109 年 國立成功大學工業與資訊管理學系研究所乙組《生產與作業管理》

本題考查診斷與流程改善的步驟。身為外部顧問，雖然不熟悉具體作業流程，但熟悉圖表繪製與資料分析工具。題目要求說明使用這些工具的一般順序以及為何要依此順序。

解決步驟：

1. 了解問題與目標 (Understand the Problem and Objectives)：首先，必須釐清專案的目標，以及希望透過流程改善達成什麼具體的成果。這包括與客戶（公司管理層）溝通，了解他們面臨的挑戰、期望的改善項目、以及專案的範圍。
   • 原因：確立方向，確保後續分析與工具使用都聚焦於解決關鍵問題，避免資源浪費。
2. 收集現況資料 (Gather Current State Data)：在不熟悉具體流程的情況下，首要任務是收集現有流程的相關數據。這可能包括產出量、生產時間、不良率、客戶回饋、員工訪談等。
   • 原因：建立流程的基準線（baseline），了解當前績效，這是後續評估改善效果的基礎。
3. 流程繪製與標準化 (Process Mapping and Standardization)：使用圖表技術（如流程圖、泳道圖、SIPOC 圖等）來視覺化現有流程。即使不熟悉，也可以透過訪談、觀察或文件分析來繪製初步的流程圖。
   • 原因：將複雜的流程以清晰、結構化的方式呈現，有助於快速理解流程的步驟、參與者、決策點、以及潛在瓶頸。這也是與客戶溝通、確認流程現況的有效方式。
4. 資料分析與瓶頸識別 (Data Analysis and Bottleneck Identification)：運用資料分析工具（統計分析、趨勢圖、柏拉圖等）來分析收集到的數據，並結合流程圖，找出流程中的瓶頸、浪費、或效率低下的環節。
   • 原因：數據分析能提供客觀的洞察，指出問題的嚴重性與根源，而流程圖則能幫助定位問題發生在哪個環節。

本題考查統計製程管制（SQC）中，第一類錯誤（Type I Error）與第二類錯誤（Type II Error）與管制界限寬度的關係，以及如何考量兩類錯誤的財務影響來決定管制界限寬度。

核心觀念：

• 第一類錯誤 (Type I Error)：在製程實際上是穩定的情況下，誤判製程失控（發出警報）。又稱為「假陽性」。
• 第二類錯誤 (Type II Error)：在製程實際上已失控的情況下，卻誤判製程仍在管制中（未發出警報）。又稱為「假陰性」。
• 管制界限 (Control Limits)：通常設定在平均值±3個標準差（$\pm 3\sigma$）。
• 製程管制圖 (Control Chart)：用於監控製程變異，區分由「共同原因」造成的隨機變異（正常）與由「特殊原因」造成的變異（異常）。

關係分析：

1. 第一類錯誤與管制界限寬度的關係：

   • 第一類錯誤的機率（通常用 $\alpha$ 表示）是指當製程處於管制狀態時，點落在管制界限之外的機率。
   • 如果我們將管制界限設定得越寬（例如 $\pm 4\sigma$ 或 $\pm 5\sigma$），點落在管制界限之外的機率就越小，因此第一類錯誤發生的機率 $\alpha$ 就越低。
   • 反之，如果將管制界限設定得越窄（例如 $\pm 2\sigma$），點落在管制界限之外的機率就越大，第一類錯誤發生的機率 $\alpha$ 就越高。

2. 第二類錯誤與管制界限寬度的關係：

   • 第二類錯誤的機率（通常用 $\beta$ 表示）是指當製程已發生偏移（失控）時，點仍然落在管制界限之內的機率。
   • 如果我們將管制界限設定得越寬（例如 $\pm 3\sigma$），當製程發生偏移時，點落在管制界限之內的機率就越大，因此第二類錯誤發生的機率 $\beta$ 就越高。
   • 反之，如果將管制界限設定得越窄（例如 $\pm 2\sigma$），當製程發生偏移時，點落在管制界限之內的機率就越小，第二類錯誤發生的機率 $\beta$ 就越低。

