115 年 國立政治大學統計學系碩士班《統計方法》

此題主要在考驗假設檢定中的 $p$-value 計算以及 Type II 錯誤的機率計算。

核心觀念：

1. $p$-value： 在虛無假設為真的前提下，觀察到目前樣本統計量或比其更極端的統計量出現的機率。對於雙尾檢定，其計算方式為 $2 \times P(\text{統計量} \ge |\text{觀察值}|)$。
2. Type II 錯誤： 當對立假設為真時，卻未能拒絕虛無假設。其機率通常以 $\beta$ 表示。
3. 常態分配性質： 樣本平均數的抽樣分配近似於常態分配，且其均值為母體平均數 $\mu$，標準差為 $\sigma/\sqrt{n}$。

(a) $p$-value 的計算

步驟 1：設定檢定統計量
由於母體變異數已知 ($\sigma^2 = 400$)，我們使用 $z$-檢定。樣本大小 $n=100$，母體標準差 $\sigma = \sqrt{400} = 20$。
樣本平均數 $\bar{x} = 2025$。
檢定統計量為：
$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均數，即 $2026$。

步驟 2：計算檢定統計量的值
$z = \frac{2025 - 2026}{20/\sqrt{100}} = \frac{-1}{20/10} = \frac{-1}{2} = -0.5$

步驟 3：計算 $p$-value
此為雙尾檢定 ($H_\alpha: \mu \neq 2026$)。
$p\text{-value} = 2 \times P(Z \ge |-0.5|) = 2 \times P(Z \ge 0.5)$
查標準常態分配表，可得 $P(Z \ge 0.5) = 1 - P(Z < 0.5) = 1 - \Phi(0.5) \approx 1 - 0.6915 = 0.3085$。
所以，$p\text{-value} = 2 \times 0.3085 = 0.617$。

【答案】 $0.617$

(b) Type II 錯誤機率 $\beta$ 的計算

步驟 1：釐清 Type II 錯誤的定義
Type II 錯誤發生於虛無假設為假，但我們卻未能拒絕虛無假設。在此題中，實際母體平均數 $\mu = 2027.36$，而虛無假設為 $\mu = 2026$。檢定水準為 $\alpha = 0.05$。

核心觀念

本題考查：

• 由機率密度函數求母體累積分布函數；
• 次序統計量最大值 $X_{(5)}$ 的分布；
• 以拒絕域計算檢定的 power function。

令

$$Y=X_{(5)}=\max(X_1,\ldots,X_5).$$

檢定的拒絕域為

$$R=\{Y\le 0.5\}\cup\{Y\ge 1\}.$$

因此，給定參數 $\theta$ 時，檢定力函數為

$$\pi(\theta)=P_\theta(Y\le 0.5)+P_\theta(Y\ge 1),$$

其中兩個事件互斥。

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解題方法

1. 求母體累積分布函數

由題目給定

$$f(x)=\frac{2x}{\theta^2},\qquad 0<x<\theta.$$

因此，當 $0<x<\theta$ 時，

$$F_\theta(x) =\int_0^x \frac{2t}{\theta^2}\,dt =\frac{x^2}{\theta^2}.$$

完整寫成

$$F_\theta(x)= \begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] \dfrac{x^2}{\theta^2}, & 0<x<\theta,\\[8pt] 1, & x\ge \theta. \end{cases}$$

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2. 求最大次序統計量的分布

因為 $Y=X_{(5)}$ 是 $5$ 個樣本的最大值，

$$P_\theta(Y\le y) =P_\theta(X_1\le y,\ldots,X_5\le y).$$

樣本獨立，因此

$$P_\theta(Y\le y) =\left[F_\theta(y)\right]^5.$$

當 $0<y<\theta$ 時，

$$P_\theta(Y\le y) =\left(\frac{y^2}{\theta^2}\right)^5 =\frac{y^{10}}{\theta^{10}}.$$

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3. 計算拒絕域機率

事件一：$Y\le 0.5$

當 $\theta\le 0.5$ 時，所有觀察值均小於 $\theta\le 0.5$，所以

$$P_\theta(Y\le 0.5)=1.$$

當 $\theta>0.5$ 時，

$$P_\theta(Y\le 0.5) =\left(\frac{0.5^2}{\theta^2}\right)^5 =\left(\frac{1}{4\theta^2}\right)^5 =\frac{1}{4^5\theta^{10}}.$$

