108 年 國立暨南國際大學財務金融學系碩士班《統計學》

本題考驗對二項分配的近似，以及常態分配的應用。

首先，我們定義二項分配的參數：
樣本數 $n = 100$
成功機率（即不合格的機率）$p = 0.08$
失敗機率（即合格的機率）$q = 1 - p = 1 - 0.08 = 0.92$

二項分配的平均數 $\mu = np = 100 \times 0.08 = 8$
二項分配的標準差 $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{100 \times 0.08 \times 0.92} = \sqrt{7.36} \approx 2.7129$

由於 $np = 8 \ge 5$ 且 $nq = 92 \ge 5$，因此可以使用常態分配來近似二項分配。我們將使用連續性修正（continuity correction）。

(a) 計算樣本中有五個或更多不良品的機率。
我們要求 $P(X \ge 5)$。使用連續性修正，這相當於計算常態分配中 $P(X_{normal} \ge 4.5)$。
計算標準化分數 $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$：

本題考驗對比例的信賴區間計算以及樣本數的估計。

首先，我們定義變數：
總樣本數 $N = 2000$
在此樣本中，確定不願支付費用的使用者數量 $x = 400$
樣本比例 $\hat{p} = \frac{x}{N} = \frac{400}{2000} = 0.20$
樣本中確定願意支付費用的比例 $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.20 = 0.80$

(a) 計算 95% 信賴區間。
信賴區間的公式為：$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{N}}$
對於 95% 的信賴水準，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
標準常態分配中，$z_{0.025} = 1.96$。

信賴區間的標準誤為：$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{N}} = \sqrt{\frac{0.20 \times 0.80}{2000}} = \sqrt{\frac{0.16}{2000}} = \sqrt{0.00008} \approx 0.008944$

本題考驗條件機率在二項分配上的應用。

首先，我們定義二項分配的參數：
系統中的元件數量 $n = 8$
單一元件失效的機率 $p = 0.18$
元件失效是獨立事件。

我們定義事件：
A：至少一個元件失效。
B：至少兩個元件失效。

我們要求的是條件機率 $P(B|A)$。
根據條件機率的定義，$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$。

觀察事件 A 和 B 的關係：
如果事件 B（至少兩個元件失效）發生，那麼事件 A（至少一個元件失效）一定也發生。
因此，$A \cap B = B$。
所以，$P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)}$。

現在我們需要計算 $P(A)$ 和 $P(B)$。

事件 A：至少一個元件失效。
計算其補集事件 $A^c$：所有元件都正常。
單一元件正常工作的機率為 $1 - p = 1 - 0.18 = 0.82$。
由於元件失效是獨立的，所有 8 個元件都正常工作的機率為 $P(A^c) = (0.82)^8$。
$P(A^c) = 0.20863$ (約略計算)
因此，$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 0.20863 = 0.79137$。

本題考驗全機率法則與貝氏定理。

首先，我們定義事件：
A：使用者是 18-49 歲的成人網路使用者。
A^c：使用者是 50 歲及以上的成人網路使用者。
B：使用者使用 Facebook。

已知資訊：
$P(A) = 0.52$ (52% 的成人網路使用者是 18-49 歲)
$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.52 = 0.48$ (48% 的成人網路使用者是 50 歲及以上)
$P(B|A) = 0.81$ (18-49 歲使用者中有 81% 使用 Facebook)
$P(B|A^c) = 0.54$ (50 歲及以上使用者中有 54% 使用 Facebook)

(a) 計算一個成人網路使用者使用 Facebook 的機率 $P(B)$。
我們使用全機率法則：$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)$

本題考驗中央極限定理與常態分配的應用。

題目給予：
母體平均數 $\mu = 45$ 分鐘
母體標準差 $\sigma = 10$ 分鐘
樣本數 $n = 16$

根據中央極限定理，當從母體中抽取樣本時，樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態分配。
樣本平均數的平均數 $\mu_{\bar{x}} = \mu = 45$ 分鐘。
樣本平均數的標準差（標準誤）$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{16}} = \frac{10}{4} = 2.5$ 分鐘。

我們想找出一個值 $k$，使得 90% 的樣本平均數大於此值。也就是說，$P(\bar{X} > k) = 0.90$。
這等同於 $P(\bar{X} \le k) = 1 - 0.90 = 0.10$。

本題考驗複迴歸分析的相關概念，包含迴歸方程式的建立、預測、顯著性檢定、決定係數與調整決定係數的計算。

已知數據：
迴歸係數：
截距 (Intercept) $\hat{\beta}_0 = 7.0174$
$x_1$ 的係數 $\hat{\beta}_1 = 8.6233$
$x_2$ 的係數 $\hat{\beta}_2 = 0.0858$

ANOVA 表：
迴歸自由度 $df_{Regression} = ?$ (由題目給的 SS 欄位推算)
殘差自由度 $df_{Residual} = ?$ (由題目給的 SS 欄位推算)
迴歸平方和 $SS_{Regression} = 321.11$
殘差平方和 $SS_{Residual} = 63.39$
總平方和 $SS_{Total} = SS_{Regression} + SS_{Residual} = 321.11 + 63.39 = 384.50$

(a) 寫出預測迴歸方程式。
複迴歸方程式的形式為：$\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_1 + \hat{\beta}_2 x_2$
將已知係數代入：
$\hat{y} = 7.0174 + 8.6233 x_1 + 0.0858 x_2$
其中 $y$ 是銷售額（百萬美元），$x_1$ 是廣告支出（百萬美元），$x_2$ 是銷售人數。