總結關係：

• 越寬的管制界限： $\alpha$ (Type I Error) 降低， $\beta$ (Type II Error) 升高。
• 越窄的管制界限： $\alpha$ (Type I Error) 升高， $\beta$ (Type II Error) 降低。
  這兩者之間存在著此消彼長的權衡關係。

決定管制界限寬度的機制（考量財務影響）：

傳統上，SQC 管制圖的界限常設為 $\pm 3\sigma$，這是因為當製程呈常態分佈時，此設定下 $\alpha$ 大約為 0.27%（單側 0.135%），而 $\beta$ 則取決於實際的製程偏移量。然而，這個設定並未直接考量財務損失。

考量財務影響的機制，重點在於權衡兩種錯誤所造成的成本：

• 第一類錯誤的成本 (Cost of Type I Error, $C_1$)：當製程實際上是穩定的，但我們誤判為失控，而採取了不必要的調整、停機、檢查等措施所產生的成本。例如：
  • 生產線停工檢查、校準。
  • 浪費人力與時間進行不必要的分析。
  • 因過度反應而造成生產效率下降。
• 第二類錯誤的成本 (Cost of Type II Error, $C_2$)：當製程實際上已失控（例如產生了不良品），但我們卻未偵測到，而繼續生產所產生的成本。例如：
  • 生產不良品、報廢、返工的材料與勞務成本。
  • 客戶收到不良品所導致的聲譽損失、退貨、保固成本。
  • 潛在的產品失效、安全問題等。

機制建議：

一個常用的方法是設定管制界限，使其「預期總成本」最小化。預期總成本是兩類錯誤成本的加權總和，權重是該錯誤發生的機率。

假設我們希望將管制界限設定在 $\mu \pm k\sigma$，其中 $\mu$ 是製程平均值， $\sigma$ 是製程標準差，$k$ 是我們需要決定的因子（傳統上 $k=3$）。

1. 設定兩種錯誤的成本：首先，需要估計 $C_1$ 和 $C_2$。這需要與公司內部相關部門（如生產、品管、財務）合作，量化每一種錯誤可能造成的財務損失。
2. 預期總成本函數：
   • 假設製程平均值偏移了 $\delta$（例如，平均值從 $\mu_0$ 偏移到 $\mu_0 + \delta$）。

本題考查生產規劃與產能利用的問題，屬於產能規劃（Capacity Planning）或生產排程（Production Scheduling）的範疇。題目給定產品資訊、機器加工時間、機器可用時間、固定成本及各產品的月需求量，要求決定每月應生產各產品多少數量。

核心觀念：
這是典型的資源約束下的生產計畫問題。關鍵在於計算生產各產品所需總時間，並與機器可用總時間進行比較，確保產能足夠。由於題目沒有提及任何優化目標（例如最大化利潤、最小化成本），且要求「多少數量」，最直接的解釋是「在滿足需求量的前提下，安排生產計畫」。通常這種問題會假設先滿足預測需求量，然後再考慮是否有額外的產能來生產更多。

解題步驟：

1. 計算月度機器可用總時間：

   • 每台機器每週可用 40 小時。
   • 一個月通常以 4 週計算（此為常見的簡化假設，若無特別說明，可採用此假設）。
   • 每台機器每月總可用時間 = 40 小時/週 * 4 週/月 = 160 小時/月。
   • 將時數轉換為分鐘：160 小時/月 * 60 分鐘/小時 = 9600 分鐘/月。
   • 公司有 A, B, C, D 四台機器，所以每台機器的月可用時間為 9600 分鐘。

2. 計算生產預測需求量所需的總時間：

   • 題目給定月需求量：
     • Model H: 80 units
     • Model G: 60 units
     • Model L: 40 units
     • Model M: 20 units
   • 根據表格，計算生產這些數量在每台機器上所需的時間（單位：分鐘）。

   Model	Machine A (min/unit)	Machine B (min/unit)	Machine C (min/unit)	Machine D (min/unit)
   H	10	15	15	5
   G	10	10	10	10
   L	5	10	15	10
   M	5	5	5	10