事件二：$Y\ge 1$

此題主要考驗對樣本比例抽樣分配的理解，以及利用常態近似計算機率。

核心觀念：

1. 樣本比例的抽樣分配： 當樣本大小足夠大時，樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分配近似於常態分配，其均值為母體比例 $p$，標準差為 $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。
2. 常態近似： 當 $np \ge 10$ 且 $n(1-p) \ge 10$ 時，二項分配可用常態分配近似。在此題中，$n=100$, $p=0.35$，則 $np = 35 \ge 10$ 且 $n(1-p) = 100(0.65) = 65 \ge 10$，滿足常態近似條件。
3. 機率計算： 利用標準化將樣本比例轉換為標準常態變數 $Z$，再計算對應的機率。

步驟 1：確認參數與抽樣分配
母體比例 $p = 0.35$。
樣本大小 $n = 100$。
樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分配近似於常態分配，其：
均值 $E(\hat{p}) = p = 0.35$。
標準差 $SD(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.35(1-0.35)}{100}} = \sqrt{\frac{0.35 \times 0.65}{100}} = \sqrt{\frac{0.2275}{100}} = \sqrt{0.002275}$。
計算標準差：$\sqrt{0.002275} \approx 0.0477$。

步驟 2：設定問題的機率敘述
我們要求的是樣本比例 $\hat{p}$ 在母體比例 $p$ 的 $\pm 3\%$ 範圍內的機率。
即 $P(| \hat{p} - p | \le 0.03)$。

此題考驗對 $p$-value 和顯著水準 $\alpha$ 的關係的理解。

核心觀念：

1. $p$-value： 在虛無假設 ($H_0$) 為真的前提下，觀察到樣本統計量或比觀察到的樣本統計量更極端的結果的機率。
2. 顯著水準 ($\alpha$)： 預設的拒絕虛無假設的機率上限。如果 $p\text{-value} < \alpha$，則拒絕 $H_0$。
3. 對立假設為真時： 當對立假設 ($H_\alpha$) 為真時，意味著虛無假設 ($H_0$) 為假。

判斷：False

解釋：
$p$-value 的定義與虛無假設為真時的機率有關。當對立假設為真時，虛無假設為假。
$p$-value 的值會隨著樣本數據的變動而變動。

• 如果對立假設為真，而且樣本數據「非常」支持對立假設（即非常不支持虛無假設），那麼 $p$-value 很可能會小於顯著水準 $\alpha$，導致我們拒絕虛無假設。
• 然而，即使對立假設為真，也不保證 $p$-value 就一定會小於 $\alpha$。有可能因為樣本變異度較大，或者樣本觀察值剛好落在虛無假設的接受域內，導致 $p$-value 大於 $\alpha$。

此題考驗對檢定 power 和顯著水準 $\alpha$ 的關係的理解。

核心觀念：

1. 顯著水準 ($\alpha$)： 虛無假設 ($H_0$) 為真時，拒絕 $H_0$ 的機率。它是 Type I 錯誤的機率上限。
2. 檢定 Power ($1-\beta$)： 對立假設 ($H_\alpha$) 為真時，拒絕 $H_0$ 的機率。它是正確決策的機率。
3. $\alpha$ 與 Power 的關係： $\alpha$ 是在 $H_0$ 為真時的機率，而 Power 是在 $H_\alpha$ 為真時的機率。兩者描述的是不同條件下的機率，它們之間沒有固定的大小關係，可以互相獨立。

判斷：True

解釋：

• 顯著水準 $\alpha$ 是 Type I 錯誤的機率，即當虛無假設為真時，我們錯誤地拒絕它。
• 檢定 Power ($1-\beta$) 是正確地拒絕虛無假設的機率，即當對立假設為真時，我們正確地拒絕虛無假設。

此題考驗對顯著水準 $\alpha$ 和 Type I 錯誤機率的理解。

核心觀念：

1. 顯著水準 ($\alpha$)： 在進行假設檢定前，使用者設定的一個機率值。它代表了在虛無假設為真時，我們願意承擔的最大錯誤決策（拒絕 $H_0$）的風險。
2. Type I 錯誤： 當虛無假設 ($H_0$) 為真時，卻錯誤地拒絕了虛無假設。
3. Type I 錯誤的機率： 在虛無假設為真時，實際發生 Type I 錯誤的機率。

