108 年 國立暨南國際大學國際企業學系碩士班《統計學》

本題主要在測試機率基本概念、離散型隨機變數的期望值與變異數計算，以及最大值的期望值求解。

核心觀念：

• 骰子投擲的樣本空間與機率。
• 離散型隨機變數的機率質量函數、期望值與變異數公式。
• 事件的組合與機率計算。

詳解：
公正骰子投擲兩次，樣本空間共有 $6 \times 6 = 36$ 種可能結果。
$X$ 和 $Y$ 的可能取值均為 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，且 $P(X=x) = P(Y=y) = \frac{1}{6}$。
由於兩次投擲獨立，所以 $P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$。

(1.1) 求 $X+Y$ 為偶數的機率。
$X+Y$ 為偶數的條件是：

1. $X$ 為偶數，且 $Y$ 為偶數。
2. $X$ 為奇數，且 $Y$ 為奇數。

$X$ 為偶數的機率 $P(X \in \{2, 4, 6\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
$X$ 為奇數的機率 $P(X \in \{1, 3, 5\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
同理，$Y$ 為偶數或奇數的機率也都是 $\frac{1}{2}$。

情況 1：$X$ 為偶數，且 $Y$ 為偶數。
機率為 $P(X \text{ is even}) \times P(Y \text{ is even}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
情況 2：$X$ 為奇數，且 $Y$ 為奇數。
機率為 $P(X \text{ is odd}) \times P(Y \text{ is odd}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。

由於這兩種情況互斥，所以 $X+Y$ 為偶數的總機率為：
$P(X+Y \text{ is even}) = P(X \text{ even}, Y \text{ even}) + P(X \text{ odd}, Y \text{ odd}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。

【答案】$\frac{1}{2}$

(1.2) 求 $X$ 大於 $2Y$ 的機率。
我們需要列出所有滿足 $X > 2Y$ 的 $(X, Y)$ 組合：

• 若 $Y=1$，則 $X > 2(1) = 2$。$X$ 可為 $\{3, 4, 5, 6\}$。組合有 $(3,1), (4,1), (5,1), (6,1)$。 (4種)
• 若 $Y=2$，則 $X > 2(2) = 4$。$X$ 可為 $\{5, 6\}$。組合有 $(5,2), (6,2)$。 (2種)
• 若 $Y=3$，則 $X > 2(3) = 6$。$X$ 可為 $\emptyset$。 (0種)
• 若 $Y=4, 5, 6$，則 $X > 2Y$ 均不可能，因為 $X$ 的最大值是 6。

總共有 $4 + 2 = 6$ 種組合滿足 $X > 2Y$。
由於每種組合的機率是 $\frac{1}{36}$，所以總機率為：
$P(X > 2Y) = 6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。

【答案】$\frac{1}{6}$

(1.3) 求 $X+Y$ 的期望值與變異數。
首先，我們知道 $X$ 和 $Y$ 是獨立且同分佈的離散隨機變數。
$X$ 的期望值 $E(X) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot P(X=i) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3.5$。
$Y$ 的期望值 $E(Y) = E(X) = 3.5$。

$X$ 的變異數 $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。

本題主要在測試對中央極限定理的理解，以及如何應用此定理來近似計算二項分佈的機率。

核心觀念：

• 中央極限定理 (CLT) 的敘述。
• 二項分佈的參數與近似。
• 常態分佈的機率計算。

詳解：

(2.1) 請敘述中央極限定理 (Central Limit Theorem)。
中央極限定理是機率論與統計學中的一條重要定理，它指出：
「設 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是一列獨立同分佈的隨機變數，其期望值為 $\mu$ 且變異數為 $\sigma^2$（$\sigma^2 > 0$）。令 $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 為這些隨機變數的樣本平均值。當樣本數 $n$ 足夠大時，不論原始隨機變數 $X_i$ 的分佈為何，樣本平均值 $\bar{X}_n$ 的分佈近似於一個常態分佈，其期望值為 $\mu$ 且變異數為 $\frac{\sigma^2}{n}$。
更精確地說，標準化後的樣本平均值 $\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 的分佈，當 $n \to \infty$ 時，會趨近於標準常態分佈 $N(0, 1)$。」

