115 年 國立成功大學工業與資訊管理學系研究所乙組《生產與作業管理》

這是一題概念題，主要在考察學生對人工智慧（AI）在生產與作業管理（POM）領域應用之理解。學生需要舉一個具體的 AI 應用案例，並詳述其內容、實施步驟及應注意事項。

AI 應用案例：預測性維護 (Predictive Maintenance)

• 應用內容： 預測性維護利用機器學習演算法分析設備感測器數據（如溫度、震動、壓力、電流等），以預測設備可能發生的故障時間點。這使得企業能夠在設備實際發生故障前安排維護，從而避免非計劃性停機、延長設備壽命、降低維護成本並提高生產效率。

• 實施步驟：

  1. 數據收集： 安裝感測器於關鍵設備上，持續收集設備運行數據，並記錄歷史維護及故障記錄。
  2. 數據預處理： 清洗、篩選、轉換原始數據，使其適合機器學習模型使用（例如處理缺失值、異常值，特徵工程）。
  3. 模型選擇與訓練： 選擇合適的機器學習模型（如迴歸模型、分類模型、時間序列模型、深度學習模型），使用歷史數據訓練模型，使其能學習設備正常運行與故障之間的模式。
  4. 模型驗證與調優： 使用獨立的測試數據集評估模型性能（如準確率、召回率、F1分數、RMSE等），並根據評估結果調整模型參數或更換模型。

本題考察「重力中心法」(Center of Gravity Method)，旨在找出一個最適合設置倉庫的點位，以最小化與各零售店之間的總運輸成本。總運輸成本與距離和需求量乘積成正比。

核心觀念： 重力中心法假設運輸成本與距離成正比，且每單位距離的成本相同。透過計算各零售店座標的加權平均值（權重為該店的運輸需求量），可以找到一個理論上的「中心點」，此點能使總運輸成本最低。

(a) 使用重力中心法確定倉庫位置

重力中心法的計算公式如下：
$X^* = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i D_i}{\sum_{i=1}^{n} D_i}$
$Y^* = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i D_i}{\sum_{i=1}^{n} D_i}$
其中：

• $(X^*, Y^*)$ 為新倉庫的最佳座標。
• $(x_i, y_i)$ 為第 $i$ 個零售店的座標。
• $D_i$ 為第 $i$ 個零售店的需求量（或運輸量）。
• $n$ 為零售店的總數。

首先，計算總需求量：
$\sum_{i=1}^{5} D_i = 20 + 30 + 80 + 40 + 50 = 220$

接著，計算 $X^*$ 座標：
$\sum_{i=1}^{5} x_i D_i = (1 \times 20) + (8 \times 30) + (6 \times 80) + (4 \times 40) + (7 \times 50)$
$= 20 + 240 + 480 + 160 + 350 = 1250$
$X^* = \frac{1250}{220} \approx 5.68$

然後，計算 $Y^*$ 座標：
$\sum_{i=1}^{5} y_i D_i = (2 \times 20) + (9 \times 30) + (2 \times 80) + (3 \times 40) + (1 \times 50)$
$= 40 + 270 + 160 + 120 + 50 = 640$
$Y^* = \frac{640}{220} \approx 2.91$

因此，根據重力中心法，倉庫的最佳位置座標約為 $(5.68, 2.91)$。

【答案】倉庫的最佳位置座標約為 $(5.68, 2.91)$。

(b) 使用代數推導重力中心法的解

重力中心法的目標是最小化總運輸成本 $TC$。假設從倉庫 $(X, Y)$ 到第 $i$ 個零售店 $(x_i, y_i)$ 的距離為 $d_i$，且單位距離的運輸成本為 $c$。則總運輸成本為：
$TC = c \sum_{i=1}^{n} d_i D_i$
這裡假設 $c=1$ 並且距離使用歐幾里得距離的平方來近似，因為這會使問題便於微分求解。然而，標準的重力中心法是基於距離（而非距離的平方）的線性關係，但其數學推導通常會假設成本與距離的乘積（而不是距離本身）是可微分的。更常見的推導是假設成本與距離的平方成正比，或者在簡化模型下，直接利用加權平均來找到「平衡點」。