判斷：False

此題主要考驗如何建構母體變異數 $\sigma^2$ 的信賴區間，並區分 $\mu$ 未知與已知時的差異。

核心觀念：

1. 母體變異數 $\sigma^2$ 的信賴區間：
   • 當 $\mu$ 未知時，使用 $\chi^2$ 分配。樣本變異數 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$。信賴區間為 $\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right)$。
   • 當 $\mu$ 已知時，使用 $\chi^2$ 分配。使用修正的樣本變異數 $\tilde{s}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu_0)^2$。信賴區間為 $\left( \frac{n\tilde{s}^2}{\chi^2_{\alpha/2, n}}, \frac{n\tilde{s}^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n}} \right)$。
2. $\chi^2$ 分配的自由度： 當 $\mu$ 未知時，自由度為 $n-1$；當 $\mu$ 已知時，自由度為 $n$。
3. 信賴區間的解釋： 95% 的信賴區間表示，如果我們重複多次抽樣並計算信賴區間，平均有 95% 的區間會包含真實的母體參數。

數據準備：
樣本大小 $n = 10$。
樣本數據：$79, 82, 63, 75, 83, 99, 71, 76, 77, 85$。

步驟 1：計算樣本平均數 $\bar{x}$
$\bar{x} = \frac{79+82+63+75+83+99+71+76+77+85}{10} = \frac{790}{10} = 79$。

步驟 2：計算樣本變異數 $s^2$ (用於 (a) $\mu$ 未知)
首先計算平方和 $\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2$：
$(79-79)^2 = 0$
$(82-79)^2 = 3^2 = 9$
$(63-79)^2 = (-16)^2 = 256$
$(75-79)^2 = (-4)^2 = 16$
$(83-79)^2 = 4^2 = 16$
$(99-79)^2 = 20^2 = 400$
$(71-79)^2 = (-8)^2 = 64$
$(76-79)^2 = (-3)^2 = 9$
$(77-79)^2 = (-2)^2 = 4$
$(85-79)^2 = 6^2 = 36$
總和 $= 0 + 9 + 256 + 16 + 16 + 400 + 64 + 9 + 4 + 36 = 810$。

樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{810}{10-1} = \frac{810}{9} = 90$。

(a) $\mu$ 未知時，建構 95% 信賴區間

步驟 3：確定 $\chi^2$ 分配的臨界值
信賴水準為 $95\%$，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
自由度為 $n-1 = 10-1 = 9$。
我們需要 $\chi^2_{0.025, 9}$ 和 $\chi^2_{1-0.025, 9} = \chi^2_{0.975, 9}$。
查 $\chi^2$ 分配表：
$\chi^2_{0.025, 9} \approx 19.023$
$\chi^2_{0.975, 9} \approx 2.700$

步驟 4：計算信賴區間

此題為一綜合題，涵蓋了迴歸分析中的模型擴充、$R^2$ 的判斷以及複迴歸的聯合檢定。

核心觀念：

1. 迴歸分析的基本概念： 包含總變異量 (SST)、迴歸變異量 (SSR)、殘差變異量 (SSE) 及其關係：$SST = SSR + SSE$。
2. $R^2$ (判定係數)： $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$。它衡量模型解釋了應變數總變異的比例。
3. 模型擴充的理由： 當初步分析顯示模型不佳（如 $R^2$ 低、殘差圖顯示模式）時，可以考慮加入其他潛在變數或變數的轉換（如多項式項、交互項、類別變數的虛擬變數）來改善模型。
4. 複迴歸的聯合檢定 (Global Test)： 用於檢定所有迴歸係數（不含截距項）是否同時為零。使用 F 檢定。
5. F 檢定的統計量： $F = \frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}$，其中 $k$ 是自變數的個數。

數據整理與計算 (Model 1)
由 ANOVA 表格：
$n = 338$ (總觀測數)
$k = 1$ (Model 1 中自變數 $X_1$ 的個數)

Regression Sum of Squares (SSR) = 623,173
Error Sum of Squares (SSE) = 3,319,382
Total Sum of Squares (SST) = A1 = SSR + SSE = 623,173 + 3,319,382 = 3,942,555

Degree of Freedom for Regression (dfR) = 1
Degree of Freedom for Error (dfE) = 336
Degree of Freedom for Total (dfT) = 337

Mean Square Regression (MSR) = A2 = SSR / dfR = 623,173 / 1 = 623,173
Mean Square Error (MSE) = A3 = SSE / dfE = 3,319,382 / 336 ≈ 9879.113

