114 年 國立暨南國際大學財務金融學系碩士班《經濟學》

此題考驗消費者理論中的效用極大化問題，以及價格變動下的補償變量法（Hicksian decomposition）來分析替代效果與所得效果。

核心觀念：

1. 效用極大化：消費者在所得約束下，選擇能使其效用最大的商品組合。
2. 需求函數：由效用極大化問題導出，表示商品需求量與其價格、所得及其他商品價格的關係。
3. 價格變動效果分解：將總體價格變動對需求量變動的影響，分解為替代效果（Substitution Effect）與所得效果（Income Effect）。

解題過程：

(a) 導出對 $x$ 的需求函數

消費者面臨的效用極大化問題為：
Maximize $U(x, y) = xy^2$
Subject to $P_x x + P_y y = m$

我們可以使用拉格朗日乘數法來求解：
$L(x, y, \lambda) = xy^2 - \lambda(P_x x + P_y y - m)$

對 $x, y, \lambda$ 分別取偏導數並令其為零：
$\frac{\partial L}{\partial x} = y^2 - \lambda P_x = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 = \lambda P_x \quad (1)$
$\frac{\partial L}{\partial y} = 2xy - \lambda P_y = 0 \quad \Rightarrow \quad 2xy = \lambda P_y \quad (2)$
$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(P_x x + P_y y - m) = 0 \quad \Rightarrow \quad P_x x + P_y y = m \quad (3)$

由 (1) 和 (2) 可得 $\frac{y^2}{2xy} = \frac{\lambda P_x}{\lambda P_y}$，化簡後得到 $\frac{y}{2x} = \frac{P_x}{P_y}$。
整理可得 $y = \frac{2P_x}{P_y} x$。

將此 $y$ 代入預算約束式 (3)：
$P_x x + P_y \left(\frac{2P_x}{P_y} x\right) = m$
$P_x x + 2P_x x = m$
$3P_x x = m$
$x = \frac{m}{3P_x}$

這就是對商品 $x$ 的需求函數。

【答案】 $x^d(P_x, P_y, m) = \frac{m}{3P_x}$

(b) 計算替代效果

首先，我們需要計算原始情況下和價格變動後的 $x$ 和 $y$ 的消費量。

原始情況：$P_x = 1, P_y = 2, m = 30$
由需求函數 $x = \frac{m}{3P_x}$，得 $x_1 = \frac{30}{3 \times 1} = 10$。
由 $y = \frac{2P_x}{P_y} x$，得 $y_1 = \frac{2 \times 1}{2} \times 10 = 10$。
原始效用 $U_1 = x_1 y_1^2 = 10 \times 10^2 = 1000$。

價格變動後：$P_x = 1, P_y = 1, m = 30$

此題考驗廠商理論中的生產理論與成本理論，特別是如何從生產函數導出成本函數。

核心觀念：

1. 生產函數：描述生產要素（如勞動 $L$ 和資本 $K$）投入量與產出量 $Q$ 之間的技術關係。
2. 等產量曲線 (Isoquant)：同一條等產量曲線上，所有能生產出相同產出水準的要素組合。
3. 成本極小化：廠商在給定產出水準 $Q$ 下，選擇能使其總成本最低的要素組合。這通常發生在要素的邊際技術替代率（MRTS）等於要素價格比時。
4. 成本函數：表示在給定要素價格 $w$ 和 $r$ 以及產出水準 $Q$ 下，廠商達成該產出水準的最低成本。

解題過程：

(a) 生產函數 $Q(L, K) = \min\{2L, K\}$

此生產函數為固定比例生產函數（Leontief production function），表示勞動 $L$ 和資本 $K$ 必須按照固定的比例投入才能生產。
為了達到產出 $Q$，必須滿足 $2L = K$ 且 $Q = 2L = K$。
因此，生產 $Q$ 單位產出所需的勞動 $L$ 和資本 $K$ 分別為：
$L = \frac{Q}{2}$
$K = Q$

此時，廠商的總成本 $C$ 為：
$C(w, r, Q) = wL + rK$
將 $L$ 和 $K$ 代入：
$C(w, r, Q) = w\left(\frac{Q}{2}\right) + r(Q)$
$C(w, r, Q) = \frac{w}{2}Q + rQ$
$C(w, r, Q) = \left(\frac{w}{2} + r\right)Q$

【答案】 $C(w, r, Q) = \left(\frac{w}{2} + r\right)Q$

(b) 生產函數 $Q(L,K) = 2L + K$

此生產函數為線性生產函數，表示勞動 $L$ 和資本 $K$ 可以互相替代，且替代的邊際技術替代率（MRTS）為常數。
MRTS$_{LK} = -\frac{dK}{dL} = \frac{MP_L}{MP_K}$
$MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 2$
$MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = 1$
MRTS$_{LK} = \frac{2}{1} = 2$