在實際應用中，當樣本數 $n$ 較大（通常大於 30）時，即使原始變數的分佈不是常態分佈，我們也可以近似地認為樣本平均值 $\bar{X}_n$ 的分佈是常態分佈。

【答案】中央極限定理指出，若從任一分佈（期望值為 $\mu$，變異數為 $\sigma^2$）中抽取足夠大的獨立樣本，則樣本平均值的抽樣分佈近似於常態分佈 $N(\mu, \sigma^2/n)$。

(2.2) 已知某產品的消費群約有20萬人,其中有5成的人為男性。今在此消費群中隨機抽樣100人,其中男性有X人,求X大於60的機率。(求出近似值即可。)
這是一個典型的二項分佈問題，我們可以利用中央極限定理進行常態近似。

1. 定義隨機變數與分佈：
   令 $X$ 為從20萬人消費群中隨機抽樣100人時，抽樣到的男性人數。
   由於每次抽樣（假設為獨立的）抽到男性（成功）的機率是 $p = 0.5$，且抽樣次數為 $n = 100$ 是一個固定的次數，因此 $X$ 服從二項分佈，記為 $X \sim Binomial(n=100, p=0.5)$。

2. 計算二項分佈的期望值與變異數：
   二項分佈的期望值為 $E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$。

核心觀念

本題考查三個描述資料分布的重要統計量：

• 平均值：所有觀察值總和除以觀察值個數，容易受到極端值影響。
• 中位數：資料排序後位於中央位置的數值，較不受極端值影響。
• 全距：最大值減最小值。
• 四分位距：
  $IQR=Q_3-Q_1$

原有 $999$ 位住戶，新增一位財產值 $10$ 億美元的大富豪後，樣本數變為 $1000$ 人。

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（3.1）平均值與中位數何者變化較大？

平均值的變化

設原來 $999$ 位住戶的平均財產為 $\bar{x}$，則原財產總和為：

$999\bar{x}$

加入財產值 $1,000,000,000$ 美元的大富豪後，新平均值為：

$$\bar{x}'=\frac{999\bar{x}+1,000,000,000}{1000}$$

因此平均值的變化量為：

$$\bar{x}'-\bar{x} =\frac{1,000,000,000-\bar{x}}{1000}$$

由於原本每位住戶的財產最多只有 $2,000$ 美元，故 $\bar{x}\leq 2,000$，所以平均值至少增加：

$$\frac{1,000,000,000-2,000}{1000} =999,998\text{ 美元}$$

平均值約增加 $100$ 萬美元，變化極為巨大。

中位數的變化

大富豪的財產是所有住戶中最高的，因此他只會被排在資料最右端，不會影響原本資料的中央附近排列順序。

原本 $999$ 筆資料的中位數是第 $500$ 筆；加入大富豪後，$1000$ 筆資料的中位數為第 $500$ 與第 $501$ 筆的平均：

$$\operatorname{Median}_{1000} =\frac{x_{(500)}+x_{(501)}}{2}$$

大富豪不會改變第 $500$、第 $501$ 筆原有住戶的財產值，因此中位數只會產生很小的中央位置調整，不會受到 $10$ 億美元這個極端值的直接拉動。

判斷

平均值對極端值敏感；中位數對極端值不敏感。因此：

$$\boxed{\text{平均值的變化較大}}$$

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（3.2）全距有何改變？

原本：

• 最大值：$2,000$ 美元
• 最小值：$10$ 美元

所以原全距為：

$$R_{\text{原}}=2,000-10=1,990\text{ 美元}$$

加入大富豪後：

• 最大值變為 $1,000,000,000$ 美元
• 最小值仍為 $10$ 美元

新全距為：

本題主要測試如何利用樣本統計量計算母體參數的信賴區間，以及如何進行獨立樣本的均值檢定。

核心觀念：

• 樣本均值與樣本變異數的計算。
• 常態母體下，單一樣本均值的信賴區間。
• 獨立樣本 $t$ 檢定或 $z$ 檢定（在此因母體變異數未知，且樣本數足夠大，可近似使用 $z$ 檢定；或考量到 chi-square 統計量，暗示可能與變異數有關，但題目問的是均值）。
• 獨立樣本變異數的比較 (F 檢定或 chi-square 檢定)。
• 題目給予 $\chi^2_{1}(0.05) = 3.84$，這可能用於檢定變異數，但題目問的是均值。若題目問的是變異數是否相同，則此值有用。但題目明確問「滿意度是否相同」，通常指均值。