   • 計算各產品總生產時間（分鐘）：
     • Model H (80 units)：
       • Machine A: $80 \times 10 = 800$ 分鐘
       • Machine B: $80 \times 15 = 1200$ 分鐘
       • Machine C: $80 \times 15 = 1200$ 分鐘
       • Machine D: $80 \times 5 = 400$ 分鐘
     • Model G (60 units)：
       • Machine A: $60 \times 10 = 600$ 分鐘
       • Machine B: $60 \times 10 = 600$ 分鐘
       • Machine C: $60 \times 10 = 600$ 分鐘
       • Machine D: $60 \times 10 = 600$ 分鐘
     • Model L (40 units)：

本題考查服務系統的產能、利用率及人力配置問題，屬於服務作業管理（Service Operations Management）的範疇。題目分為兩個部分，第一部分是分析現有獨立的收銀員與打包員系統，第二部分是分析交叉訓練後整合的服務系統。

第一部分：計算現有系統的收銀員與打包員的利用率。

核心觀念：

• 利用率 (Utilization)：資源（在此是人力）被實際使用的時間佔總可用時間的比例。
  $\text{Utilization} = \frac{\text{Actual Usage Time}}{\text{Total Available Time}}$
• 服務時間：完成一個顧客的服務所需時間。
• 吞吐量 (Throughput)：單位時間內服務的顧客數。

已知資訊：

• 工作時間：每天 6 小時 (週一至週五)。
• 現有配置：4 名收銀員 (Cashiers)，2 名打包員 (Baggers)。
• 每小時服務的顧客數：約 20 顧客/小時 (由 4 收銀員 + 2 打包員共同達成)。
• 單一顧客服務時間：
  • 收銀員：5 分鐘/顧客 (結帳)
  • 打包員：5 分鐘/顧客 (打包)

解題步驟：

1. 計算總可用時間：

   • 每天工作 6 小時 = $6 \text{ hours} \times 60 \text{ minutes/hour} = 360$ 分鐘/天。
   • 這 360 分鐘是所有收銀員和打包員的總可用時間。

2. 計算總顧客數：

   • 每小時服務 20 顧客。
   • 每天服務 6 小時。
   • 每天總顧客數 = $20 \text{ customers/hour} \times 6 \text{ hours} = 120$ 顧客/天。

3. 計算收銀員的總使用時間：

   • 每位收銀員服務 1 位顧客需要 5 分鐘。
   • 每天有 120 位顧客。
   • 收銀員總工作時間 (用於結帳) = $120 \text{ customers} \times 5 \text{ minutes/customer} = 600$ 分鐘。

4. 計算打包員的總使用時間：

   • 每位打包員服務 1 位顧客需要 5 分鐘。
   • 每天有 120 位顧客。
   • 打包員總工作時間 (用於打包) = $120 \text{ customers} \times 5 \text{ minutes/customer} = 600$ 分鐘。

5. 計算收銀員總可用時間：

   • 有 4 位收銀員。
   • 每位收銀員每天可用 360 分鐘。
   • 收銀員總可用時間 = $4 \text{ cashiers} \times 360 \text{ minutes/cashier} = 1440$ 分鐘。

6. 計算打包員總可用時間：

   • 有 2 位打包員。
   • 每位打包員每天可用 360 分鐘。
   • 打包員總可用時間 = $2 \text{ baggers} \times 360 \text{ minutes/bagger} = 720$ 分鐘。

7. 計算收銀員利用率：

   • 利用率 = (總使用時間) / (總可用時間)
   • 收銀員利用率 = $\frac{600 \text{ minutes}}{1440 \text{ minutes}} \approx 0.4167$ 或 41.67%。

8. 計算打包員利用率：

   • 利用率 = (總使用時間) / (總可用時間)
   • 打包員利用率 = $\frac{600 \text{ minutes}}{720 \text{ minutes}} \approx 0.8333$ 或 83.33%。