若我們假設總運輸成本 $TC$ 與距離 $d_i$ 成正比，即 $TC = \sum_{i=1}^{n} D_i \sqrt{(X-x_i)^2 + (Y-y_i)^2}$，則最小化此函數需要複雜的數值方法

本題考察統計製程管制（Statistical Process Control, SPC）中的 $\bar{x}$ 管制圖與 $R$ 管制圖的應用。題目分為兩部分：第一部分為 Phase I，利用已收集的數據計算管制圖的管制界限；第二部分為 Phase II，利用新的樣本數據判斷製程是否在統計管制之下。

核心觀念： $\bar{x}$ 管制圖用於監控製程的平均值（中心位置），$R$ 管制圖用於監控製程的變異（離散程度）。管制界限的計算是基於製程在無失控原因下的預期表現。

(a) 計算 $\bar{x}$ 和 $R$ 管制圖的管制界限 (Phase I)

已知：

• 樣本大小 $n = 5$
• 樣本數 $k = 30$
• $\sum_{i=1}^{30} \bar{x}_i = 3000$
• $\sum_{i=1}^{30} R_i = 300$

1. 計算製程平均值 ($\bar{\bar{x}}$)：
$\bar{\bar{x}} = \frac{\sum_{i=1}^{k} \bar{x}_i}{k} = \frac{3000}{30} = 100$

2. 計算平均樣本極差 ($\bar{R}$)：
$\bar{R} = \frac{\sum_{i=1}^{k} R_i}{k} = \frac{300}{30} = 10$

3. 計算 $\bar{x}$ 管制圖的管制界限：
$\bar{x}$ 管制圖的管制界限公式為：
$UCL_{\bar{x}} = \bar{\bar{x}} + A_2 \bar{R}$
$LCL_{\bar{x}} = \bar{\bar{x}} - A_2 \bar{R}$

查表可知，對於 $n=5$， $A_2 = 0.577$。
$UCL_{\bar{x}} = 100 + (0.577 \times 10) = 100 + 5.77 = 105.77$
$LCL_{\bar{x}} = 100 - (0.577 \times 10) = 100 - 5.77 = 94.23$

4. 計算 $R$ 管制圖的管制界限：
$R$ 管制圖的管制界限公式為：
$UCL_R = D_4 \bar{R}$
$LCL_R = D_3 \bar{R}$

查表可知，對於 $n=5$， $D_3 = 0$ 且 $D_4 = 2.115$。
$UCL_R = 2.115 \times 10 = 21.15$
$LCL_R = 0 \times 10 = 0$

本題考察總體規劃（Aggregate Planning）的輸入要素。總體規劃是在一段較長的時間範圍內（通常是 3-12 個月），規劃產能和總體需求，以平衡生產、庫存、人力等資源，使其與預測的需求相匹配。

總體規劃的關鍵輸入：

• 需求預測 (Demand forecast)： 這是總體規劃的基礎，預測未來一段時間內產品或服務的需求量。
• 資源可用性 (Resources available)： 包括現有的產能、設備、勞動力、原材料等。
• 政策與規則 (Policies and rules)： 例如，關於加班、僱傭、解僱、庫存水平、外包等方面的公司政策。

本題考察庫存管理中的一個重要概念：可承諾庫存 (Available-to-Promise, ATP)。

核心觀念：

• 可承諾庫存 (ATP)： 指的是在考慮了已有的訂單和預計的生產/到貨後，還剩下多少庫存可以承諾給新的客戶訂單。它是一個動態的指標，用於幫助銷售和市場部門在承諾交貨日期時，有實際的庫存作為依據，避免過度承諾或錯失銷售機會。

各選項分析：

• (a) Available-to-promise inventory (ATP)： 正是這個概念。它是在特定時間點，扣除已承諾給現有訂單和預計生產計劃的庫存後，可供承諾給新訂單的庫存量。

