109 年 國立暨南國際大學國際企業學系碩士班《統計學》

本題主要在考驗機率基本概念、條件機率、期望值的計算，以及離散型隨機變數的應用。

首先，我們定義兩個獨立的隨機變數 $X$ 代表甲的骰子點數，$Y$ 代表乙的骰子點數。由於是公平骰子，則 $X, Y$ 的可能取值皆為 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，且每個點數出現的機率均為 $\frac{1}{6}$。

(1.1) 求甲的點數為偶數的機率。
甲的點數為偶數的事件為 $X \in \{2, 4, 6\}$。
由於骰子是公平的，每個點數出現的機率為 $\frac{1}{6}$。
因此，甲的點數為偶數的機率為：
$P(X \in \{2, 4, 6\}) = P(X=2) + P(X=4) + P(X=6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】$\frac{1}{2}$

(1.2) 求乙獲利 3 元的機率。
乙獲利 3 元，意味著甲必須給乙 3 元。
根據題目敘述，甲必須給乙 3 元的條件是「甲的點數小於乙點數」，即 $X < Y$。
我們需要計算 $P(X < Y)$。
我們可以列出所有 $X < Y$ 的組合：
當 $Y=1$ 時, $X$ 無值
當 $Y=2$ 時, $X=1$ (1,2)
當 $Y=3$ 時, $X=1, 2$ (2,1)
當 $Y=4$ 時, $X=1, 2, 3$ (3,1)
當 $Y=5$ 時, $X=1, 2, 3, 4$ (4,1)
當 $Y=6$ 時, $X=1, 2, 3, 4, 5$ (5,1)
總共有 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 種組合。
由於總共有 $6 \times 6 = 36$ 種可能的點數組合，且每種組合的機率均為 $\frac{1}{36}$。
所以，$P(X < Y) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$。
【答案】$\frac{5}{12}$

(1.3) 求甲獲利的期望值。
設甲的獲利為隨機變數 $W$。
根據題目敘述，甲的獲利有三種情況：

1. 甲的點數大於乙點數的兩倍 ($X > 2Y$)：乙給甲 10 元，甲獲利為 +10 元。
2. 甲的點數小於乙點數 ($X < Y$)：甲給乙 3 元，甲獲利為 -3 元。
3. 其他情況（和局）：甲獲利為 0 元。

我們需要計算這三種情況發生的機率。
情況 1: $X > 2Y$
列出所有 $X > 2Y$ 的組合：
當 $Y=1$ 時, $X > 2$, $X \in \{3, 4, 5, 6\}$ (4種)
當 $Y=2$ 時, $X > 4$, $X \in \{5, 6\}$ (2種)
當 $Y=3$ 時, $X > 6$, 無值
當 $Y=4, 5, 6$ 時, $X > 2Y$ 皆無值。
總共有 $4 + 2 = 6$ 種組合。
$P(X > 2Y) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。

情況 2: $X < Y$
我們在 (1.2) 中已計算出 $P(X < Y) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$。

情況 3: 和局 (其他情況)
這表示 $X \le 2Y$ 且 $X \ge Y$。
和局的機率為 $1 - P(X > 2Y) - P(X < Y) = 1 - \frac{6}{36} - \frac{15}{36} = 1 - \frac{21}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$。
我們可以驗證一下和局的組合：
當 $X=Y$: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) - 6種
當 $X=2Y$: (2,1), (4,2), (6,3) - 3種
當 $X=2Y+1$: (3,1), (5,2) - 2種
當 $X=2Y+2$: (4,1), (6,2) - 2種
當 $X=2Y+3$: (5,1) - 1種
當 $X=2Y+4$: (6,1) - 1種

中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 是統計學中最重要且最基本的定理之一。它描述了當樣本數足夠大時，來自不同分佈的母體之樣本平均數的抽樣分配，會趨近於常態分佈。

定理敘述：
設 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是一獨立且同分佈 (independent and identically distributed, i.i.d.) 的隨機變數序列，其母體期望值為 $\mu$ 且母體變異數為 $\sigma^2$ ($\sigma^2 > 0$)。
則當樣本數 $n$ 足夠大時 (通常認為 $n \ge 30$ 即可)，樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 的抽樣分配會近似於一個常態分佈，其平均值為 $\mu$，變異數為 $\frac{\sigma^2}{n}$。
即：
$\bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
或者，標準化後的樣本平均數：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \approx N(0, 1)$
其中 $N(0, 1)$ 代表標準常態分佈。