第一部分答案：

• 收銀員利用率約為 41.67%。
• 打包員利用率約為 83.33%。

第二部分：計算交叉訓練後 6 位員工的利用率，並決定所需員工數。

已知資訊：

• 員工總數：6 位 (原 4 收銀員 + 2 打包員，現皆為交叉訓練)。
• 服務時間 (整合後)：12 分鐘/顧客 (由一位員工完成結帳與打包)。
• 工作時間：每天 6 小時 = 360 分鐘。
• 容量緩衝 (Capacity Cushion)：10%。

解題步驟：

1. 計算新的總可用時間：

   • 有 6 位交叉訓練的員工。
   • 每位員工每天可用 360 分鐘。
   • 員工總可用時間 = $6 \text{ employees} \times 360 \text{ minutes/employee} = 2160$ 分鐘。

2. 計算新的服務系統吞吐量（每小時服務顧客數）：

   • 單一顧客服務時間為 12 分鐘。
   • 每位員工每小時可服務的顧客數 = $\frac{60 \text{ minutes/hour}}{12 \text{ minutes/customer}} = 5$ 顧客/小時。
   • 總共有 6 位員工。
   • 系統總吞吐量 (最高潛在服務能力) = $5 \text{ customers/hour/employee} \times 6 \text{ employees} = 30$ 顧客/小時。

3. 計算實際服務的顧客數：

   • 題目提到「During the first 6 hours of each workday (Monday-Friday), 4 cashiers and 2 baggers serve approximately 20 customers per hour.」。這句話描述的是「現有系統」的服務能力。
   • 第二部分是假設「交叉訓練」後，有 6 位員工。通常，在這種情況下，新的系統能力會與原系統不同。
   • 然而，題目接下來又問「Calculate the utilization of this new group of 6 cross-trained employees.」。這暗示我們需要先知道這 6 位員工「實際」服務了多少顧客，才能計算利用率。
   • 一個可能的解釋是，系統的「需求」或「顧客流量」並沒有改變。也就是說，顧客流量仍然是每小時約 20 顧客。
   • 如果顧客流量是 20 顧客/小時，那麼 6 小時的總顧客數 = $20 \text{ customers/hour} \times 6 \text{ hours} = 120$ 顧客。
   • 注意： 這裡的假設是顧客流量（需求）保持不變。如果題目意指這 6 位員工「能夠」服務 30 顧客/小時，但實際來客數還是 20 顧客/小時，則利用率會基於 20 顧客/小時來計算。

4. 計算 6 位交叉訓練員工的總使用時間：

   • 假設顧客流量為 20 顧客/小時，則每天 120 位顧客。
   • 每位顧客服務時間為 12 分鐘。
   • 員工總使用時間 = $120 \text{ customers} \times 12 \text{ minutes/customer} = 1440$ 分鐘。

核心觀念

• 服務水準 (Service Level, SL)：此處為 98% 的第一類服務水準，表示在補貨期間不缺貨的機率須 ≥ 0.98。
• 再訂貨點 (Reorder Point, ROP)：ROP = 需求的期望值 + 安全庫存 (Safety Stock)。
• 安全庫存：$SS = z \times \sigma_{LT}$，其中 $z$ 為對應 98% 服務水準的標準常態分位數 $z_{0.98}=2.053$，$\sigma_{LT}$ 為領補期間需求的標準差。
• 領補期間需求的分布：若每日需求與領補時間皆為獨立隨機變數，則

$$\mu_{D_{LT}} = \mu_D \times \mu_L,\qquad \sigma_{D_{LT}}^2 = \mu_D^{\,2}\sigma_L^{\,2} + \mu_L\sigma_D^{\,2}$$

---

a. 離散每日需求、固定領補時間 3 天

步驟

1. 計算每日需求的期望與變異數

$\mu_D = \sum p_i x_i = 0.2(450)+0.25(480)+0.3(500)+0.2(560)+0.05(600)=502$

$E[X^2]=\sum p_i x_i^2 = 253{,}820$

$\sigma_D^2 = E[X^2]-\mu_D^2 = 253{,}820-502^2 = 1{,}816 \quad\Rightarrow\quad \sigma_D\approx42.6$