詳解：

首先，我們需要從給定的資料計算樣本均值和樣本變異數。
令 $a_i$ 代表消費者對甲外殼的滿意度，$b_i$ 代表消費者對乙外殼的滿意度。
樣本數 $n = 100$。

對於甲外殼 (a)：
樣本均值 $\bar{a} = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} a_i = 60$。
樣本二階矩 $E(a^2) = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} a_i^2 = 5200$。
樣本變異數 $s_a^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{100} (a_i - \bar{a})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{100} a_i^2 - (\bar{a})^2 \times \frac{n}{n-1}$ (這是無偏估計量的計算方式)
更直接的計算方法：
$s_a^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum a_i^2 - n(\bar{a})^2 \right)$
$s_a^2 = \frac{1}{100-1} \left( 100 \times 5200 - 100 \times (60)^2 \right)$
$s_a^2 = \frac{1}{99} \left( 520000 - 100 \times 3600 \right)$
$s_a^2 = \frac{1}{99} \left( 520000 - 360000 \right) = \frac{160000}{99} \approx 1616.16$。
樣本標準差 $s_a = \sqrt{\frac{160000}{99}} \approx 40.20$。

對於乙外殼 (b)：
樣本均值 $\bar{b} = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} b_i = 80$。
樣本二階矩 $E(b^2) = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} b_i^2 = 12000$。
樣本變異數 $s_b^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum b_i^2 - n(\bar{b})^2 \right)$
$s_b^2 = \frac{1}{100-1} \left( 100 \times 12000 - 100 \times (80)^2 \right)$
$s_b^2 = \frac{1}{99} \left( 1200000 - 100 \times 6400 \right)$
$s_b^2 = \frac{1}{99} \left( 1200000 - 640000 \right) = \frac{560000}{99} \approx 5656.57$。
樣本標準差 $s_b = \sqrt{\frac{560000}{99}} \approx 75.21$。

(4.1) 請估計消費者對於甲外殼滿意度的95%信賴區間。
我們需要計算母體均值 $\mu_a$ 的 95% 信賴區間。
由於樣本數 $n=100$ 夠大，我們可以使用 $z$ 分佈來近似。
信賴區間的公式為：$\bar{a} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s_a}{\sqrt{n}}$。
檢定水準 $\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。
$z_{\alpha/2} = z_{0.025}$ 是標準常態分佈中，右尾機率為 0.025 的 $z$ 值，約為 1.96。
$\frac{s_a}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{160000/99}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{160000/99}}{10} = \sqrt{\frac{1600}{99}} \approx \sqrt{16.16} \approx 4.02$。
(或者直接用 $s_a \approx 40.20$, $\frac{40.20}{\sqrt{100}} = \frac{40.20}{10} = 4.02$)

信賴區間為：$60 \pm 1.96 \times 4.02$
$60 \pm 7.88$
信賴區間約為 $[52.12, 67.88]$。

【答案】約 $[52.12, 67.88]$。

(4.2) 請檢定消費者對於甲,乙設計的滿意度是否相同。
這是一個獨立樣本均值比較的問題。我們要檢定 $H_0: \mu_a = \mu_b$ 對 $H_1: \mu_a \neq \mu_b$。
由於樣本數 $n=100$ 夠大，我們可以使用 $z$ 檢定。
檢定統計量為：$z = \frac{\bar{a} - \bar{b}}{\sqrt{\frac{s_a^2}{n} + \frac{s_b^2}{n}}}$。