核心觀念

• IS‑LM（或簡化的 IS）模型：產出 $Y$ 由總需求決定，總需求由消費 $C$、投資 $I$、政府支出 $G$ 組成。
• 消費函數：$C= C_0 + c(Y-T)$，其中 $c$ 為邊際消費傾向。
• 投資函數：$I= I_0 - b r$，$b>0$ 表示投資對利率的敏感度。
• 政府支出 $G$ 與稅收 $T$ 為外生常數。
• 在完全就業時產出水平 $Y^{*}=2000$，本題要求比較實際均衡產出與 $Y^{*}$，並利用財政或貨幣政策調整使 $Y=Y^{*}$。

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解題方法

1. 代入已知參數：先將 $r=4\%$、$G=125$、$T=100$ 代入 $C$、$I$ 的函數，得到 $C$ 與 $I$ 為 $Y$ 的線性函數。
2. 利用產出恒等式 $Y=C+I+G$，求出均衡產出 $Y$。
3. 比較 $Y$ 與完全就業產出 $Y^{*}=2000$，判斷缺口大小與方向。
4. (b) 政府支出變動：在 $r$ 不變的情況下，重新代入 $Y=Y^{*}$，求出使均衡成立所需的 $G'$，進而算出 $\Delta G=G'-G$。
5. (c) 利率變動：在 $G$ 不變的情況下，先算出在 $Y=Y^{*}$ 時需要的投資額 $I^{*}$，再由投資函數反解出所需的利率 $r'$，得到 $\Delta r=r'-r$。

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(a) 均衡 GDP 計算

1. 投資：

$I = 500 - 50r = 500 - 50(4)=300$

2. 消費：

$C = 100 + 0.75 (Y - T)=100+0.75(Y-100)=25+0.75Y$

3. 產出恆等式：

$Y = C + I + G = (25+0.75Y)+300+125$

4. 整理：

$Y = 0.75Y + 450 \quad\Rightarrow\quad 0.25Y = 450 \quad\Rightarrow\quad Y = 1800$

比較
完全就業產出 $Y^{*}=2000$，實際均衡產出 $Y=1800$，缺口為

$\Delta Y = Y^{*}-Y = 2000-1800 = 200$

即產出低於完全就業水平 200（約 10%）。

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(b) 調整政府支出使產出回到完全就業

保持利率 $r=4\%$ 不變，先算出在 $Y^{*}=2000$ 時的需求組成：

此題考驗總體經濟學中的總合供需模型（AD-AS Model），以及不同事件對總合供給（Aggregate Supply, AS）與總合需求（Aggregate Demand, AD）曲線的影響。

核心觀念：

1. 總合需求曲線 (AD)：表示在不同物價水準下，經濟體系中所有商品與服務的總需求量。AD 曲線向右下方傾斜，因為物價上漲會導致實質貨幣供給減少、實質利率上升、資產價值下降、淨出口減少，進而減少總需求。
2. 短期總合供給曲線 (SRAS)：表示在不同物價水準下，經濟體系中所有企業願意且能夠提供的總產量。SRAS 曲線向右上方傾斜，因為在短期內，名目工資和部分要素價格具有黏性，物價上漲會提高企業利潤，刺激產量增加。
3. 曲線移動：AD 或 SRAS 曲線的移動是由非物價水準因素引起的。AD 曲線的移動由消費 ($C$)、投資 ($I$)、政府支出 ($G$)、淨出口 ($NX$) 的變動引起。SRAS 曲線的移動由生產要素價格（如工資）、生產技術、預期物價水準、稅收等變動引起。

解題過程：

(a) 家庭決定儲蓄更大比例的所得

影響分析：

1. 對 AD 的影響：消費 ($C$) 是 AD 的一個組成部分。如果家庭決定儲蓄更大比例的所得，意味著他們消費的比例會下降（假設所得不變）。消費下降會導致總需求下降。因此，AD 曲線會向左移動。
2. 對 SRAS 的影響：家庭的儲蓄決策主要影響總需求，而非生產成本或技術。它不會直接影響企業生產商品和服務的意願或能力（在短期內）。因此，SRAS 曲線不會移動。

經濟體系的影響：
AD 曲線左移，而 SRAS 曲線不變。
在新的均衡點，物價水準 (P) 會下降，總產出 (Y) 也會下降。
圖示：
繪製一個標準的 AD-AS 模型圖。

• 橫軸為總產出 (Y)，縱軸為物價水準 (P)。
• 畫一條向右下方傾斜的 AD 曲線 (AD1) 和一條向右上方傾斜的 SRAS 曲線 (SRAS1)。
• 標示初始均衡點 E1，對應的物價 P1 和產出 Y1。
• AD 曲線向左移動至 AD2。
• 新的均衡點 E2 位於 AD2 和 SRAS1 的交點，對應的物價 P2 < P1，總產出 Y2 < Y1。

【答案】 此事件會使總合需求曲線 (AD) 向左移動。短期總合供給曲線 (SRAS) 不移動。其影響是導致均衡物價水準下降，均衡產出減少。

(b) 海外工作機會增加導致許多人離開國家