112 年 國立政治大學統計學系碩士班《統計方法》

核心觀念

本題考查「隨機回答法（randomized response technique）」與全母體比例的估計。

令

$$p=P(\text{月薪至少為 }32,000)$$

由於出生月份決定受訪者回答哪一道問題：

• 1月至8月：比例為 $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，回答「月薪至少為 $32,000$」。
• 9月至12月：比例為 $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，回答「月薪少於 $32,000$」。

設樣本中回答「是」的比例為 $\hat q$，則題目給出

$$\hat q=\frac{550}{1000}=0.55$$

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解題方法

當月薪至少為 $32,000$ 的比例為 $p$ 時：

1. 1月至8月者

這群人回答：

月薪是否至少為 $32,000$？

因此回答「是」的機率為

$$P(\text{是}\mid 1\text{月至}8\text{月})=p$$

2. 9月至12月者

這群人回答：

月薪是否少於 $32,000$？

月薪少於 $32,000$ 的比例為 $1-p$，因此回答「是」的機率為

$$P(\text{是}\mid 9\text{月至}12\text{月})=1-p$$

3. 合併兩種情況

樣本回答「是」的總比例為

$$q=\frac{2}{3}p+\frac{1}{3}(1-p)$$

整理得

這題考驗對常態分配的理解，包含計算機率、人數，以及反求分數。

題目給定總分服從平均數 $\mu = 200$、標準差 $\sigma = 30$ 的常態分配，總共有 $N=500$ 位考生。

(1) Mary's total score is 185. How many examinees are worse than Mary?

首先，我們需要計算 Mary 的分數 185 在常態分配中的標準化分數 (z-score)。
$z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{185 - 200}{30} = \frac{-15}{30} = -0.5$

「比 Mary 差」意味著分數低於 185。在常態分配中，這對應著 z-score 小於 -0.5 的區域。
我們需要計算 $P(Z < -0.5)$。
查閱標準常態分配表 (z-table)，或者使用統計軟體，可以得到 $P(Z < -0.5) \approx 0.3085$。

這表示約有 30.85% 的考生分數比 Mary 低。
題目要求的是人數，所以我們將這個比例乘以總考生人數：
人數 = $P(Z < -0.5) \times N = 0.3085 \times 500 = 154.25$

由於人數必須是整數，我們通常會四捨五入。在這裡，154.25 可以四捨五入為 154 人。

【答案】約 154 人

(2) Examinee with top 30% of the total score will be eligible for oral. What is the minimum total score in order to be eligible for oral?

「前 30%」意味著分數高於 70% 的考生。也就是說，我們需要找到一個分數 $X_{min}$，使得 $P(X \ge X_{min}) = 0.30$。
這等同於 $P(X < X_{min}) = 1 - 0.30 = 0.70$。

我們需要找到對應於累積機率 0.70 的 z-score。
查閱標準常態分配表，找到累積機率最接近 0.70 的 z-score。
$P(Z \le 0.52) \approx 0.6985$
$P(Z \le 0.53) \approx 0.7019$
通常我們取最接近的，或使用插值法。這裡我們取 $z \approx 0.5244$ (更精確的值)。
使用 $z \approx 0.52$ 進行計算：
$z = \frac{X_{min} - \mu}{\sigma}$
$0.52 = \frac{X_{min} - 200}{30}$
$X_{min} - 200 = 0.52 \times 30$
$X_{min} - 200 = 15.6$
$X_{min} = 200 + 15.6 = 215.6$

如果使用更精確的 z-score (約 0.5244)：
$X_{min} - 200 = 0.5244 \times 30$
$X_{min} - 200 = 15.732$
$X_{min} = 200 + 15.732 = 215.732$

由於分數通常是整數，且題目沒有特別說明，我們將結果四捨五入。
如果我們要求「前 30%」，那麼分數必須大於或等於某個值。
如果取 $215.6$ 或 $215.732$，那麼分數大於這個值的機率是 0.30。
如果分數是整數，那麼最小的整數分數應該是 216。

這題考驗對指數分配的理解，包含機率計算、泊松分配與指數分配的關係，以及常態近似。

題目給定電話呼叫之間的時間間隔服從指數分配，平均時間為 $\mu = 2$ 分鐘。
對於指數分配，其機率密度函數 (PDF) 為 $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$，累積分布函數 (CDF) 為 $F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$，其中 $\lambda = 1/\mu$。
因為平均時間是 2 分鐘，所以 $\lambda = 1/2 = 0.5$ (每分鐘的呼叫率)。

(1) Find the probability that after receiving a call, the next call comes in less than 1 minute.