本題考察計劃性接收 (Planned Receipts) 與預定接收 (Scheduled Receipts) 的區別，這兩個術語在物料需求計劃 (Material Requirements Planning, MRP) 系統中常用。

核心觀念：

• 計劃性接收 (Planned Receipts)： 是 MRP 系統根據對未來需求的預測和現有庫存情況，計算出的「預計」的訂單發出時間和預計到貨時間。這些計劃性的接收是指MRP系統建議「應該」發出的訂單，但這些訂單可能還未正式下達或確認。
• 預定接收 (Scheduled Receipts)： 是指 MRP 系統中已經「確認」或「已發出」但尚未到貨的訂單。這些訂單是基於過去的決策（例如，已經下達的採購訂單或生產訂單），並且在 MRP 的時間線上標示了預計的到貨日期。

分析選項：

• (a) Have longer lead times： Lead time 是採購或生產週期，與計劃性或預定性無關。

本題考察兩箱庫存系統 (Two-Bin Inventory System) 的運作方式。兩箱系統是一種簡單的庫存補充方法，常用於需求量相對穩定且管理成本較低的物品。

核心觀念：
兩箱系統的運作原理是：

1. 第一箱 (First Bin)： 包含大部分的庫存。當第一箱的庫存消耗到某個點（觸發點）時，就訂購新的庫存。
2. 第二箱 (Second Bin)： 包含的庫存量足夠在第一箱消耗完畢、新訂購的庫存尚未到貨期間滿足需求。換句話說，第二箱的庫存量就是為了應對從訂購到到貨這段時間的需求。

分析選項：

• (a) ROP (Reorder Point, 再訂購點)： 在兩箱系統中，當第一箱消耗到觸發點時，就觸發了訂購。這個觸發點通常設置為再訂購點。而第二箱的庫存量，正是為了保證在點第一箱的庫存消耗到零時，新的貨物還未到貨這段「再訂購期間」的需求。因此，第二箱的量通常等於或接近於「再訂購期間的需求量」，這與再訂購點的定義緊密相關。更精確地說，第二箱的量應該是滿足從觸發點到新貨到貨期間的需求。如果觸發點是基於需求量，那麼第二箱的量就是對應該觸發點的庫存量。

本題考察經濟訂購量 (Economic Order Quantity, EOQ) 模型。EOQ 模型用於確定在滿足需求的情況下，使總的訂購成本和持有成本最小化的訂購數量。

核心公式：
基本 EOQ 模型公式為：
$EOQ = \sqrt{\frac{2 D S}{H}}$
其中：

• $D$：年需求量 (Annual Demand)
• $S$：每次訂購成本 (Ordering Cost per Order)
• $H$：單位產品年持有成本 (Annual Holding Cost per Unit)

分析題目情境：
題目說「年需求量加倍」，假設原來的年需求量為 $D_{old}$，新的年需求量為 $D_{new}$。則 $D_{new} = 2 D_{old}$。
訂購成本 $S$ 和持有成本 $H$ 保持不變。

計算新 EOQ 與舊 EOQ 的關係：
舊 EOQ：
$EOQ_{old} = \sqrt{\frac{2 D_{old} S}{H}}$
新 EOQ：
$EOQ_{new} = \sqrt{\frac{2 D_{new} S}{H}} = \sqrt{\frac{2 (2 D_{old}) S}{H}} = \sqrt{2 \times \frac{2 D_{old} S}{H}}$

本題考察在庫存管理中，如何計算「提前期需求」的標準差。提前期 (Lead Time) 是指從下訂單到貨物送達所需的時間。

核心觀念：
當日需求量 $d$ 服從常態分佈，其平均值為 $\mu_d = 10$ 加侖，標準差為 $\sigma_d = 2$ 加侖。
提前期 $LT = 20$ 天。
提前期內的需求總量 $D_{LT}$ 是這 20 天每日需求的總和。
如果每日需求是獨立且同分佈的，那麼提前期內的需求總量 $D_{LT}$ 的平均值和標準差可以計算如下：

