109 年 國立暨南國際大學國際企業學系碩士班《微積分》

本題考查不定積分的計算，主要運用分部積分法。

解題步驟：
設 $I = \int (\ln x)^2 dx$。
我們使用分部積分法，令 $u = (\ln x)^2$ 且 $dv = dx$。
則 $du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx$ 且 $v = x$。
根據分部積分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我們得到：
$I = x (\ln x)^2 - \int x \cdot (2 \ln x \cdot \frac{1}{x}) dx$
$I = x (\ln x)^2 - \int 2 \ln x \, dx$

本題考查無窮級數的收斂性判斷，主要運用比較審斂法或極限比較審斂法。

核心觀念：
對於級數 $\sum a_n$，若我們能找到一個已知收斂或發散的級數 $\sum b_n$，並利用 $a_n$ 和 $b_n$ 的關係來判斷 $\sum a_n$ 的收斂性。

解題步驟：
考慮級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n^4+1}$。
當 $n$ 很大時，級數的通項 $\frac{n^2+1}{n^4+1}$ 近似於 $\frac{n^2}{n^4} = \frac{1}{n^2}$。
我們知道級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是一個 $p$-級數，其中 $p=2 > 1$，因此它收斂。

我們使用極限比較審斂法。令 $a_n = \frac{n^2+1}{n^4+1}$ 且 $b_n = \frac{1}{n^2}$。
計算極限 $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$:

核心觀念

積分上下限是變數時，使用微積分基本定理（變動積分上限公式）：

$$\frac{\partial}{\partial x}\int_x^y g(t)\,dt=-g(x), \qquad \frac{\partial}{\partial y}\int_x^y g(t)\,dt=g(y).$$

本題的被積函數為 $g(t)=e^{st}$，其中 $s$ 視為常數。

解題方法

對下限 $x$ 微分時，積分區間因下限增加而縮短，因此帶負號：

$$f_x(x,y)=-e^{sx}.$$

本題考查積分計算，被積函數中包含二次根式，通常需要配方後進行三角換元。

核心觀念：
對於形如 $\sqrt{ax^2+bx+c}$ 的積分，首先對二次函數 $ax^2+bx+c$ 進行配方。
如果配方後形式為 $k^2 - u^2$ 或 $u^2 - k^2$，則可考慮三角換元。
在這裡，我們有 $3-2x-x^2 = -(x^2+2x-3)$。
配方 $x^2+2x-3 = (x^2+2x+1) - 1 - 3 = (x+1)^2 - 4$。
所以，$3-2x-x^2 = -((x+1)^2 - 4) = 4 - (x+1)^2$。

解題步驟：
令 $I = \int \sqrt{3-2x-x^2} dx = \int \sqrt{4-(x+1)^2} dx$。
進行三角換元。令 $x+1 = 2 \sin \theta$。
則 $dx = 2 \cos \theta \, d\theta$。
同時，我們需要表達 $\sqrt{4-(x+1)^2}$：
$\sqrt{4-(x+1)^2} = \sqrt{4 - (2 \sin \theta)^2} = \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} = \sqrt{4(1-\sin^2 \theta)} = \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 |\cos \theta|$。
為了簡化，我們假設 $\cos \theta \ge 0$，所以 $\sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \cos \theta$。
（這通常對應於 $\theta$ 的一個適當範圍，例如 $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$）。

將換元代入積分：
$I = \int (2 \cos \theta) (2 \cos \theta \, d\theta)$
$I = \int 4 \cos^2 \theta \, d\theta$

利用三角恆等式 $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$：
$I = \int 4 \left( \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \right) d\theta$
$I = \int 2 (1+\cos(2\theta)) d\theta$

本題考查三角函數積分的計算，主要運用三角函數積化和差公式。

核心觀念：
三角函數的積化和差公式：
$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

解題步驟：
令 $I = \int \sin 5x \cos 2x \, dx$。
使用積化和差公式，令 $A=5x$ 且 $B=2x$。
$\sin 5x \cos 2x = \frac{1}{2} [\sin(5x+2x) + \sin(5x-2x)]$
$\sin 5x \cos 2x = \frac{1}{2} [\sin(7x) + \sin(3x)]$

將此代入積分：
$I = \int \frac{1}{2} [\sin(7x) + \sin(3x)] \, dx$

核心觀念

本題考查二重積分的計算，以及以下觀念：

• 迭代積分的積分順序。
• 指數函數的代換積分。
• 指數積分函數 $\operatorname{Ei}(x)$ 的表示。
• 利用冪級數或交換積分順序進行驗算。

原式為

$$I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}xe^{x^2y}\,dy\,dx.$$

解題方法

先依照題目指定的順序，對 $y$ 積分。固定 $x\neq 0$，令

$$u=x^2y,\qquad du=x^2\,dy,$$

因此

$$\int xe^{x^2y}\,dy =\frac{x}{x^2}\int e^u\,du =\frac{1}{x}e^{x^2y}.$$

所以

$$\begin{aligned} I &=\int_0^1\left[\frac{1}{x}e^{x^2y}\right]_{y=0}^{y=2}\,dx\\ &=\int_0^1\frac{e^{2x^2}-1}{x}\,dx. \end{aligned}$$