這是指數分配的無記憶性 (memoryless property) 的直接應用。
對於指數分配，過去的事件（例如剛才收到一個 call）不影響未來的事件。
所以，從任意時間點開始，下一個事件發生所需的時間，服從相同的指數分配。
我們要求的是下一個 call 在 1 分鐘內發生的機率，即 $P(T < 1)$，其中 $T$ 是時間間隔。
使用 CDF：
$P(T < 1) = F(1) = 1 - e^{-\lambda \times 1} = 1 - e^{-0.5 \times 1} = 1 - e^{-0.5}$
$e^{-0.5} \approx 0.6065$
$P(T < 1) \approx 1 - 0.6065 = 0.3935$

【答案】約 0.3935

(2) Today George is the only person on duty, and he is going to take a break for 10 minutes. What is the probability that 4 calls will he miss to answer?

首先，我們需要知道在 10 分鐘的休息時間內，平均會有多少通電話。
呼叫率 $\lambda = 0.5$ (calls per minute)。
在 10 分鐘內，平均呼叫數為 $\Lambda = \lambda \times \text{time} = 0.5 \times 10 = 5$ 通。

由於呼叫之間的間隔服從指數分配，這意味著呼叫的發生是一個泊松過程。
在一個固定時間區間內，事件發生的次數服從泊松分配。
所以，在 10 分鐘內收到的電話數 $K$ 服從參數為 $\Lambda=5$ 的泊松分配。
$P(K=k) = \frac{e^{-\Lambda} \Lambda^k}{k!}$

George 會錯過 4 通電話，這意味著在 10 分鐘的休息時間內，總共收到了 4 通電話。
我們要求 $P(K=4)$。
$P(K=4) = \frac{e^{-5} 5^4}{4!} = \frac{e^{-5} \times 625}{24}$
$e^{-5} \approx 0.006738$

這題考驗獨立樣本變異數的檢定（F檢定）以及平均數的檢定（t檢定），並需根據題目判斷是否進行池化變異數。

題目給定兩組獨立樣本的數據：
Bank Card: $n_1 = 9$, $\bar{x}_1 = 25$, $s_1 = 10$
Store Card: $n_2 = 16$, $\bar{x}_2 = 34$, $s_2 = 5$
假設兩組資料來自常態分配，且抽樣是獨立的。

(1) At $\alpha=0.10$, test for equality of the two population variances.

我們要檢定總體變異數是否相等。
虛無假設 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$
對立假設 $H_1: \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$ （通常使用雙尾檢定，除非題目有特別指示）

檢定統計量為兩個樣本變異數的比值：
$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$ 或 $\frac{s_2^2}{s_1^2}$。
為了使 F 分配的自由度明確，我們通常將較大的樣本變異數放在分子。
$s_1^2 = 10^2 = 100$
$s_2^2 = 5^2 = 25$
所以，我們使用 $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{100}{25} = 4$。

自由度為：
分子自由度 $df_1 = n_1 - 1 = 9 - 1 = 8$
分母自由度 $df_2 = n_2 - 1 = 16 - 1 = 15$

顯著水準 $\alpha = 0.10$。由於是雙尾檢定，我們需要找到臨界值 $F_{\alpha/2, df_1, df_2}$ 和 $F_{1-\alpha/2, df_1, df_2}$。
這裡我們將較大的變異數放分子，所以用 $F = s_1^2 / s_2^2$。
我們需要比較 $F$ 與 $F_{\alpha/2, df_1, df_2}$ 和 $F_{1-\alpha/2, df_2, df_1}$。
或者，直接將較大的樣本變異數放分子，用單尾檢定來判斷。
如果 $F = s_{larger}^2 / s_{smaller}^2$，則 $H_1: \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$。
檢定統計量 $F = 4$。
自由度為 $df_1 = 8$, $df_2 = 15$。
顯著水準 $\alpha = 0.10$。
雙尾檢定的臨界區域是 $F > F_{\alpha/2, df_1, df_2}$ 或 $F < F_{1-\alpha/2, df_1, df_2}$。
這裡 $F_{\alpha/2, 8, 15} = F_{0.05, 8, 15}$。
查閱 F 分配表， $F_{0.05, 8, 15} \approx 2.65$。
$F_{1-\alpha/2, 8, 15} = F_{0.95, 8, 15}$。
由於 $F_{0.95, 8, 15} = 1 / F_{0.05, 15, 8}$。
查閱 F 分配表， $F_{0.05, 15, 8} \approx 3.10$。
所以 $F_{0.95, 8, 15} \approx 1/3.10 \approx 0.3226$。