F statistic (A5) = MSR / MSE = 623,173 / 9879.113 ≈ 63.077

$R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{623,173}{3,942,555} \approx 0.1581$
或者 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = 1 - \frac{3,319,382}{3,942,555} \approx 1 - 0.8419 = 0.1581$

從 Predictor 表格：
截距 (Constant) 的係數 $\hat{\beta}_0 = 732.36$
$X_1$ (price) 的係數 $\hat{\beta}_1 = -163.18$
$X_1$ 的標準誤 SE($\hat{\beta}_1$) = 20.55

(a) 模型擴充建議

問題分析：
散佈圖顯示 $Y$ (volume) 對 $X_1$ (price) 的關係，對於 Boston (圓圈) 和 San Diego (叉叉) 兩個地區，似乎並非單純的線性關係。

1. 非線性關係： 數據點似乎呈現一種「U」型或「倒U」型的趨勢，尤其是在較低的價格範圍，隨著價格上升，銷量先下降，但到某個點後，銷量又開始上升，或者存在一個價格區間，銷量相對較高。這暗示了平方項 ($X_1^2$) 可能是一個有用的加入項。
2. 地區差異： 散佈圖顯示 Boston 和 San Diego 的數據點有明顯的分佈差異。Boston 的點（圓圈）似乎集中在較低的價格和中等的銷量範圍，而 San Diego 的點（叉叉）則在較高的價格範圍有較多的觀測，並且銷量也有較高的情況。這暗示了地區變數可能對銷量有顯著影響，需要引入地區的虛擬變數 (dummy variables)。

建議的擴充模型：
基於上述觀察，一個合理的擴充模型可以包含價格的平方項以及地區的虛擬變數。

模型建議：
$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_1^2 + \beta_3 D + \epsilon$

變數定義：

• $Y$: 總銷售量 (volume)。
• $X_1$: 價格 (price)。
• $X_1^2$: 價格的平方項，用以捕捉價格與銷量之間可能的非線性關係。
• $D$: 一個地區的虛擬變數 (dummy variable)。由於我們有兩個地區 (Boston 和 San Diego)，我們可以設立一個虛擬變數。例如：
  • $D = 1$ if the region is San Diego
  • $D = 0$ if the region is Boston
    (這裡我們選擇 Boston 作為參考組)。
• $\beta_0$: 截距項。
• $\beta_1$: 價格 $X_1$ 的係數（當 $D=0$，即 Boston 時）。
• $\beta_2$: 價格平方項 $X_1^2$ 的係數。
• $\beta_3$: 地區虛擬變數 $D$ 的係數。它代表了 San Diego 相對於 Boston 的價格效應變動。
• $\epsilon$: 殘差項。

理由：

1. 捕捉非線性： 加入 $X_1^2$ 項可以捕捉價格與銷量之間可能存在的曲線關係，例如 U 型或倒 U 型的關係，這比單純的線性關係更符合散佈圖的視覺觀察。
2. 考慮地區效應： 加入地區虛擬變數 $D$ 可以讓模型考慮到不同地區（Boston 與 San Diego）的銷售行為可能存在系統性差異。例如，San Diego 的消費者可能對價格的反應不同，或者有其他未被模型包含但與地區相關的因素影響銷量。$\beta_3$ 的存在允許模型為 San Diego 的銷售量建立一個與 Boston 不同的基線水平，或者影響價格係數的效應。

其他可能的擴充：

• 交互項： 也可以考慮價格與地區的交互項，例如 $\beta_4 (X_1 \times D)$。這將允許價格對銷量的影響在不同地區有所不同。
  模型會變成：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_1^2 + \beta_3 D + \beta_4 (X_1 \times D) + \epsilon$。
  這個模型更為完整，因為它允許價格的線性效應 (由 $\beta_1$ 和 $\beta_4$ 控制) 以及價格的平方效應 (由 $\beta_2$ 控制) 都可能因地區而異。

（在此題中，只需建議一個合理的模型，上述包含 $X_1^2$ 和 $D$ 的模型是足夠的。）

【答案】
建議模型：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_1^2 + \beta_3 D + \epsilon$
變數定義：
$Y$: 總銷售量 (volume)。
$X_1$: 價格 (price)。
$X_1^2$: 價格的平方項。
$D$: 地區虛擬變數，若地區為 San Diego，$D=1$；若地區為 Boston，$D=0$。
$\epsilon$: 殘差項。
理由：散佈圖顯示 Y 對 $X_1$ 的關係可能存在非線性（U型或倒U型），故加入 $X_1^2$；同時，Boston 和 San Diego 的數據點分佈有明顯差異，顯示地區效應顯著，故加入地區虛擬變數 $D$ 來捕捉此差異。