接著令

$$t=x^2,\qquad dt=2x\,dx.$$

由於

$$\frac{dx}{x}=\frac{dt}{2t},$$

且 $x=0$ 對應 $t=0$、$x=1$ 對應 $t=1$，故

$$I=\frac12\int_0^1\frac{e^{2t}-1}{t}\,dt.$$

再令 $u=2t$，則 $dt=du/2$ 且 $t=u/2$，因此

$$\frac{dt}{t}=\frac{du}{u},$$

得到

$$I=\frac12\int_0^2\frac{e^u-1}{u}\,du.$$

利用指數積分函數的定義

$$\operatorname{Ei}(x) =\gamma+\ln|x|+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\cdot n!}, \qquad x>0,$$

其中 $\gamma$ 為歐拉常數，因此

$$\int_0^2\frac{e^u-1}{u}\,du =\operatorname{Ei}(2)-\gamma-\ln 2.$$

故

本題考查不定積分的計算，被積函數是個有理函數，分母是二次式。需要將分母配方，並將分子拆解成與分母微分項有關的部分和常數項。

核心觀念：
對於形如 $\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c} dx$ 的積分：

1. 檢查分母 $ax^2+bx+c$ 是否能因式分解。如果可以，使用部分分式分解。
2. 如果分母的判別式 $b^2-4ac < 0$ (即無法分解為實數的線性因子)，則對分母進行配方，使其成為 $(x+k)^2+m^2$ 的形式。
3. 將分子 $Ax+B$ 拆解成與分母微分項 $2ax+b$ 成比例的部分，以及一個常數項。

解題步驟：
令 $I = \int \frac{3x+7}{x^2+2x+10} dx$。
首先，檢查分母 $x^2+2x+10$ 的判別式：$\Delta = 2^2 - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36 < 0$。
分母不可再分解為實數的線性因子。
對分母配方：$x^2+2x+10 = (x^2+2x+1) + 9 = (x+1)^2 + 3^2$。

接下來，將分子 $3x+7$ 拆解。
分母的微分是 $\frac{d}{dx}(x^2+2x+10) = 2x+2$。
我們希望將分子寫成 $A(2x+2) + B$ 的形式。
$3x+7 = A(2x+2) + B$
$3x+7 = 2Ax + 2A + B$
比較係數：
$2A = 3 \implies A = \frac{3}{2}$
$2A + B = 7 \implies 2(\frac{3}{2}) + B = 7 \implies 3 + B = 7 \implies B = 4$。
所以，$3x+7 = \frac{3}{2}(2x+2) + 4$。

將此代入積分：
$I = \int \frac{\frac{3}{2}(2x+2) + 4}{x^2+2x+10} dx$
$I = \int \left( \frac{\frac{3}{2}(2x+2)}{x^2+2x+10} + \frac{4}{x^2+2x+10} \right) dx$

本題考查定積分的計算，被積函數為 $\frac{1}{x(\ln x)^2}$，此積分可以透過變數代換法簡化。

核心觀念：
當被積函數中出現複合函數時，例如 $(\ln x)^2$ 以及其微分項 $\frac{1}{x}$，可以考慮使用變數代換法。

解題步驟：
令 $I = \int_{2}^{e^2} \frac{1}{x(\ln x)^2} dx$。
令 $u = \ln x$。
則 $du = \frac{1}{x} dx$。
我們需要改變積分的上下限：
當 $x=2$ 時，$u = \ln 2$。
當 $x=e^2$ 時，$u = \ln(e^2) = 2$。

本題考查函數的微分計算。函數 $f(x)$ 是兩個因子的乘積，其中一個因子是常數，另一個是多項式。

核心觀念：

1. 常數乘法法則：若 $c$ 是常數，則 $\frac{d}{dx}[c \cdot g(x)] = c \cdot \frac{d}{dx}[g(x)]$。
2. 多項式微分法則：$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$。
3. 對於常數項的微分是零：$\frac{d}{dx}[c] = 0$。

解題步驟：
函數為 $f(x) = (\sqrt{3+4}) (x^2-2x+3)$。
首先，計算第一個因子：$\sqrt{3+4} = \sqrt{7}$。
所以，函數可以寫成 $f(x) = \sqrt{7} (x^2-2x+3)$。
這是一個常數 $\sqrt{7}$ 乘以一個多項式 $(x^2-2x+3)$。

本題考查連鎖律 (Chain Rule) 的應用，涉及對數函數、三角函數和線性函數的複合。

核心觀念：
連鎖律：若 $y = f(u)$ 且 $u = g(x)$，則 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。
對於複合函數 $f(x) = h(g(k(x)))$，其導數為 $f'(x) = h'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x)$。

基本導數公式：

1. $\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$
2. $\frac{d}{dx}(\sin u) = \cos u \frac{du}{dx}$
3. $\frac{d}{dx}(ax) = a$

解題步驟：
函數為 $f(x) = \ln(\sin(3x))$。
我們將此函數看作是三個函數的複合：
最外層是 $\ln(\cdot)$。
中間層是 $\sin(\cdot)$。
最內層是 $3x$。

應用連鎖律：
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\ln(\sin(3x))]$