• 平均需求量 (Mean Demand during Lead Time)：
  $\mu_{D_{LT}} = LT \times \mu_d = 20 \text{ 天} \times 10 \text{ 加侖/天} = 200 \text{ 加侖}$

• 標準差 (Standard Deviation of Demand during Lead Time)：
  當變數是獨立且同分佈的隨機變數之和時，總變異數是各變異數之和。標準差是變異數的平方根。
  $\sigma^2_{D_{LT}} = \sum_{i=1}^{LT} \sigma^2_{d_i}$
  由於每日需求標準差相同 ($\sigma_d = 2$)，所以：

本題考察單期庫存模型 (Single-Period Inventory Model)，也稱為報童問題 (Newsvendor Problem)。此模型用於決定一次性購買的商品（如報紙、季節性商品）的最佳訂購量，以最大化預期利潤。

核心觀念：
單期模型的決策準則是在邊際分析的基礎上，確定最佳服務水準 (Service Level)，使得邊際收益等於邊際成本。
服務水準 (SL) 的定義是：在需求發生的時候，有足夠的庫存滿足需求的機率。
$SL = P(\text{Demand} \le Q^*)$
其中 $Q^*$ 是最佳訂購量。

決策的關鍵是比較「缺貨成本」(Cost of shortage, $C_s$) 和「剩餘成本」(Cost of excess, $C_e$)。

• $C_s$：當需求量超過訂購量時，每多一個單位的損失。
• $C_e$：當訂購量超過需求量時，每多一個單位的損失（通常是持有成本或報廢損失）。

本題考察豐田生產系統 (Toyota Production System, TPS) 的核心概念。

核心觀念：

• Muda (無駄)： 在日語中意為「浪費」，指在生產過程中任何未能增加價值的活動。TPS 的核心目標之一就是消除 Muda。常見的七種 (或八種) Muda 包括：過度生產、等待、運輸、過度加工、庫存、移動、缺陷，以及未被利用的人才（第八種）。
• Kaizen (改善)： 在日語中意為「持續改善」或「改良」。Kaizen 是 TPS 的另一大支柱，強調所有員工（從基層操作員到高層管理者）都應持續不斷地尋找並實施小的改進，以消除浪費、提高效率和品質。

本題考察精益生產 (Lean Production) 中「小批量生產」(Small Lot Sizes) 的好處。在精益系統中，強調「拉動式生產」(Pull System) 和「快速換線」(Quick Changeover)，這使得小批量生產成為可能且有益。

小批量生產的好處：

1. 減少在製品庫存 (Reduced In-process Inventory)： 每次生產的數量少，意味著在生產線上的半成品數量也會減少。這也是選項 (a) 所述。
2. 縮短生產週期時間 (Shorter Production Lead Time)： 由於生產的批次小，產品從開始生產到完成的時間會縮短。
3. 增加生產彈性 (Increased Flexibility)： 能夠更快地響應客戶需求變化或產品組合的變化。
4. 減少庫存持有成本 (Reduced Carrying Costs)： 由於在製品和成品庫存都減少，總體庫存持有成本會降低。這也是選項 (c) 所述。
5. 暴露和解決問題 (Exposing Problems)： 小批量生產會更快地暴露生產過程中的瓶頸、品質問題或設備故障，因為問題一旦出現，就會影響到整個小批量，而不是被大量庫存掩蓋。這有助於持續改善。
6. 減少空間佔用和雜亂 (Less Space and Clutter)： 較少的庫存意味著佔用的生產空間更少，工作場所也更整潔。這也是選項 (d) 所述。
7. 更快的檢驗和反饋 (Faster Inspection and Feedback)： 由於每批次的產品數量少，檢驗工作可以更快完成，並且品質問題能夠更早地被發現和處理，從而可能降低總體的檢驗和返工成本。