定理的意義與應用：

1. 不受母體分佈限制： 即使原始母體的機率分佈不是常態分佈 (例如二項分佈、卜瓦松分佈、指數分佈，甚至是偏態分佈)，只要樣本數足夠大，樣本平均數的抽樣分佈就趨近於常態分佈。
2. 推論與估計的基礎： 這是進行統計推論 (如信賴區間估計、假設檢定) 的關鍵。我們常常需要知道樣本統計量 (如樣本平均數) 的抽樣分佈，以便計算機率或決定決策規則。CLT 使得我們能夠在不知道母體分佈確切形式的情況下，仍然可以進行這些統計分析。
3. 大樣本分析： 在實際應用中，很多統計方法都是基於大樣本的，CLT 為這些方法的有效性提供了理論支持。

實例說明在資料分析中的應用：

假設一家公司想要估計其所有客戶的平均消費金額。經過市場調查，他們發現不同客戶的消費金額分佈極為偏斜，少數高消費客戶拉高了平均值，大多數客戶消費金額較低，這顯然不是一個常態分佈。

情境：
公司隨機抽取了 100 位客戶的消費紀錄，計算出這 100 位客戶的平均消費金額為 $\bar{x} = 500$ 元。公司知道過去所有客戶的平均消費金額 $\mu$ 為 450 元，但想知道這次抽樣結果是否代表真實平均值有變動，或者只是抽樣變異。

應用 CLT：

1. 母體參數： 假設我們知道過去所有客戶消費金額的標準差為 $\sigma = 200$ 元。

核心觀念

本題考查樣本平均數、變異數、共變異數、相關係數，以及最小平方法下的簡單線性迴歸。

令

$$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}.$$

常用的離均差平方和與離均差乘積和為

$$S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2 =\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n},$$ $$S_{yy}=\sum (y_i-\bar{y})^2 =\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n},$$ $$S_{xy}=\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) =\sum x_i y_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}.$$

相關係數為

$$r_{xy}=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}},$$

而 $y$ 對 $x$ 的線性迴歸方程式為

$$\hat{y}=a+bx,$$

其中

$$b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a=\bar{y}-b\bar{x}.$$

---

（3.1）求 $x$ 的平均值與變異數

$x$ 的平均值

已知

$$\sum_{i=1}^{n}x_i=100,\qquad n=100,$$

因此

$$\bar{x}=\frac{100}{100}=1.$$

$x$ 的變異數

先計算離均差平方和：

$$S_{xx} =\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n} =400-\frac{100^2}{100} =400-100 =300.$$

若採用母體型變異數，即分母為 $n$：

$$\sigma_x^2=\frac{S_{xx}}{n} =\frac{300}{100} =3.$$

若課本採用樣本變異數，即分母為 $n-1$：

$$s_x^2=\frac{S_{xx}}{n-1} =\frac{300}{99} =\frac{100}{33}.$$

本題為一組完整的 $n$ 對數據，通常採用分母為 $n$ 的變異數，因此答案為 $3$。

---

（3.2）求 $x$ 與 $y$ 的相關係數

先求平均數：

$$\bar{x}=1,\qquad \bar{y}=\frac{\sum y_i}{n} =\frac{200}{100} =2.$$

計算 $x$ 與 $y$ 的離均差乘積和：

$$S_{xy} =\sum x_i y_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}.$$

代入題目資料：

$$S_{xy} =1000-\frac{(100)(200)}{100} =1000-200 =800.$$

因此相關係數為

$$r_{xy} =\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} =\frac{800}{\sqrt{300S_{yy}}}.$$

但是題目沒有提供 $\sum y_i^2$，所以無法計算

統計學中的假設檢定 (Hypothesis Testing) 是一種用於判斷樣本資料是否足以支持某個關於母體參數的論點 (或稱為「假設」) 的統計方法。它提供了一個客觀的決策框架，幫助我們從樣本數據中推論出關於母體性質的結論。