我們的檢定統計量 $F = 4$。
因為 $4 > 2.65$，所以 $F$ 落在了拒絕域。
因此，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：在 $\alpha=0.10$ 的顯著水準下，有足夠的證據顯示兩總體變異數不相等。
也就是說，$s_1=10$ 和 $s_2=5$ 的差異是顯著的。

【答案】
$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$
$H_1: \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$
檢定統計量 $F = s_1^2 / s_2^2 = 10^2 / 5^2 = 100 / 25 = 4$。
分子自由度 $df_1 = 9-1=8$，分母自由度 $df_2 = 16-1=15$。
在 $\alpha=0.10$ 下，雙尾檢定的臨界值為 $F_{0.05, 8, 15} \approx 2.65$ 和 $F_{0.95, 8, 15} \approx 0.3226$。
因為 $4 > 2.65$，所以檢定統計量落在拒絕域。
結論：拒絕 $H_0$。在 $\alpha=0.10$ 下，兩總體變異數不相等。

(2) At $\alpha=0.10$, does the sample results support the manager's claim?

經理的聲稱是：「using store credit cards spent more on average than customers using bank credit cards」。
這意味著：總體平均數 $\mu_2 > \mu_1$。
所以，我們要檢定的虛無假設和對立假設是：
$H_0: \mu_1 \ge \mu_2$ (或 $\mu_2 - \mu_1 \le 0$)
$H_1: \mu_1 < \mu_2$ (或 $\mu_2 - \mu_1 > 0$)
這是一個單尾檢定。

在第 (1) 部分，我們已經檢定出兩總體變異數不相等 ($H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 被拒絕)。
因此，我們應該使用 Welch's t-test (或稱不等變異數 t-檢定)，而不使用池化變異數的 t-檢定。

Welch's t-test 的檢定統計量為：
$t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$

這題考驗簡單線性迴歸的相關計算，包含迴歸函數的推導、斜率的假設檢定，以及迴歸預測的信賴區間。

題目給定了 12 個觀測點，其中 X 是乘客數，Y 是成本 (單位：千美元)。
我們有以下統計量：
$n=12$
$\sum X = 930$
$\sum Y = 57$
$\sum X^2 = 73764$
$\sum Y^2 = 274.220$
$\sum XY = 4489.900$
SSE (Sum of Squared Errors) = 0.3665

(1) Derive the estimated regression function.

簡單線性迴歸模型為 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$。
估計的迴歸函數為 $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$。

首先計算樣本平均數：
$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{930}{12} = 77.5$
$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{57}{12} = 4.75$

計算迴歸係數 $\hat{\beta}_1$ (斜率) 和 $\hat{\beta}_0$ (截距)。
$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}$
$S_{XY} = \sum XY - n\bar{X}\bar{Y} = 4489.900 - 12 \times 77.5 \times 4.75 = 4489.900 - 4417.5 = 72.4$
$S_{XX} = \sum X^2 - n\bar{X}^2 = 73764 - 12 \times (77.5)^2 = 73764 - 12 \times 6006.25 = 73764 - 72075 = 1689$

$\hat{\beta}_1 = \frac{72.4}{1689} \approx 0.0428656$
四捨五入到小數點後第 4 位： $\hat{\beta}_1 \approx 0.0429$

$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 4.75 - 0.0428656 \times 77.5$
$\hat{\beta}_0 = 4.75 - 3.322584 \approx 1.427416$
四捨五入到小數點後第 4 位： $\hat{\beta}_0 \approx 1.4274$

所以，估計的迴歸函數為：
$\hat{Y} = 1.4274 + 0.0429 X$

【答案】$\hat{Y} = 1.4274 + 0.0429 X$

(2) An industry comparison suggests the slope to be 0.027. At $\alpha=0.05$, test whether Northland has a slope larger than suggested.