本題考察維護策略的分類。題目問的是「在故障發生前」確定最佳維護時間。

核心觀念：

• Breakdown maintenance (故障維護)： 等待設備完全失效後再進行維修。
• Corrective maintenance (糾正維護)： 在設備發生故障後，但尚未完全失效時進行的維修。
• Preventive maintenance (預防維護)： 根據預設的時間表（如定期檢查、使用時間）來安排維護，目的是在故障發生前預防其發生。
• Predictive maintenance (預測性維護)： 透過監測設備的運行狀態（如震動、溫度、壓力等）和數據分析，預測設備何時可能發生故障，並在故障發生前安排維護。這比預防維護更具前瞻性和智能化，可以更精確地安排維護時機，避免不必要的維護。

本題考察供應鏈可靠性 (Supply Chain Reliability) 的衡量指標。可靠性是指供應鏈在執行其功能時，能夠穩定、準確、及時地完成任務的能力。

核心觀念：
可靠性指標通常關注供應鏈的「準時性」、「完整性」和「一致性」。

分析選項：

• (a) Supply chain response time (供應鏈響應時間)： 這是衡量供應鏈對變化（如需求變動、訂單增加）做出反應的速度，更多是關於效率和敏捷性，而非直接的可靠性。雖然響應時間的穩定性可能與可靠性有關，但響應時間本身並非核心的可靠性指標。
• (b) On-time delivery (準時交貨)： 這是衡量供應鏈能否按承諾的時間將產品送達客戶的關鍵指標，直接體現了供應鏈的可靠性。
• (c) Fill rate (訂單滿足率)： 指在收到訂單時，能夠立即滿足的訂單比例。例如，100% 的 fill rate 意味著所有訂單都能立即滿足，這是供應鏈可靠性的重要體現。
• (d) Lead time variability (提前期變異性)： 提前期變異性衡量的是從下訂單到交貨的時間長度有多不穩定。較高的變異性意味著供應鏈不可靠，難以預測交貨時間。因此，低鉛期變異性是供應鏈可靠性的標誌。
• (e) Improving e-fulfillment statistics (改善電子履約統計數據)： 這是一個廣泛的目標或行動，而不是一個具體的衡量指標。電子履約統計數據可能包含許多指標，其中一些可能與可靠性相關（如準時電子交貨率），但這個選項本身是一個行動，而非單一的可靠性衡量標準。

本題考察在生產排程中的優先規則 (Priority Rules)。題目描述的規則是根據「剩餘到期時間 (Time Remaining Until Due Date)」與「剩餘處理時間 (Processing Time Remaining)」的比值來排序。

核心觀念：
在排程中，常用的優先規則有：

• FCFS (First-Come, First-Served)： 先到先處理。
• SPT (Shortest Processing Time)： 處理時間最短的優先。
• EDD (Earliest Due Date)： 到期日最早的優先。
• CR (Critical Ratio)： 關鍵比率。計算公式為：$CR = \frac{\text{剩餘到期時間}}{\text{剩餘處理時間}} = \frac{D-T}{p}$，其中 $D$ 是到期日，$T$ 是當前時間，$p$ 是處理時間。CR 值越小，表示越緊急，應優先處理。
• EEDD (Earliest Due Date)： 這通常與 EDD 相同，到期日最早的優先。

分析題目描述的規則：
規則是「smallest ratio of time remaining until due date to processing time remaining」。
設：

本題考察可用於承諾庫存 (Available-to-Promise, ATP) 的計算。ATP 是指在考慮了現有庫存、已確認的訂單以及未來預計到貨後，還剩下多少庫存可以承諾給新的客戶訂單。

