學生的百分比為：

$$\frac{n(E)}{N} \times 100\% = \frac{175}{500} \times 100\% = 35\%$$

(c) 已知該生為大學部學生，其主修為商學院的機率 $P(B \mid U)$

• 給定條件為大學部學生（$U$），樣本空間縮減至大學部全體人數 $n(U) = 400$。
• 大學部且主修商學院之學生人數 $n(B \cap U) = 150$。
• 由條件機率公式：

本題考驗對複迴歸分析結果的解讀，包含決定係數、個別變數的顯著性檢定、預測值計算、殘差計算以及總體迴歸模型的顯著性檢定。

核心觀念：
複迴歸模型、R-squared、t-檢定、F-檢定、預測與殘差。

給定的複迴歸模型為：Sales = $\beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Capital} + \beta_2 \cdot \text{Wages} + \epsilon$
其中 Sales, Capital, Wages 單位為百萬美元。
模型輸出顯示：

• Observations (n) = 26
• R Square ($R^2$) = 0.689
• Adjusted R Square = 0.662
• F statistic (ANOVA table) = 25.432, p-value = 0.0001
• Intercept: Coeff = 15800.0000, t Stat = 2.617, P-value = 0.0154
• Capital: Coeff = 0.1245, t Stat = 0.609, P-value = 0.5485
• Wages: Coeff = 7.0762, t Stat = 4.804, P-value = 0.0001

部分 (a): 解釋變異的比例

• 這個問題詢問的是迴歸模型解釋了多少因變數 (Sales) 的變異。
• 這由 $R^2$ (R Square) 值直接提供。
• $R^2 = 0.689$。
• 這表示有 68.9% 的銷售額變異可以被公司在資本 (Capital) 和工資 (Wages) 上的支出所解釋。

部分 (b): 檢定 Capital 是否對 Sales 有影響 ( $\alpha = 0.05$ )

• 這是一個個別迴歸係數的顯著性檢定，針對 Capital 的係數 $\beta_1$。
• 虛無假設 ($H_0$)：$\beta_1 = 0$ (Capital 對 Sales 沒有影響)。
• 對立假設 ($H_1$)：$\beta_1 \ne 0$ (Capital 對 Sales 有影響)。
• 我們從迴歸輸出的表格中找到 Capital 這一列的 P-value。
• Capital 的 P-value = 0.5485。
• 因為 P-value (0.5485) > $\alpha$ (0.05)，我們無法拒絕虛無假設。
• 結論：在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，沒有足夠證據顯示 Capital 對 Sales 有顯著影響。

部分 (c): 檢定 Wages 是否對 Sales 有影響 ( $\alpha = 0.05$ )

• 這是一個個別迴歸係數的顯著性檢定，針對 Wages 的係數 $\beta_2$。
• 虛無假設 ($H_0$)：$\beta_2 = 0$ (Wages 對 Sales 沒有影響)。
• 對立假設 ($H_1$)：$\beta_2 \ne 0$ (Wages 對 Sales 有影響)。
• 我們從迴歸輸出的表格中找到 Wages 這一列的 P-value。
• Wages 的 P-value = 0.0001。
• 因為 P-value (0.0001) < $\alpha$ (0.05)，我們拒絕虛無假設。
• 結論：在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，有足夠證據顯示 Wages 對 Sales 有顯著影響。