假設檢定的核心概念與步驟：

1. 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$ 或 $H_a$)：

   • 虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$)： 通常代表「沒有改變」、「沒有效果」、「沒有差異」或「現狀」的陳述。它是一個被預設為真實的聲明，我們希望透過檢定來尋找證據來推翻它。例如，$H_0: \mu = \mu_0$ (母體平均數等於某個特定值)。
   • 對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$)： 是虛無假設的反面。它代表我們希望找到證據來支持的聲明，例如「有改變」、「有效果」、「有差異」。對立假設可以是單邊的 (例如 $H_1: \mu > \mu_0$ 或 $H_1: \mu < \mu_0$)，也可以是雙邊的 (例如 $H_1: \mu \neq \mu_0$)。

2. 設定顯著水準 ($\alpha$)：

   • 顯著水準 (Significance Level, $\alpha$)： 是在虛無假設為真時，我們願意承擔的犯下「第一類錯誤」的機率上限。常見的 $\alpha$ 值有 0.05 (5%), 0.01 (1%), 0.10 (10%)。$\alpha$ 值越小，代表我們對拒絕真實的虛無假設的要求越高。

3. 收集樣本資料並計算檢定統計量 (Test Statistic)：

   • 從母體中隨機抽取樣本，並收集相關數據。
   • 根據樣本數據，計算出一個「檢定統計量」。這個統計量的值是根據樣本數據計算出來的，它衡量了樣本數據與虛無假設之間的「距離」或「差異程度」。常見的檢定統計量有 $z$ 統計量、 $t$ 統計量、 $\chi^2$ 統計量、 $F$ 統計量等，其選擇取決於檢定的類型和母體參數。

4. 決定決策規則 (Decision Rule)：

   • 臨界值法 (Critical Value Approach)： 根據設定的顯著水準 $\alpha$ 和檢定統計量的分佈，確定一個或多個「臨界值」。如果計算出的檢定統計量落入「拒絕域」(Rejection Region)，則拒絕虛無假設。
   • p-值法 (p-value Approach)： 計算「p-值」。p-值是指在虛無假設為真的前提下，觀察到當前樣本結果或比當前樣本結果更極端的結果的機率。如果 p-值小於或等於顯著水準 ($\text{p-value} \le \alpha$)，則拒絕虛無假設。p-值法是現代統計軟體中最常用的方法。

5. 做出決策：

   • 將計算出的檢定統計量與臨界值比較，或將 p-值與 $\alpha$ 比較，來做出是否拒絕虛無假設的決策。
   • 拒絕 $H_0$： 表示有足夠的統計證據支持對立假設 $H_1$。
   • 無法拒絕 $H_0$： 表示沒有足夠的統計證據來推翻虛無假設。

本題考驗關於兩個比例的假設檢定。我們需要檢定兩個超市消費者接受新產品的比例是否存在顯著差異。

1. 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)
我們想檢定兩個比例是否相同。

• 虛無假設 $H_0$: 兩個超市消費者接受新產品的比例相同。
  $H_0: p_A = p_B$
• 對立假設 $H_1$: 兩個超市消費者接受新產品的比例不同。
  $H_1: p_A \neq p_B$ (這是一個雙尾檢定)

2. 設定顯著水準 ($\alpha$)
題目要求自行設定顯著水準。我們選擇最常用的 $\alpha = 0.05$。

3. 收集樣本資料並計算檢定統計量

• 超市 A:
  • 樣本數 $n_A = 100$
  • 接受新產品人數 $x_A = 40$
  • 樣本比例 $\hat{p}_A = \frac{x_A}{n_A} = \frac{40}{100} = 0.40$
• 超市 B:
  • 樣本數 $n_B = 150$
  • 接受新產品人數 $x_B = 50$
  • 樣本比例 $\hat{p}_B = \frac{x_B}{n_B} = \frac{50}{150} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$

在虛無假設 $p_A = p_B$ 為真時，我們需要估計一個合併比例 (pooled proportion) $\hat{p}$ 作為檢定統計量的基礎。
合併比例的計算公式為：
$\hat{p} = \frac{x_A + x_B}{n_A + n_B} = \frac{40 + 50}{100 + 150} = \frac{90}{250} = \frac{9}{25} = 0.36$

檢定統計量 $Z$ 的計算公式為：
$Z = \frac{\hat{p}_A - \hat{p}_B}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})}}$
代入數值：