核心觀念：
ATP 的計算需要追蹤庫存水平隨時間的變化，並考慮到已確認的訂單和 MPS（主生產排程）的到貨。

已知資訊：

• 期初庫存 (Beginning Inventory, BI)：56 單位
• 每週需求預測：20 單位 (注意：ATP 計算通常基於已確認訂單，預測量是MPS的輸入，但ATP本身是基於已確認訂單和MPS到貨來計算的。題目要求的是「可承諾給新客戶的數量」，這通常是基於已確認訂單和 MPS 到貨來計算的。如果題目沒有明確說明需求預測是否要納入 ATP 計算，一般是先考慮已確認訂單和 MPS。)
• MPS 到貨： periodo 3 (第 3 週) 到貨 100 單位
• 實際客戶訂單：
  • Period 1 (第 1 週): 24 單位
  • Period 2 (第 2 週): 18 單位
  • Period 3 (第 3 週): 15 單位

計算 ATP：
ATP 的計算通常是按照時間順序進行。ATP 的計算邏輯是：
$ATP_t = \text{MPS到貨量}_t + ATP_{t-1} - \text{實際客戶訂單量}_t$ (如果 MPS 到貨量為 0，則 ATP 等於前一期的 ATP 減去當期訂單量)

由於題目問的是「prior to the receipt of the MPS quantity in week 3」，所以我們只需要計算到第 3 週 MPS 到貨之前（即第 1 週和第 2 週）可供承諾的數量。

計算 Period 1 (第 1 週) 的 ATP：

• 期初庫存 = 56 單位。
• MPS 到貨 (第 1 週) = 0 (MPS 在第 3 週才到貨)。
• 已確認訂單 (第 1 週) = 24 單位。

$ATP_1 = \text{MPS 到貨}_1 + ATP_0 - \text{實際客戶訂單}_1$
這裡 $ATP_0$ 通常是期初庫存，但計算 ATP 時，我們需要考慮期初庫存如何分配。
更標準的 ATP 計算是：
$ATP_t = \text{MPS 到貨量}_t + \text{期初庫存 (若當前週期為第一個週期)} - \sum_{i=1}^{t} \text{實際客戶訂單量}_i$ (此公式適用於 MPS 到貨量為 0 的情況)

讓我們採用更常見的逐週計算方法：
Period 0 (期初)：

• 期初庫存 = 56 單位。
• 我們假設 ATP 在第 0 週（期初）等於期初庫存，因為 MPS 還未到貨，也沒有期初訂單。
  $ATP_0 = 56$

Period 1 (第 1 週)：

• MPS 到貨 = 0
• 實際客戶訂單 = 24
• ATP 在第 1 週計算時，需要考慮第 1 週的訂單。

本題考察固定訂購間隔模型 (Fixed-Order-Interval Model) 的訂購量計算。此模型適用於當庫存盤點和下訂單的時機是固定的，而訂購數量則根據當前的庫存水平和預期需求來決定。

核心觀念：
在固定訂購間隔模型中，每次盤點庫存並下訂單時，需要計算一個「訂購量」，這個訂購量是為了將庫存補充到一個足夠的水平，以覆蓋從下訂單到下次盤點之間的需求，並同時考慮安全庫存以達到期望的服務水準。

模型參數：

• 平均每日需求 ($\mu_d$) = 30 單位 / 週 / 7 天 = $30/7$ 單位/天
• 每日需求標準差 ($\sigma_d$) = 4 單位 / 週 / 7 天 = $4/7$ 單位/天
• 訂購間隔 (Order Interval, $I$) = 3 週
• 提前期 (Lead Time, $LT$) = 1 週
• 期望服務水準 (Service Level) = 97.5%
• 目前盤點時的庫存 (Units on Hand) = 43 單位
• 目前是下訂單的時機。

計算目標庫存水平 (Target Inventory Level)：
在固定訂購間隔模型中，目標庫存水平需要覆蓋從當前盤點時刻到下一次訂購到達為止的總需求。
下一次訂購到達的時間點是：當前盤點時刻 + 訂購間隔 (I) + 提前期 (LT)。
所以，需要覆蓋的需求時間長度為：$I + LT = 3 \text{ 週} + 1 \text{ 週} = 4 \text{ 週}$。