2. 领补期间 (3 天) 的需求

$\mu_{LT}=3\mu_D=3\times502=1506$

$\sigma_{LT}= \sqrt{3}\,\sigma_D = \sqrt{3}\times42.6\approx73.7$

3. 安全庫存

$SS = z_{0.98}\,\sigma_{LT}=2.053\times73.7\approx151.2\;\text{(取整上)}=152$

4. 再訂貨點

$\boxed{ROP = \mu_{LT}+SS = 1506+152 = 1658\ \text{條毛巾}}$

---

b. 正態分布的每日需求、固定領補時間 3 天

步驟

1. 每日需求

$\mu_D = 500,\qquad \sigma_D = 81$

2. 领补期間需求

$\mu_{LT}=3\times500 = 1500$

$\sigma_{LT}= \sqrt{3}\times81 \approx 140.3$

一、核心觀念

概念	定義/公式
加工時間 (processing time) $p_i$	單一機臺完成第 $i$ 件工作所需時間
交期 (due date) $d_i$	客戶要求第 $i$ 件工作完成的最晚時間
完成時間 $C_i$	工作 $i$ 在排程中實際完成時刻，$C_i=\sum_{j\le i}p_{j}$（依排程順序）
遲延 (tardiness) $T_i$	$T_i=\max\{0,\;C_i-d_i\}$
遲延的平均值 (Mean tardiness)	$\displaystyle \overline{T}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n T_i$
系統中工作數的平均值 $L$	依 Little 定理 $L=\lambda W$，對單機排程可直接計算為<br>$L=\frac{\sum_{i=1}^n C_i}{C_{\max}}$<br>其中 $\sum C_i$ 為 總流通時間 (total flow time)，$C_{\max}$ 為 Makespan
最大遲到 (Maximum lateness) $L_{\max}$	$L_{\max}= \max_i\{C_i-d_i\}$（允許負值，最終取最大者）
Makespan	所有工作完成的最終時刻 $C_{\max}=\sum_{i=1}^n p_i$（與排程順序無關）

二、解題方法

目標	推薦排程法則	為何採用
(1) 最小 Mean tardiness	Shortest Processing Time (SPT)：先排較短的工作	SPT 最小化總完成時間 $\sum C_i$；而 $\sum T_i$ 受 $C_i$ 影響，對小規模問題常以 SPT 取得最佳或近似解
(2) 最小 Average number of jobs in the system	同上 SPT（等價於最小化 $\sum C_i$）	$L=\frac{\sum C_i}{C_{\max}}$，$C_{\max}$ 固定，故最小化 $\sum C_i$ 即可最小化 $L$
(3) 最小 Maximum lateness	Earliest Due Date (EDD)：依交期遞增排序	EDD 在單機環境下對 $L_{\max}$ 有嚴格的最適性證明（Jackson’s rule）

三、計算過程

1. 依 SPT 排序（Mean tardiness & Avg. #jobs）

1. 先依加工時間由小到大排序

排序	工作號	$p_i$	$d_i$
1	6	1	25
2	5	2	11
3	1	3	4
4	4	4	15
5	2	6	8
6	3	8	12

2. 累計完成時間 $C_i$

工作	$p_i$	$C_i$ (累計)
6	1	1
5	2	$1+2=3$
1	3	$3+3=6$
4	4	$6+4=10$
2	6	$10+6=16$
3	8	$16+8=24$

3. 計算遲延 $T_i=\max(0,C_i-d_i)$

工作	$d_i$	$C_i$	$T_i$
6	25	1	0
5	11	3	0
1	4	6	2
4	15	10	0
2	8	16	8
3	12	24	12

本題考查關鍵路徑法 (Critical Path Method, CPM) 的應用，包括繪製網路圖、計算各項時間參數（最早開始、最早結束、最晚開始、最晚結束）以及計算浮時（Slack）。