(b) Model 1 與 Model 2 的 $R^2$ 值是否可能相同？

問題分析：
Model 1: $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon$
Model 2: $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon$

Model 2 在 Model 1 的基礎上加入了一個新的自變數 $X_2$。
$R^2$ 的定義是 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$。
$SSE$ 是殘差平方和，代表模型未能解釋的變異量。
$SST$ 是總平方和，代表應變數 $Y$ 的總變異量。

判斷：可能相同，但只有在 $X_2$ 對 $Y$ 沒有任何解釋力時。

解釋：

• 當我們加入一個新的自變數到迴歸模型中時，殘差平方和 (SSE) 永遠不會增加，只會保持不變或減少。
• $R^2$ 的公式是 $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$。

此題為時間序列分析的綜合題，涵蓋了弱定常性判斷、自共變異數函數 (ACF) 推導、以及處理缺失值的方法。

核心觀念：

1. 弱定常性 (Weak Stationarity)： 一個時間序列若滿足：(i) 平均數不隨時間改變 ($E(X_t) = \mu$ 為常數)，(ii) 自共變異數 $Cov(X_s, X_t)$ 僅取決於時間差 $|s-t|$，則稱之為弱定常。
2. 自共變異數函數 (ACF)： 衡量時間序列在不同時間點上的協變異程度，對於定常過程，通常定義為 $\gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h})$。
3. 樣本 ACF： 用於估計真實 ACF 的統計量。
4. 缺失值處理： 在時間序列分析中，缺失值會影響 ACF 的計算，需要妥善處理。常見方法包括刪除觀測值、插補法等。

(a) 判斷 $X_t = \beta_0 + \beta_1 t + Z_t$ 是否為弱定常

步驟 1：檢查平均數是否為常數
$E(X_t) = E(\beta_0 + \beta_1 t + Z_t)$
由於 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 是常數，且 $E(Z_t) = 0$，
$E(X_t) = \beta_0 + \beta_1 t + E(Z_t) = \beta_0 + \beta_1 t$。
因為 $E(X_t)$ 包含時間項 $t$，它不是一個常數，而是隨時間 $t$ 變化的。
根據弱定常性的定義 (i)，平均數必須是常數。此序列的平均數隨時間改變。

結論： $X_t$ 不是弱定常過程。

【答案】 $X_t$ 不是弱定常過程。因為其平均數 $E(X_t) = \beta_0 + \beta_1 t$ 隨時間 $t$ 改變，不滿足弱定常性的第一個條件。

(b) 推導 $X_t = Z_t + a Z_{t-1} + b Z_{t-2}$ 的 ACF

核心觀念：

• MA(2) 模型 (Moving Average of order 2)。
• 自共變異數 $\gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h})$。
• $Cov(X_t, X_{t+h}) = Cov(\sum_{i} c_i Z_{t-i}, \sum_{j} c_j Z_{t+h-j})$。
• 由於 $Z_t$ 是 i.i.d. 且 $E(Z_t) = 0, Var(Z_t) = \sigma^2$，則 $Cov(Z_i, Z_j) = 0$ if $i \neq j$, and $Cov(Z_i, Z_i) = Var(Z_i) = \sigma^2$。

步驟 1：計算平均數
$E(X_t) = E(Z_t + a Z_{t-1} + b Z_{t-2})$
$E(X_t) = E(Z_t) + a E(Z_{t-1}) + b E(Z_{t-2})$
由於 $E(Z_k) = 0$ 對於所有 $k$。
$E(X_t) = 0 + a(0) + b(0) = 0$。
平均數為 0，是一個常數。

步驟 2：計算自共變異數 $\gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h})$
我們需要計算 $h=0, 1, 2$ 的情況，因為模型中最多有 $Z_{t-2}$。