1. 計算 4 週期間的平均需求量：
$\text{平均需求量} = (\mu_d \text{ 單位/天}) \times (LT + I \text{ 天})$
將週需求換算為天需求：
$\mu_d = \frac{30}{7} \text{ 單位/天}$
$LT + I = (1 + 3) \text{ 週} = 4 \text{ 週}$
$\text{平均需求量} = (\frac{30}{7} \text{ 單位/天}) \times (4 \text{ 週} \times 7 \text{ 天/週}) = \frac{30}{7} \times 28 = 30 \times 4 = 120 \text{ 單位}$
（或者直接使用週平均需求：$4 \text{ 週} \times 30 \text{ 單位/週} = 120 \text{ 單位}$）

2. 計算 4 週期間的標準差：
由於每日需求是獨立同分佈的，4 週的需求總和的標準差是每日標準差乘以週數的平方根。
首先將週標準差換算為每日標準差：
$\sigma_d = \frac{4}{7} \text{ 單位/天}$
4 週的標準差：
$\sigma_{(LT+I)} = \sigma_d \sqrt{LT + I} = (\frac{4}{7} \text{ 單位/天}) \times \sqrt{4 \text{ 週} \times 7 \text{ 天/週}}$

核心觀念

本題考的是「指派問題（Assignment Problem）」：將 $4$ 個工作分配給 $4$ 個資源，且必須符合一對一指派，使總作業時間最小。

令 $x_{ij}=1$ 表示資源 $i$ 執行工作 $j$，否則為 $0$。目標函數為：

其中每一個資源只能執行一個工作，每一個工作也只能分配給一個資源。

解題方法：匈牙利法

原始時間矩陣為：

各列減去該列最小值 $5,4,6,6$，得到：

以最少直線覆蓋零元素後，未覆蓋元素的最小值為 $1$。依匈牙利法調整矩陣，得到：

可選出四個彼此不在同列、同欄的零元素：

本題考察車間調度問題，具體而言是兩階段流水線調度問題 (Two-Machine Flow Shop Scheduling)，目標是最小化總完工時間（Makespan）。問題要求在完成所有車輛的車身噴漆 (Body Work) 和噴漆 (Paint) 這兩個工序，其中車身噴漆必須在噴漆之前完成。

核心觀念：
這種問題可以使用 Johnson's Rule (約翰遜法則) 來求解，該法則適用於兩階段流水線調度，以最小化 Makespan。

Johnson's Rule 步驟：

1. 將所有工件（車輛）分為兩組：
   • 第一組：車身噴漆時間 (Body Work) 小於或等於噴漆時間 (Paint) 的工件。
   • 第二組：車身噴漆時間 (Body Work) 大於噴漆時間 (Paint) 的工件。
2. 對第一組的工件，按照車身噴漆時間的升序排列（最早的先處理）。
3. 對第二組的工件，按照噴漆時間的降序排列（最晚的先處理）。
4. 將排列好的第一組工件放在最前面，然後緊接著排列好的第二組工件。這個順序就是最佳的調度順序。

應用 Johnson's Rule：

1. 分組：

• 第一組 (Body Work <= Paint)：

  • A: Body=10, Paint=2 (10 > 2) -> 第二組

  • B: Body=5, Paint=4 (5 > 4) -> 第二組

  • C: Body=7, Paint=5 (7 > 5) -> 第二組

  • D: Body=3, Paint=6 (3 <= 6) -> 第一組

  • E: Body=1, Paint=7 (1 <= 7) -> 第一組

  • 第一組：{D, E}

  • 第二組：{A, B, C}

2. 第一組排序 (按 Body Work 升序)：

• E: Body=1
• D: Body=3
  排序後：E, D

3. 第二組排序 (按 Paint 降序)：

• A: Paint=2
• B: Paint=4
• C: Paint=5
  排序後：C, B, A

4. 組合最佳順序：
將第一組 (E, D) 放在前面，第二組 (C, B, A) 放在後面。
最佳順序：E -> D -> C -> B -> A

5. 計算 Makespan (總完工時間)：
我們需要模擬這個調度順序，計算每個工件在兩個工序上的完成時間。