核心觀念：

• CPM：一種專案管理技術，用於規劃、排程和控制專案活動。它找出專案中最長的活動路徑（關鍵路徑），這條路徑上的任何活動延遲都會導致整個專案延遲。
• 網路圖 (Network Diagram)：用節點（代表活動或事件）和箭頭（代表活動之間的依賴關係）來視覺化專案活動。在此題中，我們採用 AON (Activity-on-Node) 或 precedence diagramming method (PDM) 的表示法，其中節點代表活動，箭頭代表前置關係。
• 時間參數：
  • ES (Earliest Start)：活動最早可以開始的時間。
  • EF (Earliest Finish)：活動最早可以結束的時間。$EF = ES + \text{duration}$。
  • LF (Latest Finish)：活動最晚可以結束而不延誤專案的時間。
  • LS (Latest Start)：活動最晚可以開始而不延誤專案的時間。$LS = LF - \text{duration}$。
• 浮時 (Slack or Float, S)：活動可以延遲而不影響專案總完成時間的時間量。$S = LF - EF = LS - ES$。
• 關鍵路徑 (Critical Path)：從專案開始到結束的最長活動路徑。關鍵路徑上的所有活動的浮時為零。

數據：

Task ($i$)	Duration ($p_i$)	Predecessor(s)
A	15	-
B	5	A
C	4	B
D	4	B
E	3	D
F	15	B
G	30	F
H	4	G
I	10	E
J	20	H, I
K	5	C, J

步驟：

1. 繪製網路圖 (AON 格式)

每個節點包含：Task, Duration, ES, EF, LS, LF, Slack。
箭頭表示前置關係。

• Forward Pass (計算 ES 和 EF)：
  • Start Node (假設時間為 0)
  • A (15): ES=0, EF=0+15=15
  • B (5): Predecessor A. ES=EF(A)=15, EF=15+5=20
  • C (4): Predecessor B. ES=EF(B)=20, EF=20+4=24
  • D (4): Predecessor B. ES=EF(B)=20, EF=20+4=24
  • F (15): Predecessor B. ES=EF(B)=20, EF=20+15=35
  • E (3): Predecessor D. ES=EF(D)=24, EF=24+3=27
  • G (30): Predecessor F. ES=EF(F)=35, EF=35+30=65
  • I (10): Predecessor E. ES=EF(E)=27, EF=27+10=37
  • H (4): Predecessor G. ES=EF(G)=65, EF=65+4=69
  • J (20): Predecessors H, I. ES = max(EF(H), EF(I)) = max(69, 37) = 69. EF=69+20=89
  • K (5): Predecessors C, J. ES = max(EF(C), EF(J)) = max(24, 89) = 89. EF=89+5=94
  • End Node (Project Duration) = EF(K) = 94。

網路圖草稿 (節點表示：Task(Duration) [ES, EF])

      [0,15] A(15) --> [15,20] B(5)
                      /   |   \
                     /    |    \
                    /     |     \
      [20,24] C(4) --     |      [20,35] F(15) --> [35,65] G(30)
      /           |     |                           |
     /            |     |                           |
    /             |     |                           |
[24,27] D(4) --> [27,30] E(3) --> [30,40] I(10)      |
   |                           /                      |
   |                          /                       |
   |                         /                        |
   |      [69,89] J(20) <--- H(4) <--------------------
   |      /
   |     /
   |    /
[89,94] K(5) --> Project End (94)

• 注意： 上述草稿中的箭頭和節點位置是示意性的，實際繪製時需清晰表示前置關係。
  • A -> B
  • B -> C, D, F
  • D -> E
  • F -> G
  • E -> I
  • G -> H
  • H -> J
  • I -> J
  • C -> K
  • J -> K

2. Backward Pass (計算 LF 和 LS)

• Project Duration = 94。
• K (5): LF=94, LS=94-5=89
• J (20): Predecessor to K. LF = LS(K) = 89. LS=89-20=69
• C (4): Predecessor to K. LF = LS(K) = 89. LS=89-4=85
• H (4): Predecessor to J. LF = LS(J) = 69. LS=69-4=65
• I (10): Predecessor to J. LF = LS(J) = 69. LS=69-10=59
• G (30): Predecessor to H. LF = LS(H) = 65. LS=65-30=35
• E (3): Predecessor to I. LF = LS(I) = 59. LS=59-3=56
• F (15): Predecessor to G. LF = LS(G) = 35. LS=35-15=20