情況 h=0：計算變異數 $\gamma(0) = Var(X_t)$
$Var(X_t) = Var(Z_t + a Z_{t-1} + b Z_{t-2})$
由於 $Z_t, Z_{t-1}, Z_{t-2}$ 是獨立的，
$Var(X_t) = Var(Z_t) + Var(a Z_{t-1}) + Var(b Z_{t-2})$
$Var(X_t) = Var(Z_t) + a^2 Var(Z_{t-1}) + b^2 Var(Z_{t-2})$
$Var(X_t) = \sigma^2 + a^2 \sigma^2 + b^2 \sigma^2 = \sigma^2 (1 + a^2 + b^2)$。
所以，$\gamma(0) = \sigma^2 (1 + a^2 + b^2)$。

情況 h=1：計算 $\gamma(1) = Cov(X_t, X_{t+1})$
$X_t = Z_t + a Z_{t-1} + b Z_{t-2}$
$X_{t+1} = Z_{t+1} + a Z_{t} + b Z_{t-1}$
$Cov(X_t, X_{t+1}) = Cov(Z_t + a Z_{t-1} + b Z_{t-2}, Z_{t+1} + a Z_{t} + b Z_{t-1})$
展開後，由於 $Z_i$ 之間互相獨立，只有當索引相同時，協變異數才不為零。
$Cov(X_t, X_{t+1}) = Cov(Z_t, a Z_t) + Cov(a Z_{t-1}, b Z_{t-1}) + Cov(b Z_{t-2}, Z_{t+1}) + ...$ (其他項的 $Z$ 索引不同)
$Cov(X_t, X_{t+1}) = a Cov(Z_t, Z_t) + ab Cov(Z_{t-1}, Z_{t-1})$
$Cov(X_t, X_{t+1}) = a Var(Z_t) + ab Var(Z_{t-1})$
$Cov(X_t, X_{t+1}) = a \sigma^2 + ab \sigma^2 = \sigma^2 (a + ab)$。
所以，$\gamma(1) = \sigma^2 (a + ab)$。

情況 h=2：計算 $\gamma(2) = Cov(X_t, X_{t+2})$
$X_t = Z_t + a Z_{t-1} + b Z_{t-2}$
$X_{t+2} = Z_{t+2} + a Z_{t+1} + b Z_{t}$
$Cov(X_t, X_{t+2}) = Cov(Z_t + a Z_{t-1} + b Z_{t-2}, Z_{t+2} + a Z_{t+1} + b Z_{t})$
$Cov(X_t, X_{t+2}) = Cov(b Z_{t-2}, Z_{t+2}) + Cov(a Z_{t-1}, Z_{t+2}) + Cov(Z_t, b Z_t)$
$Cov(X_t, X_{t+2}) = Cov(Z_t, b Z_t)$
$Cov(X_t, X_{t+2}) = b Cov(Z_t, Z_t) = b Var(Z_t) = b \sigma^2$。
所以，$\gamma(2) = b \sigma^2$。

情況 h > 2：計算 $\gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h})$ for $h > 2$
$X_t = Z_t + a Z_{t-1} + b Z_{t-2}$
$X_{t+h} = Z_{t+h} + a Z_{t+h-1} + b Z_{t+h-2}$
由於 $h > 2$，則 $t+h-2 > t-2$。所以 $X_t$ 中的 $Z$ 項的索引 ( $t, t-1, t-2$ ) 和 $X_{t+h}$ 中的 $Z$ 項的索引 ( $t+h, t+h-1, t+h-2$ ) 之間，沒有相同的索引。
因此，所有的協變異數項都是零。
$Cov(X_t, X_{t+h}) = 0$ for $h > 2$。

ACF 的定義：
$\rho(h) = \frac{\gamma(h)}{\gamma(0)}$

ACF 結果：
$\gamma(0) = \sigma^2 (1 + a^2 + b^2)$
$\gamma(1) = \sigma^2 (a + ab)$
$\gamma(2) = b \sigma^2$
$\gamma(h) = 0$ for $h > 2$

【答案】
自共變異數函數 (ACF) 如下：
$\gamma(0) = Cov(X_t, X_t) = \sigma^2 (1 + a^2 + b^2)$
$\gamma(1) = Cov(X_t, X_{t+1}) = \sigma^2 (a + ab)$
$\gamma(2) = Cov(X_t, X_{t+2}) = b \sigma^2$
$\gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h}) = 0$ for $h > 2$。

(c) 關於學生處理缺失值方法的評論

學生方法： 直接刪除缺失值，並將剩餘的觀測值視為一個連續的序列來計算樣本 ACF。
原始序列長度 $n = 30$。
缺失值：$x_3, x_{15}$。