我們要檢定北 land 航空的斜率是否大於產業比較建議值 0.027。
虛無假設 $H_0: \beta_1 \le 0.027$
對立假設 $H_1: \beta_1 > 0.027$
這是一個單尾檢定。

我們需要計算 $\hat{\beta}_1$ 的標準誤 (standard error)。
$SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\frac{MSE}{S_{XX}}}$
MSE (Mean Squared Error) $= \frac{SSE}{df_E}$
$df_E = n - 2 = 12 - 2 = 10$
$MSE = \frac{0.3665}{10} = 0.03665$

$SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\frac{0.03665}{1689}} = \sqrt{0.000021699} \approx 0.004658$
四捨五入到小數點後第 4 位： $SE(\hat{\beta}_1) \approx 0.0047$

檢定統計量 $t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1,0}}{SE(\hat{\beta}_1)}$
其中 $\beta_{1,0} = 0.027$ 是虛無假設下的斜率值。

$t = \frac{0.0428656 - 0.027}{0.004658} = \frac{0.0158656}{0.004658} \approx 3.4062$
四捨五入到小數點後第 4 位： $t \approx 3.4062$

自由度為 $df = n-2 = 10$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
這是單尾檢定，我們需要臨界值 $t_{\alpha, df} = t_{0.05, 10}$。
查閱 t 分配表， $t_{0.05, 10} \approx 1.812$。

我們的檢定統計量 $t \approx 3.4062$。
因為 $3.4062 > 1.812$，所以檢定統計量落在拒絕域。
因此，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：在 $\alpha=0.05$ 的顯著水準下，有足夠的證據顯示 Northland 航空的斜率大於產業建議值 0.027。

【答案】
$H_0: \beta_1 \le 0.027$
$H_1: \beta_1 > 0.027$

核心觀念

本題採用「隨機完全區集設計」（Randomized Complete Block Design, RCBD）：

• 處理因子：木材濃度，共 $a=3$ 種。
• 區集因子：實驗天數，共 $b=4$ 天。
• 每一天均測試三種濃度，因此每個處理在每個區集各出現一次。
• 主要目的：在控制「天數」差異後，檢定不同濃度的平均強度是否相同。

RCBD 的變異分解為

$$SS_T=SS_{\text{濃度}}+SS_{\text{天數}}+SS_E.$$

各自由度為

$$df_{\text{濃度}}=a-1=2,$$ $$df_{\text{天數}}=b-1=3,$$ $$df_E=(a-1)(b-1)=6,$$ $$df_T=ab-1=11.$$

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先整理一致的 ANOVA 數值

總平方和：

$$SS_T=\sum y_{ij}^2-\frac{G^2}{N}.$$

其中

$$\sum y_{ij}^2=1689,\qquad G=135,\qquad N=12.$$

因此

$$SS_T=1689-\frac{135^2}{12} =1689-1518.75 =170.25.$$

濃度平方和：

$$SS_{\text{濃度}} =\frac{29^2+47^2+59^2}{4}-\frac{135^2}{12} =114.$$

天數平方和：

$$SS_{\text{天數}} =\frac{26^2+39^2+31^2+39^2}{3} -\frac{135^2}{12} =40.9167.$$

誤差平方和：

$$SS_E=170.25-114-40.9167=15.3333.$$

因此，由題目原始資料所得到的正確 ANOVA 表為：

變異來源	DF	SS	MS	$F$
濃度	$2$	$114$	$57$	$22.3043$
天數	$3$	$40.9167$	$13.6389$	$5.3380$
誤差	$6$	$15.3333$	$2.5556$
總和	$11$	$170.25

題目所列的「濃度 $SS=15.3333$、誤差 $SS=170.2500$」與原始資料不一致；這兩個數值實際上分別應是誤差平方和與總平方和。以下依原始資料及一致的 ANOVA 分解作答。

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(1) 檢定不同濃度的平均強度是否有差異

假設

令 $\mu_I,\mu_{II},\mu_{III}$ 分別代表三種木材濃度的平均紙張強度。

$$H_0:\mu_I=\mu_{II}=\mu_{III}$$ $$H_1:\text{至少有一個平均數不同}$$

檢定統計量

濃度的均方為

$$MS_{\text{濃度}}=\frac{114}{2}=57.$$

誤差均方為

$$MSE=\frac{15.3333}{6}=2.5556.$$

因此

$$F=\frac{MS_{\text{濃度}}}{MSE} =\frac{57}{2.5556} =22.3043.$$

臨界值

在顯著水準 $\alpha=0.05