【答案】$\hat{y} = 7.0174 + 8.6233 x_1 + 0.0858 x_2$

(b) 估計廣告支出為 3.5 百萬美元且銷售人員為 45 人時的銷售額。
代入 $x_1 = 3.5$ 和 $x_2 = 45$ 到迴歸方程式中：
$\hat{y} = 7.0174 + 8.6233 \times (3.5) + 0.0858 \times (45)$
$\hat{y} = 7.0174 + 30.18155 + 3.861$
$\hat{y} = 41.060$ (百萬美元)

題目要求以美元表示，所以乘以 $10^6$：
$41.060 \times 1,000,000 = 41,060,000$ 美元。

【答案】$41,060,000 美元。

(c) 在 $\alpha = 0.05$ 下，檢定整體迴歸模型是否顯著。
這是對整個迴歸模型的 F 檢定。
檢定統計量 $F = \frac{MS_{Regression}}{MS_{Residual}}$。
首先計算 MS 值：
$MS_{Regression} = \frac{SS_{Regression}}{df_{Regression}}$
$MS_{Residual} = \frac{SS_{Residual}}{df_{Residual}}$

根據題目提供的 ANOVA 表，迴歸模型有兩個自變數 ($x_1, x_2$)，且數據收集了 10 年。
因此，樣本數 $n = 10$。
迴歸自由度 $df_{Regression} = k = 2$ (自變數的個數)。
殘差自由度 $df_{Residual} = n - k - 1 = 10 - 2 - 1 = 7$。

$MS_{Regression} = \frac{321.11}{2} = 160.555$
$MS_{Residual} = \frac{63.39}{7} \approx 9.0557$

計算 F 統計量：
$F = \frac{160.555}{9.0557} \approx 17.729$

臨界值：在 $\alpha = 0.05$ 下，自由度為 $(df_1, df_2) = (2, 7)

本題考驗兩種獨立樣本的變異數檢定（F 檢定）與平均數檢定（t 檢定）。

已知數據：
樣本 1 (Preservative I): $n_1 = 15$, $\bar{X}_1 = 106.4$, $S_1 = 10.3$
樣本 2 (Preservative II): $n_2 = 15$, $\bar{X}_2 = 96.54$, $S_2 = 13.4$
兩母體均為常態分佈，樣本獨立。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

(a) 檢定母體變異數是否不同（F 檢定）。
虛無假設 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ (母體變異數相等)。
對立假設 $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ (母體變異數不相等)。

檢定統計量為 F 統計量，其值為兩樣本變異數的比值。我們將較大的樣本變異數放在分子，以進行單尾檢定。
樣本變異數 $s_1^2 = S_1^2 = (10.3)^2 = 106.09$
樣本變異數 $s_2^2 = S_2^2 = (13.4)^2 = 179.56$

由於 $s_2^2 > s_1^2$，我們將 $s_2^2$ 放在分子：
$F = \frac{s_2^2}{s_1^2} = \frac{179.56}{106.09} \approx 1.6925$

自由度：
分子自由度 $df_1 = n_2 - 1 = 15 - 1 = 14$
分母自由度 $df_2 = n_1 - 1 = 15 - 1 = 14$

臨界值：對於 $\alpha = 0.05$ 的雙尾檢定，我們需要尋找 $F_{\alpha/2, df_1, df_2}$ 和 $F_{1-\alpha/2, df_1, df_2}$。
由於我們將較大的變異數放在分子，我們實際上是在進行一個單尾檢定，但我們需要考慮雙尾的臨界區域。
在 $\alpha = 0.05$ 的雙尾檢定中，顯著水準為 $\alpha/2 = 0.025$。
查 F 分配臨界值表，對於 $(df_1, df_2) = (14, 14)$：
$F_{0.025, 14, 14} \approx 2.99$ (這是上臨界值)
下臨界值是 $1 / F_{0.025, 14, 14} \approx 1 / 2.99 \approx 0.334$。
所以，拒絕域為 $F > 2.99$ 或 $F < 0.334$。

然而，更常見的做法是將較大的變異數置於分子，並使用單尾檢定，然後將 $\alpha$ 除以 2。
檢定統計量 $F = 1.6925$。
臨界值 $F_{\alpha/2, df_1, df_2} = F_{0.025, 14, 14} \approx 2.99$。
由於 $1.6925 < 2.99$，我們不拒絕虛無假設。

本題考驗單一樣本的平均數檢定（Z 檢定），重點在於設定假設、計算檢定統計量並做出結論。

已知數據：
全國平均值 $\mu_0 = 32.79$ 美元
樣本數 $n = 50$
樣本平均值 $\bar{x} = 30.63$ 美元
母體標準差 $\sigma = 5.60$ 美元
顯著水準 $\alpha = 0.05$

1. 設定假設：
   我們想檢定南部州的平均月網路帳單是否小於全國平均值。這是一個單尾檢定。
   虛無假設 $H_0: \mu = 32.79$ (南部州的平均月網路帳單等於或大於全國平均值)。
   對立假設 $H_1: \mu < 32.79$ (南部州的平均月網路帳單小於全國平均值)。

2. 選擇檢定方法：
   由於母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本數 $n=50$ 較大（大於 30），我們可以使用 Z 檢定。

3. 計算檢定統計量：
   Z 檢定統計量公式為：$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
   $Z = \frac{30.63 - 32.79}{5.60/\sqrt{50}}$